\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf Az okt\'ober 3-i gyakorlat t\'em\'aja}

\medskip\noindent
Megt\'argyaljuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik 
fontos fogalm\'at, a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, \'es 
n\'eh\'any
ezzel kapcsolatos feladatot. Szeml\'eletesen a k\"ovetkez\H{o}r\H{o}l
van sz\'o. Egy $A$ esem\'eny $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azt
fejezi ki, hogy mennyire val\'osz\'{\i}n\H{u} ennek az $A$ esem\'enynek
a bek\"ovetkez\'ese. Viszont ennek a bizonyoss\'agnak a m\'ert\'eke
megv\'altozik, ha tudjuk, hogy egy $B$ esem\'eny bek\"ovetkezett-e
vagy nem. Ez\'ert defini\'aljuk az $A$ esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, felt\'eve, hogy a $B$ esem\'eny
bek\"ovetkezett. Ennek definici\'oja
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. B\'ar az al\'abbi azonoss\'ag
trivi\'alis, fontoss\'aga miatt \'erdemes k\"ul\"on megfogalmazni.
$$
P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(B), \quad \text{ha } P(A)>0 \text{ \'es }
P(B)>0.
$$
Tov\'abbi egyszer\H{u}, de hasznos \'eszrev\'etelek:

Ha $B_1,\dots,B_n$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy
partici\'oja, azaz a $B_1,\dots, B_n$ esem\'enyek diszjunktak, \'es
$\bigcupp_{k=1}^n B_k=\Omega$, akkor
$$
\align
P(A)&=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots P(A\cap B_n)\\
&=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)
\endalign
$$
minden $A$ halmazra. Ez\'ert
$$
P(B_1|A)=\frac{P(B_1\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}
{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)}.
$$
Term\'eszetesen hasonl\'o \"osszef\"ugg\'es \'{\i}rhat\'o fel a
$P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $j$ indexre. A fenti egyszer\H{u}
\"osszef\"ugg\'es  fontoss\'ag\'at az adja, hogy ez lehet\H{o}v\'e
teszi a $P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at a `ford\'{\i}tott' $P(A|B_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ismeret\'eben, felt\'eve, hogy
ismerj\"uk a $P(B_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket is.

\medskip
\item{1.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a helyeset) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a j\'o v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\frac13$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel 
ad helyes eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy tudja a v\'alaszt felt\'eve, 
hogy j\'o v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy
tudja  a j\'o v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy j\'o
v\'alaszt ad. A $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak.
Ekkor $P(A\cap B)=P(A)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)=P(A)+(1-P(A))P(B|\bar A)=\frac13
=p+\frac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\frac p{p+\frac13(1-p)}$.
\item{2.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as ered\-m\'e\-nye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z$ \'es annak
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, \'es hogy a negyedik
h\'uz\'as eredm\'enye $S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$
h\'uz\'as t\"ort\'ent.
Ez a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg, illetve ezek a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\frac{z}{z+s}$, $\frac z{z+s+2}$,
$\frac z{z+s+4}$, $\frac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\frac{z}{z+s}\cdot\frac z{z+s+2}\cdot\frac z{z+s+4}\cdot
\frac{s+6}{z+s+6}$.
\item{3.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)P(B|A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket
\'erdekl\H{o} felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\frac{0.2}{0.31}=\frac{20}{31}$.
\item{4.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r. Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\"unk,
hogy ha a legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak
(felt\'eteles) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\frac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\frac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\frac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"olj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csoportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, meg\-egye\-zik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\frac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\frac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\frac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
\item{5.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye
hatos felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\frac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladattal, \'es megbesz\'elj\"uk, hogy m\'ast jelent az a felt\'etel,
hogy k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik el\H{o}\'{\i}rt
(p\'eld\'aul az els\H{o}) dob\'as hatos, \'es
az hogy ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani, melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{6.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\frac16$.

\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?

\item{7.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a
m\'asodik 0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
 gy\'art hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik,
\'es \"osszekeverik \H{o}ket. Egy gy\'artott csavar 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az els\H{o} 0.3
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\H{o}, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\item{8.} Egy teszt-vizsg\'an, ahol h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\"oli meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
h\'arom lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, felt\'eve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adta?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} di\'ak j\'ol v\'alaszol, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a
m\'asodik di\'ak j\'ol v\'alaszol, $D_1$ azt az esem\'enyt, hogy
mind a k\'et jel\"olt az
els\H{o}k\'ent felsororolt felt\"untetett rossz v\'alaszt $D_2$ pedig
azt az esem\'enyt, hogy mind a k\'et
jel\"olt a m\'asodiknak felsorolt rossz v\'alaszt adja.
Ekkor $C=(A\cap B)\cup D_1\cup D_2$ jel\"oli azt
az esem\'enyt, hogy a k\'et di\'ak egyform\'an v\'alaszol.
Benn\"unket a $P(A\cap B|C)=\frac{P(A\cap B\cap C)}{P(C)}
=\frac{P(A\cap B)}{P((A\cap B)\cup D_1\cup D_2)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont $P(A)=p_1+\frac13(1-p_1)=\frac{1+2p_1}3$,
$P(B)=\frac{1+2p_2}3$, \'es az $A$ \'es $B$ esem\'enyek
f\"uggetlenek. Innen $P(A\cap B)=\frac{1+2p_1}3\cdot\frac{1+2p_2}3$,
$P(C)=R(A\cap B)+P(D_1)+P(D_2)=\frac{1+2p_1}3\cdot\frac{1+2p_2}3+2
\frac{1-p_1}3\cdot\frac{1-p_2}3$. Ugyanis
$P(D_1)=P(D_2)=\frac{(1-p_1)}3\cdot\frac{(1-p_2)}3$, mivel az
els\H{o} jel\"olt
akkor v\'alaszol rosszul, ha nem tudja a helyes v\'alaszt, \'es a
h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul az els\H{o} rossz v\'alaszt jel\"oli
ki, aminek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $(1-p_1)\frac13$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik jel\"olt ugyanezt
a v\'alaszt adja $(1-p_1)\frac13$, a k\'et jel\"olt egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul v\'alaszol, ahonnan $P(D_1)=\frac{(1-p_1)}3\cdot
\frac{(1-p_2)}3$. Hasonl\'oan, a $P(D_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
ugyanazt az \'ert\'eket kapjuk. Innen
$$
P(A\cap B|C)=\frac{(1+2p_1)(1+2p_2)}{(1+2p_1)(1+2p_2)+2(1-p_1)(1-p_2)}.
$$
\item{9.)} Adott k\'et v\'aros, az igazmond\'ok \'es hazugok v\'arosa.
Az igazmond\'ok v\'aros\'aban egy k\'erd\'esre 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel helyes a hazugok v\'aros\'aban pedig 0.8
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hamis v\'alaszt adnak. Meg\'erkez\"unk
v\'eletlen\"ul az egyik v\'arosba, egyforma, azaz $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az igazmond\'ok vagy a hazugok
v\'aros\'aba. Megk\'erdezz\"uk az els\H{o} embert, akivel
tal\'alkozunk, hogy az igazmond\'ok v\'aros\'aba \'ert\"unk-e. Azt a
v\'alaszt kapjuk, hogy nem. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az igazmond\'ok v\'a\-ro\-s\'a\-ba \'er\-kez\-t\"unk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk, \'es $B$ azt az esem\'enyt,
hogy a v\'eletlen\"ul megk\'erdezett ember azt v\'alaszolja
k\'erd\'es\"unkre, hogy nem az igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk.
Ekkor minket a $P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'ert\'eke \'erdekel. Tudjuk tov\'abb\'a, hogy $P(A)=\frac12$,
$P(B|A)=0.1$, $P(B|\bar A)=0.2$. (Az els\H{o} esetben az igazmond\'ok
v\'aros\'aban megk\'erdezett ember hazudik, a m\'asodikban a hazugok
v\'aros\'aban megk\'erdezett ember igazat mond.) Ez\'ert
$$
P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{P(B|A)P(A)}
{P(B|A)P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)}
=\frac{0.1\cdot 0.5} {0.1\cdot0.5+0.2\cdot 0.5}=\frac13.
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{}  Egy h\'aromnapos nyaral\'ason vesz\"unk r\'eszt a
Balatonn\'al. Minden nap a t\"obbi napt\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kis\"ut a nap, $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem s\"ut ki. Azokon a napokon, amikor
kis\"ut a nap, $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megf\"urd\"unk
a Balatonban \'es fagylaltot is esz\"unk, $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megf\"urd\"unk a Balatonban, de nem
esz\"unk fagylaltot, $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel  nem
f\"urd\"unk meg a Balatonban, de esz\"unk fagylaltot, \'es nulla
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem f\"urd\"unk \'es
fagylaltot sem esz\"unk. Ha nem s\"ut a nap, akkor $\frac14$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy esz\"unk fagylaltot, \'es
f\"urd\"unk, $\frac14$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
esz\"unk fagylaltot, de nem f\"urd\"unk, $\frac14$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem esz\"unk fagylaltot, de
f\"urd\"unk, \'es ugyancsak $\frac14$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy sem fagylaltot nem esz\"unk, sem
a Balatonban nem f\"urd\"unk meg. Mi annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy megf\"ur\"odt\"unk a
Balatonban, felt\'eve hogy nem ett\"unk fagylaltot?
\medskip
\item{10.)} Bizony\'{\i}tsuk be a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot,
amelyet teleszk\'op szab\'alynak is szoktak nevezni: Ha adva vannak
$A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyekre $P(A_1\cap\cdots\cap A_k)>0$, akkor
$$
P(A_1\cap\cdots\cap A_k)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
&P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})\\
&\qquad=P(A_1)\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
\frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}\cdots \frac{P(A_1\cap
A_2\cdots\cap A_{k-1}\cap A_k)}{P(A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})}\\
&\qquad =P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_k).
\endalign
$$
\item{11.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\frac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\frac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'ab\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'uzunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'uzunk. Ekkor a
$P(D|C)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\frac12\(\(\frac14\)^2+\(\frac1{10}\)^2\)=\frac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\frac12\(\(\frac14\)^2\frac9{10}+\(\frac1{10}\)^2\frac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\frac{P(C\cap D)}{P(D)}=\frac{51}{58}$.


 \bye

