\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf Az okt\'ober 24-i gyakorlat t\'em\'aja}


\medskip

\item{1.)} Elv\'egz\"unk egy kis\'erletet v\'egtelen sokszor egym\'as
ut\'an egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es az minden alkalommal $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel siker\"ul, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem siker\"ul. Legyen $T_1$ az els\H{o},
$T_2$ a m\'asodik, \'es \'{\i}gy tov\'abb $T_k$ a $k$-ik sikeres
kis\'erlet id\H{o}pontja. Mutassuk meg, hogy az egym\'ast k\"ovet\H{o}
sikeres kis\'erletek k\"oz\"otti $T_1$, $T_2-T_1$,\dots $T_k-T_{k-1}$
(v\'eletlen) id\H{o}intervallumok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek, \'es
$P(T_1=l)=P(T_j-T_{j-1}=l)=(1-p)^{l-1}p$ minden $j$ indexre, \'es
$l=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ Tetsz\H{o}leges $k$ \'es $l_1,\dots,l_k$
pozit\'{\i}v eg\'esz sz\'amokra fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
P(T_1=l_1,T_2-T_1=l_2,\dots, T_k-T_{k-1}=l_k)=(1-p)^{l_1+\cdots+l_k-k}p^k
=\prod_{s=1}^k P(l_s)
$$
ahol
$P(l)=(1-p)^{l-1}p$,  $l=1,2,\dots$, mert a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy egy
$l_1+\dots+l_k$-szor elv\'egzett kis\'erlet $k$ el\H{o}\'{\i}rt
id\H{o}pontban (az $l_1$, $l_1+l_2$,\dots, $l_1+\cdots+l_k$
id\H{o}pontokban) sikeres, a t\"obbi id\H{o}pontban sikertelen.

\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy
$$
\summ_{l=1}^\infty P(l)=
\summ_{l=1}^\infty p(1-p)^l=p\frac1{1-(1-p)}=1.
$$
Innen
$$
\align
&P(T_j-T_{j-1}=l) \\
&\qquad=  \!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
\sum_{(l_1,\dots,l_{j-1})\colon 1\le l_s<\infty,\;1\le s\le j-1}
\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!\!
P(T_1=l_1,T_2-T_1=l_2,\dots, T_{j-1}-T_{j-2}=l_{j-1}, 
T_{j}-T_{j-1}=l)\\
&\qquad =\sum_{(l_1,\dots,l_{j-1})\colon 1\le l_s<\infty,\;1\le s\le j-1}
\prod_{s=1}^{j-1} P(l_s)P(l)
=P(l)\(\sum_{r=1}^\infty P(r)\)^j=P(l)
\endalign
$$

\item{2).} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabat 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy minket az
$S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\dfrac{99}4$,
mivel $E\xi_j=\dfrac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs sz\"uks\'eg a
v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
\item{3.)} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etellel mindegyik bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek majdnem
mindegyike bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy van olyan $n$ sz\'am,
amelyre igaz, hogy minden $k\ge n$ indexre bek\"ovetkezik az $A_k$
esem\'eny, azaz a $B_n=\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny is
bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny bek\"ovetkezik valamely $n$
sz\'amra azt jelenti, hogy bek\"ovetkezik az $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n= \bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny.




\bye




