Az október 24-i gyakorlat témája

1.) Elvégzünk egy kisérletet végtelen sokszor egymás után egymástól függetlenül, és az minden alkalommal p valószínűséggel sikerül, 1 − p valószínűséggel nem sikerül. Legyen T_{1} az első, T_{2} a második, és így tovább T_{k} a k-ik sikeres kisérlet időpontja. Mutassuk meg, hogy az egymást követő sikeres kisérletek közötti T_{1}, T_{2} − T_{1}, … T_{k} − T_{k−1} (véletlen) időintervallumok egymástól függetlenek, és P (T_{1} = l) = P (T_{j} − T_{j−1} = l) = (1 − p)^{l−1}p minden j indexre, és l = 1, 2, … számra. Megoldás. Tetszőleges k és l_{1}, …, l_{k} pozitív egész számokra felírhatjuk, hogy

P (T_{1} = l_{1}, T_{2} − T_{1} = l_{2}, …, T_{k} − T_{k−1} = l_{k}) = (1 − p)^{l_{1}+···+l_{k}−k}p^{k} = ∏_{s=1}^{k} P (l_{s})

ahol P (l) = (1−p)^{l−1}p, l = 1, 2, …, mert a keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy egy l_{1} + ⋯ + l_{k}-szor elvégzett kisérlet k előírt időpontban (az l_{1}, l_{1} +l_{2}, …, l_{1} +⋯+l_{k} időpontokban) sikeres, a többi időpontban sikertelen. Vegyük észre, hogy

∑_{l=1}^{∞} P (l) = ∑_{l=1}^{∞} p(1 − p)^{l} = p\frac{1}{1 − (1 − p)} = 1.

Innen

P (T_{j} − T_{j−1} = l)

= ∑_{(l_{1},...,l_{j−1}):1≤l_{s}<∞, 1≤s≤j−1} P (T_{1} = l_{1}, T_{2} − T_{1} = l_{2}, …, T_{j−1} − T_{j−2} = l_{j−1}, T_{j} − T_{j−1} = l)

= ∑_{(l_{1},...,l_{j−1}):1≤l_{s}<∞, 1≤s≤j−1} ∏_{s=1}^{j−1} P (l_{s})P (l) = P (l) (∑_{r=1}^{∞} P (r))^{j} = P (l)

2). Feldobunk egy szabályos pénzdarabat 100-szor egymás után. Tekintsük az egymást követő fej-fej dobássorozatok számát, és számítsuk ki ennek várható értékét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 99, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik és j + 1-ik dobások mindegyikének eredménye fej, ξ_{j} = 0 egyébként.

Vegyük észre, hogy minket az S = ∑_{j=1}^{99} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke

érdekel. Ezért ES = E ( ∑_{j=1}^{99} Eξ_{j}) = \frac{99}{4}, mivel Eξ_{j} = \frac{1}{4}. (Érdemes megjegyezni,

hogy az ebben a feladatban tekintett ξ_{j} valószínűségi változók nem függetlenek, de a függetlenségre nincs szükség a várható érték additivításáhaz.)

3.) Legyenek A_{1}, A_{2}, …, események egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Lássuk be,

hogy ⋃_{n=1}^{∞} ⋂_{k=n}^{∞} A_{k} jelöli azt az eseményt, hogy az A_{1}, A_{2}, …, események közül véges

sok kivétellel mindegyik bekövetkezik.

Megoldás: Az, hogy az A_{n} események majdnem mindegyike bekövetkezik, azt jelenti, hogy van olyan n szám, amelyre igaz, hogy minden k ≥ n indexre bekövetkezik

az A_{k} esemény, azaz a B_{n} = ⋂_{k=n}^{∞} A_{k} esemény is bekövetkezik. Az, hogy a B_{n}

esemény bekövetkezik valamely n számra azt jelenti, hogy bekövetkezik az ⋃_{n=1}^{∞} B_{n} =

⋃_{n=1}^{∞} ⋂_{k=n}^{∞} A_{k} esemény.