\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf Az okt\'ober 17-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip\noindent
Az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton tekintett\"unk n\'eh\'any feladatot,
amelynek h\'atter\'eben a k\"ovetkez\H{o} probl\'ema megold\'asa
volt. Legyenek $A_1\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, amelyeknek
ismerj\"uk $P(A_j)$, $1\le j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy
legal\'abb egy $A_j$ esem\'eny bek\"ovetkezik. Egy \'altal\'anosabb
feladat azon esem\'eny  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek a
kisz\'amol\'asa, hogy pontosan $k$ darab $A_j$ esem\'eny k\"ovetkezik
be, $0\le k\le n$. Hasonl\'oan annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
is ki akarjuk sz\'amolni, hogy legal\'abb $k$ $A_j$ esem\'eny
k\"ovetkezik be.

Kor\'abban a k\"ovetkez\H{o} t\'{\i}pus\'u feladatokat t\'argyaltunk.
Legyenek $B_1,\dots, B_n$ egy\-m\'ast kiz\'ar\'o esem\'enyek, azaz
legyen $B_j\cap B_k=\emptyset$ minden $1\le j,k\le n$ indexre, ha
$j\neq k$, ahol $\emptyset$ az \"ures halmazt jel\"oli. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan egy $B_j$ esem\'eny
k\"ovetkezik be? E k\'erd\'es megv\'alaszol\'asa nagyon egyszer\H{u},
mert az az esem\'eny, hogy legal\'abb egy $B_j$ esem\'eny k\"ovetkezik
be megegyezik a $B_1\cup\cdots\cup B_n$ esem\'ennyel, \'es
$P(B_1\cup\cdots\cup B_n)=P(B_1)+\dots+P(B_n)$. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan $k\ge2$ $B_j$ esem\'eny
k\"ovetkezik be nulla, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy nulla $B_j$ esem\'eny k\"ovetkezik be
$1-P(B_1)-\dots-P(B_n)$.

Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy pontosan egy $A_j$
esem\'eny k\"ovetkezik be a k\"ovetkez\H{o} m\'odon sz\'amolhatjuk ki
a Morgan azonoss\'ag felhaszn\'al\'as\'aval. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\align
P(A_1\cup\cdots\cup A_n)
&=1-P(\overline{A_1\cup\cdots\cup A_n})
=1-P(\bar A_1\cap\cdots\cap \bar A_n)\\
&=1-P(\bar A_1)\cdots P(\bar A_n)
=1-(1-P(A_1))\cdots (1-P(A_n))
\endalign
$$
ahol $\bar A=\Omega\setminus A$ az $A$ esem\'eny komplementer\'et
jel\"oli. (A fenti sz\'amol\'asban kihaszn\'altuk azt az eredm\'enyt,
amely szerint, ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, akkor
$\bar A_1,\dots,\bar A_n$ is az.)
\medskip
\item{1.)}  Legyenek $A_1\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek,
amelyeknek ismerj\"uk $P(A_j)$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeit. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy pontosan $k$ darab, illetve hogy
legal\'abb $k$ darab $A_j$ esem\'eny k\"ovetkezik be, $0\le k\le n$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy pontosan $k$ darab $A_j$
esem\'eny k\"ovetkezik be azt jelenti, hogy l\'eteznek olyan
$1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n$ sz\'amok, hogy az
$A_{j_1},\dots,A_{j_k}$ esem\'enyek bek\"ovetkeznek, m\'{\i}g
$s\neq j_l$, $1\le l\le k$, $1\le s\le n$ indexekre az $A_s$
esem\'eny nem k\"ovetkezik be, azaz az $\bar A_s$ esem\'eny
k\"ovetkezik be. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege r\"ogz\'{\i}tett
$1\le j_1<j_2<\cdots<j_k\le n$ indexekre
$$
P\(A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_k}\cap
\!\!\!\!\!\bigcapp_{s\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}}\!\! \!\!\! 
\bar A_s\)
=\prodd_{s=1}^kP(A_{j_s})\!\!\!\!  
\prodd_{t\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}} \!\!\!\!
(1-P(A_t)).
$$
\'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan $k$ darab
$A_j$ esem\'eny k\"ovetkezik be
$$
\align
P_k&=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\colon 1\le j_1<j_2\le \cdots j_k\le n}
P\(A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_k}\cap
\bigcapp_{s\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}} \bar A_s\)\\
&=\sum_{(j_1,\dots,j_k)\colon 1\le j_1<j_2\le \cdots j_k\le n}
\prodd_{s=1}^kP(A_{j_s})\prodd
_{t\in\{1,\dots,n\}\setminus\{j_1,\dots,j_k\}}(1-P(A_t)).
\endalign
$$
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb $k$ darab $A_j$
esem\'eny k\"ovetkezik be $Q_k=\summ_{l=k}^n P_l$.



\medskip
\item{2.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt
egyr\'eszt direkt m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a
v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es sz\'or\'asn\'egyzetet kifejez\H{o}
\"osszegeket, m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben az el\H{o}z\H{o} t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\binom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\"oli a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\binom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\binom{100}k=100\binom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\binom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\binom {99}k
2^{-99}=50\(\frac12+\frac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\binom{100}k=[k(k-1)+k]\binom{100}k=100\cdot99\cdot
\binom{98}{k-2}+100\cdot\binom{100}{99}$, $E\xi^2=2^{-100}\cdot
100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\binom{98}k+
2^{-100}\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\binom{99}k=2^{-100}\(100\cdot99
\cdot(1+1)^{98}+100\cdot(1+1)^{99}\)=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
\medskip
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=\frac72$,
$E\eta_j^2=\frac16(1+4+9+16+25+36)=\frac{91}6$,
$\Var\eta_j=E\eta_j^2-(E\eta_j)^2=\frac{91}6-\frac{49}4
=\frac{182-147}{12} =\frac{35}{12}$, $E\xi=350$,
$\Var\xi=\frac{3500}{12}$.
\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
addig, am\'{\i}g meg nem jelenik a 100. hatos dob\'as. Sz\'amoljuk ki a
dob\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $T_1$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy h\'anyszor kellett a
kock\'at feldobni addig, am\'{\i}g az els\H{o} hatos dob\'as megjelent
(az els\H{o} hatos dob\'ast is belesz\'am\'{\i}tva ebbe a
dob\'assorozatba), $T_2$ azt, h\'anyszor kellett a kock\'at az
els\H{o} hatos dob\'as ut\'an feldobni, am\'{\i}g a m\'asodik hatos
dob\'as megjelent, \'es \'altal\'aban legyen $T_j$ az a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyik azt sz\'amolja meg,
hogy h\'any dob\'as k\"ovetkezett be a $j-1$-k \'es $j$-ik hatos
dob\'as k\"oz\"ott. (A $j$-ik hatos dob\'ast besz\'am\'{\i}tjuk a
$j-1$-ik hatos dob\'ast viszont nem sz\'am\'{\i}tjuk be ebbe
a sorozatba.) Ekkor a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, a dob\'asok sz\'ama a 100. hatos dob\'asig
$T=\summ_{j=1}^{100}T_j$, tov\'abb\'a, a $T_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, \'es
$P(T_j=k)=\(\frac 56\)^{k-1}\frac16$, $k=1,2,\dots$. Ez\'ert
$ET=\summ_{j=1}^{100}ET_j$, $\Var T=\summ_{j=1}^{100}\Var T_j$,
$ET_j=\summ_{k=1}^\infty k\frac16\(\frac56\)^{k-1}$,
$ET_j^2=\summ_{k=1}^\infty k^2\frac16\(\frac56\)^{k-1}$, $\Var
T_j=ET_j^2-(ET_j)^2$. \medskip
\item{} Az $ET_j$ v\'arhat\'o \'ert\'ek egy lehets\'eges
kisz\'amol\'asi m\'odja: Deriv\'aljuk a
$$
\summ_{k=0}^\infty x^k=\frac1{1-x},\quad |x|<1
$$
azonoss\'agot. Azt kapjuk, hogy
$$
\summ_{k=0}^\infty kx^{k-1}=\frac1{(1-x)^2},\quad |x|<1, \tag$*$
$$
ahonnan $x=\frac56$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\summ_{k=0}^\infty k\(\frac56\)^{k-1}=6^2,
$$
\'es $ET_j=6$, $ET=100ET_1=600$. Hasonl\'oan, a ($*$) azonoss\'agot
$x$-szel beszorozva, deviv\'alva, majd az $x=\frac56$
behelyettes\'{\i}t\'est alkalmazva azt kapjuk, hogy
$$
\summ_{k=1}^\infty k^2x^{k-1}=\frac1{(1-x)^2}+\frac {2x}{(1-x)^3},
\quad |x|<1,
$$
$ET_j^2=\frac16(36+360)=66$, $\Var T_j=ET_j^2-(ET_j)^2=30$, $\Var
T=100\Var T_1=3000$.

\medskip
\item{5.)} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Ekkor a $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et kell ki\-sz\'a\-mol\-nunk.
Tov\'abb\'a $E\xi_j=E\xi_1=\frac25$, mert $E\xi_j=1\cdot
P(\xi_j=1)=p(\xi_1=1)$. Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\frac25=8$.

\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
sz\'azszor. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u}  dob\'asok
\"osszeg\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.


\bye


