\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

%\nopagenumbers

\centerline{\bf Az okt\'ober 10-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.)} H\'usz h\'eten kereszt\"ul j\'atszunk a lott\'on. Minden
h\'eten kit\"olt\"unk (egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul) 10
lott\'oszelv\'enyt. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy pontosan k\'et olyan h\'et lesz, amelyen lesz h\'armas n\'egyes
vagy \"ot\"os tal\'alatunk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Megt\'argyaltuk egy kor\'abbi gyakorlaton,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy kit\"olt\"ott
lott\'oszelv\'eny tartalmaz h\'arom, n\'egy vagy \"ot tal\'alatot
$$
p_1=\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}.
$$
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valamely h\'eten van h\'arom
vagy n\'egy tal\'alatunk \'ugy sz\'amolhat\'o ki, hogy tekint\"unk 10
f\"uggetlen kis\'erletet, amelyek mindegyike $p_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik be, \'es annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et k\'{\i}v\'anjuk kisz\'amolni, hogy
ezen kis\'erletek legal\'abb egyike sikeres. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem volt si\-ke\-res kis\'erlet
$(1-p_1)^{10}$, \'{\i}gy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy volt
(legal\'abb egy) sikeres kis\'erlet $p_2=1-(1-p_1)^{10}$. Teh\'at
minden h\'eten $p_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezik
sikeres lott\'oszelv\'eny kit\"olt\'es. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $i$-edik \'es $j$-ik (p\'eld\'aul
a harmadik \'es \"ot\"odik) h\'eten k\"ovetkezik be sikeres
lott\'okit\"olt\'es, a t\"obbi h\'eten pedig nem $p_2^2(1-p_2)^{18}$.
Mivel az ilyen h\'etp\'arokat $\binom {20}2$-f\'elek\'epp
v\'alaszthatjuk ki, a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\align
\binom{20}2p_2^2(1-p_2)^{18}
&=\binom{20}2\(1-(1-p_1)^{10}\)^2
(1-p_1)^{180}\\
&=\binom{20}2\(1-\(1-
\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}{\binom{90}5}\)^{10}\)^2 \\
&\qquad \(1-\frac{1+\binom{85}1\binom54+\binom{85}2\binom53}
{\binom{90}5}\)^{180}.
\endalign
$$
\item{2.)} Ledobunk az egys\'egintervallumra v\'eletlen\"ul,
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 2 pontot. (Az, hogy egy pont az
egys\'egintervallum valamely r\'eszintervallum\'aba esik megegyezik
ezen intervallum hossz\'aval.) Ez a k\'et ledobott pont az
egys\'egk\"ort h\'arom r\'esz\-in\-ter\-val\-lum\-ra osztja. Mi 
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az \'{\i}gy l\'etrej\"ott 
h\'arom r\'esz\-inter\-val\-lum\-b\'ol szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak
akkor szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha teljes\'{\i}tik a
h\'aromsz\"ogegyenl\H{o}tlens\'eget, azaz b\'armely kett\H{o}
\"osszhossza nagyobb, mint a harmadik intervallum hossza. Mivel a
h\'arom intervallum \"osszhossza 1, ez ekvivalens azzal, hogy
mindegyik intervallum hossza kisebb, mint $\frac12$. Legyen az
els\H{o} ledobott pont koordin\'at\'aja $x$ a m\'asodik ledobott
pont\'e pedig $y$. Ekkor az $(x,y)$ pont egyenletes eloszl\'as\'u
a $[0,1]\times[0,1]$ egys\'egn\'egyzeten, \'es keletkezett szakaszok
hossza $x$, $y-x$ \'es $1-y$, ha $x<y$, \'es $y$, $x-y$ \'es $1-x$,
ha $x>y$. A h\'arom szakaszb\'ol akkor \'es csak akkor
szerkeszthet\H{o} h\'aromsz\"og, ha a k\"ovetkez\H{o} k\'et
(egym\'ast kiz\'ar\'o) esem\'eny valamelyike bek\"ovetkezik:

\itemitem{a.)} $0\le x<\frac12$, $\frac12<y<1$, $0<y-x<\frac12$,
\itemitem{b.)} $0\le y<\frac12$, $\frac12<x<1$, $0<x-y<\frac12$.

\item{} (Az a.) eset felel meg annak, hogy $x<y$, a b.) eset annak, hogy
$y<x$.) Egyszer\H{u} geometriai meggondol\'as mutatja, hogy mind az
a) mind a b) eset teljes\"ul\'ese azt jelenti, hogy az $(x,y)$ pont
az egys\'egn\'egyzet egy $\frac12$ befog\'okkal rendelkez\H{o}
szab\'alyos der\'eksz\"og\H{u} egyenl\H{o}sz\'ar\'u h\'aromsz\"ogbe
esik. \'Igy a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$2\cdot\frac18=\frac14$.
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
3. hatos dob\'as a 20. vagy  az egyik k\'es\H{o}bbi
dob\'asban jelenik meg?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 19
dob\'asban nulla, egy vagy k\'et hatos jelenik meg. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\frac56\)^{19}
+\binom{19}1\(\frac56\)^{18}\cdot\frac16
+\binom{19}2\(\frac56\)^{17}\cdot\(\frac16\)^2$.
\item{}{\it M\'asodik megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy a harmadik
hatos dob\'as eredm\'enye a 20, 21, 22 vagy valamelyik k\'es\H{o}bbi
dob\'as eredm\'enye. (Tudni kell, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\H{o}bb-ut\'obb megjelenik a harmadik
fej-dob\'as.) Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\(\frac16\)^3\summ_{k=20}^{\infty}\binom{k-1}2\(\frac5{16}\)^{k-3}.
$$

Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk az els\H{o} megold\'as
jogoss\'ag\'at l\'assuk be, hogy

\item{3a.)} Annak, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok
egym\'as ut\'ani feldob\'asa sor\'an nem jelenik meg h\'arom hatos
nulla a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy bek\"ovetkezik legal\'ab h\'arom
hatos dob\'as~1. Ez ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont nagyobb mint az, hogy (ak\'arhogyan is r\"ogz\'{\i}t\"unk egy
$n$ eg\'esz sz\'amot) annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} $n$ dob\'as k\"oz\"ul legal\'abb egy hatos, az $n+1$-ik \'es
$2n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok k\"oz\"ul legal\'abb az egyik
hatos \'es a $2n+1$-ik \'ea $3n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok
k\"oz\"ul legal\'abb az egyik hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont $\(1-\(\frac56\)^n\)^3$. Ez\'ert a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek enn\'el a sz\'amn\'al nagyobbnak kell
lenni tetsz\H{o}leges $n$-re, ami csak \'ugy lehets\'eges, hogy
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1.
\medskip
Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es, hogy hogyan lehet megmutatni
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi meggondol\'asok n\'elk\"ul
azt, hogy az el\H{o}bb t\'argyalt feladat k\'et megold\'as\'aban
szerepl\H{o} k\'et l\'at\-sz\'o\-lag teljesen k\"ul\"onb\"oz\H{o}
kifejez\'es megegyezik. Megmutatom, hogy hogy a m\'asodik \"osszegben
szerepl\'o v\'egtelen \"osszeg \"osszegezhet\H{o} a
$(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\binom \alpha k x^k$, ha $|x|<1$
azonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\binom \alpha
k=\frac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti
azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ sz\'amra \'erv\'enyes,
tekinthet\H{o} \'ugy mint az \'altal\'anos\'{\i}tott binomi\'alis
t\'etel, \'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Azt kell \'eszrevenni, hogy
$$
\binom{k-1}2=\frac
{(2-k)(1-k)}2={(-1)^{k-1}}\frac{(-3)(-4)\cdots(1-k)}
{(k-3)!}=(-1)^{k-1}\binom{-3}{k-3},
$$
ahonnan $\summ_{k=3}^{\infty}\binom{k-1}2\(\frac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=3}^{\infty}\binom{-3}{k-3}\(-\frac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=0}^{\infty}\binom{-3}k\(-\frac5{16}\)^k=\(1-\frac56\)^{-3}=
\(\frac16\)^{-3}$. Teh\'at $\(\frac16\)^3\summ_{k=3}^{\infty}
\binom{k-1}2\(\frac5{16}\)^{k-3}=1$. Ez az azonoss\'ag ekvivalens
azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka
v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani feldob\'asa eset\'en 1
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel legal\'abb 3 hatos dob\'as
t\"ort\'enik.



\item{4.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan
az \"ot\"odik dob\'asban jelenik meg az els\H{o} fej-dob\'as? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik fej-dob\'as pontosan
\"ot dob\'assal az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an k\"ovetkezik be?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Akkor lesz az els\H{o} fej-dob\'as az
\"ot\"odik  dob\'as, ha el\H{o}sz\"or n\'egy \'{\i}r\'as-dob\'as
majd egy fej-dob\'as t\"ort\'enik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac12\)^4\cdot\frac12=\(\frac12\)^5$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o}
fej-dob\'as $2^{-k}$, $k=1,2,\dots$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o} fej-dob\'as, ut\'ana
pedig 5 dob\'as m\'ulva k\"ovetkezik be a m\'asodik fej-dob\'as
$2^{-k}\cdot2^{-5}=2^{-k-5}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott pontosan 5
dob\'as k\"ovetkezik be kisz\'amolhatjuk \'ugy is, hogy kisz\'amoljuk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra kisz\'amoljuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $k$-ik dob\'as volt az els\H{o}
\'es a $k+5$-ik dob\'as a m\'asodik fej-dob\'as, majd
\"osszegez\"unk $k=1,2,\dots$-ra. \'Igy azt kapjuk, hogy a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\summ_{k=1}^\infty
2^{-k-5}=2^{-5}\summ_{k=1}^\infty 2^{-k}=2^{-5}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk v\'egtelen sokszor.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} hatos
dob\'asig ugyanannyi dob\'as t\"ort\'ent, mint az els\H{o} \'es
m\'asodik hatos dob\'as k\"oz\"ott?
\medskip
\item{5.)} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az esem\'eny, amelyiknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ki akarjuk sz\'amolni, a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon is jellemezhet\H{o}: El\H{o}sz\"or
$k$ darab \'{\i}r\'asdob\'as t\"ort\'enik valamely $k=0,1,2,\dots$,
sz\'ammal, majd ut\'ana k\'et fejdob\'as k\"ovetkezik be. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{k=0}^\infty \(\dfrac12\)^k\cdot
\frac12\cdot\frac12=\frac14\sum_{k=0}^\infty
\frac1{2^k}=\frac24=\frac12.
$$
 \medskip

{\it H\'azi feladat:}\smallskip
\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?


\item{6.)} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etellel mindegyik bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek majdnem
mindegyike bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy van olyan $n$ sz\'am,
amelyre igaz, hogy minden $k\ge n$ indexre bek\"ovetkezik az $A_k$
esem\'eny, azaz a $B_n=\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny is
bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny bek\"ovetkezik valamely $n$
sz\'amra azt jelenti, hogy bek\"ovetkezik az $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n= \bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny.
\item{4.)} Ha egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
feldobunk egym\'as ut\'an, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz
legal\'abb 50 fejdob\'as.
\item{} {\it Egy lehets\'eges megold\'as:}\/ Az is igaz egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, hogy a
$$
B_k=\{\text{azon $j$ indexekre,
amelyekre $50k\le j<50(k+1)$ minden dob\'as fej}\}
$$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok fog bek\"ovetkezni. Ugyanis
ezek a $B_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, $P(B_k)=2^{-50}$, teh\'at
$\summ_{k=1}^\infty P(B_k)=\infty$. Ez\'ert a Borel--Cantelli
lem\-m\'a\-b\'ol k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as,
s\H{o}t az is, hogy v\'egtelen sok $B_k$ esem\'eny k\"ovetkezik be
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Val\'oj\'aban a Borel--Cantelli
lemm\'ara nincs is sz\"uks\'eg. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egyik $B_k$ esem\'eny sem k\"ovetkezik be
$\limm_{N\to\infty}\(1-2^{-50}\)^N=0$, teh\'at egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel valamelyik $B_k$ esem\'eny
bek\"ovetkezik.
\item{7.)} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, majdnem 1 vagy nagyon kicsi majdnem nulla?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}


\item{8.)} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel megy el.
\itemitem {a)} Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan 3 ember
j\"on el?
\itemitem {b)} Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
Annak, hogy legal\'abb h\'arom ember j\"on el?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ a) $\binom{50}3\(\frac12\)^{50}$, b)
$1-\(1+\binom{50}1+\binom{50}2\)\(\frac12\)^{50}$.

\item{9.)} Egy gyakorlatra v\'eletlenszer\H{u}en 24 hallgat\'o
j\"on el. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\"oz\"ott\"uk
k\'et ember, akiknek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy nincs k\'et ilyen ember.
K\'ep\-zel\-j\"uk el, hogy egym\'asut\'an megjelennek a hallgat\'ok,
valaki fel\'{\i}rja a sz\"u\-le\-t\'es\-nap\-ju\-kat, \'es minden
egyes l\'ep\'esben m\'as d\'atumot \'{\i}r fel. Az els\H{o}
hallgat\'o megjelen\'esekor biztos, hogy \'uj sz\'amot \'{\i}r fel, a
m\'asodik hallgat\'o megjelen\'esekor $\(1-\frac1{365}\)$, a harmadik
hallgat\'o megjelen\'esekor, (felt\'eve, hogy az els\H{o} k\'et
hallgat\'o eset\'eben k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokat \'{\i}rt fel
$\(1-\frac2{365}\)$, a negyedik hallgat\'o eset\'eben
$\(1-\frac3{365}\)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel \'{\i}rt
fel k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokat, \'es \'{\i}gy tov\'abb. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a 24 esetben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amokat \'{\i}rt fel $\prodd_{k=1}^{23}\(1-\frac k{365}\)$, a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig
$1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\frac k{365}\)$.
\item{} Kiv\'ancsiak lehet\"unk, hogy ez a sz\'am mekkora. Nagyon
kicsi vagy nagyon nagy, azaz majdnem~1. Meg tudjuk-e ezt hat\'arozni
viszonylag kev\'es sz\'amol\'assal? A k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'as
tanuls\'agos lehet. A vizsg\'aland\'o szorzatot fel\'{\i}rhatjuk mint
$$
1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\frac k{365}\)=1-\exp\left\{\
\sum_{k=1}^{23}\log\(1-\frac k{365}\)\right\}.
$$
Haszn\'aljuk fel a $\log(1+x)\sim x$ kis $x$ sz\'amokra val\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est. Ez azt sugallja, hogy $\log\(1-\frac
k{365}\)\sim-\frac k{365}$, \'es a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$$
1-\exp\left\{-\sum_{k=1}^{23}\frac k{365}\right\}
=1-\exp\left\{-\frac{12\cdot23}{365}\right\}=1-e^{-276/365}.
$$


\item{10.)} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{ relat\'{\i}v
prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.

\item{11.)} Legyen adva v\'egtelen sok $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny.
Fejezz\"uk ki ezen esem\'enyek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel az
\'uni\'o, metszet \'es komplementer lek\'epez\'esek
felhaszn\'al\'as\'aval azt az esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"o\-vet\-ke\-zik be.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az az
esem\'eny, hogy az $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen
sok k\"o\-vet\-ke\-zik be \'ugy is megfogalmazhat\'o, hogy
b\'armely $n$ indexre l\'etezik olyan $N\ge n$ index melyre az $A_N$
esem\'eny bek\"ovetkezik. R\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra az az
esem\'eny, hogy bek\"ovetkezett az $A_N$ esem\'eny valamely $N\ge n$
indexre fel\'{\i}rhat\'o mint a $B_n=\bigcupp_{n=N}^\infty A_N$
esem\'eny. Az, hogy a $B_n$ esem\'enyek mindegyike bek\"ovetkezik az
$C=\bigcapp_{n=1}^\infty B_n$ esem\'eny. Ez\'ert
a vizsg\'alt esem\'eny fel\'{\i}rhat\'o $C=\bigcapp_{n=1}^\infty B_n
 =\bigcapp_{n=1}^\infty \(\bigcupp_{n=N}^\infty A_N\)$ alakban
\'{\i}rhat\'o.



\bye


\item{5.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'asig
ugyanannyi dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} \'es m\'asodik
fejdob\'as k\"oz\"ott? Annak, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
fejdob\'as\'as k\"oz\"ott t\"obb dob\'as t\"ort\'enik, mint az
els\H{o} fejdob\'asig? P\'eter \'es P\'al egyid\H{o}ben egym\'as
ut\'an feldob egy-egy szab\'alyos p\'enzdarabot. Arra vagyunk
kiv\'ancsiak ki dob el\H{o}sz\"or fejet. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter dob\'asai k\"oz\"ott
el\H{o}bb jelenik meg egy fej-dob\'as mint P\'al dob\'asai k\"oz\"ott?
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egyszerre k\"ovetkezik be
P\'eter \'es P\'al els\H{o} fej-dob\'asa?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a $k$-ik \'es $2k$-ik dob\'asban t\"ort\'enik az els\H{o} \'es
m\'asodik fej-dob\'as $2^{-2k}$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig ugyanannyi dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} \'es
m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott $\summ_{k=1}^\infty
2^{-2k}=\frac14\frac1{1-\frac14}=\frac13$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'as a $k$-ik
dob\'as, a m\'asodik dob\'as pedig a $2k+1.,2k+2.,\dots$ dob\'as
valamelyike, azaz t\"obb dob\'as t\"ort\'enik az els\H{o} \'es
m\'asodik dob\'as k\"oz\"ott $2^{-k}\summ_{j=k+1}^\infty2^{-j}
=2^{-2k}\summ_{j=1}^\infty2^{-j}=2^{-2k}$. \'igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege hogy az els\H{o} \'es m\'asodik dob\'as
k\"oz\"ott t\"obb dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} dob\'asig
$\summ_{k=1}^\infty 2^{-2k}=\frac13$.
\item{} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter \'es P\'al
dob\'asai k\"oz\"ott a $k$-ik dob\'asban jelenik meg el\H{o}sz\"or
fej-dob\'as, \'es P\'eter fejet dob, P\'al pedig nem
$2{-2(k-1)+2}=2^{-2k}$, \'es annak, hogy mind a ketten fejet dobnak
szint\'en $2^{-2k}$. Ez\'ert mind az, hogy P\'eter el\H{o}bb dob
fejet, mint P\'al, illetve annak is, hogy egyszerre dobnak fejet
$\summ_{k=1}^\infty2^{-2k}=\frac13$.
\medskip
Az, hogy az el\H{o}z\H{o} feladatokban bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek heurisztikusan
\'erezhet\H{o}. \'Igy ha megv\'arjuk, m\'{\i}g az els\H{o}
fej-dob\'as bek\"ovetkezett \'es ut\'ana v\'arjuk, hogy mennyi ideig
kell v\'arni ezut\'an a m\'asodik fejdob\'asig az ugyanolyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\"orv\'enyeknek tesz  eleget, mint annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mennyi ideig kell v\'arni az
els\H{o} fej-dob\'asra. Ez\'ert annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy 5 l\'ep\'esig kell v\'arni a fej-dob\'asra \'es annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an
\"ot l\'ep\'esig kell v\'arni a m\'asodik fej-dob\'asra megegyezik.
Hasonl\'oan, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig illetve az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as
k\"oz\"ott ugyanannyi l\'ep\'es t\"ort\'ent megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy P\'eter \'es P\'al egyszerre
dob fejet. Felmer\"ulhet az ig\'eny, hogy pr\'ob\'aljunk a
heurisztikus indokl\'asb\'ol prec\'{\i}z b\'{\i}zony\'{\i}t\'ast
tenni. Ennek \'erdek\'eben az els\H{o} l\'ep\'es az, hogy a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as dob\'asok sorozat\'at le\'{\i}r\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt meg\'erts\"uk.
