\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf A november 28-i gyakorlat t\'em\'aja}

\medskip\noindent
Az el\H{o}ad\'ason szerepelt az az \'all\'{\i}t\'as,
hogy a standard norm\'alis eloszl\'as
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny\-nek nevezett
$\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, teh\'at
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1.
$$
L\'assuk be (e t\'eny felhaszn\'al\'as\'aval),
 \item{1.)} Egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz egy
$\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete 1.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az  $x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ integrandus p\'aratlan
f\"uggv\'eny. Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2$, \'es
par\-ci\-\'a\-lis integr\'al\'assal $f(x)=x$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'a\-lasz\-t\'as\-sal kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x\frac d{dx}\(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\[-x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1.
\endalign
$$
\item{2.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
\'es $\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2,
$\xi_j=4$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
eredm\'enye fej, \'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
\'{\i}r\'as. Legyen $\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al
a nyerem\'eny\"unk $\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a
$P\(3190\le \summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a f\"uggetlen $\zeta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\frac16(2+4+6)\frac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\frac16(4+16+36)\cdot\frac12
=\frac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\frac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
\item{3.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\frac34$, $E\xi_j=\frac34$, $E\xi_j^2=\frac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\frac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\frac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\frac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\frac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\frac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\frac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\item{4.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervallumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\H{o}rz\"ott pontok
\'ert\'ekeinek az \"osszege 5900 \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk
erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le
1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke az $(1,2]$
intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok \"osszege
$S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} A $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be az $\eta_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyik megegyezik az els\H{o} ledobott pont
\'ert\'ek\'evel, \'es a k\"ovetkez\H{o} $h(x)$ f\"uggv\'enyt a $[0,2]$
intervallumon: Le\-gyen $h(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $h(x)=0$, ha
$1\le x\le2$. Ekkor $\xi_1=h(\eta_1)$, \'es $\eta_1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$0\le x\le2$, $f(x)=0$, ha $x<0$, \'es $x>2$. Innen
$E\xi_1=Eh(\eta_1)=\int h(x)\,dx=\int_0^1x\frac12\,dx=\frac14$,
$E\xi_1^2=Eh(\eta_1)^2=\int_0^1 x^2\frac12\,dx=\frac16$, \'es
$\Var\xi_1=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
Ez\'ert $ES=6000$, $\Var S=2500$. Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2< \frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$


\medskip\noindent
A matematikai statisztika fontos feladata a param\'eter becsl\'es,
a hipot\'ezisvizsg\'alat \'es a konfidencia intervallum becsl\'es.
Az ilyen jelleg\H{u}, a gyakorlatban el\H{o}fordul\'o feladatok
szoros kapcsolatban vannak a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etellel. Ennek t\'argyal\'asa \'erdek\'eben
el\H{o}sz\"or \'erts\"uk meg e fogalmakat.
\medskip\noindent
{\bf Statisztikai becsl\'es fogalma.} {\it Adott
eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy valamely (ismeretlen $\lambda$
param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o}) $F(x,\lambda)$ csal\'adja. (Van amikor
nem az $F(x,\lambda)$ eloszl\'as f\"uggv\'enyt, hanem annak
$f(x,\lambda)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et adj\'ak meg. Az
egyszer\H{u}s\'eg kedv\'e\'eert egy $\lambda$ param\'eterr\H{o}l
besz\'eltem. De vannak olyan fontos probl\'em\'ak, amikor
t\"obb ismeretlen $\lambda_1,\dots,\lambda_k$ param\'etert\H{o}l
f\"ugg az eloszl\'as. Ebben az esetben is besz\'elhet\"unk egy
$\lambda=(\lambda_1,\dots,\lambda_k)$ vektor \'ert\'ek\H{u}
param\'eterr\H{o}l.) Legyen adva $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$
$F(x,\lambda)$ el\-osz\-l\'a\-s\'u f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyeket \'altal\'aban $n$
kis\'erlet eredm\'enyek\'ent kapunk meg. A becsl\'es feladata azt
jelenti, hogy adjunk ezen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
(megfigyel\'esek) seg\'{\i}ts\'eg\'evel egy j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
\'ert\'eket az
ismeretlen $\lambda$ param\'eterre, azaz de\-fi\-ni\-\'al\-junk
olyan $\hat\lambda=T(\xi_1,\dots,\xi_n)$ a $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okt\'ol f\"ugg\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ot, amely (nagy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel) k\"ozel van a becs\"ulend\H{o}
$\lambda$ param\'eterhez, b\'armi is volt a $\lambda$ \'ert\'eke.}
\medskip
Szok\'as bevezetni a k\"ovetkez\H{o} terminol\'ogi\'at.
\medskip\noindent
{\bf Minta fogalma.} {\it Legyen adva eloszl\'asok egy $F(x,\lambda)$,
$\lambda\in\Lambda$, eloszl\'ascsal\'ad. F\"uggetlen $F(x,\lambda)$
(az ismeretlen becs\"ulend\H{o} $\lambda$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi param\'etert\H{o}l f\"ugg\H{o})
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozat\'at $n$ elem\H{u} mint\'anak nevezik.}

\medskip
Valamilyen \'ertelemben a becsl\'esnek j\'onak kell lennie. Ilyen
term\'eszetes a becsl\'es j\'os\'ag\'at megk\"ovetel\H{o}
tulajdons\'agot fejez ki a k\"ovetkez\H{o} definici\'o.
\medskip\noindent
{\bf (Aszimptotikusan) torz\'{\i}tatlan becsl\'es fogalma.} {\it
Legyen adva egy $F(x,\lambda)$ eloszl\'as f\"uggv\'eny, \'es
$\xi_1,\dots,\xi_n$ $F(x,\lambda)$ eloszl\'as\'u $n$ elem\H{u} minta.
Egy $\hat\lambda=T(\xi_1,\dots,\xi_n)$ becs\-l\'est 
torz\'{\i}tatlannak nevez\"unk,
ha $\lambda=E\hat\lambda_n=E(T(\xi_1,\dots,\xi_n))$. Adjunk meg
egy olyan az $n$ pa\-ra\-m\'e\-ter\-t\H{o}l f\"ugg\H{o}
$T_n(x_1,\dots,x_n)$ f\"uggv\'enyt minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra,
amelyre
$$
\lambda=\lim_{n\to\infty}E\hat\lambda_n
=\limm_{n\to\infty}E(T_n(\xi_1,\dots,\xi_n))
$$
egy $n$ elem\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_n$ mint\'ara minden $\lambda$
param\'eterre. Az ilyen tulajdons\'ag\'u
$\hat\lambda_n=T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)$ becsl\'eseket
aszimptotikusan torz\'{\i}tatlan
becsl\'eseknek nevezz\"uk.}
\medskip

A becsl\'eselm\'elet feladata a $\lambda$ param\'eter olyan
torz\'{\i}tatlan (vagy ha az nem le\-het\-s\'e\-ges aszimptotikusan
torz\'{\i}tatlan) $T_n(\xi_1,\dots,\xi_n$ becsl\'es\'et adni, amelyre
$$
\limm_{n\to\infty}\Var T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)=0.
$$
\medskip
\item{5.)} Legyen adva egy $F(x,\lambda)$ eloszl\'ascsal\'ad, \'es egy
$n$-elem\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_n$ mint\'at\'ol f\"ugg\H{o}
$T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)$ becsl\'essorozat, $n=1,2,\dots$. Mutassuk meg,
hogy
$$
\limm_{n\to\infty}E(T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-\lambda)^2=0
$$
akkor \'es csak akkor, ha a $T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)$ becsl\'es
aszimptotikusan torz\'{\i}tatlan, \'es
$$
\limm_{n\to\infty}\Var T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)=0.
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
&E(T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-\lambda)^2\\
&\qquad=E\([T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)-E(T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)]^2\)+
[\lambda-E(T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)]^2\\
&\qquad=\Var T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)+[\lambda-E(T_n(\xi_1,\dots,\xi_n)]^2.
\endalign
$$
Ebb\H{o}l az azonoss\'agb\'ol k\"onnyen kiolvashat\'o a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\medskip
A leggyakoribb becsl\'eselm\'eleti feladat egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
vagy sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a becsl\'ese. Form\'alisan ez a feladat
csak az el\H{o}bb megfogalmazott becsl\'esi feladat egy
\'altal\'anosabb megfogalmaz\'asak\'ent t\'argyalhat\'o, mert az
\"osszes lehets\'eges eloszl\'ast tekintj\"uk, \'es az \"osszes
eloszl\'asf\"uggv\'enyt tartalmaz\'o f\"uggv\'enycsal\'ad nem
param\'eterezhet\H{o} v\'eges sok param\'eter seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
Tov\'abb\'a nem k\'{\i}v\'anjuk mag\'at az eloszl\'ast meghat\'arozni,
csak annak egy fontos param\'eter\'et. Az ilyen feladatokat nem
param\'eteres becsl\'eseknek nevezik az irodalomban. De ilyenkor is
besz\'elhet\"unk a param\'eter torz\'{\i}tatlan vagy aszimptotikusan
torz\'{\i}tatlan becsl\'es\'er\H{o}l, amit az el\H{o}z\H{o}ekhez
hasonl\'oan defini\'alunk.
\medskip
\item{6.)} Legyen adva f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\dots,xi_n$ sorozata
Mutassuk meg, hogy az $\bar\xi=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$
\'atlag a v\'arhat\'o \'ert\'ek torz\'{\i}tatlan becsl\'ese. Ha
ismerj\"uk a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu$
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, akkor az
$\bar S_n^2=\frac1n\summ_{j=1}^n(\xi_j-\mu)^2$ kifejez\'es
fel\'{\i}rhat\'o, \'es ez a sz\'or\'asn\'egyzet torz\'{\i}tatlan
becsl\'ese.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'aga
alapj\'an
$$
E\bar\xi=E\(\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k\)
=\frac1n\summ_{k=1}^nE\xi_k=E\xi_1,
$$
\'es  $E\bar S_n^2=E\(\frac1n\summ_{j=1}^n(\xi_j-\mu)^2\)
=\frac1n\summ_{j=1}^nE(\xi_j-\mu)^2=E(\xi_1-\mu)^2=\Var\xi_1$.
Ezt kellett bel\'atnunk.

\item{7.)} Legyen adva f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozata
Mutassuk meg, hogy az
$S_n^2=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2$ kifejez\'es, ahol
$\bar\xi=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$,
a sz\'or\'asn\'egyzet torz\'{\i}tatlan becsl\'ese.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk \'at az $S_n^2$ kifejez\'est
sz\'amunkra alkalmasabb alakban.
$$
\align
S_n^2&=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2
=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi^2_j+\bar\xi^2-2\bar\xi\xi_j)\\
&=\frac1{n-1}\(\summ_{j=1}^n\xi^2_j - n\bar\xi^2\)
=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n\xi^2_j -\frac1{(n-1)n}\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)^2.
\endalign
$$
Tov\'abb\'a, $E\summ_{j=1}^n\xi^2_j=nE\xi_1^2$,
$E\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)^2
=\summ_{j=1}^nE\xi_j^2+2\summ_{1\le j<k\le n}E\xi_j\xi_k
=nE\xi_1^2+n(n-1)E\xi_1\xi_2=
nE\xi_1^2+n(n-1)(E\xi_1)^2$. Innen $ES_n^2
=\frac1{n-1}nE\xi_1^2-\frac1{n-1}E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2
=\Var\xi_1$.
\medskip

A hipot\'ezisvizsg\'alat azzal a k\'erd\'essel foglalkozik, hogy azt
a hipot\'ezist (fel\-t\'e\-te\-le\-z\'est), mely szerint egy v\'eletlen
mennyis\'eg valamilyen el\H{o}\'{\i}rt eloszl\'as\'u vagy vagy
valamely el\H{o}\-\'{\i}rt eloszl\'asok csal\'adj\'aba tartozik hogyan
ellen\H{o}z\'{\i}zz\"uk bizonyos megfigyel\'esek alapj\'an. E
k\'erd\'es t\'argyal\'asakor \'erdemes bevezetni a k\"ovetkez\H{o}
fogalmakat.
\medskip\noindent
{\bf Nullhipot\'ezis \'es ellenhipot\'ezis, egyszer\H{u} \'es
\"osszetett hipot\'ezis fogalma.} {\it A hipot\'ezisvizsg\'alat
feladata a k\"ovetkez\H{o}: Adott eloszl\'asf\"uggv\'enyek egy
$\Lambda_0$ \'es $\Lambda_1$ csal\'adja. Egy v\'eletlen mennyis\'eg
ismeretlen $F(x)$ eloszl\'asa  vagy a $\Lambda_0$ vagy a $\Lambda_1$
eloszl\'asf\"ugggv\'eny csal\'adba tartozik, (m\'as lehet\H{o}s\'eg
nincsen.) Azt akarjuk eld\"onteni f\"uggetlen $F(x)$ el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  megfigyel\'ese alaj\'an,
melyik eset \'all fenn. Az a feltev\'es\"unk, hogy $F\in\Lambda_0$.
Ezt a feltev\'est null-hipot\'ezisnek, az $F\in\Lambda_1$ feltev\'est
ellenhipot\'ezisnak nevezik. Ha $\Lambda_0$ egyetlen eloszl\'asb\'ol
\'all, akkor a null-hipot\'ezist egyszer\H{u}nek, ha t\"obb
elemb\H{o}l \'all, akkor \"osszetettnek nevezik. Hasonl\'o
terminol\'ogi\'at lehet haszn\'alni a
$\Lambda_1$ ellenhipot\'ezisre is.}
\medskip\noindent
{\bf A hipot\'ezisvizsg\'alat alapfeladata, els\H{o} \'es
m\'asodfaj\'u hiba fogalma.} {\it Legyen adva a null-hipot\'ezisek
$\Lambda_0$ \'es ellenhipot\'ezisek $\Lambda_1$ csal\'adja, valamint
ismert f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozata. Defini\'aljuk az $R^n$
Euklideszi t\'er valamely alkalmasan defini\'alt $A\subset R^n$
r\'eszhalmaz\'at, \'es hozzuk a k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'est. Ha
$(\xi_1,\dots,\xi_n)\in A$ akkor a null-hipot\'ezist fogadjuk el, ha
$(\xi_1,\dots,\xi_n)\notin A$ akkor az ellenhipot\'ezist fogadjuk el.
Els\H{o}faj\'u hib\'anak a
$$
\sup_{F\in \Lambda_0}P_F((\xi_1,\dots,\xi_n)\notin A)
$$
m\'asodfaj\'u hib\'anak a
$$
\sup_{F\in \Lambda_1}P_F((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)
$$
mennyis\'eget nevezz\"uk, ahol $P_F((\xi_1,\dots,\xi_n)\in A)$ annak 
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
jel\"oli, hogy $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen, $F$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata az $A$ halmazba esik.
Az els\H{o}faj\'u hiba a null-hipot\'ezis elutas\'{\i}t\'as\'anak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et jelenti abban a leg\-kel\-le\-met\-le\-nebb
esetben, amikor azt el kellene fogadni. A m\'asodfaj\'u hiba a
null-hipot\'ezis elfogad\'as\'at jelenti a legkellemetlenebb esetben,
amikor azt el kellene utas\'{\i}tani. A hipot\'ezisvizsg\'alat
feladata a k\"ovetez\H{o}. R\"ogz\'{\i}ts\"unk egy $\e>0$ sz\'amot,
\'es keress\"unk olyan d\"ont\'esi elj\'ar\'ast, amelyben az
els\H{o}faj\'u hiba kisebb vagy egyenl\H{o}, mint $\e$, \'es
minimaliz\'aljuk eme felt\'etel mellett a m\'asodfaj\'u hib\'at.}
\medskip
R\"oviden ismertetem a konfidencia intervallum
(konfidencia=megb\'{\i}zhat\'os\'ag) prob\-l\'e\-m\'a\-j\'at is, 
ami a becsl\'eselm\'elet probl\'em\'aj\'anak term\'eszetes 
folytat\'asa.
\medskip\noindent
{\bf Konfidencia intervallum konstrukci\'oj\'anak a feladata.}
{\it Legyen adva $F(x,\lambda)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nyek 
egy csal\'adja, f\"uggetlen $F(x,\lambda_0)$ eloszl\'as\'u
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy
sorozata. Legyen adva a $\lambda_0$ param\'eter egy j\'o
$\hat\lambda_0=T(\xi_1,\dots,\xi_n)$ becsl\'ese. R\"ogz\'{\i}ts\"unk
egy kis $\e>0$ pozit\'{\i}v sz\'amot. A konfidencia intervallum
konstrukci\'oj\'a olyan a $\xi_1,\dots,\xi_n$
megfigyel\'esekt\H{o}l f\"ugg\H{o} lehet\H{o}leg kicsi
$\tilde\lambda_{0,1,n}=U_1(\xi_1,\dots,\xi_n)$ \'es
 $\tilde\lambda_{0,2,n}=U_2(\xi_1,\dots,\xi_n)$ v\'eg\-pon\-t\'u v\'eletlen
$[\tilde\lambda_{0,1,n},\tilde\lambda_{0,2,n}]$ intervallum
konstrukci\'oj\'at jelenti, amelyre
$$
P(\lambda_0\in[\tilde\lambda_{0,1,n},\tilde\lambda_{0,2,n}]\ge 1-\e.
$$
Azaz olyan intervallumot keres\"unk, amelybe az ismeretlen
param\'eter majdnem biztos, hogy beleesik, pontosabban ennek 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legal\'abb $1-\e$.}


\bye

\item{2.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negyedik momentum\'at.
Legyen $\bar\xi$ egy v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es kett\H{o}
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\bar\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et \'es negyedik momentum\'at.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E\xi^{4}&=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x^3\frac d{dx}\(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\[-x^3\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty 3x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=3\int_{-\infty}^\infty x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=3.
\endalign
$$
\item{} A $\tilde\xi=\frac{\bar\xi-1}{\sqrt2}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es $\bar\xi=\sqrt2(\tilde\xi+1)$,
ahol $\tilde\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha $\bar\xi$
norm\'alis eloszl\'as\'u 1 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ez\'ert, mint azt az el\H{o}z\H{o} \'or\'an megt\'argyaltuk $\bar\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\frac1{\sqrt2}\varphi\(\frac{x-1}{\sqrt2}\)=
\frac1{\sqrt2}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-1)^2/4}$. Ez\'ert
$$
E\bar\xi^4=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{2\sqrt\pi}e^{-(x-1)^2/4}\,dx,
$$
ahonnan $u=\frac{x-1}{\sqrt 2}$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
E\bar\xi^4&=\int_{-\infty}^\infty (\sqrt 2u+1)^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du=
4\int_{-\infty}^\infty u^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +8\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u^3
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+12\int_{-\infty}^\infty u^2
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +4\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du\\
&=12+0+12+0+1=25
\endalign
$$
Val\'oj\'aban az $E\bar\xi^4$ negyedik momentumot egyszer\H{u}bben
is kisz\'amolhattuk volna. $E\bar\xi^4=E(\sqrt2\tilde\xi+1)^4=
4E\tilde\xi^4+8\sqrt2E\tilde\xi^3+12E\tilde\xi^2+4\sqrt2\tilde\xi+1=
4\cdot3+0+12\cdot1+1=25$.



\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Egy m\'as m\'odon is
kisz\'am\'{\i}thatjuk a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ennek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy ugyan a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem disz\-kr\'et eloszl\'as\'u,
viszont annak $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye fel\'{\i}rhat\'o
$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol $F_1(x)$-nek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ez az $f(x)=\frac12$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy
$x>1$, \'es $F_2(x)$ olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amely a
null\'aba van koncentr\'alva, \'es a nulla m\'ert\'eke $\frac12$.
Pontosabban, tetsz\H{o}leges $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(A)=\int_A F(\,dx)=\int_A F_1(\,dx)+\int_A F_2(\,dx)=
\int_A \frac12\,dx+\int_A F_2(\,dx)$, ahol
$\int_A F_2(\,dx)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es
$\int_A F_2(\,dx)=0$, ha $0\notin A$. Ekkor tetsz\H{o}leges $h(x)$
f\"uggv\'enyre $Eh(\xi)=\int h(x) F(\,dx)=\int h(x) F_1(\,dx)+\int h(x)
F_2(\,dx)=\int _0^1 \frac12 h(x)\,dx+\frac12 h(0)$. Ez\'ert
$$
E\xi_1=\frac12\int_0^1 x\,dx=\frac14, \qquad
E\xi_1^2=\frac12\int_0^1 x^2\,dx=\frac16,
$$
$\Var \xi_1=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
\item{6.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon,
azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$-1\le x\le 1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<-1$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\Var\xi^4=E(\xi^4)^2-(E\xi^4)^2=E\xi^8-(E\xi^4)^2=\int_{-1}^1\frac12
x^8\,dx-\(\int \frac12
x^4\,dx\)^2=\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.} Sz\'amoljuk ki $\xi^4$ $F(x)$
eloszl\'as \'es $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
F(x)=P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<\xi<x^{1/4})=x^{1/4},\qquad \text{ha }0\le
x\le1
$$
$F(x)=0$, ha $x\le0$ \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Innen $f(x)=\frac14
x^{-3/4}$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert $E\xi =\int
xf(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{1/4}\,dx=\frac14\cdot\frac 45=\frac15$,
$E\xi^2=\int x^2f(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{5/4}\,dx=\frac14\cdot
\frac49=\frac19$, $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=
\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\item{7.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-|x|}$, ha $|x|\ge1$, \'es
$f(x)=\frac12-\frac1e$, ha $|x|\le1$. Mutassuk meg, hogy $f(x)$
val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, \'es sz\'amoljuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak bel\'at\'as\'ahoz, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
egyr\'eszt $f(x)\ge0$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, m\'asr\'eszt
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as is igaz, mivel
$\int_{-\infty}^\infty
f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{-1}e^x\,dx+\int_{-1}^1\(\frac12-\frac1e\)\,dx
+\int^{\infty}_{1}e^{-x}\,dx=\frac1e+2\(\frac12-\frac1e\)+\frac1e=1$.
\item{} Mivel $f(x)$ p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
$E\xi=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx=0$, \'es
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty
x^2 f(x)\,dx $. Ez\'ert
$$
\align
Var\xi=& \int_{-\infty}^{-1}x^2e^x\,dx
+\int_{-1}^1\(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx+\int^{\infty}_{1}x^2e^{-x}\,dx\\
&=2\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx+2\int_0^1 \(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx.
\endalign
$$
Mivel parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
2\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx&=\[-2x^2e^{-x}\]_1^\infty+\int_1^\infty
4xe^{-x}\,dx\\
&=\frac2e-\[4xe^{-x}\]_1^\infty+4\int_1^\infty e^{-x}\,dx
=\frac2e+\frac4e+\frac1e=\frac7e,
\endalign
$$
\'es
$$
2\int_0^1 \(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx
=\frac13\(1-\frac2e\)\[x^3\]_0^1=\(\frac13-\frac2{3e}\),
$$
ez\'ert $\Var\xi=\frac13+\frac{19}{3e}$.

\medskip
{\it H\'azi feladat}
\medskip

\item{} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumra 24~000 pontot egyenletes
eloszl\'assal, azaz egy ledobott pont egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $[0,3]$ intervalumba esik, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a ledobott pont egy $[a,b]\subset[0,3]$ intervallumba esik
$\frac{b-a}3$. Ha egy pont a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
fel\'{\i}rjuk a ledobott pont hely\'enek pontos \'ert\'ek\'et egy
jegy\-z\H{o}\-k\"onyv\-be, ha a pont az $(1,2]$ intervalumba esik, akkor
az 1 sz\'amot, ha pedig a $(2,3]$ intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot
\'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt
24~000 sz\'am \"osszege 27~900 \'es 28~150 k\"oz\'e esik.










