\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}


%\nopagenumbers

\centerline{\bf Tov\'abbi kieg\'esz\'{\i}t\H{o} ismeretek.}
\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezek egy eredm\'enyt arr\'ol, hogy hogyan lehet
kisz\'amolni t\"obb diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ez hasznos lehet kovariancia (\'es
korrel\'aci\'o) kisz\'amol\'as\'an\'al.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l \'es annak 
kisz\'amol\'as\'ar\'ol.} {\it Legyen adva k\'et $\xi$ \'es $\eta$ 
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amelyeknek ismerj\"uk az egy\"uttes
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Nevezetesen vegyenek fel a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok valamely
$x_1,\dots,x_m$ illetve $y_1,\dots,y_n$ \'ert\'ekeket, \'es legyen
$P(\xi=x_j,\eta=y_k)=p_{j,k}$, $1\le j\le m$, $1\le k\le n$,
$\summ_{j=1}^m\summ_{k=1}^n p_{j,k}=1$. Legyen adva valamely k\'et
v\'altoz\'os $f(x,y)$ f\"uggv\'eny, \'es tekints\"uk az $f(\xi,\eta)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Az
$$
Ef(\xi,\eta)=\summ_{j=1}^m\summ_{k=1}^n f(x_j,y_k)  P(\xi=x_j,\eta=y_k)
$$
azonoss\'ag \'erv\'enyes. Speci\'alisan, ha a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal felvett
$x_1$,\dots, $x_m$ \'es $y_1,\dots,y_n$ \'ert\'ekek val\'os sz\'amok,
akkor
$$
E\xi\eta=\summ_{j=1}^m\summ_{k=1}^n x_jy_k  P(\xi=x_j,\eta=y_k).
$$
}
\medskip
(Hasonl\'o k\'eplet \'erv\'enyes t\"obb val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o f\"uggv\'eny\'enek a v\'arhat\'o \'er\-t\'e\-k\'e\-r\H{o}l 
is, de ezt nem fogalmazom meg, mert nem lesz r\'a sz\"uks\'eg\"unk.)

\medskip\noindent
Fontos megtanulni, hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani \'altal\'anos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ilyen jelleg\H{u} feladatokat
fogunk t\'argyalni. De ennek \'er\-de\-k\'e\-ben el\H{o}sz\"or meg
kell \'erten\"unk n\'eh\'any fontos fogalmat illetve n\'eh\'any
fontos eredm\'eny jelent\'es\'et. Ez\'ert feleleven\'{\i}tek
bizonyos az el\H{o}ad\'ason m\'ar t\'argyalt fontos ismeretet. A
v\'arhat\'o \'ert\'ek t\'argyal\'asa el\H{o}tt meg kell ismern\"unk
az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalm\'at. Meg kell \'erten\"unk azt,
hogy hogyan tudjuk kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket az
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel. K\'es\H{o}bb
r\'at\'er\"unk a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
fogalm\'anak ismertet\'es\'ere is, \'es arra, hogy hogyan tudjuk
kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'egf\"ugg\-v\'eny ismeret\'eben.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
 $\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.
\medskip
Megford\'{\i}tva, ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}bb megfogalmazott a)---d) tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es.} \/ Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)=P(\xi<x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye 
meg\-ha\-t\'a\-roz\-za
sok egy\'eb esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is.
\'Igy p\'eld\'aul $P(a\le \xi<b)=P(\xi<b)-P(\xi<a)=F(b)-F(a)$,
$P(a\le \xi\le b)=\limm_{\e\to0}P(a\le \xi\le b+\e)=
\limm_{\e\to0}F(b+\e)-F(a)=F(b+0)-F(a)$. Be lehet l\'atni, hogy a
sz\'amegyenes minden sz\'ep (azaz Borel m\'erhet\H{o}) $B$
r\'eszhalmaz\'ara a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enyemeghat\'arozza a $P(\xi\in B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget. Ezt a t\'enyt \'ugy is
interpret\'alhatjuk, hogy egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye teljes inform\'aci\'ot ad a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o viselked\'es\'er\H{o}l.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}
\medskip\noindent
A Lebesgue integr\'al fogalm\'anak pontos ismerete nem sz\"uks\'eges
a tov\'abbiak meg\-\'er\-t\'e\-s\'e\-hez \'es a t\'argyalt feladatok
megold\'as\'ahoz. \'Erdemes megjegyezni, hogy ez egy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett f\"uggv\'enynek
azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n defini\'alt
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja.
Ez az integr\'alfogalom hasonl\'o a tanult Lebesgue integr\'al
fogalm\'ahoz. El\H{o}sz\"or egyszer\H{u} (v\'eges sok \'ert\'eket
felvev\H{o}) f\"uggv\'enyek integr\'al\'at defini\'aljuk
term\'eszetes m\'odon, majd term\'eszetes hat\'ar\'atmenet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt az integr\'alt \'ertelmezz\"uk
\'altal\'anos f\"uggv\'enyek eset\'en is. A defici\'o fogalmilag
nem neh\'ez, de a r\'eszletes elm\'elet kidolgoz\'asa m\'ely
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek ismeret\'et ig\'enyli. Erre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, viszont nagyon fontos tudni, hogy
noha a v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es a rajta defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'altuk, ahhoz, hogy kisz\'amoljuk
elegend\H{o} a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-nak az ismerete. Ezt az al\'abbi
jelent\H{o}s\'ege miatt {\it fontos t\'etelnek}\/
nevezett eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel tehetj\"uk meg.

\medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t, igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(amelyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$ k\'et
val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ kifejez\'esnek is l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
} \medskip\noindent
\medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et, vagy
azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.)} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$
\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az
$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbsz\"or fogunk besz\'elni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l is. Ez azt jelenti, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk. Sok \'erdekes \'es
fontos  eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, de nem mindegyiknek. P\'eld\'aul egy
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nincs s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
$f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez teljes\'{\i}ti minden
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)\,du.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, amely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden pontban, ahol az
$F(\cdot)$ differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$
minden $a\le x\le b$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel
teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.

Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$
v\'alaszt\'assal is.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Newton--Leibniz formula jelent\H{o}s\'ege
sz\'amunkra az, hogy eszerint az eredm\'eny szerint a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny (felt\'eve, hogy az l\'etezik)
egyenl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval.
Megford\'{\i}tva, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismeret\'eben meg
tudjuk hat\'arozni az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt. Annak
\'ert\'eke az $x$ pontban megegyezik a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $[-\infty,x]$ intervallumban.
\medskip
Sz\'amunkra a Newton--Leibniz formul\'anak az al\'abbi
k\"ovetkezm\'enye lesz fontos.
\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula k\"ovetkezm\'enye.}  {\it Legyen $\xi$
olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek nemcsak $F(x)$
eloszl\'as hanem $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye is l\'etezik.
Ha ismerj\"uk az $F(x)$ eloszl\'as $f(x)$ \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny egyik\'et, akkor a m\'asik a
k\"ovetkez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel sz\'amolhat\'o ki.
$$
f(x)=\frac{dF(x)}{dx}, \qquad F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du,
\qquad\qquad -\infty<x<\infty.
$$
Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye minden pontban folytonos, \'es esetleg
v\'eges sok pont kiv\'etel\'evel deriv\'alhat\'o is, akkor a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye is.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du.
$$
}\medskip

\medskip\noindent
{\bf N\'eh\'any fontos folytonos eloszl\'as.} \medskip\noindent
\item{a.)} {\it Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}
\medskip
Bevezetj\"uk a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at. K\'es\H{o}bbi ered\-m\'e\-nyek\-b\H{o}l fog
kider\"ulni, hogy ez az eloszl\'as mi\'ert j\'atszik fontos
szerepet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban.
\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$,
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip\noindent
{\bf Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja:} {\it Legyen
$\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Ekkor az
$\eta=\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, (illetve egy vele azonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o) norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m$ \'es $\sigma^2$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel. (K\'es\H{o}bb meg fogjuk t\'argyalni, hogy
$m$ az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es $\sigma^2$ a sz\'or\'asn\'egyzete.)}

\medskip\noindent
{\bf Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenletes
eloszl\'as\'u egy $[a,b]$ intervallumban, $-\infty<a<b<\infty$,
ha s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\frac1{b-a}$, ha $a\le
u\le b$, \'es $f(u)=0$ egy\'ebk\'ent.} 


\medskip\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Ezzel ekvivalens
jellemz\'es: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$
param\'eterrel, ha l\'etezik $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$,
ha $u\ge 0$, $f(u)=0$, ha $u\le0$ alak\'u.}

 \medskip
\medskip\noindent
{\bf T\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Legyen adva $k$ val\'os \'ert\'ek\H{u} $\xi_1,\dots,\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Ezek (egy\"uttes)
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_k<x_k),
$$
$k$ v\'altoz\'os f\"uggv\'eny, ahol $-\infty<x_j<\infty$ minden
$1\le j\le k$ indexre.}
\medskip
Hasonl\'oan az egyv\'altoz\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan
lehet jellemezni a t\"obb\-di\-men\-zi\-\'os eloszl\'asf\"uggv\'enyeket
is. Err\H{o}l sz\'ol a k\"ovetkez\H{o} t\'etel.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}\/ {\it Egy $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip
Hasonl\'oan az egydimenzi\'os eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'ehez defini\'alhatjuk a
 t\"obb\-di\-men\-zi\-\'os eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et
is. Az egyv\'altoz\'os esethez hasonl\'oan ennek is megadhatjuk a
jellemz\'es\'et. Err\H{o}l sz\'ol az al\'abbi definici\'o \'es t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek definici\'oja.}
{\it Azt mondjuk, hogy egy $F(x_1,\dots,x_k)$ t\"obbv\'altoz\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik $f(u_1,\dots,u_k)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye, ha teljes\"ul az
$$
F(x_1,\dots,x_k)=\int_{-\infty}^{x_1}\cdots \int_{-\infty}^{x_k}
f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots du_k
$$
azonoss\'ag minden
$-\infty<x_j<\infty$, $1\le j\le k$ sz\'amra.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $k$-v\'altoz\'os $f(u_1,\dots,u_k)$
f\"uggv\'eny akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
egy alkalmas $k$-dimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha
$f(u_1,\dots,u_k)\ge0$ majdnem minden $(u_1,\dots,u_k)$ pontban, \'es
$$
\int_{-\infty}^\infty\cdots\int_{-\infty}^\infty f(u_1,\dots,u_k)
\,du_1 \dots\,du_k=1.
$$
}
A t\"obbdimenzi\'os eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalm\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'alhatjuk
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'eg\'et az \'altal\'anos esetben is. Kimondok egy a
f\"uggetlen va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok fontos
tulajdons\'ag\'at kimond\'o t\'etelt. Hangs\'ulyozom, hogy kor\'abban
csak diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'er\H{o}l besz\'elt\"unk. Hasznos
meg\'erteni a k\'et fogalom kapcsolat\'at is. Ebben is seg\'{\i}t az
al\'abb ismertetett t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
a definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\,\dots,\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_k$ a
sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
$$}\medskip

Ugyancsak fontos a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny, amely f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l sz\'ol. Kor\'abban ennek az eredm\'enynek
csak a f\"uggetlen, diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok szorzat\'ar\'ol sz\'ol\'o
speci\'alis eset\'et t\'argyaltuk. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyek mindegyik\'enek
l\'e\-te\-zik v\'arhat\'o \'ert\'eke, azaz $E|\xi_j|<\infty$. Ekkor
a $\xi_1\cdots\xi_k$ szorzatnak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke,
\'es
$$
E\xi_1\cdots \xi_k=E\xi_1\cdots E\xi_k.
$$}
\medskip
Tov\'abbi hasznos eredm\'enyek:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}   {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $h_1(x),\dots,h_k(x)$
tetsz\H{o}leges (m\'er\-he\-t\H{o}) f\"uggv\'enyek, akkor 
$\eta_1=h_1(\xi_1)$,\dots, $\eta_k=h_k(\xi_k)$ szint\'en f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}   {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen 
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $c_1,\dots,c_k$
tetsz\H{o}leges val\'os sz\'amok, akkor 
$$
\Var(c_1\xi_1+\cdots+c_k\xi_k)=c_1^2\Var\xi_1+\cdots+c_k^2\Var\xi_k.
$$
}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
$E\xi_j^2<\infty$ felt\'etel. Ekkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \Cov(\xi_j,\xi_l)
=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+2\summ_{j=1}^{k-1}\summ_{l=j+1}^k
\Cov(\xi_j,\xi_l).
$$
Speci\'alisan, ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, akkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j.
$$
\medskip}
Az al\'abbi eredm\'eny szint\'en fontos a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban, de id\H{o}hi\'any
miatt val\'osz\'{\i}n\H{u}leg nem tudjuk t\'argyalni, \'es lehet,
hogy ugyancsak id\H{o}hi\'any miatt az el\H{o}ad\'ason sem ker\"ul
sor ennek t\'argyal\'as\'ara. A biztons\'ag kedv\'e\'ert m\'egis
k\"ozl\"om. \medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.}
\medskip




\bye

\medskip
Fontos eredm\'eny volt az, amely megadta,  hogy egy egyv\'altoz\'os
f\"uggv\'eny el\-osz\-l\'as vagy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely f\"uggv\'eny\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. L\'etezik ennek az \'all\'{\i}t\'asnak
a t\"obb\-v\'al\-to\-z\'os megfelel\H{o}je, \'es
az szint\'en fontos szerepet j\'atszik.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $(\xi_1,\dots,\xi_k)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$F(x_1,\dots,x_k)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek l\'etezik
$f(u_1,\dots,u_k)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez
teljes\'{\i}ti minden $g(\cdot)$ $k$-v\'altoz\'os (m\'erhet\H{o})
f\"ugg\-v\'eny\-re a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\align
Eg(\xi_1,\dots,\xi_k)&=\int g(u_1,\dots,u_k)
\mu_F(\,du_1,\dots,\,du_k)\\
&=\int_{-\infty}^\infty\cdots \int_{-\infty}^\infty
g(u_1,\dots,u_k)f(u_1,\dots,u_k)\,du_1\dots\,du_k,
\endalign
$$
ahol $\mu_F$ jel\"oli az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'eny \'altal
meghat\'arozott Stieltjes m\'ert\'eket.  Ez az azo\-nos\-s\'ag
\'ugy \'ertend\H{o}, hogy az annak k\'et oldal\'an szerepl\H{o}
kifejez\'es egyszerre l\'etezik vagy nem l\'etezik, ha mind a
k\'et kifejez\'est mint Lebesgue integr\'alt \'ertelmezz\"uk. Ha
a jobb\-olda\-lon szerepl\H{o} integr\'al l\'etezik mint
(k\"oz\"ons\'eges) Riemann integr\'al, akkor ez az integr\'al
tekinthet\H{o} \'ugy is mint (egy a Riemann integr\'al
\'ert\'ek\'evel megegyez\H{o}) Lebesgue integr\'al. Teh\'at az
azonoss\'ag ebben a fontos speci\'alis esetben is \'erv\'enyes.}


