\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf A december 5-i gyakorlat t\'em\'aja}


Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} statisztikai feladatot. Adott egy
dob\'okocka, \'es el akarjuk d\"onteni, hogy az szab\'alyos-e.
Ennek \'erdek\'eben feldobjuk a kock\'at $n$ alkalommal, \'es
megjegyezz\"uk, h\'any alkalommal volt a dob\'as eredm\'enye $j$,
$1\le j\le 6$. Jel\"olje $\nu_n(j)$, $1\le j\le 6$, ezeket a
(v\'eletlen) sz\'amokat. Ha a $\nu_n(j)\sim\dfrac n6$ rel\'aci\'o
teljes\"ul minden $1\le j\le 6$ sz\'amra akkor a kock\'at
szab\'alyosnak tekinthetj\"uk, ellenkez\H{o} esetben pedig
szab\'alytalannak. Meg kell pontosabban fogalmazni, mit jelentenek
a fenti aszimptotikus rel\'aci\'ok. Egy j\'o elj\'ar\'ast akarunk
kidolgozni annak m\'er\'es\'ere, hogy a $\nu_n(j)-\frac n6$,
$1\le j\le6$, sz\'amhatossal jellemzett ingadoz\'as mikor
tekinthet\H{o} t\'uls\'agosan nagynak \'es mikor tekinthet\H{o}
viszonylag kicsinek. Az elj\'ar\'as kidolgoz\'as\'aba beletartozik
annak a k\'erd\'esnek a tiszt\'az\'asa is, hogy hogyan \'erdemes
m\'erni a $\nu_n(j)-\frac n6$, $1\le j\le6$, sz\'amhatossal
jellemzett ingadoz\'as nagys\'ag\'at.

E feladat egy egyszer\H{u}bb v\'altozat\'aval m\'ar tal\'alkoztunk,
amikor azt a feltev\'es pr\'ob\'altuk ellen\H{o}rizni sok kis\'erlet
eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy egy p\'enzdarab
szab\'alyos-e. Meg\'allap\'{\i}tottuk, hogy ezt az ellen\H{o}rz\'est
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel
lehet j\'ol v\'egrehajtani. Jelen esetben a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel egy t\"obb-di\-men\-zi\'os
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet j\'o
m\'odszert kidolgozni. \'Erdemes a dob\'okocka
szab\'alyoss\'ag\'anak ellen\H{o}rz\'ese helyett e probl\'ema
egy term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at vizs\-g\'al\-ni,
\'es  annak kapcs\'an t\'argyalni a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelt, illetve annak alkalmaz\'as\'at.

Az \'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-tott probl\'ema a k\"ovetkez\H{o}:
Legyen adva $k$ urna, \'es ellen\H{o}rizni akarjuk azt a
felt\'etelez\'est, mely szerint ha egy goly\'ot v\'eletlen\"ul
bedobunk ezen ur\-n\'ak valamelyik\'ebe, akkor az $p_j$, $p_j>0$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba, $\summ_{j=1}^k
p_j=1$. Ennek a fel\-t\'e\-te\-le\-z\'es\-nek az ellen\H{o}rz\'ese
\'erdek\'eben dobjunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $n$ goly\'ot
ezekbe az urn\'akba, \'es jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba
es\H{o} goly\'ok sz\'am\'at. A $\nu_n=(\nu_n(1),\dots,\nu_n(k))$
v\'eletlen vektor viselked\'es\'enek meg\'ert\'ese \'erdek\'eben
--- mely vektor megadja, hogy az egyes urn\'akba h\'any goly\'o esett 
--- \'erdemes bevezetni az al\'abbi $X_j=(X_j(1),\dots,X_j(k))$,
$1\le j\le n$, v\'eletlen vektorokat. Mindegyik $X_j$ vektornak
$k-1$ koordin\'at\'aja 0-val \'es 1 (v\'eletlen\"ul v\'alasztott)
koordin\'at\'aja 1-gyel egyenl\H{o}. Ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enyek\'ent az $l$-ik urn\'aba esett a $j$-ik goly\'o, akkor
legyen az $l$-ik koordin\'ata \'ert\'eke 1, azaz $X_j(l)=1$ (\'es a 
t\"obbi koordin\'ata \'ert\'eke 0). Ekkor $\nu_n=\summ_{j=1}^n X_j$, 
\'es ha bevezetj\"uk az
$$
\bar X_j=(X_j(1)-EX_j(1),\dots,X_j(k)-EX_j(k))=
(X_j(1)-p_1,\dots,X_j(k)-p_k)
$$
valamint
$$
\bar\nu_n=(\nu_n(1)-E\nu_n(1),\dots,\nu_n(k)-E\nu_n(k))
=(\nu_n(1)-np_1,\dots,\nu_n(k)-np_k)
$$
normaliz\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, akkor
fel\'{\i}rhatjuk a
$\summ_{j=1}^n\bar X_j=\bar\nu_n$ azonoss\'agot is. Tekints\"uk
f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u vektor \'ert\'ek\H{u}
$X_j=(X_j(1),\dots,X_j(k))$, $1\le j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozat\'at
(az $X_1,\dots,X_n$ v\'eletlen vektorok f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol, de az egyes
$X_j$ vektorok $X_j(1)$,\dots, $X_j(k))$ koordin\'at\'ai
f\"ugghetnek egy\-m\'as\-t\'ol). A t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel azt \'all\'{\i}tja, hogy a v\'eletlen
$S_n=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}\bar X_j$ \"osszegek eloszl\'asban
konverg\'alnak egy al\-kal\-mas eloszl\'ashoz a $k$-dimenzi\'os
t\'eren, ha $n\to\infty$, \'es megadja explicit m\'odon ezt az
eloszl\'ast. Jelen t\'argyal\'asban nem adom meg a
hat\'areloszl\'as pontos le\'{\i}r\'as\'at, mert arra nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, hanem megel\'egszem
az eredm\'eny azon k\"ovetkezm\'eny\'enek a le\'{\i}r\'as\'aval,
amelyet a tov\'abbiakban haszn\'alni fogunk. (Az ilyen
hat\'areloszl\'ast\'etelben megjelen\H{o} hat\'areloszl\'asokat
nevezik t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'asnak.) Ve\-gy\"uk
\'esz\-re, hogy a t\"obb-dimenzi\'os centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel le\'{\i}rja $\frac1{\sqrt n}\bar\nu_n$
eloszl\'as\'at nagy $n$ sz\'a\-mok\-ra j\'o k\"ozel\'{\i}t\'essel.
Ez van az al\'abb ismertetend\H{o} $\chi$-n\'egyzet (ejtsd:
khi-n\'egyzet) pr\'oba, illetve az azt megalapoz\'o
hat\'areloszl\'ast\'etel h\'atter\'eben. Ennek megfogalmaz\'asa
\'er\-de\-k\'e\-ben vezess\"uk be el\H{o}sz\"or a $\chi$-n\'egyzet
eloszl\'as fogalm\'at.
\medskip\noindent
{\bf A $k$ szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as
definici\'oja.} {\it Legyenek $X_1,\dots,X_k$ f\"ug\-get\-len
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. Ekkor a $Z_k=X_1^2+X_2^2+\cdots+X_k^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, illetve minden a
$Z_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oval megegyez\H{o}
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa
a $k$ szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva $k$ urna, \'es dobjunk be ezek
valamelyik\'ebe v\'eletlen\"ul $n$ goly\'ot egy\-m\'as\-t\'ol
f\"uggetlen\"ul \'ugy, hogy mindegyik goly\'o $p_j$, $p_j>0$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a $j$-ik urn\'aba, $\summ_{j=1}^k
p_j=1$. Jel\"olje $\nu_n(j)$ a $j$-ik urn\'aba es\H{o} goly\'ok
sz\'am\'at, $1\le j\le k$. A
$Z_n=\summ_{j=1}^k\dfrac{(\nu_n(j)-np_j)^2}{np_j}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak l\'etezik
hat\'areloszl\'asa $n\to\infty$ eset\'en, \'es ez a $k-1$
szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as, ahol $k$ az urn\'ak
sz\'ama.}
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} feladat, amelyet a mobiDI\'AK k\"onyvt\'ar
Feladatok a hipot\'ezisvizsg\'alat t\'emak\"or\'eb\H{o}l
jegyzetb\H{o}l vettem (2.19 P\'elda) p\'eld\'at mutat a fenti
t\'etel alkalmaz\'as\'ara.
\medskip
\item{1.)} Egy \'ujonnan kifejlesztett m\"uzli \"otf\'ele magot
(A, B, C, D \'es E) tartalmaz, melyek sz\'azal\'ekos megoszl\'asa a
term\'eken lev\H{o} t\'aj\'ekoztat\'o szerint $35\%$, $25\%$, $20\%$,
$10\%$ illetve $10\%$. Egy v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott
zacsk\'oban az al\'abbi mennyis\'egi megoszl\'ast tal\'altuk:
\item{} A tipus\'u mag 184, \ B tipus\'u mag 145, \ C tipus\'u mag 100,
\ D tipus\'u mag 68, \hfill\break E tipus\'u mag 63.
\item{} D\"onts\"unk 90\%-os szinten arr\'ol, hogy a minta
\"osszet\'etele megfelel-e a csomagol\'ason felt\"untetetteknek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jelen feladatban  a $H_0$ null-hipot\'ezis
azt jelenti, hogy az \"osszet\'etel megfelel a csomagol\'ason
felt\"untetetteknek a $H_1$ ellenhipot\'ezis pedig azt, hogy nem felel 
meg. Olyan d\"ont\'esi elj\'ar\'ast keres\"unk, amely\-nek els\H{o}faj\'u
hib\'aja $\alpha=0.1$. A kis\'erletben egy $n=560=184+145+100+68+63$
elem\H{u} mint\'at vett\"unk, amely\-nek a null-hipot\'ezis szerint
minden eleme 0.35 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az A oszt\'alyba,
0.25 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a B oszt\'alyba,
0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a C oszt\'alyba,
0.1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a D oszt\'alyba \'es
0.1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az E oszt\'alyba esik. A megfigyelt
\'ert\'ekek $k_1=184$, $k_2=145$, $k_3=100$, $k_4=68$ \'es $k_5=63$.
A null-hipot\'ezis teljes\"ul\'ese eset\'en a
$\chi^2=\summ_{l=1}^5\frac{(k_l-np_l)^2}{np_l}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa a 4 szabads\'agfok\'u
$\chi$-n\'egyzet eloszl\'as, amely a 0.9 \'ert\'eket a 7.779 pontban
veszi fel. Mivel a jelen m\'ert \'ert\'ekek eset\'en a statisztika
\'ert\'eke 5.6454, ez\'ert elfogadjuk a null-hipot\'ezist, azaz azt,
hogy a term\'eken megadott t\'aj\'ekoztat\'o helyes.

\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny. (A fenti k\'epletben defini\'alt $f*g$ kifejez\'est az
$f$ \'es $g$ f\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'anak nevezik az irodalomban.)}
\medskip

\item{2.)} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda$ 
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} \'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_m$
f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$,
a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor
$f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$f_m(x)=\dfrac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes
indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$
f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda
x}\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$.
\item{3.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
mind a kett\H{o} $f(x)=\frac12e^{-|x|}$, $-\infty<x<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy
$f(x)$ val\'oban s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $f(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban
nem negat\'{\i}v. Annak ellen\H{o}rz\'es\'ehez, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatnunk,
hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Viszont
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\frac12\int_{-\infty}^0 e^{x}\,dx
+\frac12\int_0^{\infty}
e^{-x}\,dx=\frac12\[e^x\]_{-\infty}^0+\frac12\[-e^{-x}\]_0^\infty=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a $g(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(y)f(x-y)\,dy$ formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $x\ge0$. Az
integr\'alt sz\'am\'{\i}tsuk ki \'ugy, hogy n\'ezz\"uk mind
a n\'egy (elvileg) lehets\'eges esetet, amikor 
\itemitem{a)} $y\ge0$ \'es $x-y\ge0$, 
\itemitem{b)}  $y\ge0$ \'es $x-y<0$, 
\itemitem{c)} $y<0$, $x-y\ge0$, 
\itemitem{d)} $y<0$, $x-y<0$. 
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki mind a n\'egy esetben azt, hogy milyen
tartom\'anyban veszi fel \'ert\'ek\'et az $y$ v\'altoz\'o, \'es mi az
integrandus illetve az integr\'al \'ert\'eke ebben a
tartom\'anyban. 
\itemitem{} Az a) esetben $0\le y\le x$, az integrandus
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{-y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac{xe^{-x}}4$. 
\itemitem{} A b) esetben  $y>x$
\'es $f(y)f(x-y)= \frac{e^{-y}e^{x-y}}4=\frac{e^{x-2y}}4$ az integr\'al
pedig \hfill\break
$\frac14\int_x^\infty e^{x-2y}\,dy=\frac{e^{-x}}8$.
\itemitem{} A c) esetben
$y<0$ \'es $f(y)f(x-y)=\frac14e^{y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{2y-x}}4$, az
integr\'al pedig $\frac14\int_{-\infty}^0 e^{2y-x}\,dy=\frac{e^{-x}}8$.
\itemitem{} A d) eset nem lehets\'eges, mert ekkor egyr\'eszt az $y<0$ 
m\'asr\'eszt az $y>x\ge0$ felt\'eteleknek kellene teljes\"ulni\"uk. 
\item{} Innen
azt kapjuk, hogy $g(x)=\frac{(x+1)e^{-x}}4$, ha $x>0$. Mivel $f$
szimmetrikus f\"uggv\'eny, ez\'ert mint nem neh\'ez megmutatni, $f(x)$
is az. Teh\'at $g(-x)=g(x)$, \'es $g(x)=\frac{(|x|+1)e^{-|x|}}4$.
\item{4.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mutassuk meg, hogy $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $h(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(x+y)g(y)\,dy$ f\"uggv\'eny. \'Erts\"uk meg e formula szeml\'eletes
tartalm\'at is.
\item{} {\it Megold\'as}\/ Legyen $\bar\eta=-\eta$. Ekkor
$\bar\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(-x)$, $\xi$ \'es
$\bar\eta$ f\"uggetlenek \'es $\xi-\eta=\xi+\bar\eta$. Innen $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(x-y)g(-y)\,dy$, \'es elv\'egezve az $\bar y=-y$ helyettes\'{\i}t\'est
az integr\'alban megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.
\item{} Szeml\'eletes (nem prec\'{\i}z) magyar\'azat: Annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy  a $\xi-\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o az $[x,x+dx]$
intervallumba esik $h(x)\,dx$. Ez \'ugy k\"ovetkezhet be, hogy az a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely az $[x+y,x+y+dx]$ 
intervallumbeli \'ert\'eket vesz fel, az $\eta$ pedig az $[y,y+dy]$ 
intervallumba esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege r\"ogz\'{\i}tett
$y$ sz\'amra $f(x+y)g(y)\,dx\,dy$. Ezt a kifejez\'est az \"osszes
lehets\'eges $y$ \'ert\'ekre \"osszegezni, illetve mivel $y$ kontinum
sok \'ert\'eket vehet fel, integr\'alni kell. Ez azt jelenti, hogy
$h(x)\,dx=\(\int f(x+y)g(y)\,dy\)\,dx$. Hasonl\'o m\'odon
megmagyar\'azhat\'o a konvoluci\'o formula is.)
\medskip
Azon k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely lehet\H{o}v\'e teszi, hogy 
kisz\'amoljuk k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et be lehet l\'atni a
k\"ovetkez\H{o} lemm\'at.
\medskip \noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyen $\eta_1$ \'es $\eta_2$ k\'et f\"uggetlen 
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m_1$ 
illetve $m_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel, $\sigma_1^2$ \'es $\sigma_2^2$
sz\'or\'asn\'egyzettel. Az $\eta_1+\eta_2$ \"osszeg $m_1+m_2$ 
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'u \'es
$\sigma_1^2+\sigma^2_2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.}
\medskip
A lemma igazol\'as\'anak \'erdek\'eben \'erdemes megjegyezni, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty e^{-(x-A)^2/B}\,dx=\sqrt{B\pi}.
$$
Ezt l\'athatjuk p\'eld\'aul az $y=\sqrt 2\dfrac{x-A}{\sqrt B}$
helyettes\'{\i}t\'essel, \'es abb\'ol a t\'enyb\H{o}l, hogy a
$\varphi(y)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-y^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ez az \'eszrev\'etel az\'ert hasznos,
mert ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy amennyiben olyan integr\'alt kell
kisz\'amolni, amelyben az in\-teg\-ran\-dus exponens\'eben egy kvadratikus
alak szerepel, akkor az inegrandusban szerepl\H{o} kifejez\'est
teljes n\'egyzett\'e alak\'{\i}tva ki tudjuk sz\'amolni az
integr\'alt. Ez a gondolata a lemma igazol\'as\'anak is.
\medskip\noindent
{\it A lemma igazol\'asa:}\/ Az $\eta_1+\eta_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
\align
f(x)&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}e^{-(u-m_1)^2/2\sigma_1^2}
e^{-(x-u-m_2)^2/2\sigma_2^2}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-u^2
\(\frac1{2\sigma_1^2}+\frac1{2\sigma_2^2}\)+u\(\frac{m_1}{\sigma_1^2}
+\frac{x-m_2}{\sigma_2^2}\)\\
&\hskip5truecm -\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\biggl\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}\(u-\frac{m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2}
{\sigma_1^2+\sigma_2^2}\)^2 \\
&\hskip4,5truecm +\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\biggr\}\,du \\
&=\int_{-\infty}^\infty
\dfrac1{2\pi\sigma_1\sigma_2}\exp\left\{-\frac{\sigma_1^2+\sigma_2^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2}u^2 \right\}\,du\\
&\hskip4,5truecm \exp\left\{\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\} \\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
\frac{(m_1\sigma_2^2+(x-m_2)\sigma_1^2)^2}
{2\sigma_1^2\sigma_2^2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}
-\frac{m_1^2}{2\sigma_1^2}
-\frac{(x-m_2)^2} {2\sigma_2^2}\right\}\\
&=\frac1{\sqrt{2\pi(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}}\exp\left\{
-\frac{(x-m_1-m_2)^2}{2(\sigma_1^2+\sigma_2^2)}\right\}.
\endalign
$$
\medskip

\item{5.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon,
azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$-1\le x\le 1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<-1$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ 
$E\xi^4=\int_{-1}^2\frac12x^4\,dx=\frac1{10}\[x^5\]_{-1}^1=\frac15$.
$\Var\xi^4=E(\xi^4)^2-(E\xi^4)^2=E\xi^8-(E\xi^4)^2=\int_{-1}^1\frac12
x^8\,dx-\(\int \frac12
x^4\,dx\)^2=\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.} Sz\'amoljuk ki $\xi^4$ $F(x)$
eloszl\'as \'es $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
F(x)=P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<\xi<x^{1/4})=x^{1/4},\qquad \text{ha }0\le
x\le1,
$$
$F(x)=0$, ha $x\le0$ \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Innen $f(x)=\frac14
x^{-3/4}$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert $E\xi =\int
xf(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{1/4}\,dx=\frac14\cdot\frac 45=\frac15$,
$E\xi^2=\int x^2f(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{5/4}\,dx=\frac14\cdot
\frac49=\frac19$, $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=
\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.



\bye

\item{2.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negyedik momentum\'at.
Legyen $\bar\xi$ egy v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es kett\H{o}
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\bar\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et \'es negyedik momentum\'at.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E\xi^{4}&=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x^3\frac d{dx}\(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\[-x^3\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty 3x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=3\int_{-\infty}^\infty x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=3.
\endalign
$$
\item{} A $\tilde\xi=\frac{\bar\xi-1}{\sqrt2}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es $\bar\xi=\sqrt2(\tilde\xi+1)$,
ahol $\tilde\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha $\bar\xi$
norm\'alis eloszl\'as\'u 1 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ez\'ert, mint azt az el\H{o}z\H{o} \'or\'an megt\'argyaltuk $\bar\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\frac1{\sqrt2}\varphi\(\frac{x-1}{\sqrt2}\)=
\frac1{\sqrt2}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-1)^2/4}$. Ez\'ert
$$
E\bar\xi^4=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{2\sqrt\pi}e^{-(x-1)^2/4}\,dx,
$$
ahonnan $u=\frac{x-1}{\sqrt 2}$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
E\bar\xi^4&=\int_{-\infty}^\infty (\sqrt 2u+1)^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du=
4\int_{-\infty}^\infty u^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +8\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u^3
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+12\int_{-\infty}^\infty u^2
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +4\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du\\
&=12+0+12+0+1=25
\endalign
$$
Val\'oj\'aban az $E\bar\xi^4$ negyedik momentumot egyszer\H{u}bben
is kisz\'amolhattuk volna. $E\bar\xi^4=E(\sqrt2\tilde\xi+1)^4=
4E\tilde\xi^4+8\sqrt2E\tilde\xi^3+12E\tilde\xi^2+4\sqrt2\tilde\xi+1=
4\cdot3+0+12\cdot1+1=25$.



\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Egy m\'as m\'odon is
kisz\'am\'{\i}thatjuk a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ennek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy ugyan a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem disz\-kr\'et eloszl\'as\'u,
viszont annak $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye fel\'{\i}rhat\'o
$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol $F_1(x)$-nek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ez az $f(x)=\frac12$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy
$x>1$, \'es $F_2(x)$ olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amely a
null\'aba van koncentr\'alva, \'es a nulla m\'ert\'eke $\frac12$.
Pontosabban, tetsz\H{o}leges $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(A)=\int_A F(\,dx)=\int_A F_1(\,dx)+\int_A F_2(\,dx)=
\int_A \frac12\,dx+\int_A F_2(\,dx)$, ahol
$\int_A F_2(\,dx)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es
$\int_A F_2(\,dx)=0$, ha $0\notin A$. Ekkor tetsz\H{o}leges $h(x)$
f\"uggv\'enyre $Eh(\xi)=\int h(x) F(\,dx)=\int h(x) F_1(\,dx)+\int h(x)
F_2(\,dx)=\int _0^1 \frac12 h(x)\,dx+\frac12 h(0)$. Ez\'ert
$$
E\xi_1=\frac12\int_0^1 x\,dx=\frac14, \qquad
E\xi_1^2=\frac12\int_0^1 x^2\,dx=\frac16,
$$
$\Var \xi_1=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
\item{7.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-|x|}$, ha $|x|\ge1$, \'es
$f(x)=\frac12-\frac1e$, ha $|x|\le1$. Mutassuk meg, hogy $f(x)$
val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, \'es sz\'amoljuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak bel\'at\'as\'ahoz, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
egyr\'eszt $f(x)\ge0$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, m\'asr\'eszt
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as is igaz, mivel
$\int_{-\infty}^\infty
f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{-1}e^x\,dx+\int_{-1}^1\(\frac12-\frac1e\)\,dx
+\int^{\infty}_{1}e^{-x}\,dx=\frac1e+2\(\frac12-\frac1e\)+\frac1e=1$.
\item{} Mivel $f(x)$ p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
$E\xi=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx=0$, \'es
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty
x^2 f(x)\,dx $. Ez\'ert
$$
\align
Var\xi=& \int_{-\infty}^{-1}x^2e^x\,dx
+\int_{-1}^1\(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx+\int^{\infty}_{1}x^2e^{-x}\,dx\\
&=2\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx+2\int_0^1 \(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx.
\endalign
$$
Mivel parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
2\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx&=\[-2x^2e^{-x}\]_1^\infty+\int_1^\infty
4xe^{-x}\,dx\\
&=\frac2e-\[4xe^{-x}\]_1^\infty+4\int_1^\infty e^{-x}\,dx
=\frac2e+\frac4e+\frac1e=\frac7e,
\endalign
$$
\'es
$$
2\int_0^1 \(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx
=\frac13\(1-\frac2e\)\[x^3\]_0^1=\(\frac13-\frac2{3e}\),
$$
ez\'ert $\Var\xi=\frac13+\frac{19}{3e}$.
