\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight

\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}

%\nopagenumbers

\noindent{\bf A december 12-i gyakorlat t\'em\'aja}

A hipot\'ezisvizsg\'alat fontos probl\'em\'aja a k\"ovetkez\H{o}
k\'et k\'erd\'es vizsg\'alata.
\item{a)} Egy v\'eletlen mennyis\'eg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
nagys\'ag\'ar\'ol van b\'{\i}zonyos feltev\'es\"unk. Ellen\H{o}rizni
akarjuk e feltev\'es helyess\'eg\'et. Ennek \'erdek\'eben
m\'er\'eseket v\'egz\"unk, \'es ezek alapj\'an k\'{\i}v\'anunk
d\"onteni. Ez form\'alisan azt jelenti, hogy ellen\H{o}rizni akarjuk,
$X_1,\dots,X_n$ f\"uggetlen egyforma eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy sorozata (amit mint\'anak is
nevez\"unk), $\mu$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi 
v\'altoz\'okb\'ol \'all-e. Felt\'etelezz\"uk, hogy ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis
el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak. (E fel\-t\'e\-te\-le\-z\'es m\"og\"ott a 
m\H{u}szaki \'eletben hibat\"orv\'enynek nevezett jelens\'eg van.)
\medskip
\item{b)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} v\'eletlen mennyis\'eg van,
\'es ezek $\mu_1$ \'es $\mu_2$  v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et akarjuk
\"osszehasonl\'{\i}tani. Van amikor arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy
egyenl\H{o}ek-e ezek a v\'arhat\'o \'ert\'ekek, van amikor arra,
hogy igaz-e, hogy $\mu_1\ge\mu_2$. A k\'erd\'es eld\"ont\'ese
\'erdek\'eben f\"uggetlen m\'er\'eseket v\'egz\"unk. Bizonyos
$X_1,\dots,X_n$ $\mu_1$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}, \'es
$Y_1,\dots,Y_m$ $\mu_2$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} f\"uggetlen
m\'er\'eseket v\'egz\"unk, \'es ezek alapj\'an k\'{\i}v\'anunk
d\"ont\'est hozni. Most is feltessz\"uk, hogy a m\'ert \'ert\'ekek
norm\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u\-ak.
\medskip

Mind a k\'et feladat vizsg\'alat\'aban megk\"ul\"onb\"oztet\"unk
k\'et k\"ul\"on\"oz\H{o} esetet. Az els\H{o} (egyszer\H{u}bb) eset
az, amikor ismerj\"uk a megfigyelt v\'eletlen m\'er\'esek
ingadoz\'as\'at m\'er\H{o} sz\'or\'asn\'egyzetet, a m\'asodik
(bonyolultabb) eset az, amikor ezt nem ismerj\"uk. Az els\H{o}
esetben a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel seg\'{\i}ts\'eg\'evel
tudjuk megadni az elj\'ar\'ast. Akkor, amikor ismerj\"uk a
megfigyelt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, az a) k\'erd\'esre adott elj\'ar\'ast
egymint\'as $U$-pr\'ob\'anak, a b) k\'erd\'esre adott elj\'ar\'ast
k\'etmint\'as $U$-pr\'ob\'anak nevezz\"uk. (Van, ahol ezeket az
elj\'ar\'asokat $Z$-pr\'ob\'anak h\'{\i}vj\'ak.)
\medskip\noindent
{\bf Egymint\'as $U$-pr\'oba.} {\it Legyen adva f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u $\mu$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
(ismert) $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $X_1,\dots,X_n$ sorozata.
K\'esz\'{\i}ts\"uk el e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\bar X_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}n$ \'atlag\'at \'es
a
$$
U(X_1,\dots,X_n)=\frac{\bar X_n-\mu}\sigma\sqrt n
$$
pr\'obaf\"uggv\'enyt. Az $U(X_1,\dots,X_n)$ pr\'obaf\"uggv\'eny a
fenti tulajdons\'agok teljes\"ul\'ese ese\-t\'en standard norm\'alis
eloszl\'as\'u. Ezen \"osszef\"ugg\'es alapj\'an tudunk
el\H{o}\'{\i}rt $\e$ els\H{o}faj\'u hib\'aval rendelkez\H{o} j\'o
d\"ont\'est hozni arr\'ol, hogy elfogadjuk-e az $EX_1=\mu$ vagy
$EX_1\ge\mu$ feltev\'est.}

\medskip\noindent
{\bf K\'etmint\'as $U$-pr\'oba.} {\it Legyen adva f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$X_1,\dots,X_n$ sorozata $\mu_1$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
(ismert) $\sigma_1^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, illetve
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $Y_1,\dots,Y_m$ sorozata $\mu_2$ v\'arhat\'o
\'ert\'ekkel \'es (ismert) $\sigma_2^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Tegy\"uk fel azt is, hogy az $X_1,\dots,X_n$ \'es $Y_1,\dots,Y_m$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata f\"uggetlen
egym\'ast\'ol. Vezess\"uk be az $\bar X_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}n$
\'es $\bar Y_m=\frac{Y_1+\cdots+Y_m}m$ \'atlagokat valamint az
$$
U(X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m)=\frac{\bar X_n-\bar Y_m}
{\sqrt{\frac{\sigma_1^2}n+\frac{\sigma_2^2}m}}
$$
pr\'obaf\"uggv\'enyt. Az $U(X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m)$
pr\'obaf\"uggv\'eny a fenti tulajdons\'agok teljes\"ul\'ese eset\'en
standard norm\'alis eloszl\'as\'u. Ezen \"osszef\"ugg\'es alapj\'an
tudunk el\H{o}\'{\i}rt $\e$ els\H{o}faj\'u hib\'aval rendelkez\H{o}
j\'o d\"ont\'est hozni arr\'ol, hogy elfogadjuk-e a $\mu_1=\mu_2$
vagy $\mu_1\ge\mu_2$ feltev\'est.}
\medskip
Ha nem ismerj\"uk a sz\'or\'asn\'egyzetet, akkor \'erdemes azt j\'ol
megbecs\"ulni, \'es a(z ismeretlen) sz\'or\'asn\'egyzet helyett
annak becs\"ult \'ert\'ek\'evel sz\'amolni. Ezen alapul az egy \'es
k\'etmint\'as $U$-statisztika elj\'ar\'asa. Ennek kidolgoz\'asa
\'erdek\'eben oldjuk meg el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} feladatot.

\medskip
\item{1.)} Legyen adva f\"uggetlen $F(x)$ eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_1,\dots,\xi_n$ sorozata.
Legyen $\bar\xi=\frac1n\summ_{k=1}^n\xi_k$. Mutassuk meg, hogy az
$S_n^2=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2$ kifejez\'es
a sz\'or\'asn\'egyzet torz\'{\i}tatlan becsl\'ese, azaz 
$ES_n^2=\sigma^2$. Tov\'abb\'a
$$
\Var S_n=\frac1n\( E(\xi_1-E\xi_1)^4-\frac{n-3}{n-1}(\Var\xi_1)^2\).
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Irjuk \'at az $S_n^2$ kifejez\'est
sz\'amunkra alkalmasabb alakban.
$$
\align
S_n^2&=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2
=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi^2_j+\bar\xi^2-2\bar\xi\xi_j)\\
&=\frac1{n-1}\(\summ_{j=1}^n\xi^2_j - n\bar\xi^2\)
=\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n\xi^2_j -\frac1{(n-1)n}\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)^2.
\endalign
$$
Tov\'abb\'a, $E\summ_{j=1}^n\xi^2_j=nE\xi_1^2$,
$E\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)^2
=\summ_{j=1}^nE\xi_j^2+2\summ_{1\le j<k\le n}E\xi_j\xi_k
=nE\xi_1^2+n(n-1)E\xi_1\xi_2=nE\xi_1^2+n(n-1)(E\xi_1)^2$. Innen $ES_n^2
=\frac1{n-1}nE\xi_1^2-\frac1{n-1}E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2
=\Var\xi_1$.
\item{} A $\Var S_n$ sz\'or\'asn\'egyzetet sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or
abban a speci\'alis esetben, amikor $E\xi_1=0$. Ekkor
$$
\align
\Var S_n&=\Var\[\frac1{n-1}\(1-\frac1n\)\sum_{j=1}^n\xi_j^2
-\frac2{n(n-1)}\sum_{1\le i<j\le n}\xi_i\xi_j\] \\
&=\Var\(\frac1n\sum_{j=1}^n\xi_j\)+
\Var\(\sum_{1\le i<j\le n}\frac2{n(n-1)}\xi_i\xi_j\),
\endalign
$$
mert a $\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j$ \'es
$\summ_{1\le i<j\le n}\frac2{n(n-1)}\xi_i\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok korrel\'alatlanok. A tov\'abbi
korrel\'alatlans\'agok miatt
$\Var\(\frac1n\summ_{j=1}^n\xi_j\)=\frac1n\Var\xi_1^2
=\frac1n(E\xi_1^4-(E\xi_1^2)^2)$, \'es
$\Var\(\summ_{1\le i<j\le n}\frac2{n(n-1)}\xi_i\xi_j\)
=\frac2{n(n-1)}(E\xi_1^2)^2$, ahonnan
$$
\Var S_n=\frac1n\( E\xi_1^4-\frac{n-3}{n-1}(E\xi_1^2)^2\).
$$
\item{}  Innen k\"ovetkezik a feladat \'all\'{\i}t\'asa abban a
speci\'alis esetben, ha $E\xi_1=0$. Az \'altal\'anos eset
visszavezethet\H{o} erre a speci\'alis esetre
a $\tilde\xi_j=\xi_j-E\xi_j$, $\hat\xi=\frac1n\summ_{j=1}^n\tilde\xi_j$
v\'altoz\'ok bevezet\'es\'evel az
$\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\xi_j-\bar\xi)^2=
\frac1{n-1}\summ_{j=1}^n(\tilde\xi_j-\hat\xi)^2$ azonoss\'ag
fel\-hasz\-n\'a\-l\'a\-s\'a\-val.

\medskip
Abban az esetben, ha nem ismerj\"uk a megfigyelt v\'eletlen
mennyis\'egek sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et, a sz\'or\'asn\'egyzet
helyett annak becsl\'es\'et, az \'ugynevezett tapasztalati
sz\'or\'asn\'egyzetet haszn\'aljuk. Ismertetem a tapasztalati
sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oj\'at, illetve azt a t\'etelt, amely
a vizsg\'alt k\'erd\'esek megold\'as\'ara javasolt m\'odszerek
h\'atter\'eben van akkor, ha a a sz\'or\'asn\'egyzetet nem
ismerj\"uk. Ezeket a m\'odszereket egymint\'as \'es k\'etmint\'as
$t$-pr\'ob\'anak h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf Tapasztalati sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen
$X_1,\dots,X_n$ f\"uggetlen egyforma el\-osz\-l\'a\-s\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorozata. Az
$$
{S_n^*}^2=\frac1{n-1}\sum_{j=1}^n(X_j-\bar X)^2,\quad \text{ahol }
\bar X=\frac1n\sum_{j=1}^nX_k \tag A
$$
k\'eplettel megadott kifejez\'est e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok tapasztalati sz\'or\'asn\'egyzet\'enek ne\-ve\-zik.}
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} feladat c\'elja annak megmagyar\'az\'asa volt, hogy
mi\'ert \'erdemes a tapasztalati sz\'or\'asn\'egyzet fent bevezetett
alakj\'at haszn\'alni. Ez azt mutatja, hogy a tapasztalati
sz\'or\'asn\'egyzet a val\'odi sz\'or\'asn\'egyzet olyan
torz\'{\i}tatlan becsl\'ese, amelynek a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-te
nagy minta eset\'eben kicsi, $\frac1n$ nagys\'agrend\H{u}. F\"uggetlen
standard norm\'alis val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eset\'eben tov\'abbi tartalmas eredm\'enyeket lehet bizony\'{\i}tani
a tapasztalati sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet viselked\'es\'et. Ezt mondja
ki a k\"ovetkez\H{o} t\'etel, amely a $t$-statisztik\'ak h\'atter\'eben
van.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $X_1,\dots,X_n$ f\"uggetlen standard
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sorozata. Ekkor az \'altaluk az (A) k\'epletben defini\'alt
${S_n^*}^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'es az
$\tilde X_n=\frac1{\sqrt n}\summ_{j=1}^nX_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egym\'ast\'ol f\"uggetlenek.
Tov\'abb\'a az $(n-1){S_n^*}^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asa az $n-1$ szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet, az
$\tilde X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asa a
standard norm\'alis eloszl\'as.}
\medskip
A k\'es\H{o}bbi eredm\'enyek megfogalmaz\'asa \'erdek\'eben
\'erdemes bevezetni a Student eloszl\'as definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
{\bf Student eloszl\'as definici\'oja.} {\it Legyen $X$ \'es $Y$
k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek
k\"oz\"ul $X$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u, $Y$ pedig $n$
szabads\'agfok\'u $\chi$-n\'egyzet eloszl\'as\'u. Ekkor az
$\frac X{\sqrt {\frac Yn}}$ h\'anyados eloszl\'asa
az $n$ szabads\'agfok\'u Student eloszl\'as.}
\medskip
Megfogalmazom az egy \'es k\'etmint\'as
$t$-pr\'ob\'ak alapj\'aul szolg\'al\'o ered\-m\'e\-nye\-ket.
\medskip\noindent
{\bf Egymint\'as $t$-pr\'oba.} {\it Legyen adva f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u $\mu$ v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es
(ismeretlen) $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $X_1,\dots,X_n$ sorozata.
K\'esz\'{\i}ts\"uk el e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\bar X_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}n$ \'atlag\'at \'es
a
$$
t_{n-1}(X_1,\dots,X_n)=\frac{\bar X_n-\mu}{\sqrt{{S_n^*}^2}}\sqrt n
$$
pr\'obaf\"uggv\'enyt, ahol az ${S_n^*}^2$ kifejez\'est az (A)
k\'epletben defini\'altuk. A $t_{n-1}(X_1,\dots,X_n)$
pr\'obaf\"uggv\'eny eloszl\'asa a fenti tulajdons\'agok
teljes\"ul\'ese eset\'en az $n-1$ szabads\'agfok\'u Student
eloszl\'as. Ezen \"osszef\"ugg\'es alapj\'an tudunk
el\H{o}\'{\i}rt $\e$ els\H{o}faj\'u hib\'aval rendelkez\H{o} j\'o
d\"ont\'est hozni arr\'ol, hogy elfogadjuk-e az $EX_1=\mu$ vagy
$EX_1\ge \mu$ feltev\'est.}

\medskip\noindent
{\bf K\'etmint\'as $t$-pr\'oba.} {\it Legyen adva f\"uggetlen
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$X_1,\dots,X_n$ sorozata $\mu_1$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es
(ismeretlen) $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel, illetve
f\"uggetlen norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok $Y_1,\dots,Y_m$ sorozata $\mu_2$ v\'arhat\'o
\'er\-t\'ek\-kel \'es (ismeretlen) $\sigma^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
(Feltett\"uk, hogy a k\'et sorozat ismeretlen
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete megegyezik.) Tegy\"uk fel azt is, hogy 
az $X_1,\dots,X_n$ \'es $Y_1,\dots,Y_m$ 
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok sorozata 
f\"uggetlen egym\'ast\'ol. Vezess\"uk be az
$\bar X_n=\frac{X_1+\cdots+X_n}n$ \'es
$\bar Y_m=\frac{Y_1+\cdots+Y_m}m$ \'atlagokat valamint az
$$
t_{n+m-2}(X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m)=\frac{\bar X_n-\bar Y_m}
{\sqrt{(n-1){S_n^*}^2+(m-1){S_m^*}^2}}\sqrt{\frac{nm(n+m-2)}{n+m}}
$$
pr\'obaf\"uggv\'enyt, ahol az ${S_n^*}^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot az (A) k\'epletben defini\'altuk, \'es az ${S_m^*}^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot szint\'en hasonl\'oan
defini\'aljuk az (A) formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel azzal a
k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az $Y_1,\dots,Y_m$ mint\'at haszn\'aljuk az
$X_1,\dots,X_m$ minta helyett.  A
$t_{n+m-2}(X_1,\dots,X_n,Y_1,\dots,Y_m)$ pr\'obaf\"uggv\'eny
eloszl\'asa a fenti tulajdons\'agok teljes\"ul\'ese eset\'en az
\'ugynevezett $n-m-2$ szabads\'agfok\'u Student eloszl\'as.
Ezen \"osszef\"ugg\'es alapj\'an tudunk
el\H{o}\'{\i}rt $\e$ els\H{o}faj\'u hib\'aval rendelkez\H{o} j\'o
d\"ont\'est hozni arr\'ol, hogy elfogadjuk-e az $\mu_1=\mu_2$ vagy
$\mu_1\ge\mu_2$ feltev\'est.}

\medskip
A k\"ovetkez\H{o}, a MobiDI\'AK k\"onyvt\'ar `Feladatok a
hipot\'ezisvizsg\'alat t\'emak\"or\'eb\H{o}l' sz\'armaz\'o 1.2
p\'elda az egy \'es k\'etmint\'as $U$-pr\'ob\'ara mutat p\'eld\'at.
\item{2.)} Egy kiterjedt n\'epeg\'eszs\'eg\"ugyi vizsg\'alat sor\'an
meg\'allap\'{\i}tott\'ak, hogy az eg\'eszs\'eges feln\H{o}tt
popul\'aci\'o eset\'en a diasztol\'es (als\'o) v\'ernyom\'as
\'ert\'ekek \'atlaga 84.8 higanymillim\'eter, sz\'or\'asa pedig 12.8
higanymillim\'eter. Az Als\'obezgenyei Atl\'etikai Klub hat
v\'eletlenszer\H{u}en kiv\'alasztott versenyz\H{o}j\'en\'el a
klub sportorvosa az al\'abbi diasztol\'es \'ert\'ekeket jegyezte fel:
$$
79.2, \;\; 64.6,\;\; 86.8,\;\; 73.7, \;\; 74.9, \;\; 62.3.
$$
\item{a)} A sportorvos ezek alapj\'an \'ugy gondolta, hogy az
atl\'et\'ak \'atlagos diasztol\'es v\'er\-nyo\-m\'a\-sa alacsonyabb, mint
84.8. Felt\'etelezve, hogy az atl\'et\'ak diasztol\'es v\'ernyom\'asa
nor\-m\'a\-lis eloszl\'ast k\"ovet, sz\'or\'asa pedig megegyezik a teljes
popul\'aci\'ora kapott \'ert\'ekkel (12.8 higanymillim\'eter),
d\"onts\"on 95\%-os szinten arr\'ol, hogy igaza van-e a doktornak.

Az Als\'obezgenyei Sakk Klub versenyz\H{o}i szint\'en
megl\'atogatt\'ak a fent eml\'{\i}tett doktort, aki az \H{o}
eset\"ukben is feljegyezte hat v\'eletlenszer\H{u}en kiv\'alasztott
sportol\'o diasztol\'es v\'ernyom\'as \'ert\'ek\'et, amelyek az
al\'abbiak:
$$
84.6,\;\; 93.2,\;\; 104.6,\;\; 106.7,\;\; 76.3,\;\; 78.2.
$$
\item{b.)} Hipot\'eziseit pontosan megfogalmazva d\"onts\"on 95\%-os
szinten arr\'ol, hogy a sak\-ko\-z\'ok diasztol\'es v\'ernyom\'asa
magasabb-e, mint az atl\'et\'ak\'e! A sakkoz\'ok diasztol\'es
v\'er\-nyo\-m\'a\-s\'a\-r\'ol szint\'en feltehetj\"uk, hogy norm\'alis
eloszl\'ast k\"ovet, sz\'or\'asa pedig megegyezik a teljes
n\'epess\'eg k\"or\'eben m\'ert \'ert\'ekkel.
\item{} {\it Megold\'as a) r\'esz}\/ A feladat \'{\i}gy
fogalmazhat\'o meg:
$$
\align
&H_0\colon\; \mu_x=84.8;\\
&H_1\colon\; \mu_x<84.8.\quad \text{egyoldali ellenhipot\'ezis}\\
&\; \alpha=0.05.
\endalign
$$
Ekkor $n=6$, az \'atlag $\bar x=73.5833$, $\sigma_x=12.8$.

\item{} A pr\'obastatisztika: $U=\frac{\bar x-\mu_{x,0}}{\sigma_x}
=\frac{73.5833-84.8}{12.8}\sqrt 6=-2.1465$.

\item{} A kritikus tartom\'any $U\le U(0.05)=-1.645$. A kapott
\'ert\'ek, $-2.1465$ kisebb enn\'el, ez\'ert elvetj\"uk a $H_0$
hipot\'ezist.
\item{} {\it Megold\'as b) r\'esz}\/ A feladat \'{\i}gy
fogalmazhat\'o meg:
$$
\align
&H_0\colon\; \mu_x=\mu_y;\\
&H_1\colon\; \mu_x<\mu_y.\quad \text{egyoldali ellenhipot\'ezis}\\
&\; \alpha=0.05.
\endalign
$$
Ebben az esetben $n=m=6$, $\bar x=73.5833$, $\bar y=90.6$,
$\sigma_x=\sigma_y=12.8$.

\item{} A pr\'obastatisztika:
$U=\frac{\bar x-\bar y}{\sqrt{\frac{\sigma_x^2}n+\frac{\sigma^2_y}m}}
=\frac{73.58.33-90.6}{12.8}\sqrt3=-2.3026$.

\item{} A kritikus tartom\'any $U\le U(0.05)=-1.645$. A kapott
\'ert\'ek, $-2.3026$ kisebb enn\'el, ez\'ert elvetj\"uk a $H_0$
hipot\'ezist.
\medskip
Az el\H{o}bbi feladatsor 1.5 p\'eld\'aja az egymint\'as
$t$-statisztik\'ara mutat p\'eld\'at.
\item{3.)} Egy \"uzem gy\'art\'osor\'an  az egyik szerel\'esi
feladatra megadott szintid\H{o} 9 perc. Az e ponton dolgoz\'o
alkalmazottak m\'ar t\"obb k\'erv\'enyben k\'ert\'ek a szintid\H{o}
felemel\'es\'et, mivel v\'elem\'eny\"uk szerint az nem elegend\H{o}
a feladat elv\'egz\'es\'ere.
\item{} Az \"uzem vezet\H{o}s\'ege egy ellen\H{o}rt k\"uld\"ott ki,
aki 12 v\'eletlenszer\H{u}en kiv\'alasztott alkalommal megm\'erte a
feladat elv\'egz\'es\'ehez sz\"uks\'eges id\H{o}t. Az eredm\'enyek
az al\'abbiak:
$$
9.4,\;\;8.8,\;\;9.3,\;\;9.1,\;\;9.4,\;\;8.9,\;\;9.3,
\;\;9.2,\;\;9.6,\;\;9.3,\;\;9.3,\;\;9.1.
$$
Hipot\'eziseit \'es az adatokra vonatkoz\'o felt\'eteleit pontosan
megfogalmazva d\"onts\"on 99\%-os szinten, hogy igazuk van-e a
munk\'asoknak!
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A feladat \'{\i}gy fogalmazhat\'o meg:
$$
\align
&H_0\colon\; \mu=9;\\
&H_1\colon\; \mu>9.\quad\text{egyoldali ellenhipot\'ezis}\\
&\; \alpha=0.01.
\endalign
$$
Felt\'etelezz\"uk, hogy a feladat elv\'egz\'es\'ehez sz\"uks\'eges
id\H{o} norm\'alis eloszl\'as\'u. Ekkor a minta elemsz\'ama $n=12$,
az \'atlag $\bar x=9.2250$, a tapasztalati sz\'or\'asn\'egyzet
${s^*}^2=0.0493$, $s^*=0.221$,

\item{} A pr\'obastatisztika: $t=\frac{\bar x-\mu}{s^*}\sqrt{12}=
3.5093$.

\item{} Ha igaz a $H_0$ null-hipot\'ezis, akkor a pr\'obastatisztika
eloszl\'asa $t$-statisztika $\nu=11$ szabads\'agfokkal, amelynek
\'ert\'eke $t_{11}(0.99)=2.718$. A m\'ert \'ert\'ek enn\'el nagyobb,
ez\'ert elvetj\"uk a null-hipot\'ezist.

\medskip
\item{4.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
\'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\frac12\le
x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
$\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$
f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a $\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert
$f(y)f(x-y)=1$, ha $-\frac12\le y\le\frac12$, \'es $-\frac12\le
x-y\le\frac12$, azaz $-\frac12+x\le y\le\frac12+x$, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\frac12,\frac12\]\cap \[-\frac12+x,\frac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=0$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\frac12+x,\frac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez
a metszet a $\[-\frac12,\frac12+x\]$ intervallum, amelynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$. Ez azt jelenti,
hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x>1$.

\item{5.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negyedik momentum\'at.
Legyen $\bar\xi$ egy v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es kett\H{o}
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\bar\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et \'es negyedik momentum\'at.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E\xi^{4}&=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x^3\frac d{dx}\(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\[-x^3\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty 3x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=3\int_{-\infty}^\infty x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=3.
\endalign
$$
\item{} A $\tilde\xi=\frac{\bar\xi-1}{\sqrt2}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es $\bar\xi=\sqrt2(\tilde\xi+1)$,
ahol $\tilde\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha $\bar\xi$
norm\'alis eloszl\'as\'u 1 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ez\'ert, mint azt az el\H{o}z\H{o} \'or\'an megt\'argyaltuk $\bar\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\frac1{\sqrt2}\varphi\(\frac{x-1}{\sqrt2}\)=
\frac1{\sqrt2}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-1)^2/4}$. Ez\'ert
$$
E\bar\xi^4=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{2\sqrt\pi}e^{-(x-1)^2/4}\,dx,
$$
ahonnan $u=\frac{x-1}{\sqrt 2}$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
E\bar\xi^4&=\int_{-\infty}^\infty (\sqrt 2u+1)^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du=
4\int_{-\infty}^\infty u^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +8\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u^3
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+12\int_{-\infty}^\infty u^2
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +4\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du\\
&=12+0+12+0+1=25
\endalign
$$
Val\'oj\'aban az $E\bar\xi^4$ negyedik momentumot egyszer\H{u}bben
is kisz\'amolhattuk volna. $E\bar\xi^4=E(\sqrt2\tilde\xi+1)^4=
4E\tilde\xi^4+8\sqrt2E\tilde\xi^3+12E\tilde\xi^2+4\sqrt2\tilde\xi+1=
4\cdot3+0+12\cdot1+1=25$.




\bye


