A december 12-i gyakorlat témája

A hipotézisvizsgálat fontos problémája a következő két kérdés vizsgálata.

a) Egy véletlen mennyiség várható értékének nagyságáról van bízonyos feltevésünk. Ellenőrizni akarjuk e feltevés helyességét. Ennek érdekében méréseket végzünk, és ezek alapján kívánunk dönteni. Ez formálisan azt jelenti, hogy ellenőrizni akarjuk, X_{1}, …, X_{n} független egyforma eloszlású valószínűségi változók egy sorozata (amit mintának is nevezünk), μ várható értékű valószínűségi változókból áll-e. Feltételezzük, hogy ezek a valószínűségi változók normális eloszlásúak. (E feltételezés mögött a műszaki életben hibatörvénynek nevezett jelenség van.)

b) Két különböző véletlen mennyiség van, és ezek μ_{1} és μ_{2} várható értékét akarjuk összehasonlítani. Van amikor arra vagyunk kiváncsiak, hogy egyenlőek-e ezek a várható értékek, van amikor arra, hogy igaz-e, hogy μ_{1} ≥ μ_{2}. A kérdés eldöntése érdekében független méréseket végzünk. Bizonyos X_{1}, …, X_{n} μ_{1} várható értékű, és Y_{1}, …, Y_{m} μ_{2} várható értékű független méréseket végzünk, és ezek alapján kívánunk döntést hozni. Most is feltesszük, hogy a mért értékek normális eloszlásúak.

Mind a két feladat vizsgálatában megkülönböztetünk két különöző esetet. Az első (egyszerűbb) eset az, amikor ismerjük a megfigyelt véletlen mérések ingadozását mérő szórásnégyzetet, a második (bonyolultabb) eset az, amikor ezt nem ismerjük. Az első esetben a centrális határeloszlástétel segítségével tudjuk megadni az eljárást. Akkor, amikor ismerjük a megfigyelt valószínűségi változó szórásnégyzetét, az a) kérdésre adott eljárást egymintás U-próbának, a b) kérdésre adott eljárást kétmintás U-próbának nevezzük. (Van, ahol ezeket az eljárásokat Z-próbának hívják.)

Egymintás U-próba. Legyen adva független normális eloszlású μ várható értékű és (ismert) σ^{2} szórásnégyzetű valószínűségi változók X_{1}, …, X_{n} sorozata. Készítsük el e valószínűségi változók X̄_{n} = \frac{X_{1}+···+X_{n}}{n} átlagát és a

U(X_{1}, …, X_{n}) = \frac{X̄_{n} − μ}{σ}\sqrt{n}

próbafüggvényt. Az U(X_{1}, …, X_{n}) próbafüggvény a fenti tulajdonságok teljesülése esetén standard normális eloszlású. Ezen összefüggés alapján tudunk előírt ε elsőfajú hibával rendelkező jó döntést hozni arról, hogy elfogadjuk-e az EX_{1} = μ vagy EX_{1} ≥ μ feltevést.

Kétmintás U-próba. Legyen adva független normális eloszlású valószínűségi változók X_{1}, …, X_{n} sorozata μ_{1} várható értékkel és (ismert) σ_{1}^{2} szórásnégyzettel, illetve független normális eloszlású valószínűségi változók Y_{1}, …, Y_{m} sorozata μ_{2} várható értékkel és (ismert) σ_{2}^{2} szórásnégyzettel. Tegyük fel azt is, hogy az X_{1}, …, X_{n} és Y_{1}, …, Y_{m} valószínűségi változók sorozata független egymástól. Vezessük be az X̄_{n} = \frac{X_{1}+···+X_{n}}{n} és Ȳ_{m} = \frac{Y_{1}+···+Y_{m}}{m} átlagokat valamint az

U(X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{m}) = \frac{X̄_{n} − Ȳ_{m}}{\sqrt{\frac{σ_{1}^{2}}{n} + \frac{σ_{2}^{2}}{m}}}

próbafüggvényt. Az U(X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{m}) próbafüggvény a fenti tulajdonságok teljesülése esetén standard normális eloszlású. Ezen összefüggés alapján tudunk előírt ε elsőfajú hibával rendelkező jó döntést hozni arról, hogy elfogadjuk-e a μ_{1} = μ_{2} vagy μ_{1} ≥ μ_{2} feltevést.

Ha nem ismerjük a szórásnégyzetet, akkor érdemes azt jól megbecsülni, és a(z ismeretlen) szórásnégyzet helyett annak becsült értékével számolni. Ezen alapul az egy és kétmintás U-statisztika eljárása. Ennek kidolgozása érdekében oldjuk meg először a következő feladatot.

1.) Legyen adva független F (x) eloszlású valószínűségi változók ξ_{1}, …, ξ_{n} sorozata.

Legyen ξ̄ = \frac{1}{n} ∑_{k=1}^{n} ξ_{k}. Mutassuk meg, hogy az S_{n}^{2} = \frac{1}{n−1} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − ξ̄)^{2} kifejezés a

szórásnégyzet torzítatlan becslése, azaz ES_{n}^{2} = σ^{2}. Továbbá

Var S_{n} = \frac{1}{n} (E(ξ_{1} − Eξ_{1})^{4} − \frac{n − 3}{n − 1}(Var ξ_{1})^{2}) .

Megoldás: Írjuk át az S_{n}^{2} kifejezést számunkra alkalmasabb alakban.

S_{n}^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − ξ̄)^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j}^{2} + ξ̄^{2} − 2ξ̄ξ_{j})

= \frac{1}{n − 1} (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{2} − nξ̄^{2}) = \frac{1}{n − 1} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{2} − \frac{1}{(n − 1)n} (∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2} .

Továbbá, E ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{2} = nEξ_{1}^{2}, E ( ∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2} = ∑_{j=1}^{n} Eξ_{j}^{2} + 2 ∑_{1≤j<k≤n} Eξ_{j}ξ_{k} = nEξ_{1}^{2} +

n(n − 1)Eξ_{1}ξ_{2} = nEξ_{1}^{2} + n(n − 1)(Eξ_{1})^{2}. Innen ES_{n}^{2} = \frac{1}{n−1}nEξ_{1}^{2} − \frac{1}{n−1}Eξ_{1}^{2} − (Eξ_{1})^{2} = Eξ_{1}^{2} − (Eξ_{1})^{2} = Var ξ_{1}. A Var S_{n} szórásnégyzetet számoljuk ki először abban a speciális esetben, amikor Eξ_{1} = 0. Ekkor

Var S_{n} = Var [\frac{1}{n − 1} (1 − \frac{1}{n}) ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}^{2} − \frac{2}{n(n − 1)} ∑_{1≤i<j≤n} ξ_{i}ξ_{j}]

= Var (\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) + Var ( ∑_{1≤i<j≤n} \frac{2}{n(n − 1)}ξ_{i}ξ_{j}) ,

mert a \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} és ∑_{1≤i<j≤n} \frac{2}{n(n−1)}ξ_{i}ξ_{j} valószínűségi változók korrelálatlanok. A

további korrelálatlanságok miatt Var (\frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = \frac{1}{n}Var ξ_{1}^{2} = \frac{1}{n}(Eξ_{1}^{4} −(Eξ_{1}^{2})^{2}), és

Var ( ∑_{1≤i<j≤n} \frac{2}{n(n−1)}ξ_{i}ξ_{j}) = \frac{2}{n(n−1)}(Eξ_{1}^{2})^{2}, ahonnan

Var S_{n} = \frac{1}{n} (Eξ_{1}^{4} − \frac{n − 3}{n − 1}(Eξ_{1}^{2})^{2}) .

Innen következik a feladat állítása abban a speciális esetben, ha Eξ_{1} = 0. Az

általános eset visszavezethető erre a speciális esetre a ξ̃_{j} = ξ_{j} − Eξ_{j}, ξ̂ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} ξ̃_{j}

változók bevezetésével az \frac{1}{n−1} ∑_{j=1}^{n}(ξ_{j} − ξ̄)^{2} = \frac{1}{n−1} ∑_{j=1}^{n}(ξ̃_{j} − ξ̂)^{2} azonosság felhaszná-

lásával.

Abban az esetben, ha nem ismerjük a megfigyelt véletlen mennyiségek szórásnégyzetét, a szórásnégyzet helyett annak becslését, az úgynevezett tapasztalati szórásnégyzetet használjuk. Ismertetem a tapasztalati szórásnégyzet definicióját, illetve azt a tételt, amely a vizsgált kérdések megoldására javasolt módszerek hátterében van akkor, ha a a szórásnégyzetet nem ismerjük. Ezeket a módszereket egymintás és kétmintás t-próbának hívják.

Tapasztalati szórásnégyzet definiciója. Legyen X_{1}, …, X_{n} független egyforma eloszlású valószínűségi változók sorozata. Az

S_{n}^{∗}^{2} = \frac{1}{n − 1} ∑_{j=1}^{n}(X_{j} − X̄)^{2}, ahol X̄ = \frac{1}{n} ∑_{j=1}^{n} X_{k}  (A)

képlettel megadott kifejezést e valószínűségi változók tapasztalati szórásnégyzetének nevezik.

Az előző feladat célja annak megmagyarázása volt, hogy miért érdemes a tapasztalati szórásnégyzet fent bevezetett alakját használni. Ez azt mutatja, hogy a tapasztalati szórásnégyzet a valódi szórásnégyzet olyan torzítatlan becslése, amelynek a szórásnégyzete nagy minta esetében kicsi, \frac{1}{n} nagyságrendű. Független standard normális valószínűségi változók esetében további tartalmas eredményeket lehet bizonyítani a tapasztalati szórásnégyzet viselkedését. Ezt mondja ki a következő tétel, amely a tstatisztikák hátterében van.

Tétel. Legyen X_{1}, …, X_{n} független standard normális eloszlású valószínűségi változók sorozata. Ekkor az általuk az (A) képletben definiált S_{n}^{∗}^{2} valószínűségi változó és az

X̃_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} ∑_{j=1}^{n} X_{j} valószínűségi változók egymástól függetlenek. Továbbá az (n − 1)S_{n}^{∗}^{2}

valószínűségi változó eloszlása az n − 1 szabadságfokú χ-négyzet, az X̃_{n} valószínűségi változó eloszlása a standard normális eloszlás.

A későbbi eredmények megfogalmazása érdekében érdemes bevezetni a Student eloszlás definicióját.

Student eloszlás definiciója. Legyen X és Y két független valószínűségi változó, amelyek közül X standard normális eloszlású, Y pedig n szabadságfokú χ-négyzet eloszlású. Ekkor az \frac{X}{\sqrt{\frac{Y}{n}}} hányados eloszlása az n szabadságfokú Student eloszlás.

Megfogalmazom az egy és kétmintás t-próbák alapjául szolgáló eredményeket.

Egymintás t-próba. Legyen adva független normális eloszlású μ várható értékű és (ismeretlen) σ^{2} szórásnégyzetű valószínűségi változók X_{1}, …, X_{n} sorozata. Készítsük el e valószínűségi változók X̄_{n} = \frac{X_{1}+···+X_{n}}{n} átlagát és a

t_{n−1}(X_{1}, …, X_{n}) = \frac{X̄_{n} − μ}{\sqrt{S_{n}^{∗}^{2}}} \sqrt{n}

próbafüggvényt, ahol az S_{n}^{∗}^{2} kifejezést az (A) képletben definiáltuk. A t_{n−1}(X_{1}, …, X_{n}) próbafüggvény eloszlása a fenti tulajdonságok teljesülése esetén az n − 1 szabadságfokú Student eloszlás. Ezen összefüggés alapján tudunk előírt ε elsőfajú hibával rendelkező jó döntést hozni arról, hogy elfogadjuk-e az EX_{1} = μ vagy EX_{1} ≥ μ feltevést.

Kétmintás t-próba. Legyen adva független normális eloszlású valószínűségi változók X_{1}, …, X_{n} sorozata μ_{1} várható értékkel és (ismeretlen) σ^{2} szórásnégyzettel, illetve független normális eloszlású valószínűségi változók Y_{1}, …, Y_{m} sorozata μ_{2} várható értékkel és (ismeretlen) σ^{2} szórásnégyzettel. (Feltettük, hogy a két sorozat ismeretlen szórásnégyzete megegyezik.) Tegyük fel azt is, hogy az X_{1}, …, X_{n} és Y_{1}, …, Y_{m} valószínűségi változók sorozata független egymástól. Vezessük be az X̄_{n} = \frac{X_{1}+···+X_{n}}{n} és Ȳ_{m} = \frac{Y_{1}+···+Y_{m}}{m} átlagokat valamint az

t_{n+m−2}(X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{m}) = \frac{X̄_{n} − Ȳ_{m}}{\sqrt{(n − 1)S_{n}^{∗}^{2} + (m − 1)S_{m}^{∗}^{2}}} \sqrt{\frac{nm(n + m − 2)}{n + m}}

próbafüggvényt, ahol az S_{n}^{∗}^{2} valószínűségi változót az (A) képletben definiáltuk, és az S_{m}^{∗}^{2} valószínűségi változót szintén hasonlóan definiáljuk az (A) formula segítségével azzal a különbséggel, hogy az Y_{1}, …, Y_{m} mintát használjuk az X_{1}, …, X_{m} minta helyett. A t_{n+m−2}(X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{m}) próbafüggvény eloszlása a fenti tulajdonságok teljesülése esetén az úgynevezett n−m−2 szabadságfokú Student eloszlás. Ezen összefüggés alapján tudunk előírt ε elsőfajú hibával rendelkező jó döntést hozni arról, hogy elfogadjuke az μ_{1} = μ_{2} vagy μ_{1} ≥ μ_{2} feltevést.

A következő, a MobiDIÁK könyvtár ‘Feladatok a hipotézisvizsgálat témaköréből’ származó 1.2 példa az egy és kétmintás U-próbára mutat példát. 2.) Egy kiterjedt népegészségügyi vizsgálat során megállapították, hogy az egészséges

felnőtt populáció esetén a diasztolés (alsó) vérnyomás értékek átlaga 84.8 higanymilliméter, szórása pedig 12.8 higanymilliméter. Az Alsóbezgenyei Atlétikai Klub hat véletlenszerűen kiválasztott versenyzőjénél a klub sportorvosa az alábbi diasztolés értékeket jegyezte fel:

79.2, 64.6, 86.8, 73.7, 74.9, 62.3.

a) A sportorvos ezek alapján úgy gondolta, hogy az atléták átlagos diasztolés vérnyomása alacsonyabb, mint 84.8. Feltételezve, hogy az atléták diasztolés vérnyomása normális eloszlást követ, szórása pedig megegyezik a teljes populációra kapott értékkel (12.8 higanymilliméter), döntsön 95%-os szinten arról, hogy igaza van-e a doktornak. Az Alsóbezgenyei Sakk Klub versenyzői szintén meglátogatták a fent említett dok-

tort, aki az ő esetükben is feljegyezte hat véletlenszerűen kiválasztott sportoló diasztolés vérnyomás értékét, amelyek az alábbiak:

84.6, 93.2, 104.6, 106.7, 76.3, 78.2.

b.) Hipotéziseit pontosan megfogalmazva döntsön 95%-os szinten arról, hogy a sakkozók diasztolés vérnyomása magasabb-e, mint az atlétáké! A sakkozók diasztolés vérnyomásáról szintén feltehetjük, hogy normális eloszlást követ, szórása pedig megegyezik a teljes népesség körében mért értékkel. Megoldás a) rész A feladat így fogalmazható meg:

H_{0}: μ_{x} = 84.8;
H_{1}: μ_{x} < 84.8. egyoldali ellenhipotézis
α = 0.05.

Ekkor n = 6, az átlag x̄ = 73.5833, σ_{x} = 12.8. A próbastatisztika: U = \frac{x̄−μ_{x,0}}{σ_{x}} = \frac{73.5833−84.8}{12.8} \sqrt{6} = −2.1465. A kritikus tartomány U ≤ U(0.05) = −1.645. A kapott érték, −2.1465 kisebb ennél, ezért elvetjük a H_{0} hipotézist. Megoldás b) rész A feladat így fogalmazható meg:

H_{0}: μ_{x} = μ_{y};
H_{1}: μ_{x} < μ_{y}. egyoldali ellenhipotézis
α = 0.05.

Ebben az esetben n = m = 6, x̄ = 73.5833, ȳ = 90.6, σ_{x} = σ_{y} = 12.8. A próbastatisztika: U = _{\frac{x̄−ȳ}{\sqrt{\frac{σ^{2}_{x}}{n} + \frac{σ^{2}_{y}}{m}}}} = \frac{73.58.33−90.6}{12.8} \sqrt{3} = −2.3026.

A kritikus tartomány U ≤ U(0.05) = −1.645. A kapott érték, −2.3026 kisebb ennél, ezért elvetjük a H_{0} hipotézist.

Az előbbi feladatsor 1.5 példája az egymintás t-statisztikára mutat példát.

3.) Egy üzem gyártósorán az egyik szerelési feladatra megadott szintidő 9 perc. Az e ponton dolgozó alkalmazottak már több kérvényben kérték a szintidő felemelését, mivel véleményük szerint az nem elegendő a feladat elvégzésére. Az üzem vezetősége egy ellenőrt küldött ki, aki 12 véletlenszerűen kiválasztott alkalommal megmérte a feladat elvégzéséhez szükséges időt. Az eredmények az alábbiak:

9.4, 8.8, 9.3, 9.1, 9.4, 8.9, 9.3, 9.2, 9.6, 9.3, 9.3, 9.1.

Hipotéziseit és az adatokra vonatkozó feltételeit pontosan megfogalmazva döntsön 99%-os szinten, hogy igazuk van-e a munkásoknak! Megoldás: A feladat így fogalmazható meg:

H_{0}: μ = 9;

H_{1}: μ > 9. egyoldali ellenhipotézis α = 0.01.

Feltételezzük, hogy a feladat elvégzéséhez szükséges idő normális eloszlású. Ekkor a minta elemszáma n = 12, az átlag x̄ = 9.2250, a tapasztalati szórásnégyzet s^{∗}^{2} = 0.0493, s^{∗} = 0.221, A próbastatisztika: t = \frac{x̄−μ}{s^{∗}} \sqrt{12} = 3.5093. Ha igaz a H_{0} null-hipotézis, akkor a próbastatisztika eloszlása t-statisztika ν = 11 szabadságfokkal, amelynek értéke t_{11}(0.99) = 2.718. A mért érték ennél nagyobb, ezért elvetjük a null-hipotézist.

4.) Legyen ξ és η két független, a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlású valószínűségi változó, azaz legyen ξ és η sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és f(x) = 0 egyébként. Számoljuk ki ξ + η sűrűségfüggvényét. Megoldás: A ξ+η valószínűségi változó sűrűségfüggvénye a g(x) = ∫ f(y)f(x−y) dy függvény, ahol f(x) a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban egyenletes eloszlás sűrűségfüggvénye. Ezért f(y)f(x−y) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ y ≤ \frac{1}{2}, és −\frac{1}{2} ≤ x−y ≤ \frac{1}{2}, azaz −\frac{1}{2} +x ≤ y ≤ \frac{1}{2} +x, és nulla egyébként. Ez azt jelenti, hogy a ξ + η összeg g(x) sűrűségfüggvénye az x pontban megegyezik a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}]∩[−\frac{1}{2} + x, \frac{1}{2} + x] intervallum hosszával. Ha |x| > 1, akkor a fenti metszet üres, ezért ebben az esetben g(x) = 0. Ha 0 ≤ x ≤ 1, akkor ez a metszet a [−\frac{1}{2} + x, \frac{1}{2}] intervallum, és ennek hossza 1 − x, azaz ebben az esetben g(x) = 1 − x. Ha −1 ≤ x ≤ 0, akkor ez a metszet a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2} + x] intervallum, amelynek hossza 1 + x = 1 − |x|, azaz g(x) = 1 + x = 1 − |x|. Ez azt jelenti, hogy g(x) = 1 − |x|, ha |x| ≤ 1, és g(x) = 0, ha x > 1.

5.) Legyen ξ standard normális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki a ξ valószínűségi változó negyedik momentumát. Legyen ξ̄ egy várható értékű és kettő szórásnégyzetű normális eloszlású valószínűségi változó. Számoljuk ki ξ̄ sűrűségfüggvényét és negyedik momentumát.

Megoldás:

Eξ^{4} = ∫_{−∞}^{∞} x^{4} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx = ∫_{−∞}^{∞} −x^{3} \frac{d}{dx} (\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}) dx

= [−x^{3} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2}]_{−∞}^{∞} + ∫_{−∞}^{∞} 3x^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx

= 3 ∫_{−∞}^{∞} x^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−x^{2}/2} dx = 3.

A ξ̃ = \frac{ξ̄−1}{\sqrt{2}} valószínűségi változó standard normális eloszlású, és ξ̄ = \sqrt{2}(ξ̃ + 1),

ahol ξ̃ standard normális eloszlású, ha ξ̄ normális eloszlású 1 várható értékű és 2 szórásnégyzetű valószínűségi változó. Ezért, mint azt az előző órán megtárgyaltuk ξ̄ sűrűségfüggvénye \frac{1}{\sqrt{2}}φ (\frac{x−1}{\sqrt{2}}) = \frac{1}{\sqrt{2}} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−(x−1)^{2}/4}. Ezért

Eξ̄^{4} = ∫_{−∞}^{∞} x^{4} \frac{1}{2\sqrt{π}} e^{−(x−1)^{2}/4} dx,

ahonnan u = \frac{x−1}{\sqrt{2}} helyettesítéssel

Eξ̄^{4} = ∫_{−∞}^{∞}(\sqrt{2}u + 1)^{4} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/4} du = 4 ∫_{−∞}^{∞} u^{4} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/4} du

+ 8\sqrt{2} ∫_{−∞}^{∞} u^{3} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/4} du + 12 ∫_{−∞}^{∞} u^{2} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/4} du

+ 4\sqrt{2} ∫_{−∞}^{∞} u\frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/4} du + ∫_{−∞}^{∞} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/4} du

= 12 + 0 + 12 + 0 + 1 = 25

Valójában az Eξ̄^{4} negyedik momentumot egyszerűbben is kiszámolhattuk volna. Eξ̄^{4} = E(\sqrt{2}ξ̃+1)^{4} = 4Eξ̃^{4} +8\sqrt{2}Eξ̃^{3} +12Eξ̃^{2} +4\sqrt{2}ξ̃+1 = 4·3+0+12·1+1 = 25.