\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\centerline{\bf A m\'arcius 28.-i gyakorlat feladatai}


\medskip
\item{1.)} Tekints\"uk egy szab\'alyos dob\'okocka feldob\'as\'at,
illetve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely megmondja
mi a dob\'as eredm\'enye. Adjuk meg ennek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5 \'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi
fel, mindegyiket $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $P(\xi<x)$ null\'aval egyenl\H{o},
ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a $P(\xi<1)=0$
azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et n\'ezz\"uk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szigor\'uan kisebb
mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$,
akkor az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is.
Ez\'ert $F(x)=\frac16$, ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\frac26$, ha $2<x\le3$. Ezt a
gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$,
$F(x)=\frac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$, \'es $F(x)=1$, ha
$6<x<\infty$,
 
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\item{2.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\dfrac{x-b}a\)=F\(\dfrac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\dfrac{x-b}a\)=1-F\(\dfrac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\dfrac{dG(x)}{dx}=\dfrac1{|a|}f\(\dfrac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\dfrac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$, ha $x>0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'onak
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi^3$
\'es $\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{3.)} Azt mondjuk, hogy egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f_\lambda(x)=\left\{
\aligned &\lambda e^{-\lambda x}\quad \text{if } x\ge0\\
&0\qquad\quad \;\, \text{if }x<0
\endaligned\right.
$$
L\'assuk be, hogy $f_\lambda(x)$ val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy $f_\lambda(x)\ge0$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, ami a definici\'o
ny\'{\i}lv\'anval\'o k\"ovetkezm\'enye, \'es $\int_{-\infty}^\infty
f_\lambda(x)\,dx=1$. Viszont
$\int_{-\infty}^\infty f_\lambda(x)\,dx=\int_0^\infty \lambda
e^{-\lambda x}\,dx=\[-e^{-\lambda x}\]_0^\infty=1-0=1$.
\medskip
\item{4.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait, azaz sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi^k$, $k=1,2,\dots$,
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket  egy olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eset\'eben, amely\-nek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $E\xi^k=\int_{-\infty}^\infty x^k
f_\lambda(x)\,dx$, ezt az integr\'alt kell kisz\'am\'{\i}tani  minden
$k=1,2,\dots$, sz\'amra. Alkalmazva az $u=\lambda x$
helyettes\'{\i}t\'est azt kapjuk, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty x^k f_\lambda(x)\,dx=
\int_0^\infty x^k\lambda e^{-\lambda x}\,dx=
\lambda^{-k}\int_0^\infty u^ke^{-u}\,du.
$$
Parci\'alis integr\'al\'assal
$$
\align
\int_0^\infty u^ke^{-u}\,du&=\int_0^\infty u^k\(-e^{-u}\)'\,du
=\[-u^ke^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty ku^{k-1}e^{-u}\,du\\
&=k\int_0^\infty u^{k-1}e^{-u}\,du,
\endalign
$$
ahonnan teljes indukci\'oval azt kapjuk, hogy
$\int_0^\infty u^ke^{-u}\,du=k!$. Innen $E\xi^k=k!\lambda^{-k}$.
\item{5.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $[a,b]$ intervallumban,
azaz legyen annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $[u,v]\subset[a,b]$
intervallumba esik $\frac{v-u}{b-a}$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as \'es
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, valamint v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=0$, ha $x\le a$,
$F(x)=\frac{x-a}{b-a}$, ha $a\le x\le b$, $F(x)=1$, ha $x>b$. Ugyanis
$F(x)=P(\xi<x)$, \'es ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 0-val egyenl\H{o},
ha $x<a$, 1-gyel egyenl\H{o}, ha $x>b$, \'es $P(\xi<x)=P(a\le
\xi<x)=\frac{x-a}{b-a}$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$, ez\'ert
$f(x)=0$, ha $x<a$ vagy $x>b$, \'es $f(x)=\frac1{b-a}$. Innen
$E\xi=\int xf(x)\,dx=\int_a^b\frac1{b-a}\,dx=\[\frac{x^2}{2(b-a)}\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{a+b}2$, $E\xi^2=\int x^2f(x)\,dx=\int_a^b
\frac{x^2}{b-a}\,dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}3$. Innen
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac{4(a^2+b^2+ab)-3(a+b)^2}{12}
=\frac{a^2+b^2-2ab}{12}=\frac{(b-a)^2}{12}$.
 
 
 
 
\bye
