A március 28.-i gyakorlat feladatai

1.) Tekintsük egy szabályos dobókocka feldobását, illetve azt a valószínűségi változót, amely megmondja mi a dobás eredménye. Adjuk meg ennek a ξ valószínűségi változónak az F (x) eloszlásfüggvényét. Megoldás: Ez a ξ valószínűségi változó az 1, 2, 3, 4, 5 és 6 értékek valamelyikét veszi fel, mindegyiket \frac{1}{6} valószínűséggel. Ezért annak a valószínűsége, hogy P (ξ < x) nullával egyenlő, ha x < 1. Sőt x = 1 esetében is teljesül a P (ξ < 1) = 0 azonosság, mert annak valószínűségét nézzük, hogy a ξ valószínűségi változó szigorúan kisebb mint az x szám. Ezért F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1. Ha 1 < x < 2, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt jelenti, hogy a dobás eredménye 1. Ez az állítás igaz x = 2 esetében is. Ezért F (x) = \frac{1}{6}, ha 1 < x ≤ 2. Ha 2 < x ≤ 3, akkor az {ω: ξ(ω) < x} esemény azt jelenti, hogy a dobás eredménye 1 vagy 2. Ezért F (x) = \frac{2}{6}, ha 2 < x ≤ 3. Ezt a gondolatot végigkövetve kapjuk, hogy F (x) = 0, ha −∞ < x ≤ 1, F (x) = \frac{j}{6}, ha j < x ≤ j + 1, 1 ≤ j ≤ 5, és F (x) = 1, ha 6 < x < ∞,

Házi feladat:

Feldobunk egy pénzdarabot, amely p valószínűséggel esik a fej, 1−p valószínűséggel az írás oldalra kétszer egymástól függetlenül. Jelölje ξ azt a valószínűségi változót, amely a fejdobások számát adja meg. Adjuk meg a ξ valószínűségi változó F (x) eloszlásfüggvényét.

2.) Legyen ξ valószínűségi változó f(u) sűrűségfüggvénnyel, a és b valós számok. Határozzuk meg az η = aξ + b és ζ = ξ^{2} valószínűségi változók sűrűségfüggvényét. Megoldás: Legyen F (x) = P (ξ < x) = ∫_{−∞}^{x} f(u) du a ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye. Ekkor az η = aξ + b valószínűségi változó eloszlásfüggvénye a

G(x) = P (η < x) = P (ξ < \frac{x − b}{a}) = F (\frac{x − b}{a}) függvény, ha a > 0, és G(x) =

P (η < x) = P (ξ > \frac{x − b}{a}) = 1 − F (\frac{x − b}{a}), ha a < 0. Innen η sűrűségfüggvénye

g(x) = \frac{dG(x)}{dx} = \frac{1}{|a|}f (\frac{x − b}{a}).

A ζ = ξ^{2} valószínűségi változó eloszlásfüggvénye

G(x) = P (ξ^{2} < x) = P (−\sqrt{x} < ξ < \sqrt{x}) = F (\sqrt{x}) − F (−\sqrt{x}) ,

ha x ≥ 0, és G(x) = 0, ha x < 0. Innen deriválással ζ sűrűségfüggvénye g(x) =

\frac{1}{2\sqrt{x}} (f (\sqrt{x}) + f (−\sqrt{x})), ha x > 0, és g(x) = 0, ha x < 0.

Házi feladat:

Legyen egy ξ valószínűségi változónak f(x) sűrűségfüggvénye. Számítsuk ki ξ^{3} és ξ^{4} sűrűségfüggvényét.

3.) Azt mondjuk, hogy egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó sűrűségfüggvénye

f_{λ}(x) = \{ \begin{matrix}λe^{−λx} if x ≥ 0 \\ 0 if x < 0 \end{matrix}

Lássuk be, hogy f_{λ}(x) valóban sűrűségfüggvény. Megoldás: Azt kell belátni, hogy f_{λ}(x) ≥ 0 minden −∞ < x < ∞ számra, ami a definició nyílvánvaló következménye, és ∫_{−∞}^{∞} f_{λ}(x) dx = 1. Viszont ∫_{−∞}^{∞} f_{λ}(x) dx = ∫_{0}^{∞} λe^{−λx} dx = [−e^{−λx}]_{0}^{∞} = 1 − 0 = 1.

4.) Számítsuk ki egy λ paraméterű exponenciális eloszlású valószínűségi változó momentumait, azaz számítsuk ki az Eξ^{k}, k = 1, 2, …, várható értékeket egy olyan ξ valószínűségi változó esetében, amelynek sűrűségfüggvénye f(x) = λe^{−λx}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Megoldás: Eξ^{k} = ∫_{−∞}^{∞} x^{k}f_{λ}(x) dx, ezt az integrált kell kiszámítani minden k = 1, 2, …, számra. Alkalmazva az u = λx helyettesítést azt kapjuk, hogy

∫_{−∞}^{∞} x^{k}f_{λ}(x) dx = ∫_{0}^{∞} x^{k}λe^{−λx} dx = λ^{−k} ∫_{0}^{∞} u^{k}e^{−u} du.

Parciális integrálással

∫_{0}^{∞} u^{k}e^{−u} du = ∫_{0}^{∞} u^{k} (−e^{−u})′ du = [−u^{k}e^{−u}]_{0}^{∞} + ∫_{0}^{∞} ku^{k−1}e^{−u} du
= k ∫_{0}^{∞} u^{k−1}e^{−u} du,

ahonnan teljes indukcióval azt kapjuk, hogy ∫_{0}^{∞} u^{k}e^{−u} du = k!. Innen Eξ^{k} = k!λ^{−k}.

5.) Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó egy [a, b] intervallumban, azaz legyen annak a valószínűsége, hogy a ξ valószínűségi változó egy [u, v] ⊂ [a, b] intervallumba esik \frac{v−u}{b−a}. Számítsuk ki a ξ valószínűségi változó eloszlás és sűrűségfüggvényét, valamint várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F (x) = 0, ha x ≤ a, F (x) = \frac{x−a}{b−a}, ha a ≤ x ≤ b, F (x) = 1, ha x > b. Ugyanis F (x) = P (ξ < x), és ez a valószínűség 0-val egyenlő, ha x < a, 1-gyel egyenlő, ha x > b, és P (ξ < x) = P (a ≤ ξ < x) = \frac{x−a}{b−a}. A ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{dF (x)}{dx}, ezért f(x) = 0, ha x < a vagy x > b, és f(x) = \frac{1}{b−a}. Innen Eξ = ∫ xf(x) dx =

∫_{a}^{b} \frac{1}{b−a} dx = [\frac{x^{2}}{2(b−a)}]_{a}^{b} = \frac{b^{2}−a^{2}}{b−a} = \frac{a+b}{2}, Eξ^{2} = ∫ x^{2}f(x) dx = ∫_{a}^{b} \frac{x^{2}}{b−a} dx = \frac{b^{3}−a^{3}}{3(b−a)} =

\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3} . Innen Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2} = \frac{4(a^{2}+b^{2}+ab)−3(a+b)^{2}}{12} = \frac{a^{2}+b^{2}−2ab}{12} = \frac{(b−a)^{2}}{12} .