\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}


%\nopagenumbers

\centerline{\bf A m\'arcius 21.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
Tekint\"unk n\'eh\'any feladatot, amelyek f\"uggetlen esem\'enyekkel
foglalkoznak.

\medskip
\item{1.)}
Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, amelyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\dfrac1{27}$, $y=\dfrac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\dfrac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.
\medskip\noindent
\item{2.)} Defini\'alunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon h\'arom $A_1$, $A_2$,
$A_3$-mal jel\"olt esem\'enyt, amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek,
azaz $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$
\'es $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$, de nem teljes\"ul a $P(A_1\cap
A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'ag, teh\'at
ezek az esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Alljon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben $\Omega$ 4 pontb\'ol, a jobb
szem\-l\'el\-he\-t\H{o}\-s\'eg kedv\'e\'ert legyenek ezek az $(1,1)$,
$(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ pontok, \'alljon $\Cal A$ az $\Omega$
halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, \'es legyen
$P(\{(1,1)\})=P(\{(1,2)\})=P(\{(2,1)\})=P(\{(2,2)\})=\dfrac14$.
Tekints\"uk az $A_1=\{(1,1),(1,2)\}$ $A_2=\{(1,1),(2,1)\}$ \'es
$A_3=\{(1,1),(2,2)\}$ halmazokat. Ekkor teljes\"ulnek a $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$ \'es $P(A_2\cap
A_3)=P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok, mert $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\dfrac12$,
\'es mivel $A_1\cap A_2=A_1\cap A_2=A_2\cap A_3=\{(1,1)\}$,
$P(A_1\cap A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\dfrac14$.
M\'asr\'eszt, $P(A_1\cap A_2\cap A_3)\neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, mert
 $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(\{(1,1)\})=\dfrac14$, \'es
$P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\dfrac18$.

\item{3.)} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{
relat\'{\i}v prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor.
Sz\'amoljuk ki a h\'arom egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-dob\'asb\'ol
\'all\'o r\'eszsorozatok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Adott k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 10 piros \'es 20
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk 10 alkalommal mind a k\'et urn\'ab\'ol
egy-egy goly\'ot, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'essel, a
m\'asodikb\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki azon
h\'uz\'asp\'arok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amelyekben
azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uztunk.
\medskip
\item{4.)} A $[0,1]$ intervallumra v\'eletlen\"ul ledobunk egy pontot.
Jel\"olje $\xi$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely
megmondja, hogy a pont hova esett. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o elosz\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Sz\'amoljuk ki a $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak is
az eloszl\'as \'es s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as.}\/ A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=x$,
ha $0\le x\le1$, $F(x)=1$, ha $x>1$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye ennek deriv\'altja,
$f(x)=1$, ha $0\le x\le 1$, $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$. A $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye:
$G(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)$, ahonnan $G(x)=0$, ha $x<0$,
$G(x)=\sqrt x$ ha $0\le x\le 1$, $G(x)=1$, ha $x>1$. $\xi^2$ $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye: $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$,
$g(x)=\frac12 x^{-1/2}$, ha $0\le x\le 1$.



\vfill\eject


\centerline{\bf A gyakorlaton t\'argyalt feladatok elm\'eleti
h\'atter\'er\H{o}l.  II.}


\medskip\noindent
Fontos megtanulni, hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani \'altal\'anos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ilyen jelleg\H{u} feladatokat
fogunk t\'argyalni. De ennek \'er\-de\-k\'e\-ben el\H{o}sz\"or meg
kell \'erten\"unk n\'eh\'any fontos fogalmat illetve n\'eh\'any
fontos eredm\'eny jelent\'es\'et. Ez\'ert feleleven\'{\i}tek
bizonyos az el\H{o}ad\'ason m\'ar t\'argyalt fontos ismeretet. A
v\'arhat\'o \'ert\'ek t\'argyal\'asa el\H{o}tt meg kell ismern\"unk
az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalm\'at. Meg kell \'erten\"unk azt,
hogy hogyan tudjuk kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket az
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel. K\'es\H{o}bb
r\'at\'er\"unk a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
fogalm\'anak ismertet\'es\'ere is, \'es arra, hogy hogyan tudjuk
kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'egf\"ugg\-v\'eny ismeret\'eben.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
 $\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.
\medskip
Megford\'{\i}tva, ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}bb megfogalmazott a)---d) tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}
\medskip\noindent
A Lebesgue integr\'al fogalm\'anak pontos ismerete nem sz\"uks\'eges
a tov\'abbiak meg\-\'er\-t\'e\-s\'e\-hez \'es a t\'argyalt feladatok
megold\'as\'ahoz. \'Erdemes megjegyezni, hogy ez egy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett f\"uggv\'enynek
azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n defini\'alt
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja.
Ez az integr\'alfogalom hasonl\'o a tanult Lebesgue integr\'al
fogalm\'ahoz. El\H{o}sz\"or egyszer\H{u} (v\'eges sok \'ert\'eket
felvev\H{o}) f\"uggv\'enyek integr\'al\'at defini\'aljuk
term\'eszetes m\'odon, majd term\'eszetes hat\'ar\'atmenet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt az integr\'alt \'ertelmezz\"uk
\'altal\'anos f\"uggv\'enyek eset\'en is. A defici\'o fogalmilag
nem neh\'ez, de a r\'eszletes elm\'elet kidolgoz\'asa m\'ely
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek ismeret\'et ig\'enyli. Erre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, viszont nagyon fontos tudni, hogy
noha a v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es a rajta defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'altuk, ahhoz, hogy kisz\'amoljuk
elegend\H{o} a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-nak az ismerete. Ezt az al\'abbi
jelent\H{o}s\'ege miatt {\it fontos t\'etelnek}\/
nevezett eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel tehetj\"uk meg.

\medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t, igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(amelyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$ k\'et
val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ kifejez\'esnek is l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
} \medskip\noindent
\medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et, vagy
azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.)} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$
\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az
$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbsz\"or fogunk besz\'elni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l is. Ez azt jelenti, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk. Sok \'erdekes \'es
fontos  eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, de nem mindegyiknek. P\'eld\'aul egy
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nincs s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
$f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez teljes\'{\i}ti minden
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)du.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, amely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden pontban, ahol az
$F(\cdot)$ differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$
minden $a\le x\le b$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel
teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.

Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$
v\'alaszt\'assal is.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Newton--Leibniz formula jelent\H{o}s\'ege
sz\'amunkra az, hogy eszerint az eredm\'eny szerint a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny (felt\'eve, hogy az l\'etezik)
egyenl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval.
Megford\'{\i}tva, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismeret\'eben meg
tudjuk hat\'arozni az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt. Annak \'ert\'eke
az $x$ pontban megegyezik a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $[-\infty,x]$ intervallumban.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du.
$$
}\medskip



\bye
