\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\centerline{\bf Az m\'ajus 2.-i gyakorlat feladatai}
 
\medskip\noindent
\item{1.)} Legyenek $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen exponenci\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, azaz legyen
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\"uk $f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$ ha
$x\ge 0$, \'es $f(x)=0$, ha $x>0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} \'Altal\'anosabban, legyenek $\xi_1, \dots \xi_m$
f\"ug\-get\-len exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\lambda>0$ param\'eterrel.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi_1+\cdots+\xi_m$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ki kell sz\'amolnunk az $f*f(x)$ illetve
$\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$ konvoluci\'okat a fenti
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mivel $f(x)=0$, ha $x\le 0$,
a konvoluci\'ot meghat\'aroz\'o integr\'alban szerepl\H{o} $f(y)f(x-y)$
integrandus nulla, ha $y\le 0$ vagy $x-y\le0$. Innen a konvoluci\'ot
defini\'al\'o integr\'al csak $x\ge0$ eset\'en lehet nulla, az $x\le0$
esetben $f(y)f(x-y)>0$ minden $y$-ra nulla, \'es $x\ge0$ eset\'en az
$f(y)f(x-y)>0$ integrandus csak $0\le y\le x$ eset\'en nem nulla.
Innen a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f_2(x)=f*f(x)$ $x<0$-ra $f_2(x)=0$,
\'es
$$
\align
f_2(x)&=f*f(x)=\int_{-\infty}^\infty f(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda e^{-\lambda y}\lambda e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\int_0^x \lambda^2 e^{-\lambda x}\,dy=\lambda^2xe^{-\lambda x},
\quad \text{ha } x\ge0.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, ha $f_m(x)=\underbrace {f*\cdots* f}_{m-\text{szer}}(x)$
jel\"oli $\xi_1+\cdots\xi_m$  s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, akkor
$f_m(x)=0$ minden $m\ge1$ sz\'amra, ha $x<0$. Azt \'all\'{\i}tjuk, hogy
$f_m(x)=\dfrac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!}e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$.
Ezen \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni teljes
indukci\'oval azt, hogy $f_{m-1}*f(x)=f_m(x)$ a fent defini\'alt $f_m$
f\"uggv\'enyekkel. Viszont
$$
\align
f_{m-1}*f(x)&=\int_{-\infty}^\infty f_{m-1}(y)f(x-y)\,dy=\int_0^x
\lambda^{m-1}\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \lambda
e^{-\lambda y}e^{-\lambda(x-y)}\,dy\\
&=\lambda^m e^{-\lambda x}\int_0^x
\frac{y^{m-2}}{(m-2)!} \,dy=e^{-\lambda
x}\frac{\lambda^m x^{m-1}}{(m-1)!},\quad\text{ha }x\ge0.
\endalign
$$
M\'asr\'eszt $f_m(x)=0$, ha $x\le 0$.
\item{2.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
mind a kett\H{o} $f(x)=\frac12e^{-x}$, $-\infty<x<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. L\'assuk be el\H{o}sz\"or, hogy
$f(x)$ val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki a $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $f(x)$ f\"uggv\'eny minden pontban
nem negat\'{\i}v. Annak ellen\H{o}rz\'es\'ehez, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell megmutatnunk,
hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Viszont
hogy $\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=\frac12\int_{-\infty}^0 e^{x}\,dx
+\frac12\int_0^{\infty}
e^{-x}\,dx=\frac12\[e^x\]_{-\infty}^0+\frac12\[-e^{-x}\]_0^\infty=1$.
\item{} A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o  $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et a $g(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(y)f(x-y)\,dy$ formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel
sz\'am\'{\i}thatjuk ki. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt az integr\'alt.
Tekints\"uk el\H{o}sz\"or azt az esetet, amikor $x\ge0$. Az
integr\'alt sz\'am\'{\i}tsuk ki \'ugy, hogy n\'ezz\"uk mind
a n\'egy (elvileg) lehets\'eges esetet, amikor a) $y\ge0$ \'es
$x-y\ge0$, b)  $y\ge0$ \'es $x-y<0$, c) $y<0$, $x-y\ge0$, d) $y<0$,
$x-y<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki mind a n\'egy esetben azt, hogy milyen
tartom\'anyban veszi fel \'ert\'ek\'et az $y$ v\'altoz\'o, \'es mi az
integrandus illetve az integr\'al \'ert\'eke ebben a
tartom\'anyban. Az a) esetben $0\le y\le x$, az integrandus
$f(y)f(x-y)=\frac14e^{-y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{-x}}4$, az integr\'al
pedig $\frac{xe^{-x}}4$ az a) tartom\'anyban. A b) esetben  $y>x$
\'es $f(y)f(x-y)= \frac{e^{-y}e^{x-y}}4=\frac{e^{x-2y}}4$ az integr\'al
pedig $\frac14\int_x^\infty e^{x-2y}\,dy=\frac{e^{-x}}8$, a c) esetben
$y<0$ \'es $f(y)f(x-y)=\frac14e^{y}e^{-(x-y)}=\frac{e^{2y-x}}4$, az
integr\'al pedig $\frac14\int_{-\infty}^0 e^{2y-x}\,dy=\frac{e^{-x}}8$,
a d) eset nem lehets\'eges, mert ekkor egyr\'eszt az $y<0$ m\'asr\'eszt
az $y>x\ge0$ felt\'eteleknek kellene teljes\"ulni\"uk. Innen
azt kapjuk, hogy $g(x)=\frac{(x+1)e^{-x}}4$, ha $x>0$. Mivel $f$
szimmetrikus f\"uggv\'eny, ez\'ert mint nem neh\'ez megmutatni, $f(x)$
is az. Teh\'at $g(-x)=g(x)$, \'es $g(x)=\frac{(|x|+1)e^{-|x|}}4$.
\item{3.)} Legyenek $\xi$ \'es $\eta$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  $f(x)$ \'es $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Mutassuk meg, hogy $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $h(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(x+y)g(y)\,dy$ f\"uggv\'eny. \'Erts\"uk meg e formula szeml\'eletes
tartalm\'at is.
\item{} {\it Megold\'as}\/ Legyen $\bar\eta=-\eta$. Ekkor
$\bar\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(-x)$, $\xi$ \'es
$\bar\eta$ f\"uggetlenek \'es $\xi-\eta=\xi+\bar\eta$. Innen $\xi-\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(x-y)g(-y)\,dy$, \'es elv\'egezve az $\bar y=-y$ helyettes\'{\i}t\'est
az integr\'alban megkapjuk a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'ast.
\item{} Szeml\'eletes (nem prec\'{\i}z) magyar\'azat: Annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy  a $\xi-\eta$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o az $[x,x+dx]$
intervallumba esik $h(x)\,dx$. Ez \'ugy k\"ovetkezhet be, hogy az a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o valamely $x+y$ \'ert\'eket
vesz fel, az $\eta$ pedig az $[y,y+dx]$ intervallumba esik aminek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $f(x+y)g(y)\,dx$, az $y$ pedig
tetsz\H{o}leges, azaz e v\'altoz\'ora \"osszegezni, illetve folytonos
\'ert\'ek\H{u} l\'ev\'en integr\'alni kell. Ez azt jelenti, hogy
$h(x)\,dx=\(\int f(x+y)g(y)\,dy\)\,dx$. Hasonl\'o m\'odon
megmagyar\'azhat\'o a konvoluci\'o formula is.)
\item{4.)} Ha a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)$, akkor az $\eta=a\xi+b$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, $a>0$ $g(x)=\frac1{a}f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $F(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $\eta$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
$G(x)=P(\eta<x)=P(a\xi+b<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac
d{dx}F\(\frac{x-b}a\)=\frac1a f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{5.)} K\'et botot v\'eletlenszer\H{u}en, egyenletes
eloszl\'assal elt\"or\"unk. A k\'et r\"ovidebb darabot
\"osszeragasztjuk. Mi az \'{\i}gy kapott \'uj bot hossz\'anak az
$F(u)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye? \medskip
\item{}{\it Negold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt
adja meg, hogy a $j$-ik bot r\"ovidebb v\'eg\'enek mi a hossza.
Ekkor $\xi_1$, \'es $\xi_2$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok, melyek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az az $f(\cdot)$
f\"uggv\'eny, amelyre $f(x)=2$, ha $0\le x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$
egy\'ebk\'ent. Minket a $\xi_1+\xi_2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asa \'erdekel. Viszont $\xi_1+\xi_2$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=f*f(x)$, ahonnan $g(x)=2-|2-4x|$,
ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$ k\"ul\"onben. Ezt kiintegr\'alva megkapjuk
az eredm\'enyt, amelyet a a k\"ovetkez\H{o} k\'epletek adnak meg:
$F(u)=0$, ha $u\le 0$, $F(u)=1-2u^2$, ha $0\le u\le \frac12$,
$F(u)=1-2(1-u)^2=4u-2u^2-1$, ha $\frac12\le u\le 1$. Ha $u\ge1$,
akkor $F(u)=1$.
\item{6.)} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy
t\'eren egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal.
Mind a kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig
nem j\"on, akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$,
$j=1,2$, azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely azt adja
meg, hogy h\'any (0 \'es 1 k\"oz\"otti sz\'ammal kifejezhet\H{o})
\'or\'aval 8 \'ora ut\'an jelent meg a $j$-ik ember a helysz\'{\i}nen.
Ekkor $\xi_1$ \'es $\xi_2$ f\"uggetlen a $[0,1]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Minket a $-\frac12\le \xi_1-\xi_2\le \frac 12$ esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege \'erdekel. Az $F(u)=P(\xi_1-\xi_2<u)$
eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(u)=f_1*f_2(u)$
konvol\'uci\'o, ahol $f_1(u)=1$, ha $0\le u\le 1$, $f_1(u)=0$,
k\"ul\"onben, $f_2(u)=1$, ha $-1\le u\le0$, $f_2(u)=0$ k\"ul\"onben.
Ekkor a minket \'erdekl\H{o} mennyis\'eg az $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}g(u)\,du$ integr\'al.
Tov\'abb\'a,
$$
g(x)=f_1*f_2(x)=\int_{-\infty}^{\infty} f_1(u)f_2(x-u)\,du
=\int_{-\infty}^{\infty} f(u)f(x-u)\,du, \;\; -\infty<x<\infty,
$$
ahol $f(u)=1$, ha $\frac12\le  u\le \frac12$, $f(u)=0$, ha
$u\ge\frac12$.
\item{} A kor\'abbi feladatok megold\'as\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$g(u)=1-u$, ha $0<u<1$ $g(u)=1+u$, ha $-1<u<0$. Innen $F\(\frac12\)
-F\(-\frac12\)=\dsize\int_{-1/2}^{1/2}(1-|u|)\,du=\dfrac34$.
\item{7.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
\'es $\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2,
$\xi_j=4$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
eredm\'enye fej, \'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
\'{\i}r\'as. Legyen $\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al
a nyerem\'eny\"unk $\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a
$P\(3190\le \summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a f\"uggetlen $\zeta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\dfrac16(2+4+6)\dfrac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\dfrac16(4+16+36)\cdot\dfrac12
=\dfrac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\dfrac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$    \allowdisplaybreaks
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\dfrac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
\item{8.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\dfrac34$, $E\xi_j=\dfrac34$, $E\xi_j^2=\dfrac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\dfrac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\dfrac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\dfrac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\dfrac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\dfrac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\dfrac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\item{9.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervalumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\dfrac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\H{o}rz\"ott pontok \'ert\'ekeinek
az \"osszege 5900  \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk erre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est
a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le
1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke az $(1,2]$
intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok \"osszege
$S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Vegy\"uk \'eszre, hogy ugyan a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\'us\'egi v\'altoz\'onak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem disz\-kr\'et eloszl\'aa\'u,
viszont anak $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enye fel\'{\i}rhat\'o
$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol $F_1(x)$ nek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ami az $f(x)=\frac12$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy
$x>1$, \'es $F_2(x)$ olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amelyik a
null\'aba van koncentr\'alva, \'es a nulla m\'ert\'eke $\frac12$.
Pontosabban, tetsz\H{o}leges $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(A)=\int_A F(\,dx)=\int_A F_1(\,dx)+\int_A F_2(\,dx)=
\int_A \frac12\,dx+\int_A F_2(\,dx)$, ahol
$\int_A F_2(\,dx)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es
$\int_A F_2(\,dx)=0$, ha $0\notin A$. Ekkor tetsz\H{o}leges $h(x)$
f\"uggv\'enyre $Eh(\xi)=\int h(x) F(\,dx)=\int h(x) F_1(\,dx)+\int h(x)
F_2(\,dx)=\int _0^1 \frac12 h(x)\,dx+\frac12 h(0)$. Ez\'ert
$$
E\xi_1=\frac12\int_0^1 x\,dx=\dfrac14, \qquad
E\xi_1^2=\frac12\int_0^1 x^2\,dx=\dfrac16,
$$
$\Var \xi_1=\dfrac16-\dfrac1{16}=\dfrac5{48}$, \'es $ES=6000$, $\Var
S=2500$. Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2< \frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$
 
 
 
\bye
