\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm

\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10


\centerline{\bf A gyakorlaton t\'argyalt feladatok elm\'eleti
h\'atter\'er\H{o}l.}

\medskip\noindent
A gyakorlaton t\'argyalt feladatok vizsg\'alat\'aban nagyon fontos a
f\"uggetlens\'eg fo\-gal\-m\'a\-nak, (mind az esem\'enyek mind a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek) az
ismerete, illetve az e fogalmakhoz kapcsol\'od\'o
eredm\'enyek haszn\'alata. Ugyancsak fontos a v\'arhat\'o \'ert\'ek
\'es sz\'or\'asn\'egyzet fogalm\'anak az ismerete, illetve az, hogy
az e mennyi\-s\'e\-gek ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz sz\"uks\'eges
eredm\'enyeket tudjuk j\'ol haszn\'alni. Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlen\'es\'eg\'et valamint ezek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et egyszer\H{u}bb
el\H{o}sz\"or disz\-kr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok eset\'en t\'argyalni \'es csak azut\'an t\'erni r\'a
az \'altal\'anos esetre. (Ezt a t\'argyal\'asi m\'odot k\"oveti
Fazekas Istv\'an jegyzete is.) Egy m\'asik, r\"ovidebb t\'argyal\'asi
m\'od, r\"ogt\"on az \'altal\'anos eset ismertet\'ese. Ezzel sok
ism\'etl\'est el lehet ker\"ulni. Ezt a hozz\'a\'all\'ast
k\"oveti az el\H{o}ad\'as is. Ugyanakkor fontos meg\'erteni e
t\'argyal\'asi m\'od eset\'en is at, hogy mit mondanak ki az
\'altal\'anos eredm\'enyek abban a speci\'alis esetben, ha diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat tekint\"unk.
Az al\'abbiakban ismertetem a legfontosabb tudnival\'okat.

\medskip \noindent
{\bf K\'et esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $A$ \'es $B$ esem\'eny f\"uggetlen, ha $P(A\cap
B)=P(A)P(B)$.} \medskip\noindent
Ez a definici\'o azonban \"onmag\'aban nem kiel\'eg\'{\i}t\H{o}
sz\'amunkra. Besz\'elni akarunk t\"obb esem\'eny
f\"uggetlens\'eg\'er\H{o}l is. Ez\'ert a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot
is bevezetj\H{u}k.
\medskip\noindent
{\bf T\"obb esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen)
f\"uggetlenek, ha az $\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden
$\{j_1,\dots,j_k\}\subset \{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
Speci\'alisan $n=3$ esetben ez a definici\'o a k\"ovetkez\H{o}t
jelenti: Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok {\it mindegyike}\/ teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
\medskip
Bizonyos alkalmaz\'asokban fontos a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, \'es
bevezetj\"uk az $A_j^{1}=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$
jel\"ol\'eseket, akkor tetsz\H{o}leges $\e_j=\pm1$, $1\le j\le n$,
sorozatra az $A_1^{\e_1},\dots,A_n^{\e_n}$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
Vezess\"uk be el\H{o}sz\"or diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok fogalm\'at,
majd azok eloszl\'as\'at, f\"uggetlens\'eg\'et.



\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezek n\'eh\'any fontos eredm\'enyt (diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok illetve ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.

\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma:} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi$ az $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.}
\medskip
Id\H{o}nk\'ent hasznos nemcsak val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol besz\'elni,
hanem kiss\'e \'altal\'anosabban olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat defini\'alni, amelyek
\'ert\'ekeiket egy \'al\-ta\-l\'a\-nos t\'eren veszik fel.
(P\'eld\'aul bizonyos esetekben \'erdemes olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat tekinteni, amelyek
\'ert\'eke komplex sz\'am, vagy nem egyetlen sz\'am, hanem egy
sz\'am-$n$-es. Az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vektor \'ert\'ek\H{u}nek szokt\'ak h\'{\i}vni.) Annak \'erdek\'eben,
hogy ezt megtehess\"uk tekints\"unk valamilyen $X$ halmazt, \'es e
halmaz kit\"untetett r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak $\Cal X$
osz\-t\'a\-ly\'at, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Egy az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
$X$ t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'enyt $X$-t\'er \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak ne\-ve\-z\"unk.
Az, hogy ez a f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden
$Y\in\Cal X$ halmazra az $\{\oo\:\xi(\oo)\in Y\}\in \Cal A$ felt\'etel
teljes\"ul.

\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es azok eloszl\'asa.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n diszkr\'etnek vagy diszkr\'et eloszl\'as\'unak h\'{\i}vunk,
ha megadhat\'o egy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
sz\'amoss\'ag\'u $x_1,x_2,\cdots$, halmaz \'ugy, hogy az
$\{\oo,\xi(\oo)=x_n\}$, $n=1,2,\dots$, halmazok teljes
esem\'enyrendszert alkotnak. Egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak
azok az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekek amelyeket az felvesz \'es a
$p_n=P(\xi=x_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek. (Jegyezz\"uk meg, hogy
$\summ_n P(\xi=x_n)=1$.)

Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel. Ezek egy\"uttes
eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak a $P(\xi_1=x_{j_1},
\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k})$, $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek.}
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Azt
mondjuk, hogy ezek az $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha
$$
P\(\xi_1=x_{j_1},\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k}\)=
P\(\xi_1=x_{j_1}\)P\(\xi_2=x_{j_2}\)\cdots P\(\xi_k=x_{j_k}\)
$$
minden $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$, indexre.}
\medskip
Igazak a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyek.
\medskip\noindent
{\bf Lemma:}
{\it Legyenek adva $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, diszkr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Legyenek
$A_1\subset \{x_1,x_2,\dots\},A_2\subset \{x_1,x_2,\dots\},\dots,
A_k\subset \{x_1,x_2,\dots\}$ tetsz\H{o}leges halmazok. Ekkor
$$
P\(\xi_1\in A_1,\xi_2\in A_2,\dots,\xi_k\in A_k\)=
P\(\xi_1\in A_1\)P\(\xi_2\in A_2\)\cdots P\(\xi_k\in A_k\).
$$
Speci\'alisan, ekkor tetsz\H{o}leges $\{j_1,\dots,
j_s\}\subset\{1,\dots,k\}$ indexhalmazra a $\xi_{j_1},\dots,\xi_{j_s}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.}
\medskip \noindent
{\bf T\'etel:} {\it Legyenek adva $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen, 
diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi 
v\'altoz\'ok egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n,
\'es legyenek $h(x_1),\dots, h(x_k)$ tetsz\H{o}leges f\"uggv\'enyek,
amelyek a $\xi_1$,\dots, $\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'ert\'ekk\'eszlet\'en vannak defini\'alva, ez\'ert
lehet az $\eta_1=g_1(\xi_1)$,\dots, $\eta_k=g_k(\xi_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okr\'ol besz\'elni.
Ekkor $\eta_1,\dots,\eta_k$ f\"uggetlen
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok.}
\medskip \noindent
{\bf Halmaz indik\'atorf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it
Legyen adva egy $A\in \Cal A$ esem\'eny egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'eny\'en azt a $\chi_A(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot \'ertj\"uk, amelyre
$\chi_A(\oo)=1$, ha $\oo\in A$, \'es $\chi_A(\oo)=0$, ha $\oo\notin
A$.} \medskip
Ezzel a jel\"ol\'essel a k\"ovetkez\H{o} kapcsolatot
l\'etes\'{\i}thetj\"uk esem\'enyek \'es (diszkr\'et el\-osz\-l\'a\-s\'u)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege k\"oz\"ott.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek  $A_1$,\dots, $A_k$ esem\'enyek egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek akkor \'es csak akkor f\"uggetlenek,
ha azok $\chi_{A_1}(\oo),\dots,\chi_{A_k}(\oo)$
in\-di\-k\'a\-tor\-f\"ugg\-v\'e\-nyei f\"uggetlenek.}

\medskip\noindent
R\'at\'erek a v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet 
t\'argyal\'as\'ara.
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
amely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel $p_k=P(\xi=x_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, $k=1,2,\dots$,
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)
$$
\"osszeg, felt\'eve hogy ez az \"osszeg abszolut konvergens. Ha ez az
\"osszeg nem abszolut konvergens, akkor nem defini\'aljuk az $E\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it  Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$ (diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ame\-lyek\-nek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor a $\xi_1+\xi_2$
\"osszegnek is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek adva $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
ame\-lyek\-nek l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk, \'es legyenek
$c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amok. Ekkor a
$c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k\)
=c_1E\xi_1+c_2E\xi_2+\cdots+c_kE\xi_k.
$$
}\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} A fenti t\'etel, illetve annak k\"ovetkezm\'enye
\'erv\'enyes \'altal\'anos, nem fel\-t\'et\-le\-n\"ul diszkr\'et
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben is.
\medskip\noindent
{\it Fontos \'eszrev\'etel:} A fenti t\'etelbem, illetve annak
k\"ovetkezm\'eny\'eben nem tett\"uk fel, hogy az \"osszegben
szerepl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek.
Ez azt jelenti, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et ki tudjuk
sz\'am\'{\i}tani akkor is, ha csak az egyes \"osszeadand\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et tudjuk kisz\'amolni. Az, hogy
az egyes \"osszeadand\'ok f\"uggetlenek-e vagy er\H{o}sen f\"uggnek-e
egym\'ast\'ol, nem befoly\'asolja \"osszeg\"uk v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek a nagys\'ag\'at. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.}  {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amely bizonyos $x_1,x_2,\dots$
\'ert\'eket vesz fel \'es $g(x)$ val\'os f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi)=\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j),
$$
felt\'eve, hogy a $\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j)$ \"osszeg
abszolut konvergens.}


\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen,
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyek mindegyik\'ere l\'etezik az $E\xi_j$, $1\le j\le n$,
v\'arhat\'o \'ert\'ek. Ekkor az $E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek is l\'etezik, \'es
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$}

\medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
a
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy $\Var
\xi=\infty$.}

\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2.
$$

\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Minden $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amra
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$}

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)=
\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n.
$$}
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etel fontos felt\'etele volt, hogy a
tekintett \"osszeg tagjai f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok. Ezt a felt\'etelt lehet gyeng\'{\i}teni, de
teljesen elhagyni nem lehet.
\medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
kovariancif\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja. Ha a $E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$
felt\'etelek valamelyike nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a
$\Cov(\xi,\eta)$
kovariancif\"uggv\'enyt.}
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$

\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^nE\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\Cov(\xi_j,\xi_k)$.
\medskip





\bye
