\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}

%\nopagenumbers

\centerline{\bf A febru\'ar 21.-i gyakorlat feladatai}
\medskip

\item{1.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan
az \"ot\"odik dob\'asban jelenik meg az els\H{o} fej-dob\'as? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik fej-dob\'as pontosan
\"ot dob\'assal az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an k\"ovetkezik be?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Akkor lesz az els\H{o} fej-dob\'as az
\"ot\"odik  dob\'as, ha el\H{o}sz\"or n\'egy \'{\i}r\'as-dob\'as
majd egy fej-dob\'as t\"ort\'enik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac12\)^4\cdot\frac12=\(\frac12\)^5$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o}
fej-dob\'as $2^{-k}$, $k=1,2,\dots$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o} fej-dob\'as, ut\'ana
pedig 5 dob\'as m\'ulva k\"ovetkezik be a m\'asodik fej-dob\'as
$2^{-k}\cdot2^{-5}=2^{-k-5}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott pontosan 5
dob\'as k\"ovetkezik be kisz\'amolhatjuk \'ugy is, hogy kisz\'amoljuk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra kisz\'amoljuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $k$-ik dob\'as volt az els\H{o}
\'es a $k+5$-ik dob\'as a m\'asodik fej-dob\'as, majd
\"osszegez\"unk $k=1,2,\dots$-ra. \'Igy azt kapjuk, hogy a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\summ_{k=1}^\infty
2^{-k-5}=2^{-5}\summ_{k=1}^\infty 2^{-k}=2^{-5}$.
\item{2.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'asig
ugyanannyi dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} \'es m\'asodik
fej\-dob\'as k\"oz\"ott? Annak, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
fejdob\'as\'as k\"oz\"ott t\"obb dob\'as t\"ort\'enik, mint az
els\H{o} fejdob\'asig? P\'eter \'es P\'al egyid\H{o}ben egym\'as
ut\'an feldob egy-egy szab\'alyos p\'enzdarabot. Arra vagyunk
kiv\'ancsiak ki dob el\H{o}sz\"or fejet. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter dob\'asai k\"oz\"ott
el\H{o}bb jelenik meg egy fej-dob\'as mint P\'al dob\'asai k\"oz\"ott?
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egyszerre k\"ovetkezik be
P\'eter \'es P\'al els\H{o} fej-dob\'asa?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a $k$-ik \'es $2k$-ik dob\'asban t\"ort\'enik az els\H{o} \'es
m\'asodik fej-dob\'as $2^{-2k}$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig ugyanannyi dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} \'es
m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott $\summ_{k=1}^\infty
2^{-2k}=\frac14\frac1{1-\frac14}=\frac13$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'as a $k$-ik
dob\'as, a m\'asodik dob\'as pedig a $2k+1.,2k+2.,\dots$ dob\'as
valamelyike, azaz t\"obb dob\'as t\"ort\'enik az els\H{o} \'es
m\'asodik dob\'as k\"oz\"ott $2^{-k}\summ_{j=k+1}^\infty2^{-j}
=2^{-2k}\summ_{j=1}^\infty2^{-j}=2^{-2k}$. \'igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege hogy az els\H{o} \'es m\'asodik dob\'as
k\"oz\"ott t\"obb dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} dob\'asig
$\summ_{k=1}^\infty 2^{-2k}=\frac13$.
\item{} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter \'es P\'al
dob\'asai k\"oz\"ott a $k$-ik dob\'asban jelenik meg el\H{o}sz\"or
fej-dob\'as, \'es P\'eter fejet dob, P\'al pedig nem
$2{-2(k-1)+2}=2^{-2k}$, \'es annak, hogy mind a ketten fejet dobnak
szint\'en $2^{-2k}$. Ez\'ert mind az, hogy P\'eter el\H{o}bb dob
fejet, mint P\'al, illetve annak is, hogy egyszerre dobnak fejet
$\summ_{k=1}^\infty2^{-2k}=\frac13$.
\medskip
Az, hogy az el\H{o}z\H{o} feladatokban bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek heurisztikusan
\'erezhet\H{o}. \'Igy ha megv\'arjuk, m\'{\i}g az els\H{o}
fej-dob\'as bek\"ovetkezett \'es ut\'ana v\'arjuk, hogy mennyi ideig
kell v\'arni ezut\'an a m\'asodik fejdob\'asig az ugyanolyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\"orv\'enyeknek tesz  eleget, mint annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mennyi ideig kell v\'arni az
els\H{o} fej-dob\'asra. Ez\'ert annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy 5 l\'ep\'esig kell v\'arni a fej-dob\'asra \'es annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an
\"ot l\'ep\'esig kell v\'arni a m\'asodik fej-dob\'asra megegyezik.
Hasonl\'oan, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig illetve az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as
k\"oz\"ott ugyanannyi l\'ep\'es t\"ort\'ent megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy P\'eter \'es P\'al egyszerre
dob fejet. Felmer\"ulhet az ig\'eny, hogy pr\'ob\'aljunk a
heurisztikus indokl\'asb\'ol prec\'{\i}z b\'{\i}zony\'{\i}t\'ast
tenni. Ennek \'erdek\'eben az els\H{o} l\'ep\'es az, hogy a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as dob\'asok sorozat\'at le\'{\i}r\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt meg\'erts\"uk.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk v\'egtelen sokszor.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} hatos
dob\'asig ugyanannyi dob\'as t\"ort\'ent, mint az els\H{o} \'es
m\'asodik hatos dob\'as k\"oz\"ott?
\medskip
\item{3.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy lott\'on
pontosan h\'arom tal\'alatot \'er\"unk el? Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
kit\"olt\"unk 10 lott\'oszelv\'enyt, \'es egyetlen h\'arom
tal\'alatos szelv\'eny\"unk lesz?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Minden az 1 \'es 90 sz\'amok valamelyik\'et
tartalmaz\'o sz\'am\"ot\"os megjelen\'ese egyform\'an
val\'osz\'{\i}n\H{u}. \'Igy minden egyes h\'uz\'as eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{\binom{90}5}$. Kit\"olt\"ott\"unk
5 sz\'amot, sz\'amoljuk ki h\'any h\'uz\'aseredm\'eny sor\'an lesz
pontosan h\'arom tal\'alatunk. Ez \'ugy lehets\'eges, ha a kih\'uzott
5 sz\'am k\"oz\"ul 3 az \'altalunk kit\"olt\"ott 5 sz\'am k\"oz\"ul
val\'o, 2 pedig a ki nem t\"olt\"ott 85 sz\'am k\"oz\"ul.
Ez $\binom 53\binom{85}2$ f\'ele m\'odon lehets\'eges. Ez\'ert a
h\'armas tal\'alat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac{\binom
53\binom{85}2}{\binom{90}5}$. Annak  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy nincs 3 tal\'alat $1-\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}$.
Ha egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul kit\"olt\"unk 10 szelv\'enyt, akkor
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy 3 tal\'alatos szelv\'eny
sem jelenik meg $\(1-\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}\)^{10}$.
 Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik szelv\'eny 3
tal\'alatos, a t\"obbi pedig nem $\frac{\binom
53\binom{85}2}{\binom{90}5} \(1-\frac{\binom
53\binom{85}2}{\binom{90}5}\)^{9}$ minden $1\le j\le10$ sz\'amra.
Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 10 egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul kit\"olt\"ott szelv\'enyek k\"oz\"ul pontosan 1 darab 3
tal\'alatos lesz $10\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}
\(1-\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}\)^{9}$.
\item{4.} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul az egys\'egintervallumra
\'ugy, hogy az intervallum egy $[a,b]\subset[0,1]$
r\'eszintervallum\'aba $b-a$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a
pont. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a pont pontosan a
$\frac\pi6$ pontba esik? Lehets\'eges-e olyan esem\'enyt megadni,
amely bek\"ovetkezhet, de bek\"ovetkez\'es\'enek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla?
\item{} {\it Megold\'as:} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont pontosan egy el\H{o}\'{\i}rt pontba, mondjuk a
$\frac\pi6$ pontba esik nulla. Ez p\'elda olyan esem\'enyre, amely
bek\"ovetkezhet, noha a bek\"ovetkez\'es
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla.
\medskip
\item{5.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt arra, hogy
egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor feldobunk. Adjunk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt arra, hogy egy pontot
egyenletes eloszl\'assal az egys\'egintervallumra ledobunk. Arra,
hogy k\'et pontot dobunk le egyenletes eloszl\'assal az
egys\'egintervallumra. Arra, hogy egy pontot egyenletes
eloszl\'assal az egys\'egn\'egyzetre dobunk le.
\item{} {\it Megold\'as:} Tekints\"uk el\H{o}sz\"or a szab\'alyos
p\'enzdob\'as egy lehets\'eges modellj\'et. Le\-gye\-nek az elemi
esem\'enyek a v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as sorozatok. A biztos esem\'eny
az \"osszes v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as sorozatot tartalmaz\'o
halmaz. Az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
definici\'oj\'aban eddig csak az $\Omega$ halmazt adtuk meg.
El\H{o}sz\"or defini\'aljuk az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, azon
esem\'enyek, az $\Omega$ azon r\'eszhalmazainak a rendszer\'et,
amelyeknek tudunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l besz\'elni.
Ez a kor\'abbi egyszer\H{u}, v\'eges sok lehets\'eges kimenetet
tartalmaz\'o modellekt\H{o}l elt\'er\H{o}en nem tartalmazza
$\Omega$ minden r\'eszhalmaz\'at. Term\'eszetes megk\'{\i}v\'anni,
hogy $\Cal A$ tartalmazza azokat az esem\'enyeket, amelyek
le\'{\i}rj\'ak az els\H{o} $n$ dob\'as eredm\'eny\'et valamely
eg\'esz $n$ sz\'amra. Azaz $\Cal A$ tartalmazza a k\"ovetkez\H{o}
halmazokat. Tekints\"unk egy $n$ hossz\'us\'ag\'u
$(\dots,F,\dots,I,\dots)$ fej--\'{\i}r\'as sorozatot, \'es legyen
$A(\dots,F,\dots,I,  \dots)$ azon v\'egtelen fej--\'{\i}r\'as sorozatok
halmaza, amelyek els\H{o} $n$ jegye megegyezik ennek a sorozatnak az
elemeivel. Van egy olyan viszonylag egyszer\H{u} t\'etel, amely
szerint l\'etezik egy  ezeket a halmazokat tartalmaz\'o
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebra, \'es ez lesz az $\Cal A$
$\sigma$-algebra. Az el\H{o}bbi (el\H{o}\'{\i}rt els\H{o} $n$ jegyet
tartalmaz\'o $A(\dots,F,\dots,I,\dots)$ halmaz,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyen $2^{-n}$. Ez jelenti azt, hogy a
dob\'asok szab\'alyosak voltak. A m\'ert\'ekelm\'elet egy m\'ely
t\'etele szerint ez a halmazf\"uggv\'eny {\it egy\'ertelm\H{u}en}
kiterjeszthet\H{o}, mint egy $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny, az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ara, \'es ez lesz a $P$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek. A k\"ovetkez\H{o}
feladatban p\'eld\'at l\'atunk arra, hogy ennek a t\'enynek
meglep\H{o}en m\'ely k\"ovetkezm\'enyei is vannak.
\medskip
\item{} Egy v\'eletlen\"ul ledobott  pont hely\'enek a modellj\'ere
hasonl\'o logika (\'es hasonl\'o m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek)
seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet p\'eld\'at adni. Legyen $\Omega$ a $[0,1]$
intervallum, $\Cal A$ az $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumok, $\Cal A$
az ezen intervallumok \'altal gener\'alt legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebra. (Ezt a $[0,1]$ intervallumon \'ertelmezett Borel
$\sigma$-algebr\'anak nevezik az irodalomban.) Legyen $P([a,b])=b-a$,
ha $0\le a\le b\le1$, \'es egy $A\in\Cal A$ halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege legyen az el\H{o}bb defini\'alt
halmazf\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u} kiterjeszt\'ese, mint
$\sigma$-addit\'{\i}v halmazf\"uggv\'eny a $\Cal A$
$\sigma$-algebr\'ara. Ezt nevezik az irodalomban Lebesgue-m\'ert\'eknek.
\medskip
\item{} K\'et egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, v\'eletlen\"ul ledobott
pont hely\'enek a modellj\'ere hasonl\'o modell adhat\'o. Ekkor
$\Omega=[0,1]\times[0,1]$, (az \"osszes lehets\'eges kimenet halmaza),
$\Cal A$ az $[a,b]\times[c,d]\subset [0,1]\times[0,1]$ alak\'u
halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebra,
$P([a,b]\times[c,d])=(b-a)(d-c)$, \'es a $P$ m\'ert\'ek ennek a
halmazf\"uggv\'enynek az egy\'ertelm\H{u} $\sigma$-addit\'{\i}v 
kiterjeszt\'ese. Ez a modellje egyben annak is, ha egy pontot dobunk 
le az egys\'egn\'egyzetre.

\medskip
\item{6.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk v\'egtelen sokszor.
Mutassuk meg, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az $n$-ik
dob\'asban lesz az 5. fejdob\'as, $n\ge5$, $\binom{n-1}42^{-n}$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb 5 fejdob\'as van 1.
$\summ_{n=5}^\infty \binom{n-1}42^{-n}=1$.
\item{} {\it Megold\'as:} \"Osszesen $\binom{n-1}4$ olyan $n$
hossz\'us\'ag\'u fej--\'{\i}r\'as sorozat van, melynek 5. jegye fej,
mert az els\H{o} $n-1$ helyen pontosan 4 fej kell, hogy legyen \'es az
$n$-ik dob\'as fej. Mivel minden $n$ hossz\'us\'ag\'u fej--\'{\i}r\'as
sorozat $2^{-n}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel jelenik meg,
ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\binom{n-1}42^{-n}$.
Tekints\"unk egy nagy $N$ sz\'amot. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $N$ dob\'asban nincs fej,
$2^{-N}$, \'{\i}gy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb
1 fejdob\'as van $1-2^{-N}$. Hasonl\'o \'ervel\'es mondhat\'o el annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy az $N+1$-ik \'es $2N$-ik
$2N+1$-ik \'es $3N$-ik dob\'as k\"oz\"ott $1-2^{-N}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel van fej-dob\'as, stb. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van 5 fej-dob\'as nagyobb,
mint $(1-2^{-N})^5$ tetsz\H{o}leges $N$ sz\'amra. Ez csak \'ugy
lehets\'eges, hogy a k\'erdezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1. Az
utols\'o azonoss\'ag ennek a t\'enynek az \'at\'{\i}r\'asa, mert
az azonoss\'ag baloldal\'an annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege szerepel,
hogy valamely $n\ge5$ sz\'amra, az $n$-ik dob\'as az \"ot\"odik fej
dob\'as.
 \medskip


\item{7.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik
e halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{8.} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot v\'eletlenszer\H{u}en,
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk.
A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot
hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont
a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le
ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup
A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet melynek cs\'ucsai
a $(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip

\bye
