\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt

\nopagenumbers

\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\bigskip
\item{1.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$\lambda=1$ param\'eterrel, azaz legyen mind $\xi$ mind $\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-x}$, ha $x\ge0$, \'es
$f(x)=0$, ha $x<0$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $2\xi+3\eta+1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{2.)} Van k\'et urna, mind a kett\H{o} 10 darab piros \'es 20
darab feh\'er goly\'ot tartalmaz. Kih\'uzunk 10-szer egym\'as ut\'an egy
egy goly\'ot a k\'et urn\'ab\'ol. Az els\H{o} urn\'ab\'ol visszatev\'essel,
a m\'asodik urn\'ab\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul h\'uzunk goly\'ot.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki azon h\'uz\'asp\'arok sz\'am\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amelyekben a
k\'et kih\'uzott goly\'o sz\'{\i}ne megegyezik.
\item{3.)} Ledobunk az egys\'egk\"orre egy pontot egyenletes
eloszl\'assal, azaz legyen annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
pont az egys\'egk\"or egy $A$ r\'eszhalmaz\'aba esik $\frac 1\pi$-szer
az $A$ halmaz ter\"ulete. Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, amely megadja e v\'eletlen pont
t\'avols\'ag\'at a k\"or k\"oz\'eppontj\'at\'ol.
\item{4.)} A k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atsszuk. K\'et szab\'alyos
p\'enzdarabot feldobnak egym\'as ut\'an 10~000 alkalommal. Ha egy
dob\'as eredm\'enye k\'et fejdob\'as akkor 2 forintot nyer\"unk, ha
az eredm\'eny k\'et \'{\i}r\'asdob\'as akkor 2 forintot veszt\"unk,
ha az eredm\'eny egy fej \'es egy \'{\i}r\'asdob\'as akkor 1 forintot
nyer\"unk. Adjunk j\'o becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat alapj\'an annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere,
hogy nyerem\'eny\"unk \"osszege 4850 \'es 5300 forint k\"oz\"ott lesz.
\item{5.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an 101
alkalommal. Sz\'amoljuk ki azon dob\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et, amelyekben az el\H{o}z\H{o} dob\'asn\'al szigor\'uan
nagyobbat dobtunk.
\item{5b.)} Plusz feladat, amely nem tartozik szigor\'uan a dolgozat
feladatai k\"oz\'e, de j\'o meg\-ol\-d\'a\-s\'a\-\'ert jutalompont j\'ar:
Sz\'am\'{\i}tsuk ki az 5. feladatban tekintett dob\'asok sz\'am\'anak
a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et is. (Teh\'at
azon dob\'asokat tekintj\"uk, amelyekben az el\H{o}z\H{o} do\-b\'as\-n\'al
szigor\'an nagyobbat dobtunk. Ezt is meg lehet oldani a tanultak
alapj\'an.)
\item{6.)} Az al\'abbi n\'egy \'all\'{\i}t\'as k\"oz\"ul melyik helyes
\'es melyik nem:
\itemitem{a.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{b.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'eke egyenl\H{o} a $\xi$ \'es $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek
az \"osszeg\'evel, azaz $E(\xi+\eta)=E\xi+E\eta$.
\itemitem{c.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, akkor a
$\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o} a $\xi$ \'es
$\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'enek az \"osszeg\'evel,
azaz $\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.
\itemitem{d.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, akkor a $\xi+\eta$ \"osszeg sz\'or\'asn\'egyzete egyenl\H{o}
a $\xi$ \'es $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az \"osszeg\'evel, azaz
$\Var(\xi+\eta)=\Var\xi+\Var\eta$.



\vfill\eject

\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.} Ha egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
$F(x)$ az eloszl\'as \'es $f(x)$ a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
akkor a $2\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
$F(\frac x2)$ az eloszl\'as  \'es $\frac12f\(\frac x2\)$ a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Innen a $2\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac12e^{-x/2}$,
ha $x>0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$. Hasonl\'oan $3\eta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $h(x)=\frac13\exp^{-x/3}$, ha $x>0$,
$h(x)=0$, ha $x<0$. Mivel $2\xi$ \'es $3\eta$ f\"uggetlenek,
$2\xi+3\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $k(x)=f*g(x)$. Innen
$$
\align
k(x)&=\frac16\int_0^x e^{-y/3}e^{-(x-y)/2}\,dy=\frac16e^{-x/2}\int_0^x
e^{y/6}\,dy\\
&=e^{-x/2}(e^{x/6}-1)=e^{-x/3}-e^{-x/2},
\endalign
$$
ha $x>0$ nulla, \'es $k(x)=0$, ha $x<0$. A $2\xi+3\eta+1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $k(x-1)$, azaz
$u(x)=e^{-(x-1)/3}-e^{-(x-1)/2}$, ha $x\ge1$, \'es $u(x)=0$, ha $x<1$.

\item{2.} Vezess\"uk be a $\xi_j$, $1\le j\le10$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre $\xi_j=1$, ha a
$j$-ik h\'uz\'asban k\'et azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uztunk,
\'es nulla ha k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'okat h\'uztunk.
A feladat megold\'asa \'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk az $E\xi_j$,
$\Var\xi_j$ \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)$, $j\neq k$ mennyis\'egeket.
$E\xi_j=\frac19+\frac49=\frac59$, mert $\frac19$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk k\'et piros \'es $\frac49$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'et feh\'er goly\'ot. Hasonl\'o
meggondol\'asb\'ol $\Var\xi_j=\frac59-\(\frac59\)^2=\frac{20}{81}$.
A $\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kisz\'amol\'as\'ahoz el\H{o}sz\"or az
$E\xi_j\xi_k$, $j\neq k$, mennyis\'eget kell meghat\'aroznunk. Ennek
\'ert\'eke $E\xi_j\xi_k=\frac19\cdot\frac13\cdot\frac9{29}
+\frac19\cdot\frac23\cdot\frac{20}{29}+
\frac49\cdot\frac13\cdot\frac{10}{29}+
+\frac49\cdot\frac23\cdot\frac{19}{29}=\frac{9+80+152}{27\cdot29}
=\frac{241}{27\cdot29}$. Innen
$\Cov (\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k
=\frac{241}{27\cdot29}-\frac{25}{81}
=\frac{723-25\cdot29}{81\cdot29}=
-\frac{2}{81\cdot29}$. Innen a vizsg\'aland\'o
$S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'eke
$ES=10\cdot\frac59=\frac{50}9$, sz\'or\'asn\'egyzete
$\Var S=\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+2\summ_{1\le j<k\le 10}
\Cov(\xi_j,\xi_k)=
10\cdot\frac{20}{81}-90\cdot\frac{2}{81\cdot29}=
20\frac{290-9}{81\cdot29}=\frac{5620}{81\cdot29}$.

\item{3.} A ledobott pont akkor ker\"ul az orig\'ot\'ol $x$
t\'avols\'agn\'al k\"ozelebb, ha az orig\'o k\"or\"uli $x$ sugar\'u
k\"orbe esik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $x^2$, ha $0\le x\le 1$,
tov\'abb\'a 1, ha $x>1$, \'es $0$, ha $x<0$. Innen a keresett 
eloszl\'asf\"uggv\'eny
$F(x)=x^2$, ha $0\le x\le 1$, $F(x)=0$, ha $x<0$, \'es $F(x)=1$, ha
$x>1$. A s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ennek deriv\'altja, teh\'at a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny $f(x)=2x$, ha $0\le x\le1$, \'es
$f(x)=0$ egy\'ebk\'ent.

\item{4.} Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik j\'at\'ekban szerzett
nyerem\'eny\"unk \'ert\'ek\'et, \'es legyen
$S=\summ_{j=1}^{10~000}\xi_j$. Ekkor minket a $P(4850< S<5300)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
a f\"uggetlen \'es egyforma eloszl\'as\'u $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. $P(\xi_j=2)=P(\xi_j=-2)=\frac14$, \'es
$P(\xi_j=1)=\frac12$. Innen $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac52$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac94$, $ES=5000$, $\Var S=(150)^2$.
Innen $P(4850< S<5300)=P\(-1\le \frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}<2\)$,
\'es ez a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$\Phi(2)-\Phi(-1)=\Phi(2)+\Phi(1)-1=0.9772+0.8413-1=0.8185$.
\item{5.} Jel\"olje $\xi_j$  azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelynek \'ert\'eke 1, ha a $j+1$-ik dob\'as \'ert\'eke
(szigor\'uan) nagyobb, mint a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke, \'es 0
egy\'ebk\'ent, $1\le j\le 100$. Ekkor minket az
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Viszont
$E\xi_j=P(\xi_j=1)=\frac1{36}(5+4+3+2+1)=\frac5{12}$, mert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik dob\'as valamilyen
el\H{o}\'{\i}rt 1 \'es 6 k\"oz\"otti $l_1$ a $j+1$-ik
dob\'as pedig valamely el\H{o}\'{\i}rt 1 \'es 6 k\"oz\"otti $l_2$
\'ert\'eket vesz fel, $\frac1{36}$. Ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 1,
akkor a $j+1$-ik dob\'as 5 k\"ul\"onb\"oz\H{o} enn\'el nagyobb
\'ert\'eket vehet fel, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 2, akkor 4-et,
\'es \'{\i}gy tov\'abb. Innen $ES=100E\xi_1=\frac{500}{12}$.
\item{5b.)} Az 5. feladatban szerepl\H{o} $S$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Viszont,
$$
\Var S=\summ_{j=1}^{100}\Var
\xi_j+2\sum_{j=1}^{99}\summ_{j<k\le 100}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
M\'asr\'eszt $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ekkor $\xi_j$
\'es $\xi_k$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok.
Ezenk\'{\i}v\"ul $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac1{216}\binom 63=\frac5{54}$,
mert minden lehets\'eges 3 hossz\'us\'ag\'u dob\'assorozatnak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{216}$, \'es $\binom63$-f\'ele
h\'arom hossz\'us\'ag\'u szigor\'uan n\"o\-vek\-v\H{o} 
do\-b\'as\-so\-ro\-zat van. Ez\'ert
$\Cov (\xi_j,\xi_{j+1}=\frac5{54}-\(\frac5{12}\)^2=-\frac{35}{432}$,
$E\xi_j^2=\frac5{12}$,
$\Var\xi_j=\frac5{12}-\(\frac 5{12}\)^2=\frac{35}{144}$,
$\Var S=100 \Var\xi_1+2\cdot99\Cov(\xi_1,\xi_2)
=\frac{3500}{144}-\frac{70\cdot 99}{432}=\frac{35\cdot 34}{144}
=\frac{595}{72}$.
\item{6.} Az a) b) \'es d) \'all\'{\i}t\'as igaz, a c)
\'all\'{\i}t\'as hamis.


\bye
