DOLGOZAT FELADATOK

1.) Legyen ξ és η két független, exponenciális eloszlású valószínűségi változó λ = 1 paraméterrel, azaz legyen mind ξ mind η sűrűségfüggvénye f(x) = e^{−x}, ha x ≥ 0, és f(x) = 0, ha x < 0. Számítsuk ki a 2ξ + 3η + 1 valószínűségi változó sűrűségfüggvényét.

2.) Van két urna, mind a kettő 10 darab piros és 20 darab fehér golyót tartalmaz. Kihúzunk 10-szer egymás után egy egy golyót a két urnából. Az első urnából visszatevéssel, a második urnából visszatevés nélkül húzunk golyót. Számítsuk ki azon húzáspárok számának a várható értékét és szórásnégyzetét, amelyekben a két kihúzott golyó színe megegyezik.

3.) Ledobunk az egységkörre egy pontot egyenletes eloszlással, azaz legyen annak a valószínűsége, hogy a pont az egységkör egy A részhalmazába esik \frac{1}{π} -szer az A halmaz területe. Számítsuk ki annak a ξ valószínűségi változónak az eloszlás és sűrűségfüggvényét, amely megadja e véletlen pont távolságát a kör középpontjától.

4.) A következő játékot játsszuk. Két szabályos pénzdarabot feldobnak egymás után 10 000 alkalommal. Ha egy dobás eredménye két fejdobás akkor 2 forintot nyerünk, ha az eredmény két írásdobás akkor 2 forintot vesztünk, ha az eredmény egy fej és egy írásdobás akkor 1 forintot nyerünk. Adjunk jó becslést a mellékelt normális eloszlástáblázat alapján annak a valószínűségére, hogy nyereményünk összege 4850 és 5300 forint között lesz.

5.) Egy szabályos dobókockát feldobunk egymás után 101 alkalommal. Számoljuk ki azon dobások számának a várható értékét, amelyekben az előző dobásnál szigorúan nagyobbat dobtunk.

5b.) Plusz feladat, amely nem tartozik szigorúan a dolgozat feladatai közé, de jó megoldásáért jutalompont jár: Számítsuk ki az 5. feladatban tekintett dobások számának a szórásnégyzetét is. (Tehát azon dobásokat tekintjük, amelyekben az előző dobásnál szigorán nagyobbat dobtunk. Ezt is meg lehet oldani a tanultak alapján.)

6.) Az alábbi négy állítás közül melyik helyes és melyik nem:

a.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

b.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg várható értéke egyenlő a ξ és η valószínűségi változók várható értékének az összegével, azaz E(ξ + η) = Eξ + Eη.

c.) Ha ξ és η két valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ+η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

d.) Ha ξ és η két független valószínűségi változó egy valószínűségi mezőn, akkor a ξ + η összeg szórásnégyzete egyenlő a ξ és η valószínűségi változók szórásnégyzetének az összegével, azaz Var (ξ + η) = Var ξ + Var η.

MEGOLDÁSOK

1. Ha egy ξ valószínűségi változónak F (x) az eloszlás és f(x) a sűrűségfüggvénye, akkor a 2ξ valószínűségi változónak F (\frac{x}{2}) az eloszlás és \frac{1}{2}f (\frac{x}{2}) a sűrűségfüggvénye. Innen a 2ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{1}{2}e^{−x/2}, ha x > 0, és g(x) = 0, ha x < 0. Hasonlóan 3η sűrűségfüggvénye h(x) = \frac{1}{3} exp^{−x/3}, ha x > 0, h(x) = 0, ha x < 0. Mivel 2ξ és 3η függetlenek, 2ξ + 3η sűrűségfüggvénye k(x) = f ∗ g(x). Innen

k(x) = \frac{1}{6} ∫_{0}^{x} e^{−y/3}e^{−(x−y)/2} dy = \frac{1}{6}e^{−x/2} ∫_{0}^{x} e^{y/6} dy
= e^{−x/2}(e^{x/6} − 1) = e^{−x/3} − e^{−x/2},

ha x > 0 nulla, és k(x) = 0, ha x < 0. A 2ξ + 3η + 1 valószínűségi változó sűrűségfüggvénye k(x−1), azaz u(x) = e^{−(x−1)/3}−e^{−(x−1)/2}, ha x ≥ 1, és u(x) = 0, ha x < 1.

2. Vezessük be a ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, valószínűségi változókat, amelyekre ξ_{j} = 1, ha a j-ik húzásban két azonos színű golyót húztunk, és nulla ha különböző színű golyókat húztunk. A feladat megoldása érdekében ki kell számolnunk az Eξ_{j}, Var ξ_{j} és Cov (ξ_{j}, ξ_{k}), j ≠ k mennyiségeket. Eξ_{j} = \frac{1}{9} + \frac{4}{9} = \frac{5}{9}, mert \frac{1}{9} valószínűséggel húzunk két piros és \frac{4}{9} valószínűséggel két fehér golyót. Hasonló meggondolásból Var ξ_{j} = \frac{5}{9} − (\frac{5}{9})^{2} = \frac{20}{81}. A Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) kiszámolásához először az Eξ_{j}ξ_{k}, j ≠ k, mennyiséget kell meghatároznunk. Ennek értéke Eξ_{j}ξ_{k} = \frac{1}{9} · \frac{1}{3} · \frac{9}{29} + \frac{1}{9} · \frac{2}{3} · \frac{20}{29} + \frac{4}{9} · \frac{1}{3} · \frac{10}{29} ++\frac{4}{9} · \frac{2}{3} · \frac{19}{29} = \frac{9+80+152}{27·29} = \frac{241}{27·29}. Innen Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = \frac{241}{27·29} − \frac{25}{81} = \frac{723−25·29}{81·29} =

−\frac{2}{81·29}. Innen a vizsgálandó S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} összeg várható értéke ES = 10 · \frac{5}{9} = \frac{50}{9},

szórásnégyzete Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤10} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 10 · \frac{20}{81} − 90 · \frac{2}{81·29} =

20\frac{290−9}{81·29} = \frac{5620}{81·29}.

3. A ledobott pont akkor kerül az origótól x távolságnál közelebb, ha az origó körüli x sugarú körbe esik. Ennek valószínűsége x^{2}, ha 0 ≤ x ≤ 1, továbbá 1, ha x > 1, és 0, ha x < 0. Innen a keresett eloszlásfüggvény F (x) = x^{2}, ha 0 ≤ x ≤ 1, F (x) = 0, ha x < 0, és F (x) = 1, ha x > 1. A sűrűségfüggvény ennek deriváltja, tehát a sűrűségfüggvény f(x) = 2x, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként.

4. Jelölje ξ_{j} a j-ik játékban szerzett nyereményünk értékét, és legyen S = ∑_{j=1}^{10 000} ξ_{j}.

Ekkor minket a P (4850 < S < 5300) valószínűség értéke érdekel. Számítsuk ki a független és egyforma eloszlású ξ_{j} valószínűségi változók várható értékét és szórásnégyzetét. P (ξ_{j} = 2) = P (ξ_{j} = −2) = \frac{1}{4}, és P (ξ_{j} = 1) = \frac{1}{2}. Innen Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Eξ_{j}^{2} = \frac{5}{2}, Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{9}{4}, ES = 5000, Var S = (150)^{2}. Innen

P (4850 < S < 5300) = P (−1 ≤ \frac{S−ES}{\sqrt{Var S}} < 2), és ez a centrális határeloszlástétel szerint közelítőleg Φ(2) − Φ(−1) = Φ(2) + Φ(1) − 1 = 0.9772 + 0.8413 − 1 = 0.8185.

5. Jelölje ξ_{j} azt a valószínűségi változót, amelynek értéke 1, ha a j + 1-ik dobás értéke (szigorúan) nagyobb, mint a j-ik dobás értéke, és 0 egyébként, 1 ≤ j ≤ 100.

Ekkor minket az S = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke érdekel. Viszont

Eξ_{j} = P (ξ_{j} = 1) = \frac{1}{36}(5 + 4 + 3 + 2 + 1) = \frac{5}{12}, mert annak a valószínűsége, hogy a j-ik dobás valamilyen előírt 1 és 6 közötti l_{1} a j + 1-ik dobás pedig valamely előírt 1 és 6 közötti l_{2} értéket vesz fel, \frac{1}{36}. Ha a j-ik dobás értéke 1, akkor a j + 1-ik dobás 5 különböző ennél nagyobb értéket vehet fel, ha a j-ik dobás értéke 2, akkor 4-et, és így tovább. Innen ES = 100Eξ_{1} = \frac{500}{12}.

5b.) Az 5. feladatban szereplő S valószínűségi változó szórásnégyzetét kell kiszámolnunk. Viszont,

Var S = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{99} ∑_{j<k≤100} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Másrészt Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 0, ha k ≥ j + 2, mert ekkor ξ_{j} és ξ_{k} független valószínűségi változók. Ezenkívül Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{216} \binom{6}{3} = \frac{5}{54}, mert minden lehetséges 3 hosszúságú dobássorozatnak a valószínűsége \frac{1}{216}, és \binom{6}{3}-féle három hosszúságú szigorúan növekvő dobássorozat van. Ezért Cov (ξ_{j}, ξ_{j+1} = \frac{5}{54} − (\frac{5}{12})^{2} = −\frac{35}{432}, Eξ_{j}^{2} = \frac{5}{12}, Var ξ_{j} = \frac{5}{12} − (\frac{5}{12})^{2} = \frac{35}{144}, Var S = 100Var ξ_{1} + 2 · 99Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) = \frac{3500}{144} − \frac{70·99}{432} = \frac{35·34}{144} = \frac{595}{72}.

6. Az a) b) és d) állítás igaz, a c) állítás hamis.