\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\bigskip
\item{1.)} Minden h\'eten kit\"olt\"unk egy lott\'oszelv\'enyt. (90
sz\'amb\'ol kell eltal\'alni 5-\"ot.) Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a hatodik h\'eten lesz
el\H{o}sz\"or 2 tal\'alatunk?
\item{2.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke?
\item{3.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Mi a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'aseredm\'enyek \"osszeg\'enek
a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{4.)} Van k\'et sziget, az igazmond\'ok \'es a hazugok szigete.
Az igazmond\'ok sziget\'en mindenki 0.9 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
igaz v\'alaszt ad b\'armely feltett k\'erd\'esre, a hazugok sziget\'en
0.8 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hamis v\'alaszt ad. Valaki \'ejjel a
viharos tengeren haj\'ozva eljut a k\'et sziget valamelyik\'ere,
1/2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az igazmond\'ok sziget\'ere, 1/2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a hazugok sziget\'ere. Megk\'erdezi az
els\H{o} szembej\"ov\H{o} embert, hogy az  igazmond\'ok sziget\'ere
ker\"ult-e. Azt a v\'alaszt kapja, hogy igen. A m\'asodik embert\H{o}l,
akivel tal\'alkozik azt k\'erdezi, hogy igaz-e, hogy k\'etszer kett\H{o}
n\'eggyel egyenl\H{o}. Erre a k\'erd\'esre is igenl\H{o} v\'alaszt kap.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ember\"unk az igazmond\'ok
sziget\'ere ker\"ult?
\item{5.)} Ledobnak egy pontot a $[-1,1]$ intervallumba egyenletes
eloszl\'assal, azaz annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont valamely $[a,b]\subset[-1,1]$ intervallumba esik legyen
$\frac{b-a}2$. Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba
esik, akkor a dob\'as \'ert\'ek\'et, ha a ledobott pont \'ert\'eke a
$[-1,0]$ intervallumba esik, akkor a dob\'as \'ert\'ek\'enek
n\'egyzet\'et \'{\i}rjuk egy jegyz\H{o}k\"onyvbe. Sz\'amoljuk ki a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt (v\'eletlen) sz\'am v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{6.)} Legyen $A$, $B$ \'es $C$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek (teljesen) f\"uggetlenek?


\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valamelyik h\'eten
lesz 2 tal\'alatunk $\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}$. Azok
az esem\'enyek, hogy az egyes heteken lesz-e 2 tal\'alatunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlenek. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} 5 h\'et sor\'an nem lesz 2 tal\'alatunk
$\(1-\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}\)^5$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig, hogy az els\H{o} 5 h\'eten nem lesz 2
tal\'alatunk, a hatodik h\'eten pedig lesz
$\(1-\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}\)^5
\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}$.
\item{2.)} Jel\"olje $\xi_j$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amely 1, ha a $j$-ik h\'uz\'as piros \'es nulla, ha a
$j$-ik h\'uz\'as feh\'er, $1\le j\le 20$. Ekkor minket az
$S=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel.
$P(\xi_j=1)=P(\xi_j=0)=\frac{10}{40}$ minden $1\le j\le20$ sz\'amra,
\'es innen $ES=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j =20\cdot\frac14=5$.
\item{3.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le 100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as \'ert\'eke 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 4,
\'es $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 6, \'es $\xi_j=0$, ha
a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke 1,3 vagy 5. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et
k\'{\i}v\'anjuk kisz\'amolni. $E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j=
100E\xi_1=200$, mert $E\xi_1=\frac16(2+4+6)=2$. Mivel a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j=\frac{1600}3$,
mert $\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac16(4+16+36)-4=\frac{16}3$.
\item{4.} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk az
igazmond\'ok sziget\'ere ker\"ult, \'es $B$ azt az esem\'enyt, hogy
k\'erd\'es\'ere az adott v\'alaszokat kapta. Ekkor minket a $P(A|B)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel.
Feltev\'eseink szerint $P(A)=P(\bar A)=\frac12$, ahol $\bar A$
az $A$ esem\'eny komplementer\'et jel\"oli. Tov\'abb\'a,
$P(B|A)=0.9^2$, (ember\"unk mind a k\'et k\'erd\'es\'ere igaz
v\'alaszt kapott) $P(B|\bar A)=0.8\cdot0.2$, (az els\H{o}
k\'erd\'es\'ere hamis, a m\'asodik k\'erd\'es\'ere igaz v\'alaszt
kapott). Ez\'ert $P(A\cap B)=\frac12\cdot 0.81$,
$P(\bar A\cap B)=\frac12\cdot 0.16$, $P(B)=\frac12\cdot (0.81+0.16)$,
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}=\frac{81}{81+17}=\frac{81}{97}$.
\item{5.)} Jel\"olje $\xi$ a ledobott pont, $\eta$ a
jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'am \'ert\'ek\'et. Ekkor a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o 
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, 
ha $-1\le x\le 1$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. To\-v\'ab\-b\'a 
$\eta=u(\xi)$, ahol $u(x)=x^2$, ha $-1\le x\le0$, \'es $u(x)=x$, ha
$0\le x\le1$. Innen
$$
E\eta=Eu(\xi)=\frac12\(\int_{-1}^0 x^2\,dx+\int_0^1 x\,dx\)
=\frac12\(\frac13+\frac12\)=\frac5{12},
$$
$$
E\eta^2=Eu^2(\xi)=\frac12\(\int_{-1}^0 x^4\,dx+\int_0^1 x^2\,dx\)
=\frac12\(\frac15+\frac13\)=\frac4{15},
$$
$$
\Var\eta=\frac4{15}-\frac{25}{144}=\frac{67}{720}.
$$
\item{6.)} Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek, ha
teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agokat: $P(A\cap B)
=P(A)P(B)$, $P(A\cap C)=P(A)P(C)$, $P(B\cap C)=P(B)P(C)$ \'es
$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$.



\bye

