DOLGOZAT FELADATOK

1.) Minden héten kitöltünk egy lottószelvényt. (90 számból kell eltalálni 5-öt.) Mi annak a valószínűsége, hogy a hatodik héten lesz először 2 találatunk?

2.) Egy urnában 10 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk 20 golyót visszatevés nélkül. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke?

3.) Feldobunk egy szabályos dobókockát 100-szor egymás után. Mi a páros értékű dobáseredmények összegének a várható értéke és szórásnégyzete?

4.) Van két sziget, az igazmondók és a hazugok szigete. Az igazmondók szigetén mindenki 0.9 valószínűséggel igaz választ ad bármely feltett kérdésre, a hazugok szigetén 0.8 valószínűséggel hamis választ ad. Valaki éjjel a viharos tengeren hajózva eljut a két sziget valamelyikére, 1/2 valószínűséggel az igazmondók szigetére, 1/2 valószínűséggel a hazugok szigetére. Megkérdezi az első szembejövő embert, hogy az igazmondók szigetére került-e. Azt a választ kapja, hogy igen. A második embertől, akivel találkozik azt kérdezi, hogy igaz-e, hogy kétszer kettő néggyel egyenlő. Erre a kérdésre is igenlő választ kap. Mi annak a valószínűsége, hogy emberünk az igazmondók szigetére került?

5.) Ledobnak egy pontot a [−1, 1] intervallumba egyenletes eloszlással, azaz annak a valószínűsége, hogy a ledobott pont valamely [a, b] ⊂ [−1, 1] intervallumba esik legyen \frac{b−a}{2}. Ha a ledobott pont értéke a [0, 1] intervallumba esik, akkor a dobás értékét, ha a ledobott pont értéke a [−1, 0] intervallumba esik, akkor a dobás értékének négyzetét írjuk egy jegyzőkönyvbe. Számoljuk ki a jegyzőkönyvbe írt (véletlen) szám várható értékét és szórásnégyzetét.

6.) Legyen A, B és C három esemény egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek az események (teljesen) függetlenek?

MEGOLDÁSOK

1.) Annak valószínűsége, hogy valamelyik héten lesz 2 találatunk \binom{85}{3}\binom{5}{2} \binom{90}{5}. Azok az

események, hogy az egyes heteken lesz-e 2 találatunk egymástól függetlenek. Így an-

nak a valószínűsége, hogy az első 5 hét során nem lesz 2 találatunk (1 − \begin{matrix}\binom{85}{3} & \binom{5}{2} \\ ( & {90 \atop 5} & ) \end{matrix})^{5}.

Annak valószínűsége pedig, hogy az első 5 héten nem lesz 2 találatunk, a hatodik

héten pedig lesz (1 − \begin{matrix}\binom{85}{3} & \binom{5}{2} \\ ( & {90 \atop 5} & ) \end{matrix})^{5} \binom{85}{3}\binom{5}{2} \binom{90}{5}.

2.) Jelölje ξ_{j} azt a valószínűségi változót, amely 1, ha a j-ik húzás piros és nulla, ha

a j-ik húzás fehér, 1 ≤ j ≤ 20. Ekkor minket az S = ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} valószínűségi változó

várható értéke érdekel. P (ξ_{j} = 1) = P (ξ_{j} = 0) = \frac{10}{40} minden 1 ≤ j ≤ 20 számra, és

innen ES = ∑_{j=1}^{20} Eξ_{j} = 20 · \frac{1}{4} = 5.

3.) Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 100, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás értéke 2, ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás értéke 4, és ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás értéke 6,

és ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás értéke 1,3 vagy 5. Ekkor a ξ = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j} valószínűségi változó

várható értékét és szórásnégyzetét kívánjuk kiszámolni. Eξ = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j} = 100Eξ_{1} =

200, mert Eξ_{1} = \frac{1}{6}(2 + 4 + 6) = 2. Mivel a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek,

Var ξ = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j} = \frac{1600}{3}, mert Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{1}{6}(4 + 16 + 36) − 4 = \frac{16}{3}.

4. Jelölje A azt az eseményt, hogy emberünk az igazmondók szigetére került, és B azt az eseményt, hogy kérdésére az adott válaszokat kapta. Ekkor minket a P (A|B) feltételes valószínűség értéke érdekel. Feltevéseink szerint P (A) = P (Ā) = \frac{1}{2}, ahol Ā az A esemény komplementerét jelöli. Továbbá, P (B|A) = 0.9^{2}, (emberünk mind a két kérdésére igaz választ kapott) P (B|Ā) = 0.8 · 0.2, (az első kérdésére hamis, a második kérdésére igaz választ kapott). Ezért P (A ∩ B) = \frac{1}{2} · 0.81, P (Ā ∩ B) = \frac{1}{2} · 0.16, P (B) = \frac{1}{2} · (0.81 + 0.16), P (A|B) = \frac{P (A∩B)}{P (B)} = \frac{81}{81+17} = \frac{81}{97}.

5.) Jelölje ξ a ledobott pont, η a jegyzőkönyvbe írt szám értékét. Ekkor a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha −1 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0 egyébként. Továbbá η = u(ξ), ahol u(x) = x^{2}, ha −1 ≤ x ≤ 0, és u(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1. Innen

Eη = Eu(ξ) = \frac{1}{2} (∫_{−1}^{0} x^{2} dx + ∫_{0}^{1} x dx) = \frac{1}{2} (\frac{1}{3} + \frac{1}{2}) = \frac{5}{12},

Eη^{2} = Eu^{2}(ξ) = \frac{1}{2} (∫_{−1}^{0} x^{4} dx + ∫_{0}^{1} x^{2} dx) = \frac{1}{2} (\frac{1}{5} + \frac{1}{3}) = \frac{4}{15},

Var η = \frac{4}{15} − \frac{25}{144} = \frac{67}{720}.

6.) Az A, B és C események akkor függetlenek, ha teljesítik a következő azonosságokat: P (A ∩ B) = P (A)P (B), P (A ∩ C) = P (A)P (C), P (B ∩ C) = P (B)P (C) és P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).