Az április 4.-i gyakorlat feladatai

1.) Legyen adva egy ξ valószínűségi változó F (x) eloszlás, f(x) sűrűségfüggvénnyel, M várható értékkel és D^{2} szórásnégyzettel. Legyenek a és b valós számok. Számoljuk ki az η = aξ + b valószínűségi változó eloszlás és sűrűségfüggvényét, valamint várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Az η valószínűségi változó eloszlásfüggvénye G(x) = P (η < x) = P (aξ + b < x) = P (ξ < \frac{x−b}{a}) = F (\frac{x−b}{a}), sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{dG(x)}{dx} = \frac{1}{a}f (\frac{x−b}{a}), várható értéke Eη = E(aξ +b) = aEξ +b = aM +b, Var η = Var (aξ +b) = a^{2}Var ξ.

2.) Az előző gyakorlaton tárgyaltuk annak a feladatnak a megoldását, hogy mennyi egy az [a, b] intervallumban egyenletes eloszlású η valószínűségi változó várható értéke és szórásnégyzete. Lássuk be, hogy egy ilyen valószínűségi változó felírható η = (b − a)ξ + \frac{a+b}{2} alakban, ahol ξ egyenletes eloszlású a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumban. Adjunk a feladatra ezen észrevétel alapján egyszerűbb megoldást. Megoldás: Az η és ξ valószínűségi változók között megfogalmazott kapcsolat átfogalmazható úgy is, hogy ha ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó az [a, b]

intervallumon, akkor ξ = \frac{η− \frac{a+b}{2}}{b−a} egyenletes eloszlású a [−\frac{1}{2}, \frac{1}{2}] intervallumon. Az, hogy η egyenletes eloszlású az [a, b] intervallumon úgy is megfogalmazható, hogy η g(x) sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{1}{b−a}, ha a ≤ x ≤ b, és g(x) = 0, ha x < a vagy x > b.

Innen ξ sűrűségfüggvénye f(x) = g ((x + \frac{a+b}{2(b−a)}) (b − a)), és némi számolással

látható, hogy f(x) = 1, ha −\frac{1}{2} ≤ x ≤ \frac{1}{2}, és f(x) = 0, ha x < −\frac{1}{2} vagy x > \frac{1}{2}.

Innen Eξ = ∫_{−1/2}^{1/2} x dx = 0, Var ξ = Eξ^{2} = ∫_{−1/2}^{1/2} x^{2} dx = [\frac{x^{3}}{3} ]_{−1/2}^{1/2} = 2· \frac{1}{3 · 8} = \frac{1}{12}.

Innen Eη = (b−a)Eξ+ \frac{a+b}{2} = \frac{b+a}{2}, és Var η = Var ((b−a)ξ+ \frac{a+b}{2}) = (b−a)^{2}Var ξ = \frac{(b−a)^{2}}{12} .

3.) Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [−1, 1] intervallumban, azaz legyen sűrűségfüggvénye f(x) = 1, ha 0 ≤ x ≤ 1, és f(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 1. Számoljuk ki az η = ξ^{4} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

Első megoldás: Eη = Eξ^{4} = ∫_{0}^{1} x^{4} dx = [\frac{x^{5}}{5} ]_{0}^{1} = \frac{1}{5}, és Var η = Eη^{2} − (Eη)^{2},

Eη^{2} = Eξ^{8} = ∫_{0}^{1} x^{8} dx = [\frac{x^{9}}{9} ]_{0}^{1} = \frac{1}{9}. Innen Var η = \frac{1}{9} − \frac{1}{25} = \frac{16}{225}.

Második megoldás: Számoljuk ki az η valószínűségi változó g(x) sűrűségfüggvényét, és használjuk az Eη = ∫ xg(x) dx és Eη^{2} = ∫ x^{2}g(x) dx összefüggést. Számoljuk ki először η G(x) eloszlásfüggvényét. G(x) = P (η < x) = P (ξ^{4} < x) = P (ξ < x^{1/4}) = x^{1/4} ha 0 ≤ x ≤ 1, G(x) = 0, ha x < 0 és G(x) = 1, ha x > 1. Innen g(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 1, és g(x) = \frac{1}{4}x^{−3/4}, ha 0 ≤ x ≤ 1. Innen Eη = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}x · x^{−3/4} dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}x · x^{1/4} dx = \frac{1}{4} · \frac{4}{5} = \frac{1}{5}, Eη^{2} = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}x^{2} · x^{−3/4} dx = ∫_{0}^{1} \frac{1}{4}x · x^{5/4} dx = \frac{1}{4} · \frac{4}{9} = \frac{1}{9}, Var η = \frac{1}{9} − \frac{1}{25} = \frac{16}{225}.

4.) Ledobnak egy pontot a [0, 2] intervallumra egyenletes eloszlással. Ha a ledobott pont értéke a [0, 1] intervallumba esik, akkor felírjuk a dobás pontos értékét egy jegyzőkönyvbe. Ha a ledobott pont értéke az [1, 2] intervallumba esik, akkor az 1 számot írjuk a jegyzőkönyvbe. Számoljuk ki a jegyzőkönyvbe írt (véletlen) szám várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Jelölje ξ a ledobott pont, η a jegzőkönyvbe írt szám értékét. Ekkor η = u(ξ) ahol az u(x) függvényt úgy definiáljuk, hogy u(x) = x, ha 0 ≤ x ≤ 1, u(x) = 1, ha 1 ≤ x ≤ 2, az u(x) függvényt tetszőleges módon definiálhatjuk, ha x < 0 vagy x > 2. Ekkor Eη = Eu(ξ) = ∫ u(x)f(x) dx = ∫_{0}^{2} u(x)\frac{1}{2} dx =

∫_{0}^{1} \frac{1}{2}x dx + ∫_{1}^{2} \frac{1}{2} dx = [\frac{x^{2}}{4} ]_{0}^{1} + \frac{1}{2} = \frac{3}{4}, ahol f(x) = \frac{1}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, f(x) = 0, ha

x < 0 vagy x > 2 a ξ valószínűségi változó sűrűségfüggvénye. Hasonlóan, Eη^{2} = Eu^{2}(ξ) = ∫_{0}^{1} \frac{1}{2}x^{2} dx + ∫_{1}^{2} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{6} + \frac{1}{2} = \frac{2}{3}, és Var η = Eη^{2} − (Eη)^{2} = \frac{2}{3} − \frac{9}{16} = \frac{5}{32}.