\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm

\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}


\centerline{\bf Az \'aprilis 18.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
Felid\'ezem  a k\"ovetkez\H{o} fontos fogalmat:
\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$,
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip
Ennek a kor\'antsem trivi\'alis \"osszef\"ugg\'esnek a
bizony\'{\i}t\'asa az el\H{o}ad\'ason szerepelt. A standard
norm\'alis eloszl\'as elnevez\'esben a standard jelz\H{o} arra utal,
hogy egy $\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$,
$-\infty<u<\infty$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla
\'es sz\'or\'asn\'egyzete 1.
\medskip
\item{1.)} L\'assuk be, hogy egy
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u} $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es sz\'or\'asn\'egyzete 1.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Val\'oban $E\xi=0$, mert $E\xi=\dsize\int_{-\infty}^\infty
u\dfrac1{\sqrt 2\pi}e^{-u^2/2}\,du$, \'es ez az integr\'al nulla,
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. Ezut\'an parci\'alis
in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk $f(x)=x$ \'es $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}x e^{-x^2/2}=\dfrac d{dx}\(-\dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}x^2 e^{{-x^2/2}}\,dx=
\[-\frac x{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}
^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
Innen $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=1$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\medskip
A fenti feladat eredm\'enye alapj\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot akkor nevez\"unk nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'unak, ha
van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$ alakban
adhat\'o meg alkalmas $m$ \'es $\sigma>0$ sz\'amokkal.
\medskip

\item{2.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Egyr\'eszt
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az $x^{2k-1}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny p\'aratlan,
\'es p\'aratlan f\"uggv\'eny integr\'alja nulla. M\'as\-r\'eszt
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x^{2k-1}\dfrac d{dx}\(\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\)\\
&=\[-x^{2k-1}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}\frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-x^2/2}\,dx \\
&=(2k-1)\int_{-\infty}^\infty
x^{2k-2}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =(2k-1)E\xi^{2k-2},
\endalign
$$
ahonnan $k$ szerinti teljes indukci\'oval
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.


\medskip
T\'argyaljuk a Poisson eloszl\'ast, illetve mutassuk meg egy feladatban
annak egy fontos tulajdons\'ag\'at, nevezetesen azt, hogy k\'et
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege is Poisson eloszl\'as\'u.
\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
\item{3.)} L\'assuk be, hogy ez val\'oban
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'as.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$P(\xi=k)\ge0$ minden $k$ \'ert\'ekre, ami ny\'{\i}l\-v\'an\-va\-l\'o,
\'es $\summ_{k=0}^\infty P(\xi=k)=1$. Viszont
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$
\item{4.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
$\lambda$ illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ egy
$\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$


\bye
