\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
 
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
 
 
\define\stimess {\operatornamewithlimits{\times}}
 
\beginsection Sztochasztikus folyamatok, Wiener folyamat
 
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik nagyon fontos
fogalma a Wiener folyamat, amelyet Brown mozg\'asnak is h\'{\i}vnak.
Az els\H{o} elnevez\'es e fogalom els\H{o}
matematikailag prec\'{\i}z be\-ve\-ze\-t\H{o}\-j\'e\-re, Norbert
Wienerre, a m\'asodik pedig egy Brown nev\H{u} XIX. sz\'azadban \'elt
angol bio\-l\'o\-gus\-ra utal, aki egy folyad\'ekban lev\H{o},
egym\'assal \"utk\"oz\H{o} apr\'o r\'eszecsk\'ek mozg\'as\'at
ta\-nul\-m\'a\-nyoz\-ta, \'es k\'es\H{o}bb kider\"ult, hogy
a Wiener folyamat az egy r\'eszecske (v\'eletlen) p\'aly\'aj\'at
le\'{\i}r\'o legjobb matematikai modell. Kor\'abbi tanulm\'anyainkban
l\'attuk, hogy a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"or\'eben a
norm\'alis eloszl\'as, a vektor \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ott a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as k\"ozponti szerepet j\'atszik.
A Wiener folyamat hasonl\'oan fontos szerepet j\'atszik a
sztochasztikus folyamatok elm\'elet\'eben, \'es tulajdonk\'eppen \'ugy
tekinthet\H{o}, mint a standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok megfelelel\H{o}je a
sztochasztikus folyamatok k\"oz\"ott. Ahhoz, hogy ennek a
meglehet\H{o}sen nagyvonal\'u kijelent\'esnek pontosabb \'ertelmet
tudjunk adni, sz\"uks\'eges n\'eh\'any fogalom bevezet\'ese \'es
t\'argyal\'asa.
\medskip\noindent
{\it Sztochasztikus fogalmakr\'ol sz\'ol\'o alapvet\H{o} ismeretek.}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or be kell vezetn\"unk a sztochasztikus folyamatok
fogalm\'at. \medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamatok definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} \'es egy
tetsz\H{o}leges $T$ (index)halmaz.  Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'oknak  az $(\Omega,\Cal A,P)$ de\-fi\-ni\-\'alt \'es a
$T$ halmaz elemeivel indexelt $\xi_t$, $t\in T$, rendszer\'et az
$(\Omega,\Cal A,P)$ t\'eren de\-fi\-ni\-\'alt (\'es a $T$ halmazzal
indexelt) sztochasztikus folyamatnak nevez\"unk. Az alkalmaz\'asok
t\"obbs\'eg\'eben a $T$ halmazt a (nem-negativ) val\'os vagy eg\'esz
sz\'amok halmaz\'anak v\'alasztjuk.} \medskip
 
Megjegyzem, hogy az esetek t\"obbs\'eg\'eben
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'on a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett {\it val\'os
\'ert\'ek\H{u}}\/ m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyt
\'ert\"unk, de az \'altal\'anos definici\'o szerint tetsz\H{o}leges
($(X,\Cal X)$ m\'erhet\H{o} t\'eren \'ertelmezett) m\'erhet\H{o}
f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nevez\"unk. Ezt a szabads\'agot felhaszn\'alva id\H{o}nk\'ent vektor
vagy komplex sz\'am \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okr\'ol is besz\'elhet\"unk.
 
Felmer\"ul a k\'erd\'es, hogy hogyan adhatunk meg egy sztochasztikus
folyamatot. Eml\'ekeztetek arra, hogy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat \'altal\'aban nem \'ugy adtunk meg, hogy defini\'altuk
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t \'es rajta a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hanem megadtuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et, \'es azt mondtuk, hogy valamely
(k\"ozelebbr\H{o}l nem defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n) egy olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot
tekint\"unk, amely\-nek ez az eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ahhoz, hogy ezt
megtehess\"uk sz\"uks\'eg\"unk volt egy olyan eredm\'enyre, amely
pontosan jellemezte az eloszl\'asf\"uggv\'enyeket. Term\'eszetes
k\'{\i}v\'ans\'ag az, hogy k\'epesek legy\"unk
sztochasztikus folyamatokat hasonl\'oan jellemezni.
 
E k\'erd\'es vizsg\'alata el\H{o}tt id\'ezz\"uk fel a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol sz\'ol\'o
anal\'og ered\-m\'enyt.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}\/ {\it Egy $F(u_1,\dots,u_k)$ f\"ugg\-v\'eny
akkor \'es csak akkor eloszl\'asf\"uggv\'enye alkalmas
$\xi_1,\dots,\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak
valamely $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
ha ez az $F$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
(i)---(iv) tulajdons\'agokat. \medskip
\item\item {(i)} $F(u_1,\dots,u_k)$ minden v\'altoz\'oj\'anak
balr\'ol folytonos f\"uggv\'enye.
\itemitem {(ii)} $\lim\limits\Sb u_j\to\infty \\ \text{minden }
j=1,\dots,k\text{ sz\'amra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=1$.
\itemitem{(iii)} $\lim\limits\Sb u_j\to-\infty \\ \text{valamely }
1\le j\le k\text{ sz\'amrra}\endSb F(u_1,\dots,u_k)=0$. (Ez \'ugy
\'ertend\H{o}, hogy az \"osszes $u_s$, $1\le s\le k$, $s\neq j$
koordin\'at\'at r\"ogz\'{\i}tj\"uk, \'es $u_j\to-\infty$.)
\itemitem{} V\'eg\"ul defini\'aljuk egy az $R^k$ t\'eren defini\'alt
$F$ f\"uggv\'enyre \'es egy
$\bold K=[a_1,b_1)\times\cdots\times[a_k,b_k)$ t\'eg\-la\-test\-re a
$$
\mu(\bold K)=\mu_F(\bold K)=\sum\Sb u_j=\; a_j\text{ vagy
}b_j\\j=1,\dots,k\endSb (-1)^{\chi(u_1,\dots,u_k)}F(u_1,\dots,u_k)
$$
mennyis\'eget, ahol $\chi(u_1,\dots, u_k)$ jel\"oli az $a_j$-k
sz\'am\'at az $u_1,\dots,u_k$ sorozatban. Ekkor
\itemitem{(iv)} $\mu_F(\bold K)\ge 0$ minden $\bold K$ t\'eglatestre.}
\medskip
 
A fenti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'anak legnehezebb r\'esze a
a k\"ovetkez\H{o} \'ugyevezett Stieltjes m\'ert\'ek
l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o \'all\'{\i}t\'ason alapul:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel a Stieltjes m\'ert\'ek l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $F(x_1,\dots,x_k)$ olyan $k$-v\'altoz\'os f\"ugg\-v\'eny,
amely teljes\'{\i}ti az el\H{o}z\H{o} t\'etelben megfogalmazott
(i)--(iv) tulajdons\'agokat. Ekkor l\'etezik \'es egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozott egy olyan $\mu_F$ Stieltjes m\'ert\'ek az $R^k$
$k$-dimenzi\'os t\'er Borel m\'erhet\'o halmazainak $\Cal B^k$
$\sigma$-algebr\'aj\'an, amely nem negat\'{\i}v $\sigma$-additiv
hal\-maz\-f\"ugg\-v\'eny ezen a $\sigma$-algebr\'an, $\mu_F(R^k)=1$,
\'es
$$
\mu_F(\{u_1,\dots,u_k\}\:u_j<x_j,\,1\le j\le k\})=F(x_1,\dots,x_k)
$$
minden $x_1,\dots,x_k$ val\'os sz\'amra.}
\medskip
Vektor \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'asainak jellemz\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etelnek fon\-tos
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa az al\'abbi t\'etel, amely megadja, hogy
mikor lehet sztochasztikus folyamatokat azok v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asainak seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadni. Ennek ki\-mon\-d\'a\-sa
el\H{o}tt bevezetek egy a t\'etelben term\'eszetes m\'odon
megjelen\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf Eloszl\'asok konzisztenci\'aj\'anak definici\'oja.} {\it Legyen
adva valamely $T$ (v\'egtelen) halmaz, \'es legyen a $T$ halmaz minden
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ r\'eszhalmaz\'ahoz egy ezen halmaz
ele\-me\-i\-vel indexelt $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$
eloszl\'asf\"uggv\'eny hozz\'arendelve. (Ezek szeml\'eletes tartalma a
k\'es\H{o}bbi alkalmaz\'asokban az lesz, hogy ha egy
a $T$ halmazzal indexelt szto\-chasz\-ti\-kus folyamatot
megszor\'{\i}tunk
a $\{t_1,\dots,t_n\}$ halmazra, akkor ennek a v\'eletlen vektornak az
eloszl\'asa legyen $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$.) Azt
mondjuk, hogy a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asok ezen rendszere
konzisztens, ha tetsz\H{o}leges v\'eges
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra \'es annak (v\'eges)
$\{t_1,\dots,t_n,\bar t_1,\dots,\bar t_m\}\subset T$
kiterjeszt\'es\'ere
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_1,\dots,t_n,\bar t_1,\dots,\bar t_m}(x_{t_1},\dots,x_{t_n},\infty,
,\dots,\infty),
$$
\'es tetsz\H{o}leges
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ halmazra \'es annak tetsz\H{o}leges
$\{t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(n)}\}\subset T$ permut\'aci\'oj\'ara
$$
F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})=
F_{t_{\pi(1)},\dots,t_{\pi(n)}}(x_{t_{\pi(1)}},\dots,x_{t_{\pi(n)}}).
$$
}\medskip
Ezen definici\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel megadhatjuk az al\'abbi, a
sztochasztikus folyamatok megad\'as\'aban alapvet\H{o} fontoss\'ag\'u
t\'etelt.
 
\medskip\noindent
{\bf A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etele.} {\it Legyen adva egy (v\'egtelen) $T$ halmaz, valamint
$F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy a $T$ halmaz
$\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges r\'eszhalamazaival indexelt
konzisztens rendszere. Ekkor l\'etezik egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, azon egy
$\xi_t$, $t\in T$, a $T$ halmazzal in\-de\-xelt szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat \'ugy, hogy minden  $\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges
halamazra a $(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_n})$ v\'eletlen vektor
eloszl\'asf\"uggv\'enye az $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$
eloszl\'asf\"uggv\'eny.} \medskip
 
Megfogalmazok egy Kolmogorovt\'ol sz\'armaz\'o
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyt, amely\-b\H{o}l k\"onnyen
levezethet\H{o} a fenti alapt\'etel, \'es ezt meg is teszem. A
m\'ert\'ekelm\'eleti t\'etel bizony\'{\i}t\'as\'at viszont elhagyom.
A t\'etel kimond\'asa el\H{o}tt bevezetek n\'eh\'any jel\"ol\'est.
 
Legyen adva egy $T$ v\'egtelen halmaz, \'es tekints\"uk a
sz\'amegyenesnek a hozz\'a tartoz\'o Borel $\sigma$-algebr\'aval
egy\"utt egy eme $T$ halmazzal indexelt $(R_t,\Cal B_t)$, $t\in T$,
p\'eld\'anyait, \'es vegy\"uk ezeknek $(R^T,\Cal
B^T)=\(\prodd_{t\in T}, R_t, \prodd_{t\in T}, \Cal
B_t\)$ direkt szorzat\'at. Defini\'aljuk tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o}
$\Cal B_0^T$ halmazrendszert, amely val\'oj\'aban a
$\Cal B^T$ $\sigma$-algebra v\'eges sok koordin\'at\'at\'ol f\"ugg\H{o}
hengerhalmazaib\'ol \'all, \'es halmaz-algebr\'at alkot. Egy $B$
halmaz akkor \'es csak akkor eleme a $\Cal B_0^T$ halmazrendszernek, ha
l\'etezik olyan $T_0=\{t_1,\dots,t_n\}\subset T$ v\'eges r\'eszhalmaza
a $T$ halmaznak, \'es olyan $\bar B=\bar B(t_1,\dots,t_n)$ halmaz,
amelyre teljes\"ul a $\bar B\in \prodd_{j=1}^n (R_{t_j}, \Cal B_{t_j})$,
rel\'aci\'o, \'es $B$ a $\bar B$ \'altal meghat\'arozott hengerhalmaz
az $(X^T,\Cal B^T)$ t\'erben, azaz valamely $x=\{x_t,\,t\in T\}\in
R^T$ pontra az $x\in B$ rel\'aci\'o
akkor \'es csak akkor teljes\"ul, ha $(x_{t_1},\dots,x_{t_n})\in\bar
B$. Ezut\'an megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel A.} {\it Legyen adva egy $T$ v\'egtelen halmaz, \'es
tekints\"uk a sz\'amegyenesnek a hozz\'a tartoz\'o Borel
$\sigma$-algebr\'aval egy\"utt egy eme $T$ halmazzal indexelt
$(R_t,\Cal B_t)$, $t\in T$, p\'eld\'anyait, \'es vegy\"uk
ezeknek az el\H{o}bb bevezetett $(R^T,\Cal B^T)=\(\prodd_{t\in
T},R_t, \prodd_{t\in T}, \Cal B_t\)$ direkt szorzat\'at valamint
a $\Cal B_0^T\subset \Cal B^T$ v\'eges sok koordin\'at\'at\'ol
f\"ugg\H{o} hengerhalmazokb\'ol \'all\'o halmazrendszert. Legyen adva
eloszl\'asf\"uggv\'enyeknek egy egy a $T$ halmaz v\'eges
$T_0=\{t_1,\dots,t_k\}\subset T$ r\'eszhalmazaival
indexelt $F_{t_1,\dots,t_n}(x_{t_1},\dots,x_{t_n})$ konzisztens
rendszere, \'es defini\'aljuk egy $B\in\Cal B_0^T$ halmaznak a
k\"ovetkez\H{o} $\mu(B)$ m\'ert\'ek\'et. Ha egy $B$ halmaz el\H{o}\'all,
mint egy $\bar B=\bar B(t_1,\dots,t_k)$ halmaz \'altal meghat\'arozott
hengerhalmaz, akkor legyen $\mu(B)=\mu_{F_{t_1,\dots,t_k}}(\bar B)$,
ahol $\mu_{F_{t_1,\dots,t_k}}$ az
$F_{t_1,\dots,t_k}(x_{t-1},\dots,x_{t_k})$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
\'altal meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott Stieltjes m\'ert\'ek a
$\prodd_{j=1}^n (R_{t_j}, \Cal B_{t_j})$ t\'eren.
Ekkor $\mu$ (nem negat\'{\i}v, egyre norm\'alt) $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'eny a $\Cal B_{0}^T$ $\sigma$-algebr\'an.}
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it A Carath\'eodory f\'ele kiterjeszt\'esi
t\'etel szerint a T\'etel~A-ban defin\'alt $\mu$ halmazf\"uggv\'eny
egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} egy az
$(R^T,\Cal B^T)=\(\prodd_{t\in T} R_t, \prodd_{t\in T}
\Cal B_t\)$ t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekre.}
\medskip\noindent
{\it A Kolmogorov-f\'ele alapt\'etel bizony\'{\i}t\'asa a fenti
t\'etel, illetve annak k\"ovetkezm\'enye alap\-j\'an.}\/ Tekints\"uk
a T\'etel~A-ban, illetve annak k\"ovetkezm\'enye \'altal defini\'alt
$(R^T,\Cal B^T)$ rendszert. Ez tekinthet\H{o} \'ugy, mint egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, mert $\mu$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek ezen a t\'eren. (Ennek a
t\'enynek az igazol\'asa a bizony\'{\i}t\'as legnehezebb l\'ep\'ese.)
Ez\'ert defin\'alhatjuk az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, mint az $(R^T,\Cal B^T,\mu)$
teret, \'es az $\oo$ elemi esem\'enyek megegyeznek a $T$ halmazon
\'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u} f\"uggv\'enyekkel. Adva egy
$\oo=\{x_t,t\in T\}$ elemi esem\'eny, defini\'aljuk az $\xi_u(\oo)$,
$u\in T$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$\xi_u(\{x_t, t\in T\})=x_u$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Ekkor az
$\{\oo\:\xi_{u_1}(\oo)<x_{u_1},\dots,\xi_{u_k}(\oo)<x_{u_k}\}$ halmaz
megegyezik azon f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o hengerhalmazzal, mely
f\"uggv\'enyek \'ert\'eke az $u_1$ pontban kisebb, mint $x_{u_1}$, az
$u_2$ pontban kisebb, mint $x_{u_2}$, \dots, az $u_k$ pontban kisebb,
mint $x_{u_k}$. Az ilyen f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o halmaz
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege a konstrukci\'o alapj\'an
$F_{u_1,\dots,u_k}(x_{u_1},\dots,x_{u_k})$, \'es ezt kellett
bebizony\'{\i}tani.
\medskip\noindent
{\it 1. feladat a gyakorlatra:} Legyen adva egy $(X,\Cal X)$
m\'erhet\H{o} t\'er, \'es azon v\'egtelen sok (esetleg
megsz\'aml\'alhat\'on\'al is t\"obb) $f_t(x)$,
$t\in T$, m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny. Tekints\"uk az \"osszes
$f_t(x)$ f\"uggv\'eny \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'at, azaz a
legsz\H{u}kebb $\sigma$-algebr\'at, amelyre n\'ezve az \"osszes $f_t$
f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o}. L\'assuk be, hogy ez a
k\"ovetkez\H{o}k\'epp is megadhat\'o: Tekints\"uk a $T$ halmaz
\"osszes lehets\'eges megsz\'aml\'alhat\'o r\'eszhalmaz\'at, vegy\"uk
az \'altaluk indexelt f\"uggv\'enyek \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at, \'es vegy\"uk ezen $\sigma$-algebr\'ak
egyes\'{\i}t\'es\'et.  Ez azt jelenti, hogy azt a halmazrendszert
vessz\"uk, amelyikbe egy $B$ halmaz akkor \'es csak akkor tartozik, ha
l\'etezik a $T$ indexhalmaznak olyan $T_0$ megsz\'aml\'alhat\'o
r\'eszhalmaza, hogy a $B$ halmaz eleme a $T_0$ halmaz elemeivel
indexelt f\"uggv\'enyek \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'anak.
\medskip\noindent
{\it 1a. feladat a gyakorlatra:} Mutassuk meg az 1. feladat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az T\'etel~A \'all\'{\i}t\'asa
reduk\'alhat\'o arra a speci\'alis
esetre, amikor $T$ a nem negat\'{\i}v eg\'esz sz\'amok halmaza.
\medskip\noindent
A Wiener folyamat definici\'oj\'anak megad\'asa el\H{o}tt vezess\"uk
be a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} definici\'ot (elnevez\'est).
\medskip\noindent
{\bf Szochasztikus folyamat trajekt\'ori\'aj\'anak a fogalma.} {\it
Legyen adva egy $T$ indexhalmazzal param\'eterezett $\xi_t(\oo)$
sztochasztikus folyamat. Ennek egy r\"ogz\'{\i}tett $\oo$ elemi
esem\'enyhez tartoz\'o trajekt\'ori\'aj\'an a $T$ halmazon defini\'alt
$\xi_t(\oo)$ f\"uggv\'enyt \'ertj\"uk.}
\medskip
Bevezetj\"uk tov\'abb\'a a k\"ovetkez\H{o} fogalmat is.
\medskip\noindent
{\bf Gauss (sztochasztikus) folyamat definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi_t$, $t\in T$, folyamatot Gauss folyamatnak nevez\"unk, ha ennek
minden v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asa norm\'alis eloszl\'as\'u, azaz
$T$ halmaz minden $T_0=\{t_1,\dots,t_k\}$ v\'eges r\'eszhalmaz\'ara a
$(\xi_{t_1},\dots,\xi_{t_k})$ v\'eletlen vektor t\"obb-dimenzi\'os
norm\'alis elosz\'as\'u vektor.}
\medskip\noindent
{\it 2. feladat a gyakorlatra:}\/ Ism\'etelj\"uk \'at azt, hogy mi a
t\"obb-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as definici\'oja. L\'assuk be,
hogy egy $n$-dimenzi\'os $(X_1,\dots,X_n)$ norm\'alis eloszl\'as\'u
v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak az $EX_j$, $1\le
j\le n$ v\'arhat\'o \'ert\'ekek \'es a
$\Cov(X_j,X_k)=EX_jX_k-EX_jEX_k$, $1\le j,k\le n$, kovarianci\'ak.
\medskip
Megfogalmazom a Wiener folyamat definici\'oj\'at.
\medskip\noindent
Egy a $[0,T]$ $0<T\le\infty$, intervallumon \'ertelmezett Wiener
folyamaton olyan Gauss folyamatot \'ert\"unk, amelyre
\item{a)} $EW(t)=0$, $0\le t\le T$, $EW(s)W(t)=\min(s,t)$, $\le s,t\le
T$.
\item{b)} A $W(t,\oo)$ folyamat trajekt\'ori\'aja minden $\oo$ elemi
esem\'enyre folytonos f\"uggv\'eny a $[0,T]$ intervallumon.
\medskip
A Wiener folyamat definici\'oja kapcs\'an sz\'amos k\'erd\'est
tiszt\'azni kell. A f\H{o} k\'erd\'es az, hogy a fent megadott
definici\'o \'ertelmes-e. El\H{o}sz\"or tiszt\'azni kell az a) pontot.
Mondhatjuk-e, hogy defini\'altuk a Wiener folyamat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait kon\-zisz\-tens m\'odon? A definici\'o b) pontja m\'eg
rejt\'elyesebb. A Kolmogorov f\'ele alapt\'etelben semmilyen
kijelent\'es nem szerepelt a sztochasztikus folyamat
trajekt\'ori\'aj\'at illet\H{o}en. Honnan tudjuk, hogy
l\'etezik folytonos trajekt\'ori\'aj\'u, a Wiener folyamat a)
felt\'etel\'et teljes\'{\i}t\H{o} Gauss folyamat? Ha l\'etezik, akkor
mit mondhatunk a folytonos trajekt\'oria l\'etez\'es\'er\H{o}l?
Automatikusan teljes\"ul ez a k\"ovetelm\'eny, vagy tenn\"unk kell
valamit ennek teljes\'{\i}t\'ese \'erdek\'eben?
 
Az els\H{o} k\'erd\'es megv\'alaszol\'asa egyszer\H{u}bb. Egyr\'eszt
a 2. feladat \'all\'{\i}t\'asa azt jelenti, hogy a v\'arhat\'o
\'ert\'ek \'es a kovariancia megad\'as\'aval \'es azzal a
megk\"ot\'essel, hogy a Wiener folyamat Gauss folyamat,
egy\'ertelm\H{u}en megadtuk e folyamat v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asait. M\'asr\'eszt, l\'assuk be a k\"ovetkez\H{o} feladatot:
\medskip\noindent
{\it 3. feladat.} R\"ogz\'{\i}ts\"unk valamely $0\le
t_1<t_2<\cdots<t_n\le T$ sz\'amokat, vegy\"unk f\"uggetlen, nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $t_j-t_{j-1}$, $1\le
j\le n$, $t_0=0$, norm\'alis eloszl\'as\'u $\eta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, \'es defini\'aljuk a
$Z_k=\summ_{j=1}^k\eta_j$, $1\le k\le n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat. L\'assuk be, hogy a $(Z_1,\dots,Z_n)$ v\'eletlen
vektor eloszl\'asa megegyezik a Wiener folyamatban defini\'alt
$(W(t_1),\dots,W(t_n))$ v\'eletlen vektor eloszl\'as\'aval. L\'assuk
be ennek az \'eszrev\'etelnek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy a Wiener
folyamat definici\'oj\'aban el\H{o}\'{\i}rt v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asok konzisztensek.
\medskip
A 3. feladat \'all\'{\i}t\'asa azt jelenti, hogy a Kolmogorov-f\'ele
alapt\'etel szerint l\'etezik a Wiener folyamat definic\'oj\'aban
szerepl\H{o} a) tulajdons\'agot teljes\'{\i}t\H{o} Gauss folyamat.
A b) tulajdons\'aggal kapcsolatban a helyzet bonyolultabb. Oldjuk
meg el\H{o}sz\"or a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip\noindent
{\it 4. feladat a gyakorlatra:} Legyen adva egy $\xi_t$, $0\le t\le1$,
a $[0,1]$ intervallummal mint index halmazzal \'ertelmezett
sztochasztikus folyamat valamely $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Jel\"olje $\Cal F$ a $\xi_t$,
$0\le t\le 1$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal
gener\'alt $\sigma$-algebr\'at. L\'assuk be az 1. feladat
\'all\'{\i}t\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel, hogy az az
esem\'eny, hogy a $\xi_t$ folyamat folytonos trajekt\'ori\'aj\'u
nincs benne a $\Cal F$ $\sigma$-algebr\'aban.
\medskip
 
A negyedik feladat eredm\'enye az\'ert \'erdekes a sz\'amunkra, mert
csak az ott defini\'alt $\sigma$-algebra esem\'enyeinek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l tudunk besz\'elni. Ha alaposabban
meg\-gon\-dol\-juk be lehet l\'atni, hogy egy szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asainak is\-me\-re\-t\'e\-ben
nem besz\'elhet\"unk annak az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'er\H{o}l, hogy a szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat minden trajekt\'ori\'aja folytonos f\"uggv\'eny. Viszont
lehet\H{o}s\'eg\"unk van arra, hogy ha adva van egy sztochasztikus
folyamat, akkor megpr\'ob\'aljuk annak trajekt\'ori\'ait
,,kijav\'{\i}tani''  \'ugy, hogy a sztochasztikus folyamatot
defini\'al\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat egy null
m\'ert\'ek\H{u} halmazon megv\'altoztatunk. Ez\'altal a sztochasztikus
folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait nem v\'altoztatjuk meg,
viszont bizonyos esetekben es\'e\-ly\"unk van arra, hogy egy
sztochasztikus folyamatban kontinum sok null m\'ert\'ek\H{u} halmazon
v\'altoztatva a trajekt\'ori\'ak tulajdons\'agait megv\'altoztatva
jobb tulajdons\'ag\'u trajekt\'ori\'akat kapunk. Az al\'abbiakban
megfogalmazok \'es bebizony\'{\i}tok egy eredm\'enyt, amely
el\'egs\'eges felt\'etelt ad arra, hogy egy sztochasztikus folyamat
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-it null
m\'ert\'ek\H{u} halmazon
megv\'altoztatva olyan sztochasztikus folyamatot kapjunk, amelynek
trajekt\'ori\'ai folytonosak. (Term\'eszetesen az \'uj folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asai megegyeznek az eredeti folyamat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asaival.) Azut\'an megmutatom, hogy ez az
eredm\'eny alkalmazhat\'o a Wiener folyamatok eset\'eben is, \'es
biztos\'{\i}tja azt, hogy a Wiener folyamat definici\'oj\'aban
szerepeljen a b) tulajdons\'ag.
 
Az eredm\'eny megfogalmaz\'asa el\H{o}tt bevezetem a k\"ovetkez\H{o}
definici\'ot. \medskip\noindent
{\bf Sztochasztikus folyamat sztochasztikus folytonoss\'ag\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen adva egy szto\-chasz\-ti\-kus folyamat
$X(t)$, $a\le t\le b$, valamely $[a,b]$ intervallumon. Azt mondjuk,
hogy ez a szto\-chasz\-ti\-kus folyamat folytonos valamely
$a\le t\le b$ pontban, ha minden $\e>0$ sz\'amra teljes\"ul a
$$
\lim_{t_n\to t} P(|X(t_n,\oo)-X(t,\oo)|>\e)=0
$$
felt\'etel minden $t_n\to t$ sz\'amsorozatra.}
\medskip
Most megfogalmazom a k\"ovetkez\H{o} Lemm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Lemma sztochasztikus folyamat folytonos trajekt\'ori\'air\'ol.}
{\it Legyen adva egy $X(t,\oo)$, $0\le t\le1$ szto\-chasz\-ti\-kus
folyamat a $[0,1]$ intervallumon. Teljes\'{\i}tse ez a
szto\-chasz\-ti\-kus folyamat a k\"ovetkez\H{o} k\'et tulajdons\'agot.
\medskip
\item{a)} Az $X(t,\oo)$ sztochasztikus folyamat sztochasztikusan
folytonos a $[0,1]$ intervallum minden pontj\'aban.
\item{b)} A sztochasztikus folyamat majdnem minden $X(t,\oo)$,
$0\le t\le 1$, $\oo\in\Omega$, trajekt\'ori\'aja rendelkezik a
k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'aggal. Az $X\(\frac k{2^n},\oo\)$,
$n=1,2,\dots$, $0\le k\le 2^{-n}$ f\"uggv\'eny, azaz az $X(\cdot,\oo)$
f\"uggv\'eny megszor\'{\i}t\'asa a diadikusan racion\'alis pontokra,
egyenletesen folytonos.
\medskip
Ekkor l\'etezik olyan $\bar X(t,\oo)$, $0\le t\le1$, sztochasztikus
folyamat, amelynek minden $\bar X(\cdot,\oo)$ trajekt\'ori\'aja
folytonos f\"uggv\'eny, \'es $P(\bar X(t,\oo)=X(t,\oo))=1$ minden
$0\le t\le1$ pontban.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Bel\'athat\'o, hogy a Lemm\'aban szerepl\H{o}
a) \'es b) felt\'etel teljes\"ul\'ese vagy nem teljes\"ul\'ese az
$X(t)$ sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait\'ol
f\"ugg.
\medskip\noindent
{\it A Lemma bizony\'{\i}t\'asa.}\/ Defini\'aljuk az $\bar X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamatot a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen
$\bar X(t,\oo)=0$ minden $0\le t\le 1$ sz\'amra egy olyan $\oo$
eset\'eben, amelyre az $X\(\frac k{2^n},\oo\)$ f\"uggv\'eny nem
egyenletesen folytonos. Az olyan $\oo$ elemi esem\'enyekre viszont,
amelyekre ez a f\"uggv\'eny egyenletesen folytonos a diadikusan
racion\'alis pontokban te\-kint\-s\"unk minden $0\le t\le 1$ sz\'amra
egy olyan $\frac{k_n}{2^n}=\frac{k_n(t)}{2^n}$ sorozatot,
$n=1,2,\dots$, amelyre $\limm_{n\to\infty}\frac{k_n}{2^n}=t$, \'es
legyen $\bar X(t,\oo)=\limm_{n\to\infty} X\(\frac{k_n}{2^n},\oo\)$.
Ez a limesz l\'etezik, mert az $X\(\frac{k_n}{2^n},\oo\)$,
$n=1,2,\dots$, sorozat Cauchy sorozat.  Az $X(t,\oo)$ \'es $\bar
X(t,\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megegyezik, mert mind a kett\H{o}h\"oz
sztochasztikusan (a m\'ert\'ekelm\'elet nyelv\'en m\'ert\'ekben)
konverg\'al az $X\(\frac{k_n}{2^n},\oo\)$, $n=1,2,\dots$, sorozat.
Ezenk\'{\i}v\"ul az $\bar X(\cdot,\oo)$ trajekt\'ori\'ak folytonos
f\"uggv\'enyek minden $\oo\in\Omega$ elemi esem\'enyre.}
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} lemma seg\'{\i}ts\'eg\'evel bebizony\'{\i}tom az
al\'abbi \'all\'{\i}t\'ast, amely a kor\'abbi ered\-m\'e\-nyek\-kel
egy\"utt biztos\'{\i}tja, hogy l\'etezik Wiener folyamat.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel (folytonos trajekt\'ori\'aj\'u) Wiener folyamat
l\'etez\'es\'er\H{o}l.} {\it Legyen adva egy olyan $\bar W(t)$,
$0\le t\le 1$, Gauss folyamat a $[0,1]$ intervallumon, amely
teljes\'{\i}ti a Wiener folyamat definici\'oj\'aban szerepl\H{o} a)
felt\'etelt. Ekkor l\'etezik olyan $W(t)$, $0\le t\le 1$, Wiener
folyamat a $[0,1]$ intervallumon, amelyre $P(W(t,\oo)=\bar W(t,\oo))=1$,
\'es trajekt\'ori\'ai 1 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel folytonosak.}
\medskip\noindent
{\it A Wiener folyamat l\'etez\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o t\'etel
bizony\'{\i}t\'asa.}\/ El\'eg megmutatni, hogy mindk\'et a
Lem\-m\'a\-ban szerepl\H{o} felt\'etel teljes\"ul egy olyan
$\bar W(t,\oo)$ Gauss folyamatra, amely teljes\'{\i}ti a Wiener
folyamat definici\'oj\'aban szerepl\H{o} a) felt\'etelt. Ezek
k\"oz\"ul az a) tulajdons\'ag teljes\"ul\'ese ny\'{\i}lv\'anval\'o,
mert $\bar W(t_n,\oo)-\bar W(t,\oo)$ 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u}
\'es $|t-t_n|$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. A b) tulajdons\'ag bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy
$$
\summ_{n=1}^\infty P\(\supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar
W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|>
2^{-n/8}\)<\infty. \tag A
$$
Ebb\H{o}l ugyanis a Borel-Cantelli lemma alapj\'an k\"ovetkezik,
hogy l\'etezik olyan $\bar\Omega\subset\Omega$, $P(\bar\Omega)=1$
esem\'eny, amelyre igaz, hogy minden $\oo\in\bar\Omega$ elemi
esem\'enyre van olyan $n(\oo)$ k\"usz\"obindex \'ugy, hogy
$\supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar
W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|\le2^{-n/8}$ minden $n\ge n(\oo)$
sz\'amra. Azt \'all\'{\i}tom, hogy ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy
ha $t$ \'es $s$ k\'et olyan diadikus racion\'alis sz\'am, amelyre
$0<t-s<2^{-L}$ valamely (nagy) $L$ eg\'esz sz\'amra,
$\oo\in\bar\Omega$, $L\ge n(\oo)$ akkor $|X(t,\oo)-X(s,\oo)|\le
2\summ_{n=L}^\infty \supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar W\(\frac
k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|\le
\summ_{n=L}^\infty 2^{-n/8}\le 1000\cdot2^{-L/8}$, ahonnan
k\"ovetkezik, hogy a $\bar W(t,\oo)$ folyamat teljes\'{\i}ti a b)
tulajdons\'agot, ha $\oo\in\bar\Omega$.
 
A fenti egyenl\H{o}tlens\'egsorozat els\H{o}
egyenl\H{o}tlens\'eg\'enek bel\'at\'asa \'erdek\'eben tekints\"uk a
leghosszabb $\[\frac k{2^j},\frac{k+1}{2^j}\]$ intervallumokat,
amelyekre $\[\frac k{2^j},\frac{k+1}{2^j}\]\subset [s,t]$. Egy
vagy k\'et ilyen intervallum van, \'es $j\ge L$. Legyen ezen
intervallumok egyes\'{\i}t\'es\'enek a bal v\'egpontja $\frac k{2^j}$,
jobb v\'egpontja pedig $\frac{\bar k}{2^j}$, $\bar k=k+1$ vagy $\bar
k=k+2$. Mind az $\[s,\frac k{2^j}\]$ mind a $\[\frac{\bar k}{2^j},t\]$
intervallum el\H{o}\'all\'{\i}that\'o k\"ul\"onb\"oz\H{o}
hossz\'us\'ag\'u $2^{-j'}$, $j'\ge j+1$, hossz\'us\'ag\'u diadikus
intervallumok egyes\'{\i}t\'esek\'ent. Az el\H{o}bbiekb\H{o}l
k\"ovetkezik, hogy az $[s,t]$ intervallum el\H{o}\'all $2^{-j}$,
$j\ge L$, hossz\'us\'ag\'u diadikus intervallumok
egyes\'{\i}t\'esek\'ent, \'es ebben az egyes\'{\i}t\'esben minden
$j\ge L$-re legfeljebb~2 $2^{-j}$ hossz\'us\'ag\'u intervallum
szerepel. Innen k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant egyenl\H{o}tlens\'eg.
 
Az (A) rel\'aci\'o bizony\'{\i}t\'as\'ahoz vegy\"uk \'eszre, hogy
$$ \allowdisplaybreaks
\align
&\summ_{n=1}^\infty P\(\supp_{1\le k\le 2^n}\left|\bar
W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|>
2^{-n/8}\)\\
&\qquad \le\summ_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} P\(\left|\bar
W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\right|>
2^{-n/8}\)\\
&\qquad\le\summ_{n=1}^\infty\sum_{k=1}^{2^n} \frac{E\(\bar W
\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)\)^4}{2^{-n/2}}
=\sum_{n=1}^\infty 2^n\frac{3\cdot2^{-2n}}{2^{-n/2}}<\infty,
\endalign
$$
mert a $W\(\frac k{2^n},\oo\)-\bar W\(\frac{k-1}{2^n},\oo\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok norm\'alis eloszl\'as\'uak,
nulla v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ekkel \'es $2^{-n}$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Ez\'ert a negyedik momentumuk $32^{-2n}$. A t\'etel
bizony\'{\i}t\'as\'at befejezt\"uk.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etelben bel\'attuk, hogy l\'etezik a
$[0,1]$ intervallumon defini\'alt Wiener folyamat. A jel\"ol\'esek
n\'emi v\'altoztat\'as\'aval be lehet l\'atni ugyanezzel a
m\'od\-szer\-rel, hogy tetsz\H{o}leges $T>0$ sz\'amra l\'etezik
Wiener folyamat a $[0,T]$ intervallumon. De be lehet l\'atni azt,
hogy l\'etezik $W(t)$, $t\ge0$. Wiener folyamat a pozit\'{\i}v
f\'elegyenesen p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'as\'anak
a seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Legyen $W_n(t)$, $n=1,2,\dots$, $0\le t\le1$,
f\"uggetlen Wiener folyamatok sorozata a $[0,1]$ intervallumon.
L\'assuk be, hogy ,,ezeket a f\"uggetlen Wiener folyamatokat
\"ossze\-ra\-gaszt\-va", azaz defini\'alva a
$W(t)=\summ_{j=1}^{[t]}W_j(1)+W_{[t]+1}(\[t\])$, $0\le
t<\infty$, Wiener folyamat a $t\ge0$ f\'elegyenesen, ahol $[t]$ a $t$
sz\'am eg\'esz r\'eszet $\{t\}$ pedit a $t$ sz\'am t\"ort r\'esz\'et
jel\"oli.
\medskip\noindent
{\it Nem k\"otelez\H{o} feladat:}\/ Mutassuk meg, (felhaszn\'alva az
el\H{o}z\H{o} bizony\'{\i}t\'as gondolatait, hogy ha egy $X(t,oo)$,
$0\le t\le1$, sztochasztikus folyamat a $[0,1]$ intervallumon
teljes\'{\i}ti az $E|X(t)-X(s)|^{2+\alpha}\le C|t-s|^{1+\beta}$
felt\'etelt alkalmas $\alpha>0$, $\beta>0$ \'es $C>0$ konstansokkal
mindet $0\le s<t\le1$ sz\'amp\'arra, akkor l\'etezik az $X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamatnak olyan $\bar X(t,\oo)$ mod\'os\'it\'asa,
amelyre $P(X(t,\oo)=\bar X(t,\oo)$ minden $0\le t\le 1$ sz\'amra,
\'es a $\bar X(t,\oo)$ folyamat minden trajekt\'ori\'aja folytonos
f\"uggv\'eny. (Val\'oj\'aban az $\alpha>0$ felt\'etel elhagyhat\'o
a felt\'etelk\'ent szerepl\H{o} egyenl\H{o}tlens\'egb\H{o}l. Az\'ert
tett\"uk ezt fel, mert a legt\"obb \'erdekes esetben csak $\alpha>0$
sz\'ammal tudjuk biztos\'{\i}tani a k\'{\i}v\'ant felt\'etel
teljes\"ul\'es\'et.
\medskip\noindent
{\it 5. feladat a gyakorlatra:}\/ Mutassuk meg, hogy egy a $[0,1]$
intervallumon defini\'alt folytonos trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus
folyamat tekinthet\H{o}, mint egy $C([0,1])$-t\'er \'ert\'ek\H{u},
azaz a $[0,1]$ intervallumon \'ertelmezett folytonos \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyekb\H{o}l \'all\'o, \'es a szup\-r\'e\-mum norm\'aval
ell\'atott Banach t\'eren \'ertelmezett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. A probl\'ema jobb meg\'ert\'ese \'erdek\'eben a
megfogamazom e k\'erd\'es 5a) v\'altozat\'at, amely
meg\-ma\-gya\-r\'az\-za, mi a probl\'ema l\'enyege.
\medskip\noindent
{\it 5a. feladat a gyakorlatra:}\/ Vil\'agos, hogy egy a $[0,1]$
intervallumon \'ertelmezett folytonos trajekt\'ori\'aj\'u $X(t,\oo)$
sztochasztikus folyamat az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t lek\'epezi a $C([0,1])$ t\'erbe.
De be kell l\'atni, hogy ez a lek\'epez\'es m\'erhet\H{o}. Tudjuk,
hogy mivel minden r\"ogz\'{\i}tett $0\le t\le 1$ sz\'amra az
$X(t,\cdot)$ f\"uggv\'eny folytonos, azaz tetsz\H{o}leges Borel
m\'erhet\H{o} $B$ halmazra $\{\oo\: X(t,\oo)\in B\}\in\Cal A$, (azaz
a $B$ halmaz \H{o}sk\'epe m\'erhet\H{o}). L\'assuk be, hogy a
$C([0,1])$ t\'er tetsz\H{o}leges m\'erhet\H{o} $D$
halmaz\'ara $\{\oo\: X(t,\oo)\in D\}\in\Cal A$.
\medskip\noindent
{\it 5b. feladat a gyakorlatra:}\/ Az 5. feladat \'all\'{\i}t\'asa
szerint tetsz\H{o}leges a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat tekinthet\H{o} \'ugy, mint
egy \'ert\'ekeit a $C([0,1])$ t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. L\'assuk be, hogy e folyamat
v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai meghat\'arozz\'ak annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is, hogy v\'eve egy tetsz\H{o}leges
Borel-m\'erhet\H{o} halmazt  a $C([0,1])$ t\'erben, a sztochasztikus
folyamat trajekt\'ori\'ai ebbe a halmazba esnek.
 \medskip\noindent
{\it 6. feladat a gyakorlatra:}\/ Az el\H{o}z\H{o} t\'etel
megold\'as\'aban fontos szerepet j\'atszott az a l\'ep\'es, hogy
adjunk j\'o becsl\'est annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy egy
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy
adott sz\'amn\'al nagyobb \'ert\'eket vesz fel. Ezt a becsl\'est
abban a bizony\'{\i}t\'asban a negyedik momentum becsl\'es\'enek a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel kaptuk. Az ebben a feladatban megfogalmazott
becsl\'es pontosabb, \'es bizonyos nehezebb feladatokban erre van
sz\"uks\'eg. A k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'est fogjuk alkalmazni.
$\Phi(x)$ jel\"oli a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'enyt,
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, ennek
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.  Mutassuk meg (parci\'alis
integr\'al\'assal), hogy minden $x>0$ sz\'amra teljes\"ul a
k\"ovetkez\H{o} egyenl\H{o}tlens\'eg:
$$
\(\frac1x-\frac1{x^3}\)\varphi(x)<1-\Phi(x)<\frac1x \varphi(x).
$$
 
\beginsection Wiener folyamatok tulajdons\'agai
 
Megfogalmazom azt a fontos eredm\'enyt, amelyet funkcion\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek szo\-k\'as nevezni, \'es amely a szok\'asos
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel term\'eszetes \'es fontos
\'al\-ta\-l\'a\-no\-s\'{\i}\-t\'a\-sa. El\H{o}sz\"or felid\'ezem
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel \'altal\'anos alakj\'at.
 
Ez a t\'etel arr\'ol sz\'ol, hogy ha tekintj\"uk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'oknak egy
sz\'e\-ria\-so\-ro\-za\-t\'at, azaz minden egyes $k=1,2,\dots$ eg\'esz
sz\'amra megadjuk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\xi_{k,j}$,
$j=1,2,\dots,n_k$, sorozat\'at, amelyek (r\"ogz\'{\i}tett $k$
sz\'amra) f\"uggetlenek, akkor a $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak a norm\'alis
eloszl\'ashoz nagyon \'altal\'anos fel\-t\'e\-te\-lek mellett.
E felt\'etelek k\"oz\"ul a legfontosabb az \'ugynevezett Lindeberg
felt\'etel, amelyet k\"ul\"on felid\'ezek.
 
\medskip\noindent
{\bf Lindeberg felt\'etel definici\'oja sz\'eriasorozatokra:}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, \'es
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$. Ez a
sz\'eriasorozat akkor \'es csak akkor teljes\'{\i}ti a Lindeberg
felt\'etelt, ha tetsz\H{o}leges $\e>0$ sz\'amra
$$
\lim_{k\to\infty}\sum_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2I\(\{|\xi_{k,j}|>\e\}\)=0,
$$
ahol $I(A)$ egy $A$ halmaz indik\'ator f\"uggv\'enye.}
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel sz\'eriasorozatokra a
Lindeberg felt\'etel teljes\"ul\'ese eset\'en.}
{\it Legyen $\xi_{k,j}$, $k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$, olyan
sz\'eriasorozat, melyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2<\infty$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}E\xi_{k,j}^2=1$, \'es
teljes\'{\i}tse e sz\'eriasorozat a Lindeberg felt\'etelt. Ekkor
\item{a.)} a sz\'eriasorozat tagjai teljes\'{\i}tik a
$\limm_{k\to\infty}\(\supp_{1\le j\le n_k}E\xi_{k,j}^2\)=0$
kicsis\'egi felt\'etelt.
\item{b.)} Az $S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$, $1\le k<\infty$,
v\'eletlen \"osszegek eloszl\'asban konverg\'alnak  a standard, azaz
nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es 1 sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$.}
\medskip
Be lehet l\'atni azt is, hogy a centr\'alis eloszl\'ast\'etel ezen
form\'aja bizonyos \'ertelemben \'eles, \'es tov\'abb nem
jav\'{\i}that\'o. Ezzel a k\'erd\'essel itt nem foglalkozunk.
 
Viszont megfogalmazok egy olyan eredm\'enyt, amely azt fejezi ki, hogy
amennyiben vesz\"unk egy a Lindeberg felt\'etelt teljes\'{\i}t\H{o}
sz\'eriasorozatot, \'es r\"ogz\'{\i}tett $k$ sz\'amra nemcsak az
$S_k=\summ_{j=1}^{n_k}\xi_{k,j}$ v\'eletlen \"osszeget vezetj\"uk be,
hanem az \"osszes
$$
S_k(j)=\summ_{p=1}^{j}\xi_{k,p}, \quad 1\le j\le n_k \tag B1
$$
r\'eszlet\"osszeget, \'es tekintj\"uk az $S_k(p)$, $1\le p\le n_k$,
sorozat eloszl\'as\'at, akkor ennek aszimptotikus viselked\'ese j\'ol
bizonyos \'ertelemben j\'ol le\'{\i}rhat\'o egy Wiener folyamat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
A fenti \'all\'{\i}t\'as pontos megfogalmaz\'as\'anak \'erdek\'eben
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} je\-l\"o\-l\'e\-se\-ket: Legyen adva
egy
$$
\aligned
&\xi_{1,1},\dots,\xi_{1,n_1}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots   \\
&\xi_{k,1},\dots,\xi_{k,n_k}\\
&\vdots\qquad \quad \;\vdots
\endaligned \tag B2
$$
sz\'eriasorozat, amelyre $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2=\sigma_{k,j}^2$,
$\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=s_k^2$, \'es feltessz\"uk, hogy
teljes\"ul a $\limm_{k\to\infty}s_k^2=1$ rel\'aci\'o. Vezess\"uk be
az $S_k(0)=0$, $S_k(j)=\summ_{p=1}^j\xi_{k,j}$ \'es
$s_k(j)^2=\summ_{p=1}^j\sigma^2_j$, $\bar s_k^2(0)=0$,
$\bar s_k(j)^2=\frac{s_k(j)^2}{s_k^2}$, $1\le j\le n_k$, $k=1,2,\dots$,
mennyis\'egeket. Adjuk meg ezen mennyis\'egek seg\'{\i}ts\'eg\'evel a
k\"ovetkez\H{o} a $[0,1]$ intervallumon
defini\'alt $X_k(t)=X_k(t,\oo)$, $0\le t\le1$, (v\'eletlen) folytonos
f\"uggv\'enyeket:
$$
\aligned
X_k(\bar s^2_k(j),\oo)&=S_k(j),\quad 0\le j\le n_k\quad\text{ \'es }\\
X_k(t,\oo)& =\frac{\bar s_k(j)^2-t}{\bar s_k(j)^2-\bar
s_k(j-1)^2}X_k(\bar s^2_k(j-1),\oo)+
\frac{t-\bar s_k(j-1)^2}{\bar s_k(j)^2-\bar s_k(j-1)^2}X_k(\bar
s^2_k(j),\oo) \\
&\qquad \text{ ha } \bar s_k(j-1)^2\le t\le \bar s_k(j)^2, \quad 1\le
j\le n_k, \endaligned \tag B3
$$
azaz az $X_k(\cdot, \oo)$ f\"uggv\'eny az $\bar s_k(j)^2$ pontokban
megegyeznek az els\H{o} $j$ $\xi_{k,p}(\oo)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o \"osszeg\'evel, a
k\"ozt\"uk lev\H{o} pontokban pedig line\'aris f\"uggv\'enyk\'ent
kieg\'esz\'{\i}tj\"uk \H{o}ket. Tegy\"uk fel, hogy a (B2)
sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti a Lindeberg felt\'etelt is. Ekkor
alkalmazhat\'o r\'a a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel. N\'emi
plusz munk\'aval be lehet l\'atni, hogy nemcsak az $X_k(1,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak eloszl\'asban
a standard norm\'alis eloszl\'ashoz, ha $k\to\infty$, hanem az is igaz,
hogy minden r\"ogz\'{\i}tett $t$ sz\'amra az $X_k(t,\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok konverg\'alnak eloszl\'asban
egy 0 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $t$ sz\'or\'asn\'egyzet\H{u}
norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ohoz.
S\H{o}t, az is igaz, hogy minden $0\le t_1<t_2<\cdots<t_m\le 1$
sz\'amokra az $(X_k(t_1,\oo),\dots,X_k(t_m,\oo))$ v\'eletlen vektorok
eloszl\'asban konverg\'alnak egy olyan $(Z_1,\dots,Z_m)$
$m$-dimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'ahoz,
amelyre $EZ_j=0$, $0\le j\le k$, $EZ_jZ_{j'}=\min(t_j,t_{j'})$. Ez
szeml\'eletesen azt jelenti, hogy nagy $k$ indexre a (B3) k\'epletben
defini\'alt $X_k(t)$ sztochasztikus folyamat k\"ozel van eloszl\'asban
egy a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt Wiener folyamathoz. Az
al\'abbiakban megfogalmazok egy t\'etelt, amely a fent
megfogalmazattokhoz hasonl\'o, de tartalmasabb \'all\'{\i}t\'ast
fogalmaz meg. A t\'etel kimond\'asa el\H{o}tt eml\'ekeztetek
arra, hogy mint azt az 5. feladatban megfogalmazott \'all\'{\i}t\'as
megfogalmazza, egy a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamatot tekinthet\"unk egy
$C([0,1])$ t\'eren defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is. Ezt az \'eszrev\'etelt alkalmazhatjuk mind a
Wiener folyamatra, mind a (B3) k\'epletben defini\'alt folyamatokra.
Az a t\'eny, hogy egy Wiener folyamat felfoghat\'o \'ugy, mint egy
\'ert\'ekeit a $C([0,1])$ t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o lehet\H{o}v\'e teszi, hogy
bevezess\"uk az al\'abb megadand\'o Wiener m\'er\-t\'ek fogalm\'at.
\medskip\noindent
{\bf Wiener m\'ert\'ek definici\'oja.} {\it Legyen adva egy Wiener
folyamat a $[0,1]$ intervallumban. Tekints\"uk ezt, mint egy
\'ert\'ekeit a $C([0,1])$ t\'erben felvev\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ennek eloszl\'as\'at, azaz a
$\mu_W(A)=P(\oo\: W(\cdot,\oo)\in A)$ f\"uggv\'enyt minden a
$C([0,1])$ t\'erbeli Borel m\'erhet\H{o} $A$ halmazra, (azaz minden
olyan $A$ halmazra, amely benne van a $B([0,1])$ t\'erben l\'ev\H{o}
ny\'{\i}lt halmazok \'altal gener\'alt legsz\H{u}kebb
$\sigma$-algebr\'aban) Wiener m\'ert\'eknek nevezz\"uk.}
\medskip
Eml\'ekeztetek tov\'abb\'a arra, hogy az eloszl\'asban val\'o
konvergencia term\'eszetes \'altal\'anos\'{\i}t\'as\'at defini\'alt\'ak
tetsz\H{o}leges szepar\'abilis metrikus t\'erben. Ezt gyenge
konvergenci\'anak nevezik \'altal\'aban az irodalomban, \'es
euklid\'eszi t\'erben lev\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek
eset\'eben ez ekvivalens az eloszl\'asban val\'o konvergenci\'aval.
T\"obb ekvivalens alakja van ennek a definici\'onak. Ezek mindegyike
ekvivalens. A definici\'okat megadom, de ekvivalenci\'ajuk
bizony\'{\i}t\'as\'at elhagyom.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a definici\'oja, a) de\-fi\-ni\-ci\'o.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$,
$n=1,2\dots$, sorozata egy $(X,\rho)$ sze\-pa\-r\'a\-bi\-lis metrikus
t\'er Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain. Azt mondjuk, hogy e
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ e szepar\'abilis
metrikus t\'er Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazain de\-fi\-ni\-\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden
a metrikus t\'eren \'ertelmezett folytonos $f(x)$ f\"ugg\-v\'eny\-re
$$
\lim_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu(\,dx).
$$}
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a definici\'oja, b1) de\-fi\-ni\-ci\'o.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$,
$n=1,2\dots$, sorozata egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'er
Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in. Azt mondjuk, hogy e
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ e
szepar\'abilis metrikus t\'er Borel m\'erhet\H{o}
r\'esz\-hal\-ma\-za\-in defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden
a metrikus t\'eren l\'ev\H{o} z\'art $F$ halmazra
$$
\limsup_{n\to\infty} \mu_n(F)\le \mu(F).
$$}
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek (gyenge)
konvergenci\'aj\'anak a definici\'oja, b2) de\-fi\-ni\-ci\'o.}
{\it Legyen adva val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek $\mu_n$,
$n=1,2\dots$, sorozata egy $(X,\rho)$ szepar\'abilis metrikus t\'er
Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in. Azt mondjuk, hogy e
m\'ert\'ekek sorozata gyeng\'en konverg\'al egy $\mu$ e szepar\'abilis
metrikus t\'er Borel m\'erhet\H{o} r\'esz\-hal\-ma\-za\-in defini\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez, ha minden
a metrikus t\'eren l\'ev\H{o} ny\'{\i}lt $G$ halmazra
$$
\liminf_{n\to\infty} \mu_n(G)\ge \mu(G).
$$}
\medskip
Most kimondhatjuk az el\H{o}bb sz\'eriasorozatok \'altal defini\'alt
v\'eletlen line\-\'a\-ris da\-ra\-bok\-b\'ol \'all\'o
(t\"o\-r\"ottvonal) f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket \'ert\'ekk\'ent felvev\H{o}
sztochasztikus folyamatok gyen\-ge konvergenci\'aj\'at a Wiener
m\'ert\'ekhez. Ezt a t\'etelt az irodalomban funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek h\'{\i}vj\'ak.
\medskip\noindent
{\bf Funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel}. {\it Legyen
adva egy a (B2) k\'epletben le\'{\i}rt sz\'eriasorozat, amelynek tagjai
teljes\'{\i}tik az $E\xi_{k,j}=0$, $E\xi_{k,j}^2=\sigma^2_{k,j}$,
$k=1,2,\dots$, $1\le j\le n_k$,
$\limm_{k\to\infty}\summ_{j=1}^{n_k}\sigma^2_{k,j}=1$ rel\'aci\'okat
\'es a Lindebeg felt\'etelt. Vezess\"uk be az e sz\'eriasorozat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel a (B3) formul\'aban defini\'alt folytonos
trajekt\'ori\'aj\'u $X_k(t)=X_k(t,\oo)$, $0\le t\le1$, $k=1,2,\dots$,
folytonos trajekt\'ori\'aj\'u sztochasztikus folyamatokat. Az
$X_k(t,\oo)$ sztochasztikus folyamatok gyeng\'en konverg\'alnak a
Wiener m\'ert\'ekhez, ha $k\to\infty$.}
\medskip
Felmer\"ul a k\'erd\'es, mi\'ert \'erdekes a fenti eredm\'eny.
Az\'ert, mert ez nem puszt\'an egy absztrakt t\'erben megfogalmazott
v\'altozata a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelnek, hanem maguknak
a sz\'eriasorozatok r\'eszlet\"osszegeinek aszimptotikus
viselked\'es\'er\H{o}l is l\'enyeges \'uj inform\'aci\'ot tartalmaz.
Annak \'erdek\'eben, hogy ezt meg\'erts\"uk l\'assuk be az
al\'abbi egyszer\H{u} lemm\'at, amely azt fejezi ki, hogy egy folytonos
transzform\'aci\'o gyeng\'en konvergens val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek sorozat\'at ism\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek gyeng\'en konvergens sorozat\'aba visz. Pontosabban
megfogalmazva a k\"ovetkez\H{o} eredm\'eny \'erv\'enyes.
\medskip\noindent
{\bf Lemma gyeng\'en konvergens val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekek konvergenci\'aj\'ar\'ol.} {\it Le\-gyen adva egy
$(X,\Cal X)$ szepar\'abilis metrikus t\'er (itt $\Cal X$
a $\rho$ metrika seg\'{\i}ts\'eg\'evel az $X$ t\'eren
defini\'alt ny\'{\i}lt halmazok \'altal gener\'alt Borel
$\sigma$-algebr\'at jel\"oli, \'es hasonl\'oan \'ertelmezz\"uk
k\'es\H{o}bb az $\Cal Y$ $\sigma$-algebr\'at egy $(Y,\Cal Y)$ t\'eren)
\'es azon val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok $\mu_n$ sorozata,
$n=1,2,\dots$, amely az el\H{o}bb defini\'alt gyenge konvergencia
\'ertelm\'eben konverg\'al egy $\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'ekhez. Legyen adva ezenk\'{\i}v\"ul egy m\'asik $(Y,\Cal Y)$
szepar\'abilis metrikus t\'er, valamint egy $T$ folytonos
transzform\'aci\'o az $(X,\Cal X)$ t\'erb\H{o}l az $(Y,\Cal Y)$
t\'erbe. Ez a transzform\'aci\'o term\'eszetes m\'odon induk\'al egy
transzform\'aci\'ot, amely minden az $(X,\Cal X)$ t\'eren
defini\'alt $\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eknek a
k\"ovetkez\H{o} $T\nu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
m\'ert\'eket felelteti meg az $(Y,\Cal Y)$ t\'eren:
$T\nu(B)=\nu(\{x\: Tx\in B\})$ minden $B\in \Cal Y$ halmazra. Ekkor a
$T\mu_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekek gyeng\'en
konverg\'alnak a $T\mu$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ekhez.}
\medskip\noindent
{\it A lemma bizony\'{\i}t\'asa.} Alkalmazzuk a gyenge konvergencia~a)
definici\'oj\'at. Ekkor azt kell bel\'atni, hogy tetsz\H{o}leges az
$(Y,\Cal Y)$ t\'eren folytonos $g(y)$ f\"uggv\'enyre
$$
\lim_{n\to\infty}\int g(y)T\mu_n(\,dy)=\int g(y)T\mu(\,dy).
$$
Vezess\"uk be a $g(y)$ f\"uggv\'eny $f(x)=g(Tx)$ \H{o}sk\'ep\'et.
Ekkor az $f(x)$ f\"uggv\'eny folytonos, \'es a m\'ert\'ekelm\'elet
egyik fontos eredm\'enye alapj\'an m\'ert\'ektart\'o
transzform\'aci\'ok sze\-rin\-ti integr\'alokr\'ol
$\int f(x)\mu(dx)=\int g(y)T\mu(dy)$ \'es $\int f(x)\mu_n(dx)=\int
g(y)T\mu_n(dy)$ minden $n=1,2,\dots$ sz\'amra. A $\mu_n$
m\'ert\'ekek gyenge konvergenci\'aj\'ab\'ol \'es az $f(x)$
f\"uggv\'eny folytonoss\'ag\'ab\'ol k\"ovetkezik, hogy
$\limm_{n\to\infty}\int f(x)\mu_n(\,dx)=\int f(x)\mu(\,dx)$ a fenti
sze\-rep\-osz\-t\'as\-sal. A fenti \"osszef\"ugg\'esekb\H{o}l
k\"ovetkezik a lemma \'all\'{\i}t\'asa.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Be lehet l\'atni, hogy igaz a fenti lemma olyan
\'eles\'{\i}t\'ese, amely szerint a Lemma \'altal\'anos\'{\i}t\'asa
\'erv\'enyben marad akkor is, ha gyeng\'{\i}tj\"uk azt a felt\'etelt,
hogy a  $T$ transzform\'aci\'o folytonos. Elegend\H{o} csak annyit
megk\"ovetelni, hogy a $T$ transzform\'aci\'o egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel folytonos a $\mu$ (hat\'ar)m\'ert\'ek
szerint. Ez az \'altal\'anos\'{\i}t\'as \'erdekes bizonyos
alkalmaz\'asokban.
\medskip
A fenti lemma sz\'amunkra abban a speci\'alis esetben \'erdekes,
amikor az $(X,\Cal X)$ t\'er a $[0,1]$ intervallumon defini\'alt
folytonos f\"uggv\'enyek $C([0,1])$ tere, $(Y,\Cal Y)$ a sz\'amegyenes
vagy egy v\'eges dimenzi\'os euklid\'eszi t\'er a szok\'asos Borel
$\sigma$-algebr\'aval, \'es alkalmazunk egy $T$ transzform\'aci\'ot
a $C([0,1])$ t\'erb\H{o}l ebbe a v\'eges dimenzi\'os
euklid\'eszi t\'erbe. Ekkor a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek \'erdekes k\"ovetkezm\'enyei vannak.
Te\-kint\-het\-j\"uk p\'eld\'aul a k\"ovetkez\H{o} p\'eld\'akat:
$T_1f=\supp_{0\le x\le1}|f(x)|$, $T_2f=\supp_{0\le x\le1}f(x)$,
$T_3f=\int_0^1 f^2(x)\,dx$, $T_4f=(T_1f,T_2f,T_3f)$. Ezek a
transzform\'aci\'ok mindegyike folytonos, ezek k\"oz\"ul az els\H{o}
h\'arom a sz\'amegyenesre, a negyedik a h\'arom dimenzi\'os
euklid\'eszi t\'erbe k\'epez. A $T_1$ transform\'aci\'o alkalmaz\'asa
p\'eld\'aul azt adja, hogy ha egy sz\'eriasorozat teljes\'{\i}ti
a funkcion\'alis centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit,
akkor a $\supp_{1\le j\le n_k}\left|\summ_{p=1}^j\xi_{k,p}\right|$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok el\-osz\-l\'as\-ban konverg\'alnak egy a $[0,1]$
intervallumban defini\'alt Wiener folyamat szupr\'emum\'anak
eloszl\'as\'ahoz. Hasonl\'oan lehet egy hat\'areloszl\'ast\'etelt
mondani $T_2$, $T_3$ vagy $T_4$ transzform\'aci\'o alkalmaz\'asa
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Vegy\"uk \'eszre azt is, hogy a
hat\'areloszl\'as csak a hat\'arfolyamatt\'ol (a Wiener folyamatt\'ol)
f\"ugg, teh\'at minden a funkcion\'alis centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatra ugyanaz.
 
Inform\'alis m\'odon a fenti eredm\'enyek \'ugy interpret\'alhat\'oak,
hogy a funkcion\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel felt\'eteleit
teljes\'{\i}t\H{o} sz\'eriasorozatokb\'ol k\'epzett
r\'eszlet\"osszegek sorozatai nagy indexre hasonl\'oan viselkednek,
\'es ezt a hasonl\'o viselked\'est a Wiener folyamat
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel \'{\i}rhatjuk le.
 
 
 
\beginsection Megjegyz\'esek a feladatok megold\'as\'ahoz
 
{\it 1. feladat.}\/ Be kell l\'atni, hogy a feladatban megadott
halmazrendszer $\sigma$-algebr\'at alkot. Haszn\'aljuk fel ennek
igazol\'as\'ahoz azt a halmazelm\'eleti t\'enyt, hogy
megsz\'aml\'alhat\'o sok megsz\'aml\'alhat\'o halmaz uni\'oja is
megsz\'aml\'alhat\'o. Ennek a t\'enynek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel
vegy\"uk \'eszre, hogy ha tekint\"unk megsz\'aml\'alhat\'o sok a
halmazrendszerben szerepl\H{o} halmazt, akkor feltehetj\"uk, hogy
ezek mindegyike ugyanazon megsz\'aml\'alhat\'o sok f\"uggv\'eny
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aban van.
\medskip\noindent
{\it 1. a feladat}\/ (V\'azlatos indokl\'as) Ahhoz, hogy a tekintett
halmazf\"uggv\'eny $\sigma$-addit\'{\i}v legyen, ahhoz el\'eg ezt a
tulajdons\'agot megk\"ovetelni akkor, ha a t\'er indexhalmaz\'at
(tetsz\H{o}leges m\'odon) megszor\'{\i}tjuk megsz\'aml\'alhat\'o sok
koordin\'at\'ara. \'Atindexel\'essel vi\-szont
feltehetj\"uk, hogy ez a term\'eszetes sz\'amok halmaza.
\medskip\noindent
{\it 2.  feladat}\/ Egy $\xi=(\xi_1,\dots,\xi_k)$ vektort
$k$-dimenzi\'os standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektornak
nevez\"unk, ha koordin\'at\'ai f\"uggetlen, standard norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok. Azokat a
vektorokat nevezz\"uk norm\'alis eloszl\'as\'unak, amelynek
eloszl\'asa megegyezik egy $\xi A+m$ v\'eletlen vektor
eloszl\'as\'aval, ahol $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u vektor,
$A$ egy $k\times k$ m\'atrix $m$ egy $k$-dimenzi\'os
 (determinisztikus) vektor. N\'emi sz\'amol\'assal bel\'athat\'o,
hogy egy ilyen vektor kovariancia m\'atrixa $D=A^*A$ alak\'u. A
line\'aris algebra bizonyos eredm\'enyeib\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a
$D=A^*A$ egyenletnek (r\"ogz\'{\i}tett $D$ m\'atrixra) akkor \'es csak
akkor van megold\'asa, ha $D$ szimmetrikus pozit\'{\i}v
(szemi)definit m\'atrix. (Mi\'ert?) Viszont egy ilyen egyenletnek nem
csak egy $A$ m\'atrix lehet a megold\'asa. Ennek ellen\'ere a $D$
kovariancia m\'atrix \'es az $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek m\'atrix
meghat\'arozza egy norm\'alis eloszl\'as\'u vektor eloszl\'as\'at.
Ennek egy lehets\'eges magyar\'azata: El\'eg megmutatni, hogy a
$\xi$ norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
$Ee^{i(t,\xi)}$ karakterisztikus f\"uggv\'eny\'et meghat\'arozza a $D$
kovariancia m\'atrix \'es  $m$ v\'arhat\'o \'ert\'ek. M\'asr\'eszt be
lehet l\'atni, hogy $Ee^{i(t,\xi)}=e^{-(t, Dt)/2+i(m,t)}$.
\medskip\noindent
{\it 3. feladat}\/ Az eloszl\'asok megegyez\'es\'ehez a tekintett
vektorok norm\'alis eloszl\'asa \'es nulla v\'arhat\'o \'ert\'eke
miatt elegend\H{o} a kovarianciam\'atrixok megegyez\'es\'et
ellen\H{o}r\'{\i}zni. A konzisztencia k\"onnyen
l\'athat\'o, ha meg\'ertj\"uk, mir\H{o}l van sz\'o.
\medskip\noindent
{\it 4. feladat}\/ (V\'azlatos indokl\'as) A $\sigma$-algebra csak
megsz\'aml\'alhat\'o sok koordi\'at\'at\'ol f\"ugg\H{o} esem\'enyeket
tartalmaz. Egy f\"uggv\'eny ismerete viszont megsz\'aml\'alhat\'o sok
koor\-di\-n\'a\-t\'a\-j\'a\-ban nem hat\'arozza meg, hogy folytonos-e,
mert a t\"obbi koordin\'at\'aban el lehet rontani a folytonoss\'agot.
\medskip\noindent
{\it 5. feladat}\/ Mind az 5., mind az 5a) mind az 5b) feladat
megold\'asa a k\"ovetkez\H{o} \'all\'{\i}t\'as igazol\'as\'an alapul:
 
Tekints\"uk az $(R^{[0,1]},\Cal C^{[0,1]})= \(\prodd_{t\in[0,1]} R_t,
\prodd_{t\in[0,1]} \Cal B_t\)$ szorzatteret, ahol $R_t$ a
sz\'am\-egye\-nes\-nek $\Cal B_t$ pedig a sz\'amegyenes
$\sigma$-algebr\'aj\'anak egy a $t$ sz\'ammal
pa\-ra\-m\'e\-te\-re\-zett p\'eld\'anya. Jel\"olje $Z$ az \"osszes a
$[0,1]$ intervallumon folytonos f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o halmazt,
\'es tekints\"uk az $(R^{[0,1]},\Cal C^{[0,1]})$ t\'er $Z,\Cal Z)$
megszor\'{\i}t\'as\'at a $Z$ halmazra. Ez azt jelenti, hogy vessz\"uk
a $Z$ halmazt, \'es $\Cal Z$ azokb\'ol a  $B$ halmzokb\'ol \'all,
amelyek el\H{o}\'allnak $B=Z\cap A$, $A\in\Cal C^{[0,1]}$ alakban.
Nem neh\'ez bel\'atni, hogy $\Cal Z$ a $Z$ halmaz bizonyos
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra.  Azt \'all\'{\i}tjuk,
hogy tetsz\H{o}leges a $C([0,1])$ t\'erben Borel m\'erhet\H{o} halmaz
benne van a $\Cal Z$  $\sigma$-algebr\'aban. (Az is igaz, hogy a
$\Cal Z$ $\sigma$-algebra megegyezik a $C([0,1])$ t\'er Borel
$\sigma$-algebr\'aval, de ennek az \'all\'{\i}t\'asnak a m\'asodik
fel\'ere nem lesz sz\"uks\'eg\"unk.)
 
Az el\H{o}bbi \'all\'{\i}t\'as bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
el\'eg megmutatni azt, hogy a $C([0,1])$ t\'er minden $G$ ny\'{\i}lt
halmaz\'ara  $G\in \Cal Z$, mert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy minden
a ny\'{\i}lt halmazok \'altal gener\'alt $\sigma$-algebr\'aj\'aban
lev\H{o} $B$ halmazra, $B\in\Cal Z$.
 
Tov\'abb lehet reduk\'alni az \'all\'{\i}t\'ast a k\"ovetkez\H{o}
tipus\'u halmazokra: Ha $x=x(t)\in C([0,1])$, $\e>0$, akkor legyen
$S(x,\e)=\{y\: y\in C([0,1]),\; \sup\limits_{t\in
[0,1]}|x(t)-y(t)|<\e\}$. El\'eg bel\'atni, hogy minden
$S(x,\e)$ tipus\'u halmazra $S(x,\e)\in \Cal Z$, mert
tetsz\H{o}leges ny\'{\i}lt halmaz el\H{o}\'all\'{\i}that\'o
megsz\'aml\'alhat\'o sok ilyen halmaz uni\'ojak\'ent.
A k\"ovetkez\H{o} meggondol\'as mutatja, hogy $S(x,\e)\in \Cal Z$.
Jel\"olje $Q$ a ra\-ci\-o\-n\'a\-lis sz\'amok halmaz\'at a $[01,1]$
intervallumban. Ekkor
$$
S(x,\e)=\bigcup_{n=1}^\infty\(\bigcap_{r\in
Q}\left\{y\: y\in Z,|y(r)-x(r)|<\(1-\frac1n\)\e\right\}\)\in\Cal Z.
$$
(Mi\'ert?)
\medskip\noindent
Az, hogy az $X(\cdot,\oo)$ folytonos trajekt\'ori\'aj\'u folyamat
azt jelenti, hogy $X(\cdot,\oo)\in Z$ minden $\oo\in\Omega$ elemi
esem\'enyre. Mivel a $C([0,1])$ t\'er minden $B$ Borel m\'erhet\H{o}
halmaza el\H{o}\'all $B=A\cap
Z$, $A\in\Cal C^{[0,1]}$ alakban, ez\'ert $\{\oo\:X(\cdot,\oo)\in
B\}=\{\oo\:X(\cdot,\oo)\in B\cap Z\} =\{\oo\:X(\cdot,\oo)\in A\}
\in \Cal A$, \'es a $P(X(\cdot,\oo)\in A)=P(X(\cdot,\oo)\in B$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget meghat\'arozz\'ak az $X(\cdot,\oo)$
sztochasztikus folyamat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asai. Innen
k\"ovetkezik mind az 5a) mind az 5b) feladat \'all\'{\i}t\'asa.
 
\medskip\noindent
{\it 6. feladat}\/ Parci\'alis integr\'al\'assal bel\'athat\'o, hogy
$$
\align
\int_x^\infty e^{-u^2/2}\,du&=\frac1x e^{-x^2/2}-
\int_x^\infty\frac1{u^2} e^{-u^2/2}\,du\\
&=\frac1x e^{-x^2/2}-\frac1{x^3}e^{-x^2/2}+
\int_x^\infty\frac3{u^4} e^{-u^2/2}\,du\;,
\endalign
$$
\'es ebb\H{o}l az azonoss\'agb\'ol levezethet\H{o}  a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
 
 
 
 
 
\bye
 
 
 
 
 
 
