\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
 
\input amstex
\TagsOnRight
\parindent=20pt
%\parskip=2.5pt plus 1.2pt
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\def\Re{\text{\rm Re}\,}
\def\Im{\text{\rm Im}\,}
\font\script =cmcsc10
 
\beginsection Stacion\'arius sorozatok el\H{o}rejelz\'ese.
 
Ebben az el\H{o}ad\'asban a k\"ovetkez\H{o} k\'erd\'est fogom
t\'argyalni: Tekints\"uk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy olyan $\dots,X_{-1},X_0,X_1,\dots$ stacion\'arius Gauss
sorozat\'at, amelyre $EX_n=0$ (minden $n=0\pm1,\pm2,\dots$ indexre),
\'es legyen megadva ennek a sorozatnak az $r(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'enye, $n=0,1,2,\dots$. Ha ismerj\"uk e sorozat
m\'ultbeli vi\-sel\-ke\-d\'e\-s\'et egy $n$ id\H{o}pontig, azaz
az $X_j(\oo)$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak tudjuk
az \'ert\'ek\'et minden $-\infty<j\le n$ indexre, akkor hogyan lehet
megadni az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o legjobb
becsl\'es\'et ezen inform\'aci\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel? Az id\H{o}
r\"ovids\'ege miatt megel\'egszem a legfontosabb fogalmak \'es
eredm\'enyek ismertet\'es\'evel \'es n\'eh\'any bizony\'{\i}t\'as
r\"ovid le\-\'{\i}r\'a\-s\'a\-val.
 
El\H{o}sz\"or megfogalmazom a feladatot kiss\'e pontosabban. Az
$X_j$, $-\infty<j\le n$, va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'oknak olyan $f(X_j,j\le n)$ f\"uggv\'eny\'et keress\"uk,
amelyre az $E(X_{n+1}-f(X_j,\,j\le  n))^2$ minim\'alis. M\'as
szavakkal az $X_{n+1}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
legkisebb hi\-b\'aj\'u becs\-l\'e\-s\'et keress\"uk az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol a becsl\'es hib\'aj\'at \'ugy
defini\'aljuk, mint a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o val\'odi \'es becs\"ult
\'ert\'eke k\"oz\"otti k\"ul\"onbs\'eg n\'egyzet\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
 
Vegy\"uk \'eszre, hogy a keresett legjobb becsl\'es megtal\'al\'asa,
a felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek tulajdons\'agai alapj\'an
megegyezik azzal a probl\'em\'aval, hogy tal\'aljuk meg a $X_{n+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o felt\'eteles v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et, felt\'eve az $X_{j}$, $-\infty<j\le n$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'at. Ez a feladat \'atfogalmazhat\'o a
k\"ovetkez\H{o} m\'odon is. Tekints\"uk az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n azon
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszess\'eg\'et,
amelyekre $E\xi^2<\infty$, \'es vezess\"uk be k\"oz\"ott\"uk a
$(\xi,\eta)=E\xi\bar\eta$ skal\'arszorzatot. (A te\-kin\-tett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok lehetnek komplex
\'ert\'ek\H{u}ek is, \'es $\bar\eta(\oo)$ az $\eta(\oo)$ komplex
konjug\'altj\'at jel\"oli.) Ilyen m\'odon bevezett\"uk a
n\'egyzetesen  integr\'alhat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt Hilbert teret, \'es az el\H{o}bb
megfogalmazott feladat ekvivalens m\'odon \'ugyis \'atfogalmazhat\'o,
hogy meg kell adnunk a Hilbert t\'er $X_{n+1}$ elem\'enek a
vet\"ulet\'et a tekintett Hilbert t\'ernek az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'altal gener\'alt $\sigma$-algebra szerint m\'erhet\H{o}
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okb\'ol \'all\'o alter\'ere. Ez a feladat a tekintett
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok (egy\"uttes) Gauss
eloszl\'asa miatt tov\'abb egyszer\H{u}s\'{\i}thet\H{o}. A keresett
felt\'eteles v\'arhat\'o \'ert\'ek megegyezik az $X_{n+1}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o vet\"ulet\'evel az $X_j$,
$-\infty<j\le n$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
(meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o) line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o alt\'erre, azaz a keresett becsl\'es az az
$Y=\summ_{j=0}^\infty c_jX_{n-j}$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o ($EY^2<\infty$),
amelyre $EX_j(X_{n+1}-Y)=0$ minden $-\infty<j\le n$ indexre.
(L\'asd az al\'abbi feladatot.) \medskip\noindent
{\it Feladat:}\/
\medskip\noindent
Legyenek $Y$ \'es $X_1,X_2,\dots$, egy\"uttesen norm\'alis
eloszl\'as\'u (nulla v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u})
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok. Ekkor az $Y$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o $Z$ vet\"ulete
az $X_1,X_2,\dots$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o line\'aris kombin\'aci\'oi \'altal
kifesz\'{\i}tett al\-t\'er\-re (a m\'a\-so\-dik momentummal
rendelkez\H{o} va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'okb\'ol
\'all\'o Hilbert t\'erben) mer\H{o}leges minden az $X_1,X_2,\dots$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
$\sigma$-algebr\'ara m\'erhet\H{o} n\'egyzetesen integr\'alhat\'o
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ora. Ez azt jelenti,
hogy ez a vet\"ulet megegyezik az $E(Y|X_1,X_2,\dots)$ felt\'eteles
v\'arhat\'o \'ert\'ekkel.
\medskip\noindent
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Vegy\"uk \'eszre, hogy az $Y-Z,X_1,X_2,\dots$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy\"uttesen norm\'alisak,
ez\'ert az $E(Y-Z)X_j=0$, $j=1,2,\dots$, rel\'aci\'okb\'ol
k\"ovetkezik, hogy $Y-Z$ f\"uggetlen az $(X_1,X_2,\dots)$
vektort\'ol. Ez\'ert $Y-Z$ f\"uggetlen az $X_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok minden $f(X_1,X_2,\dots)$
f\"uggv\'eny\'et\H{o}l is. Tov\'abb\'a $E(Y-Z)=0$.
\medskip
 
A fentiek alapj\'an a feladat \'atfogalmazhat\'o \'ugy, mint egy
a kovarianciaf\"uggv\'eny se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'ev\-el
fel\'{\i}rhat\'o v\'egtelen line\'aris egyenletrendszer megold\'asa.
(Az ismeretlen $c_j$ egy\"utthat\'okat kell megtal\'alni a
$R(n+1-k)=EX_kX_{n+1}=EYX_k=\summ_{j=0}^\infty c_jEX_{n-j}X_k
=\summ_{j=0}^\infty c_j R(n-j-k)$, $-\infty<k\le n$,
egyenletrendszerben.) Annak \'erdek\'eben, hogy a megold\'asr\'ol
bizonyos hasznosabb inform\'aci\'okat nyerhess\"unk, \'erdemes a
feladatot m\'as form\'aban is t\'argyalni. El\H{o}sz\"or bevezetek
n\'eh\'any fogalmat \'es megadok n\'eh\'any a Hilbert terek
alapvet\H{o} tulajdons\'agait felhaszn\'al\'o eredm\'enyt
bizony\'{\i}t\'as  n\'elk\"ul. Ezek kiss\'e pongyol\'an
fogalmazva azt \'all\'{\i}tj\'ak, hogy a feladatot reduk\'alni
lehet k\'et eset vizs\-g\'a\-la\-t\'a\-ra, amelyek k\"oz\"ul az
els\H{o} eset azt jelenti, hogy m\'ar a nagyon r\'egi
megfigyel\'esek is egy\-\'er\-tel\-m\H{u}\-en meghat\'arozz\'ak a
rendszer tov\'abbi viselked\'es\'et, a m\'asodik eset pedig azt,
hogy a nagyon r\'egi megfigyel\'esek szinte semmi inform\'aci\'ot
nem adnak arra, hogy mi t\"ort\'enik a j\"ov\H{o}ben.
 
Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} jel\"ol\'eseket:
$$
\aligned
H=B(X_j,\,-\infty<j<\infty),\qquad
H_n&=B(X_j,\,-\infty<j\le n),\quad -\infty<n<\infty,\\
S&=\bigcap_{n=-\infty}^\infty H_n.
\endaligned \tag1
$$
A fenti jel\"ol\'esekben $B(X_j,\,j\in T)$, ahol $T$ az eg\'esz
sz\'amok valamely r\'eszhalmaza, a $T$ halmaz elemeivel indexelt
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal gener\'alt
legsz\"ukebb Hilbert teret jel\"oli, $S$ pedig a legnagyobb minden
$H_n$ Hilbert t\'er \'altal tartalmazott Hilbert t\'er.
 
Adva egy $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,2,\dots$, stacion\'arius sorozat
vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $U$ shift oper\'atort az $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \'altal kifesz\'{\i}tett
$H$ Hilbert t\'erben: $UX_n=X_{n+1}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
\'es ha $Y=f(X_n,\,-\infty<n<\infty)\in H$, akkor ennek $UY$
eltoltj\'at (shift-j\'et) az
$UY=Uf(X_n,\,-\infty<n<\infty)=f(UX_n,\,-\infty<n<\infty)
\in H$ k\'eplettel defini\'aljuk. Akkor \'es csak akkor nevez\"unk
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok egy $Y_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat\'at az $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozat al\'arendelt sorozat\'anak, ha
$Y_n\in H$, ezenk\'{\i}v\"ul az $Y_n\in H_n$ rel\'aci\'o is teljes\"ul
minden $n=\dots,-1,0,1,\dots$, ahol $H_n$ az (1) formul\'aban van
defini\'alva \'es $UY_n=Y_{n+1}$ minden $n=\dots,-1,0,1,\dots$
indexre. Egy $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt sorozat ny\'{\i}lv\'anval\'o m\'odon szint\'en
stacion\'arius.
\medskip\noindent
{\bf Szingul\'aris stacion\'arius sorozat definici\'oja.} {\it Egy
$Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ stacion\'arius (Gauss) sorozatot
szingul\'arisnak nevez\"unk, ha $S=H$. A
$H=B(Y_j,\,-\infty<j<\infty)$, $H_n=B(Y_j,\,-\infty<j\le n)$,
$S=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_n$ az (1) k\'eplethez hasonl\'oan
defini\'aljuk. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben
az $Y_n$ sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a $H$, $H_n$
\'es $S$ Hilbert tereket.}
\medskip\noindent
{\bf Regul\'aris stacion\'arius sorozat definici\'oja.} {\it Egy
$Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$ stacion\'arius (Gauss) sorozatot
regul\'arisnak nevez\"unk, ha  $S=\emptyset$. A
$H=B(Z_j,\,-\infty<j<\infty)$, $H_n=B(Z_j,\,-\infty<j\le n)$,
$S=\bigcapp_{n=-\infty}^\infty H_n$ az (1) k\'eplethez hasonl\'oan
defini\'aljuk. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy jelen esetben a
$Z_n$ sorozat seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk a $H$, $H_n$ \'es
$S$ Hilbert tereket.}
\medskip
\'Erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} egy stacion\'arius (Gauss) sorozat
felbont\'as\'ar\'ol sz\'ol\'o t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel stacion\'arius sorozat felbont\'as\'ar\'ol regul\'aris
\'es szingul\'aris sorozatok \"osszeg\'ere.} {\it Legyen $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius (Gauss) sorozat. Ekkor ennek
l\'etezik olyan
$$
X_n=Y_n+Z_n, \quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag2
$$
el\H{o}\'all\'{\i}t\'asa val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
k\'et sorozat\'anak az \"osszeg\'ere \'ugy, hogy
\medskip
\item{a)} $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatnak al\'arendelt szingul\'aris
sorozat, $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az
$X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatnak al\'arendelt regul\'aris
sorozat.
\medskip
\item{b)} Az $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, \'es
$Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatok korrel\'alatlanok, azaz
$$
\Cov(Y_n,Z_m)=0\quad \text{minden } n,m=\dots,-1,0,1,\dots
\text{ sz\'amp\'arra.}
$$
 
Az $X_n$ sorozat felbont\'asa az al\'abbi tulajdons\'ag\'u sorozatok
\"osszeg\'ere egy\'ertelm\H{u}.}
\medskip
Ha $Y_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, szingul\'aris sorozat, akkor e
sorozat tetsz\H{o}leges $Y_k$ eleme benne van a $H_{-N}(Y_j, -\infty
<j\le-N)$ Hilbert t\'erben b\'armilyen nagy $N$ indexre. Ez azt
jelenti, hogy az $Y_n$ sorozat m\'ultj\'anak ismerete b\'armilyen
r\'egi id\H{o}pontig elegend\H{o} ahhoz, hogy az $Y_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot pontosan rekonstru\'aljuk.
Ha $Z_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris sorozat, akkor
valamely tetsz\H{o}leges $Y_k$ elem\'enek a vet\"ulete a
$H_{-N}(Y_j, -\infty <j\le-N)$ Hilbert t\'erbe nagy $N$ indexekre
tart null\'ahoz. Ez inform\'alisan azt jelenti, hogy a nagyon
r\'egi megfigyel\'esek alig adnak inform\'aci\'ot egy $Y_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o becsl\'es\'ere. Igaz a
k\"ovetkez\H{o} Wold felbont\'asnak nevezett eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel  (Wold felbont\'as).} {\it Legyen $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, regul\'aris stacion\'arius sorozat. Ekkor
l\'etezik olyan az $X_n$ sorozatnak al\'arendelt $V_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat \'es val\'os
sz\'amok olyan $c_k$, $k=0,1,2,\dots$ sorozata, emelyekre
$EV_n=0$, $EV_n^2=1$, $EV_nV_m=0$, ha $n\neq m$, $\summ_{k=0}^\infty
c_k^2=EX_1^2$, \'es
$$
X_n=\sum_{k=0}^\infty c_kV_{n-k}\quad \text{minden
$n=\dots,-1,0,1,\dots$ indexre.} \tag3
$$
Megford\'{\i}tva, ha az $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
stacion\'arius sorozatnak l\'etezik az adott tulajdons\'ag\'u
reprezent\'aci\'oja, akkor ez a sorozat regul\'aris.}
\medskip
A fenti eredm\'enyek a Hilbert terek \'altal\'anos tulajdons\'agait
haszn\'alj\'ak ki. \'Igy p\'eld\'aul a Wold felbont\'asban
szerepl\H{o} $V_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'es a (3)
formul\'aban szerepl\H{o} felbont\'ast \'ugy kapjuk meg,
hogy minden $n$ sz\'amra tekintj\"uk a $H_{n-1}$ Hilbert t\'er $D_n$
ortogon\'alis kieg\'esz\'{\i}t\H{o}j\'et a  $H_n$ Hilbert t\'erre,
\'es vesz\"unk ebben egy 1-re norm\'alt $V_n$ vektort. N\'emi
munk\'aval meg lehet mutatni, hogy ezeket a $V_n$ vektorokat
v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy \'{\i}ly m\'odon egy az $X_n$ sorozatnak
al\'arendelt (ortonorm\'alt elemekb\H{o}l \'all\'o) stacion\'arius
sorozatot kapjunk, amelynek elemei egyben a $H$ Hilbert t\'er
ortonorm\'alt b\'azis\'at alkoss\'ak. Az $X_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sorfejt\'esek\'ent ezen
b\'azis alapj\'an meg\-kap\-juk a (3) formul\'at.
 
Az \'{\i}gy kapott eredm\'enyek az\'ert nem kiel\'eg\'{\i}t\H{o}ek
sz\'amunkra, mert \"onmagukban nem elegend\H{o}ek ahhoz, hogy
megkapjuk a minket \'erdekl\H{o} predikci\'ot. Nem neh\'ez
bel\'atni, hogy az $X_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
legjobb becsl\'ese az $X_j$, $j\le 0$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok seg\'{\i}ts\'eg\'evel a $\summ_{k=n}^\infty c_kV_{n-k}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, de eddigi ismereteink nem
elegend\H{o}ek ahhoz, hogy explicit m\'odon megadjuk a $c_k$
egy\"utthat\'okat \'es kisz\'amoljuk azt, hogy a $V_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok hogy fejezhet\H{o}k ki az
$X_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok line\'aris
kombin\'aci\'ojak\'ent. Tov\'abbi probl\'ema, hogy az eddigi
eredm\'enyek nem mondj\'ak meg, hogy egy ismert kovarianci\'aj\'u
Gauss folyamat mikor regul\'aris, \'es ha nem regul\'aris, akkor
hogyan lehet megtal\'alni a sorozat (2) formul\'aban megadott
felbont\'as\'at.
 
Annak \'erdek\'eben, hogy ezekre a k\'erd\'esekre legal\'abb
r\'eszleges v\'alaszokat adhassunk, sz\"uks\'eg\"unk van az
anal\'{\i}zis n\'eh\'any klasszikus eredm\'eny\'ere. El\H{o}sz\"or
ismertetem a Bochner t\'etelt pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek
jellemz\'es\'er\H{o}l, amely lehet\H{o}v\'e teszi annak
megmutat\'as\'at, hogy egy stacion\'arius sorozat kovariancia
f\"uggv\'enye el\H{o}\'all\'{\i}that\'o, mint egy \'ugynevezett
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. Defini\'aljuk
el\H{o}sz\"or a pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyeket.
 
\medskip\noindent
{\bf Pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'enyek \'es sorozatok
definici\'oja.} {\it Azt mondjuk, hogy egy $f(t)$ f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen pozit\'{\i}v definit, ha minden $t_1,\dots,t_N$
val\'os \'es  $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-esre teljes\"ul a
$$
\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N z_k\bar z_l f(t_k-t_l)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg, ahol $\bar z$ a $z$ komplex sz\'am
konjug\'altj\'at jel\"oli.
 
Hasonl\'oan ha $a(n)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, az eg\'esz
sz\'amokkal indexezett sz\'am\-so\-ro\-zat, akkor ezt a sorozatot
akkor \'es csak akkor nevezz\"uk pozit\'{\i}v definitnek, ha minden
$a_1,\dots,a_N$ eg\'esz \'es  $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-esre teljes\"ul a
$$
\sum_{k=1}^N\sum_{l=1}^N z_k\bar z_l a(n_k-n_l)\ge0
$$
egyenl\H{o}tlens\'eg.}
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Mutassuk meg, hogy az $f_t(x)=e^{itx}$, $t$ val\'os
sz\'am, f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny minden
(val\'os) $x$ param\'eterre, $a_k(n)=e^{ikn}$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$,
pozit\'{\i}v definit sorozat minden eg\'esz $k$ sz\'amra.
\medskip
A Bochner t\'etel a pozit\'{\i}v definit sorozatok \'es
f\"uggv\'enyek jellemz\'es\'et
adja. Sz\'a\-munk\-ra a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} lemma miatt
\'erdekes ez az eredm\'eny.
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $X(t)$, $-\infty<t<\infty$, stacion\'arius
sztochasztikus folyamat, akkor az $R(t)=EX(s)X(t+s)$ kovariancia
f\"uggv\'eny pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Ha $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat, akkor
$R(n)=EX_mX_{n+m}$ pozit\'{\i}v definit sorozat.
 
Megford\'{\i}tva, ha $R(n)$ pozit\'{\i}v definit sorozat, akkor
l\'etezik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok olyan $X_n$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sztochasztikus
sorozata, amelynek ez az $R(n)$ sorozat az $R(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'enye. S\H{o}t, l\'etezik az adott
kovarianciaf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o} Gauss sorozat nulla
v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal.
Ez ut\'obbi esetben a sorozat v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asait
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a kovarianciaf\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Az \'altal\'anoss\'ag
megszor\'{\i}t\'asa n\'elk\"ul feltehetj\"uk, hoggy $EX(t)=0$,
R\"og\-z\'{\i}t\-s\"unk valamely $t_1,\dots,t_N$ val\'os \'es
$z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol
\'all\'o sz\'am $n$-es p\'art \'es tekints\"uk a
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(t_k-t_l)$
kifejez\'est. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(t_k-t_l)=
\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l EX(t_k)X(t_l)=
E\(\summ_{k=1}^N z_kX(t_k)\)\(\overline{\summ_{k=1}^N z_kX(t_k)}\)\ge0$.
 
Hasonl\'oan, r\"ogz\'{\i}tve valamely $n_1,\dots,n_N$ eg\'esz
\'es $z_1,\dots,z_N$ komplex sz\'amokb\'ol \'all\'o sz\'am $n$-es
p\'art. Ekkor fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l R(n_k-n_l)=
\summ_{k=1}^N\summ_{l=1}^N z_k\bar z_l EX_{n_k}X_{n_l}=
E\(\summ_{k=1}^N z_kX_{n_k}\)\(\overline{\summ_{k=1}^N
z_kX_{n_k}}\)\ge0$.
 
A lemma utols\'o \'all\'{\i}t\'as\'anak bizony\'{\i}t\'as\'ahoz
azt kell meggondolnunk, hogy ahhoz, hogy az adott $R(n)$
kovarianciaf\"uggv\'enyhez l\'etezzen olyan norm\'alis sorozat,
amelynek $(X_{k_1},\dots,X_{k_p})$ v\'eges dimenzi\'os
eloszl\'asainak a kovarianciam\'atrix\'at az $R(n)$
kovarianciaf\"uggv\'eny hat\'arozza meg az kell, hogy ez a
kovarianciam\'atrix pozit\'{\i}v definit legyen. Viszont ezt a
felt\'etelt az biztos\'{\i}tja, hogy az $R(n)$ sorozat
pozit\'{\i}v definit. Ezenk\'{\i}v\"ul eml\'ekezz\"unk arra, hogy
egy norm\'alis eloszl\'as\'u v\'eletlen vektor eloszl\'as\'at annak
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es kovariancia m\'atrixa meghat\'arozza.
 
\medskip\noindent
{\bf Bochner t\'etel.} {\it Legyen $f(t)$, $-\infty<t<\infty$,
folytonos pozit\'{\i}v definit f\"uggv\'eny. Ekkor l\'etezik olyan
v\'eges $\mu(\cdot)$ m\'ert\'ek a sz\'amegyenesen, amelyre
$$
f(t)=\int e^{itx}\mu(\,dx),\quad -\infty<t<\infty. \tag4
$$
A (4) k\'epletben szerepl\H{o} $\mu$ m\'ert\'eket az $f(t)$
f\"uggv\'eny egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza.
 
Legyen $a(n)$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, pozit\'{\i}v definit sorozat
az eg\'esz sz\'amokon. Ekkor l\'etezik olyan v\'eges m\'ert\'ek a
$[-\pi,\pi)$ szakaszon, amelyre
$$
a(n)=\int_{-\pi}^{\pi} e^{ixn}\mu(\,dx),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots
$$
A $\mu$ m\'ert\'eket az $a(n)$ sorozat egy\'ertelm\H{u}en
meghat\'arozza.}
\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyen $X_n$, $EX_n=0$,
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, stacion\'arius sorozat $R(n)=EX_kX_{k+n}$
kovarianciaf\"uggv\'ennyel. Akkor l\'etezik olyan egy\'ertelm\H{u}en
meg\-ha\-t\'a\-ro\-zott $G(\,dx)$ m\'ert\'ek a $-\pi\le x\le \pi$
intervallumon, amelyre
$$
R(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{inx}G(\,dx),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag5
$$
Speci\'alisan
$$
EX_n^2=R(0)=\int _{-\pi}^\pi G(\,dx)=G([-\pi,\pi]).
$$
A $G$ m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a $G(A)=G(-A)$ tulajdons\'agot
is minden m\'erhet\H{o} $A$ halmazra.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/ Mivel az $R(n)$ sorozat pozit\'{\i}v
definit a Bochner t\'etelb\H{o}l k\"ovetkezik az (5) formula.
Tov\'abb\'a, mivel $R(n)=R(-n)$, \'es az $R(n)$ sorozat
egy\'ertelm\H{u}en meghat\'arozza a $G(\,dx)$ m\'ert\'eket, innen
k\"ovetkezik, hogy $G(A)=G(-A)$.
\medskip\noindent
{\it 1. megjegyz\'es.} Az (5) formul\'aban szerepl\H{o} $G$
m\'ert\'eket az $R(n)$ kovarianciaf\"uggv\'eny
spek\-tr\'al\-m\'er\-t\'e\-k\'e\-nek nevezik az irodalomban. Ha
a $G$ m\'ert\'ek abszolut folytonos a (Lebesgue m\'ert\'ekre
n\'ezve), akkor ennek $g(x)=\frac{dG}{dx}(x)$ deriv\'altj\'at a
kovarianciaf\"uggv\'eny spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'e\-g\'e\-nek
nevezik. Ha l\'etezik az $R(n)$ f\"uggv\'enynek $g(x)$
spek\-tr\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'ege, akkor az (5) formula
fel\'{\i}rhat\'o a k\"ovetkez\H{o} ekvivalens m\'odon is:
$$
R(n)=\int_{-\pi}^\pi e^{inx}g(x)\,dx,\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag$5'$
$$
\medskip\noindent
{\it 2. megjegyz\'es.} Egy a $[-\pi,\pi]$ intervallumon defini\'alt
$G$ m\'ert\'eket, amelyre $G([-\pi,\pi])<\infty$, $G(A)=G(-A)$ minden
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'enyre spektr\'al m\'ert\'eknek is neveznek. Az
elnevez\'es oka az, hogy l\'etezik olyan $X_n$,
$n=-\dots,-1,0,1,\dots$, Gauss eloszl\'as\'u stacion\'arius sorozat,
amelynek ez a $G$ m\'ert\'ek a spektr\'al m\'ert\'eke. Azt
is feltehetj\"uk, hogy e sorozat elemei teljes\'{\i}tik az $EX_n=0$
felt\'etelt. Val\'oban, ha az $EX_kX_{k+n}=R(n)$ f\"uggv\'eny
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg tudjuk adni a keresett Gauss sorozat v\'eges
dimenzi\'os eloszl\'asainak kovariancia m\'atrix\'at, \'{\i}gy
magukat a v\'eges dimenzi\'os eloszl\'asokat is.
 
A spektr\'al m\'ert\'ek bevezet\'ese az\'ert hasznos, mert ilyen
m\'odon a Fourier anal\'{\i}zis m\'odszereit tudjuk alkalmazni. Egy
stacion\'arius sorozat kovarianciaf\"uggv\'enye el\H{o}\'all, mint a
spektr\'al m\'ert\'ek Fourier transzform\'altja. A
kovarianciaf\"uggv\'eny vagy a spektr\'al m\'ert\'ek megad\'asa
ekvivalens. Alkalmaz\'asok szempontj\'ab\'ol sokszor hasznosabb a
spek\-tr\'al m\'ert\'ekkel dolgozni.
 
Legyen adva egy stacion\'arius Gauss folyamat valamely $G$
spektr\'al m\'ert\'ekkel. Le\-het\-s\'e\-ges \'es \'erdemes
konstru\'alni olyan \'ugynevezett v\'eletlen (norm\'alis) spektr\'al
m\'ert\'eket defi\-ni\-\'al\-ni, amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel mag\'at
a sztochasztikus folyamatot is el\H{o} tudjuk \'all\'{\i}tani ezen
v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eknek a Fourier transzform\'altjak\'ent.
Ezt az eredm\'enyt, illetve a bizony\'{\i}t\'asban sz\"uks\'eges
gondolatmenetet r\"oviden ismertetem. El\H{o}sz\"or
be\-ve\-ze\-tem a k\"ovetkez\H{o} definici\'ot.
\medskip\noindent
{\bf V\'eletlen (norm\'alis) spektr\'alm\'ert\'ek definici\'oja.}
{\it Legyen adva egy $G$ spektr\'alm\'ert\'ek a $[-\pi,\pi]$
intervallumon. Azt mondjuk, hogy egy v\'eletlen $Z_G$ m\'ert\'ek
v\'eletlen a $G$ m\'er\-t\'ek\-nek megfelel\H{o} norm\'alis
spektr\'al m\'ert\'ek, ha teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o}
tulajdons\'agokat.
\medskip
\item{(i.)} Minden m\'erhet\H{o} $A\subset [-\pi,\pi]$ halmazra
l\'etezik egy komplex \'ert\'ek\H{u}
$$
Z_G(A)=\Re Z_G(A)+i\Im Z_G(A)
$$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,  amelyet az $A$ halmaz
v\'eletlen m\'ert\'ek\'enek ne\-ve\-z\"unk.
\item{(ii.)} A $\Re Z_G(A)$, $\Im Z_G(A)$, $A\subset [-\pi,\pi]$
m\'erhet\H{o} halmaz, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
egy\"ut\-te\-sen Gauss eloszl\'as\'uak, azaz b\'armely v\'eges
sok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak ezek k\"oz\"ul az
egy\"uttes eloszl\'asa t\"obbdimenzi\'os norm\'alis eloszl\'as.
\item{(iii.)} $EZ_G(A)=0$ minden $A\subset [-\pi,\pi]$ m\'erhet\H{o}
halmazra.
\item{(iv.)} $EZ_G(A)\overline{Z_G(B)}=G(A\cap B)$, ahol $\bar z$ a
$z$ sz\'am konjug\'altj\'at jel\"oli.
\item{(v.)} $\summ_{j=1}^n Z_G(A)=Z_G\(\bigcupp_{j=1}^n A_j\)$, ha
$A_1,\dots,A_n$ diszjunkt halmazok.
\item{(vi.)} $Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$.
}
\medskip\noindent
{\it \'Eszrev\'etel.} A $\Re Z_G(A)$ \'es $\Im Z_G(B)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek. Val\'oban,
ehhez el\'eg megmutatni a norm\'alis eloszl\'as
miatt, hogy korrel\'alatlanok. Viszont
$$
\align
&E\Re Z_G(A)\Im Z_G(B)=\frac14E\[(Z_G(A)+\overline{Z_G(A)})
(Z_G(B)-\overline{Z_G(B)})\]\\
&\qquad=\frac14E\[(Z_G(A)+{Z_G(-A)})
(\overline{Z_G(-B)}-\overline{Z_G(B)})\]\\
&\qquad=\frac14\(G(A\cap (-B))-G(A\cap B)
+G((-A)\cap (-B))-G((-A)\cap B)\)=0
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Feladat:} Ha $(A_1)\cup (-A_1)$, \dots, $A_n\cup(- A_n)$
diszjunktak, akkor $Z_G(A_1)$, \dots $Z_G(A_n)$ f\"uggetlenek. Ha
$A\cap (-A)=\emptyset$, akkor $\Re Z_G(A)=\Re Z_G(-A)$,
$\Im Z_G(A)=\Im Z_G(-A)$, $\Var\(\Re Z_G(A)\)=\Var\(\Im Z_G(A)\)
=\frac {G(A)}2$.\hfill\break
{\it Seg\'{\i}ts\'eg:}\/ Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as
bizony\'{\i}t\'as\'ahoz azt kell megmutatni, hogy
$$E \Re Z_G(A_j)\Re
Z_G(A_k)=0, \quad\text{\'es}\quad E \Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k))=0,
$$
ha $(A_j\cup (-A_j))\cap (A_k\cup(-A_k))=\emptyset$. Viszont
$$
E \Re Z_G(A_j)\Re Z_G(A_k)=\frac14E(Z_G(A_j)+\overline{Z_G(-A_j)})
(Z_G(A_k)+\overline{Z_G(-A_k)})=0
$$
az adott felt\'etelek mellett, \'es
az $E \Im Z_G(A_j)\Im Z_G(A_k))=0$ rel\'aci\'o hasonl\'oan
bizony\'{\i}that\'o.
 
Ha $A\cap (-A)=\emptyset$, akkor
$E(\Re(Z_G(A))^2=\frac14E(Z_G(A)+\overline{Z_G(-A)})^2=\frac{G(A)}2$.
Hasonl\'oan $E(\Re(Z_G(-A))^2=\frac{G(A)}2$. Mivel
$Z_G(-A)=\overline{Z_G(A)}$ az (vi) rel\'aci\'o szerint, innen
k\"ovetkezik a Feladat m\'eg nem t\'argyalt \'all\'{\i}t\'asa.
 
\medskip
 
A fent megadott definici\'o b\'ar technikainak l\'atszik
term\'eszetes. Ha egy $Z_G$  v\'eletlen m\'ert\'ek teljes\'{\i}ti a
fenti tulajdons\'agokat, akkor defini\'alhatjuk az $\int f(x)Z_G(\,dx)$
m\'ert\'eket a k\"ovetkez\H{o} m\'odon. El\H{o}sz\"or defini\'aljuk
ezt az integr\'alt term\'eszetes m\'odon
$f(x)=\summ_{j=1}^n c_j I_{A_j}(x)$ alak\'u elemi f\"uggv\'enyekre,
ahol $A_1,\dots,A_n$ m\'erhet\H{o} diszjunkt r\'eszhalmazai a
$[-\pi,\pi]$ intervallumnak, \'es $I_A(\cdot)$ az $A$ halmaz
indik\'atorf\"uggv\'enye. A definici\'ot az
$$
\int\(\summ_{j=1}^n c_j I_{A_j}(x)\)Z_G(\,dx)=
\summ_{j=1}^n c_j Z_G(A_j)
$$
k\'eplettel adjuk meg. Be lehet l\'atni, hogy teljes\"ul az
$$
E\(\int f(x)Z_G(\,dx)\overline{\int h(x)Z_G(\,dx)}\)
=\int f(x)\overline{h(x)}G(dx) \tag6
$$
elemi f\"uggv\'enyek minden $(f(x), h(x))$ p\'arj\'ara. (A fenti
tulajdons\'agokat az\'ert vezet\"uk be, hogy a (6) tuljdons\'ag
\'erv\'enyes legyen. Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy $L_2$ izomorfia
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel kiterjessz\"uk az $\int f(x)Z_G(\,dx)$
integr\'alt minden olyan f\"uggv\'enyre, amelyre $\int
|f(x)|^2G(\,dx)<\infty$, \'ugy, hogy a (6) rel\'aci\'o tov\'abbra is
\'erv\'enyben maradjon. Tov\'abb\'a igaz lesz az is, hogy amennyiben
$f(-x)=\overline f(x)$, (ez jellemzi a val\'os \'ert\'ek\H{u}
f\"uggv\'enyek, illetve val\'os \'ert\'ek\H{u} el\H{o}jeles
m\'ert\'ekek Fourier transzform\'altj\'at), akkor  $\int
f(x)Z_G(\,dx)$ val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Ezut\'an defini\'aljuk
a
$$
X_n=\int e^{inx}Z_G(\,dx),\quad n=\dots,-1,0,1,\dots \tag7
$$
integr\'alokat. Az $X_n$  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
val\'os \'ert\'ek\H{u}ek, \'es a (6) rel\'aci\'o alapj\'an
$EX_kX_{k+n}=EX_{n+k}\overline{X_{k}}=\int
e^{inx}G(\,dx)$. Ez azt jelenti, hogy az $e^{inx}$ f\"uggv\'enyeknek
$n=\dots,-1,0,1,\dots$, a $Z_G$ v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'ek
szerinti integr\'alj\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel el\H{o}
tudtunk \'all\'{\i}tani egy olyan stacion\'arius Gauss sorozatot,
amelynek spektr\'alm\'ert\'eke a $G$ m\'ert\'ek. N\'emi, itt nem
r\'eszletezett plusz munk\'aval be lehet l\'atni, hogy egy adott $G$
spektr\'alm\'ert\'ek\H{u} stacion\'arius Gauss sorozathoz lehet
konstru\'alni olyan v\'eletlen spektr\'al m\'ert\'eket, amely
mag\'at az eredeti sorozatot \'all\'{\i}tja el\H{o}. Ezt fogalmazom
meg az al\'abbi eredm\'enyben.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, norm\'alis
eloszl\'as\'u stacion\'arius Gauss sorozat nulla v\'arhat\'o
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okkal valamely
$G$ spektr\'al m\'ert\'ekkel. Ekkor lehet konstru\'alni
a $G$ spektr\'al m\'ert\'eknek megfelel\H{o} norm\'alis
v\'eletlen $Z_G$ spektr\'al m\'ert\'eket \'ugy, hogy az e v\'eletlen
m\'ert\'ek szerinti integr\'al teljes\'{\i}ti a (7) k\'epletet, azaz
a kezdetben megadott $X_n$, $n=\dots,-1,0,1,\dots$, sorozatot
defini\'alja.}
\medskip\noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.} Tekints\"uk a $H$ teret, azaz az
$X_n$, $n=0,\pm1,\pm2,\dots$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
n\'egyzetesen integr\'alhat\'o line\'aris kombin\'aci\'oib\'ol
\'all\'o Hilbert teret, \'es  de\-fi\-ni\-\'al\-juk a $H$ t\'er $I$
lek\'epez\'es\'et az $L_2([-\pi,\pi),\Cal B,G(\,dx))$ t\'erre,
(ahol $\Cal B$ jel\"oli a Borel $\sigma$-algebr\'at a $[-\pi,\pi)$
intervallum r\'eszhalmazain) a k\"ovetkez\H{o} m\'odon: Legyen
$I\(\summ_{j=-N}^Nc_je^{ijx}\)=\summ_{j=-N}^Nc_jX_j$
minden v\'eges line\'aris kombin\'aci\'ora. Nem neh\'ez bel\'atni,
hogy $I$ normatart\'o lek\'epez\'es. Ez\'ert a fenti $I$
lek\'epez\'est ki tudjuk terjeszteni a v\'eges line\'aris
kombin\'aci\'okr\'ol azok lez\'artj\'ara is. Ez az $I$
lek\'epez\'es az $L_2([-\pi,\pi)\Cal B,G(\,dx))$ \'es a $H$ t\'er
k\"oz\"ott $L_2$ izomorfi\'at l\'etes\'{\i}t. (Azt kell tudnunk,
hogy a v\'eges $\summ_{j=-N}^Nc_je^{ijx}$ line\'aris kombin\'aci\'ok
az $L_2([-\pi,\pi)\Cal B,G(\,dx))$ t\'er minden\"utt s\H{u}r\H{u}
r\'eszhalmaz\'at alkotj\'ak.)
 
Defini\'aljuk a $Z_G(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot a
$Z_G(A)=I(A)$ k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A $Z_G(\cdot)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok teljes\'{\i}tik az (i.)--(vi.)
tulajdons\'agokat. Az (i), (ii), (iii) \'es (v) tulajdons\'agok
teljes\"ul\'ese ny\'{\i}lv\'anval\'o, a (iv) rel\'aci\'o
k\"ovetkezik az $L_2$ izomorfi\'ab\'ol, a (vi) tulajdons\'ag pedig
az $I(-f)=\overline{I(f)}$ rel\'aci\'ob\'ol. Tov\'abb\'a
az $I$ transzform\'aci\'o $L_2$ izomorfi\'aja \'es a (6) rel\'aci\'o
alapj\'an $I(f)=\int f(x)Z_G(dx)$ minden $f\in L_2([-\pi,\pi),
\Cal B,G)$ f\"uggv\'enyre. Teh\'at speci\'alisan
$X_n=I(e^{inx})=\int e^{inx}Z_G(\,dx)$.
 
 
\medskip
 
A stacion\'arius sorozatok spekrtr\'alreprezent\'aci\'oja
lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a komplex f\"uggv\'enytan m\'ely
eredm\'enyeinek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel megoldjuk a
predikci\'os probl\'em\'at. Jelen le\'{\i}r\'asban csak r\"ovid
ismertet\'est tudok adni.
 
Be lehet bizony\'{\i}tani, hogy egy regul\'aris stacion\'arius
sorozat eset\'eben a kovarianciaf\"uggv\'enynek nemcsak
spektr\'alm\'ert\'eke van, hanem l\'etezik $g(x)$
spekt\-r\'al\-s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye is, amely
a Lebesgue m\'ert\'ek szerint majdnem minden\"utt pozit\'{\i}v.
\'Erdemes ezt $g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enyt az
egys\'egk\"orvonalra ``feltekerni'', azaz tekinteni a
$z=e^{i\lambda}$, $-\pi\le \lambda<\pi$, egys\'egk\"orvonalat a
komplex sz\'ams\'{\i}kon, \'es az egys\'egk\"orvonalon a
$h(z)=h(e^{i\lambda})=g(\lambda)$ a $z=e^{i\lambda}$
pontban tekinteni. A predikci\'os feladat megold\'as\'ahoz
elegend\H{o} megtal\'alni a Wold f\'ele reprezent\'aci\'o
explicit alakj\'at, azaz meghat\'arozni a benne
szerepl\H{o} $c_n$ konstansokat, \'es kifejezni a $\zeta_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a v\'eletlen
spektr\'alm\'ert\'ek seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
A feladat f\H{o} neh\'ezs\'ege a k\"ovetkez\H{o} analitikus
probl\'em\'ara vezet\H{o}dik vissza. Ke\-res\-s\"unk olyan
$F(z)=\summ_{j=0}^\infty c_j z^j$, $|z|<1$, analitikus
f\"uggv\'enyeket a komplex egys\'egk\"or belsej\'eben amelyekre
az $|F^2(z)|$ f\"uggv\'eny hat\'ar\'ert\'eke a k\"orvonal
perem\'en megegyezik a $h(z)$ f\"uggv\'ennyel. Keress\"uk ezen
analitikus f\"uggv\'enyek k\"oz\"ott azt, amelyiknek
a konstans $a_0$ egy\"utthat\'oja lehet\H{o} legnagyobb.
 
Be lehet l\'atni, hogy a keresett f\"uggv\'enyoszt\'aly nem \"ures,
\'es a keresett sz\'el\-s\H{o}\-\'ert\'ek\-tu\-laj\-don\-s\'ag\-gal
rendelkez\H{o} f\"uggv\'enynek megvan az a tulajdons\'aga, hogy a
k\"orvonal belsej\'eben sehol sem t\H{u}nik el. Ez a t\'eny
az\'ert \'erdekes, mert ebb\H{o}l k\"ovetkezik, hogy a keresett
hat\'ar\'ert\'ekprobl\'em\'aban (olyan analitikus f\"uggv\'enyt
keres\"unk, amelyiknek a hat\'aron el\H{o}\'{\i}rt az abszolut
\'ert\'eke) vehet\"unk logaritmust. Olyan esetben, amikor egy
analitikus f\"uggv\'eny elt\H{u}nhet az \'ertelmez\'esi
tartom\'anyban nem tudjuk a logaritmust egy\'ertelm\H{u}
f\"uggv\'enyk\'ent defini\'alni. Eml\'ekeztetek arra, hogy egy
$z=|z|e^{i\lambda}$ komplex sz\'am logaritmusa $\log
z=\log|z|+i\lambda$ alakban \'{\i}rhat\'o, ahol a $\lambda$
sz\'am csak modulo $2\pi$ van meghat\'arozva. Logaritmust
v\'eve, a minket \'erdekl\H{o} feladat \'ugy v\'altozik meg, hogy
egy analitikus f\"uggv\'enynek (az eredeti analitikus f\"uggv\'eny
logaritmus\'anak) ismerj\"uk a re\'alis r\'esz\'et a hat\'aron.
Mivel egy analitikus f\"uggv\'eny re\'alis r\'esze harm\'onikus
f\"uggv\'eny, ez\'ert az anal\'{\i}zis n\'eh\'any klasszikus
eredm\'eny\'enek a seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg lehet oldani ezt a
feladatot. Az \'{\i}gy kapott megold\'as lesz a keresett optimum
tulajdons\'aggal rendelkez\H{o} megold\'as.
 
Az elv\'egzett anal\'{\i}zis tov\'abbi \'ert\'ekes inform\'aci\'okat
is ad. Lehet p\'eld\'aul jellemezni a regul\'aris stacion\'arius
folyamatokat. Egy stacion\'arius Gauss sorozat akkor \'es csak
akkor regul\'aris, ha l\'etezik $g(x)$ spektr\'als\H{u}r\H{u}s\'ege,
amely teljes\'{\i}ti az $\int_{-\pi}^\pi\log
g(x)\,dx>-\infty$ rel\'aci\'ot.
 
Nem volt id\H{o}nk a t\'ema alaposabb \'attekint\'es\'ere. Ugyancsak
elhagytam n\'eh\'any fontos speci\'alis eset t\'argyal\'as\'at. Az
id\H{o}sorok elm\'elet\'eben fontos szerepet j\'atsz\'o moving
average \'es ARMA (autoregressziv moving average) folyamatok
tanulm\'anyoz\'asa is a fenti elveken alapul. A f\H{o}
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy ezekben az esetekben a spektr\'al
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny speci\'alis alak\'u racion\'alis
t\"ortf\"uggv\'eny. A feladat itt is arra vezet\H{o}dik
vissza, hogy ezekb\H{o}l \'ugy vonjunk n\'egyzetgy\"ok\"ot, hogy az
\'{\i}gy kapott f\"uggv\'eny gy\"okei az egys\'egk\"or\"on
k\'{\i}v\"ul essenek.
 
\bye
 
 
