Stacionárius sorozatok előrejelzése.

Ebben az előadásban a következő kérdést fogom tárgyalni: Tekintsük valószínűségi változók egy olyan …, X_{−1}, X_{0}, X_{1}, … stacionárius Gauss sorozatát, amelyre EX_{n} = 0 (minden n = 0 ± 1, ±2, … indexre), és legyen megadva ennek a sorozatnak az r(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénye, n = 0, 1, 2, . . .. Ha ismerjük e sorozat múltbeli viselkedését egy n időpontig, azaz az X_{j}(ω) valószínűségi változónak tudjuk az értékét minden −∞ < j ≤ n indexre, akkor hogyan lehet megadni az X_{n+1} valószínűségi változó legjobb becslését ezen információk segítségével? Az idő rövidsége miatt megelégszem a legfontosabb fogalmak és eredmények ismertetésével és néhány bizonyítás rövid leírásával.

Először megfogalmazom a feladatot kissé pontosabban. Az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változóknak olyan f(X_{j}, j ≤ n) függvényét keressük, amelyre az E(X_{n+1} − f(X_{j}, j ≤ n))^{2} minimális. Más szavakkal az X_{n+1} valószínűségi változó legkisebb hibájú becslését keressük az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók segítségével, ahol a becslés hibáját úgy definiáljuk, mint a tekintett valószínűségi változó valódi és becsült értéke közötti különbség négyzetének a várható értékét.

Vegyük észre, hogy a keresett legjobb becslés megtalálása, a feltételes várható érték tulajdonságai alapján megegyezik azzal a problémával, hogy találjuk meg a X_{n+1} valószínűségi változó feltételes várható értékét, feltéve az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók által generált σ-algebrát. Ez a feladat átfogalmazható a következő módon is. Tekintsük az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn azon ξ valószínűségi változók összességét, amelyekre Eξ^{2} < ∞, és vezessük be közöttük a (ξ, η) = Eξη̄ skalárszorzatot. (A tekintett valószínűségi változók lehetnek komplex értékűek is, és η̄(ω) az η(ω) komplex konjugáltját jelöli.) Ilyen módon bevezettük a négyzetesen integrálható valószínűségi változók által generált Hilbert teret, és az előbb megfogalmazott feladat ekvivalens módon úgyis átfogalmazható, hogy meg kell adnunk a Hilbert tér X_{n+1} elemének a vetületét a tekintett Hilbert térnek az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók által generált σ-algebra szerint mérhető négyzetesen integrálható valószínűségi változókból álló alterére. Ez a feladat a tekintett X_{j} valószínűségi változók (együttes) Gauss eloszlása miatt tovább egyszerűsíthető. A keresett feltételes várható érték megegyezik az X_{n+1} valószínűségi változó vetületével az X_{j}, −∞ < j ≤ n, valószínűségi változók (megszámlálható) lineáris kombinációiból álló altérre, azaz a keresett becslés az az

Y = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}X_{n−j} valószínűségi változó (EY^{2} < ∞), amelyre EX_{j}(X_{n+1} − Y) = 0

minden −∞ < j ≤ n indexre. (Lásd az alábbi feladatot.)

Feladat:

Legyenek Y és X_{1}, X_{2}, …, együttesen normális eloszlású (nulla várható értékű) valószínűségi változók. Ekkor az Y valószínűségi változó Z vetülete az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók négyzetesen integrálható lineáris kombinációi által kifeszített altérre (a második momentummal rendelkező valószínűségi változókból álló Hilbert térben) merőleges minden az X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók által generált σ-algebrára mérhető négyzetesen integrálható valószínűségi változóra. Ez azt jelenti, hogy ez a vetület megegyezik az E(Y |X_{1}, X_{2}, …) feltételes várható értékkel.

Segítség: Vegyük észre, hogy az Y − Z, X_{1}, X_{2}, … valószínűségi változók együttesen normálisak, ezért az E(Y − Z)X_{j} = 0, j = 1, 2, …, relációkból következik, hogy Y − Z független az (X_{1}, X_{2}, …) vektortól. Ezért Y −Z független az X_{j} valószínűségi változók minden f(X_{1}, X_{2}, …) függvényétől is. Továbbá E(Y − Z) = 0.

A fentiek alapján a feladat átfogalmazható úgy, mint egy a kovarianciafüggvény segítségével felírható végtelen lineáris egyenletrendszer megoldása. (Az ismeretlen c_{j}

együtthatókat kell megtalálni a R(n+1−k) = EX_{k}X_{n+1} = EY X_{k} = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}EX_{n−j}X_{k} =

∑_{j=0}^{∞} c_{j}R(n − j − k), −∞ < k ≤ n, egyenletrendszerben.) Annak érdekében, hogy

a megoldásról bizonyos hasznosabb információkat nyerhessünk, érdemes a feladatot más formában is tárgyalni. Először bevezetek néhány fogalmat és megadok néhány a Hilbert terek alapvető tulajdonságait felhasználó eredményt bizonyítás nélkül. Ezek kissé pongyolán fogalmazva azt állítják, hogy a feladatot redukálni lehet két eset vizsgálatára, amelyek közül az első eset azt jelenti, hogy már a nagyon régi megfigyelések is egyértelműen meghatározzák a rendszer további viselkedését, a második eset pedig azt, hogy a nagyon régi megfigyelések szinte semmi információt nem adnak arra, hogy mi történik a jövőben.

Vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{aligned}H = B(X_{j}, −∞ < j < ∞),  H_{n} & = B(X_{j}, −∞ < j ≤ n), −∞ < n < ∞, \\ S & = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n}. \end{aligned} (1)

A fenti jelölésekben B(X_{j}, j ∈ T), ahol T az egész számok valamely részhalmaza, a T halmaz elemeivel indexelt X_{j} valószínűségi változók által generált legszükebb Hilbert teret jelöli, S pedig a legnagyobb minden H_{n} Hilbert tér által tartalmazott Hilbert tér.

Adva egy X_{n}, n = …, −1, 0, 1, 2, …, stacionárius sorozat vezessük be a következő U shift operátort az X_{n} valószínűségi változók által kifeszített H Hilbert térben: UX_{n} = X_{n+1}, n = …, −1, 0, 1, …, és ha Y = f(X_{n}, −∞ < n < ∞) ∈ H, akkor ennek UY eltoltját (shift-jét) az UY = Uf(X_{n}, −∞ < n < ∞) = f(UX_{n}, −∞ < n < ∞) ∈ H képlettel definiáljuk. Akkor és csak akkor nevezünk valószínűségi változók egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatát az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozat alárendelt sorozatának, ha Y_{n} ∈ H, ezenkívül az Y_{n} ∈ H_{n} reláció is teljesül minden n = …, −1, 0, 1, …, ahol H_{n} az (1) formulában van definiálva és UY_{n} = Y_{n+1} minden n = …, −1, 0, 1, … indexre. Egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n} sorozatnak alárendelt sorozat nyílvánvaló módon szintén stacionárius.

Szinguláris stacionárius sorozat definiciója. Egy Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, … stacionárius (Gauss) sorozatot szingulárisnak nevezünk, ha S = H. A H = B(Y_{j}, −∞ <

j < ∞), H_{n} = B(Y_{j}, −∞ < j ≤ n), S = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n} az (1) képlethez hasonlóan definiáljuk. Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben az Y_{n} sorozat segítségével definiáljuk a H, H_{n} és S Hilbert tereket.

Reguláris stacionárius sorozat definiciója. Egy Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, … stacionárius (Gauss) sorozatot regulárisnak nevezünk, ha S = ∅. A H = B(Z_{j}, −∞ < j <

∞), H_{n} = B(Z_{j}, −∞ < j ≤ n), S = ⋂_{n=−∞}^{∞} H_{n} az (1) képlethez hasonlóan definiáljuk.

Az egyetlen különbség az, hogy jelen esetben a Z_{n} sorozat segítségével definiáljuk a H, H_{n} és S Hilbert tereket.

Érvényes a következő egy stacionárius (Gauss) sorozat felbontásáról szóló tétel.

Tétel stacionárius sorozat felbontásáról reguláris és szinguláris sorozatok összegére. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius (Gauss) sorozat. Ekkor ennek létezik olyan

X_{n} = Y_{n} + Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …  (2)

előállítása valószínűségi változók két sorozatának az összegére úgy, hogy

a) Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatnak alárendelt szinguláris sorozat, Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatnak alárendelt reguláris sorozat.

b) Az Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, és Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatok korrelálatlanok,

azaz

Cov (Y_{n}, Z_{m}) = 0 minden n, m = …, −1, 0, 1, … számpárra.

Az X_{n} sorozat felbontása az alábbi tulajdonságú sorozatok összegére egyértelmű.

Ha Y_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, szinguláris sorozat, akkor e sorozat tetszőleges Y_{k} eleme benne van a H_{−N}(Y_{j}, −∞ < j ≤ −N) Hilbert térben bármilyen nagy N indexre. Ez azt jelenti, hogy az Y_{n} sorozat múltjának ismerete bármilyen régi időpontig elegendő ahhoz, hogy az Y_{k} valószínűségi változót pontosan rekonstruáljuk. Ha Z_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris sorozat, akkor valamely tetszőleges Y_{k} elemének a vetülete a H_{−N}(Y_{j}, −∞ < j ≤ −N) Hilbert térbe nagy N indexekre tart nullához. Ez informálisan azt jelenti, hogy a nagyon régi megfigyelések alig adnak információt egy Y_{k} valószínűségi változó becslésére. Igaz a következő Wold felbontásnak nevezett eredmény.

Tétel (Wold felbontás). Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, reguláris stacionárius sorozat. Ekkor létezik olyan az X_{n} sorozatnak alárendelt V_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat és valós számok olyan c_{k}, k = 0, 1, 2, … sorozata, emelyekre EV_{n} =

0, EV_{n}^{2} = 1, EV_{n}V_{m} = 0, ha n ≠ m, ∑_{k=0}^{∞} c_{k}^{2} = EX_{1}^{2}, és

X_{n} = ∑_{k=0}^{∞} c_{k}V_{n−k} minden n = …, −1, 0, 1, … indexre.  (3)

Megfordítva, ha az X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozatnak létezik az adott tulajdonságú reprezentációja, akkor ez a sorozat reguláris.

A fenti eredmények a Hilbert terek általános tulajdonságait használják ki. Így például a Wold felbontásban szereplő V_{k} valószínűségi változókat és a (3) formulában szereplő felbontást úgy kapjuk meg, hogy minden n számra tekintjük a H_{n−1} Hilbert tér D_{n} ortogonális kiegészítőjét a H_{n} Hilbert térre, és veszünk ebben egy 1-re normált V_{n} vektort. Némi munkával meg lehet mutatni, hogy ezeket a V_{n} vektorokat választhatjuk úgy, hogy íly módon egy az X_{n} sorozatnak alárendelt (ortonormált elemekből álló) stacionárius sorozatot kapjunk, amelynek elemei egyben a H Hilbert tér ortonormált bázisát alkossák. Az X_{n} valószínűségi változók sorfejtéseként ezen bázis alapján megkapjuk a (3) formulát.

Az így kapott eredmények azért nem kielégítőek számunkra, mert önmagukban nem elegendőek ahhoz, hogy megkapjuk a minket érdeklő predikciót. Nem nehéz belátni, hogy az X_{n} valószínűségi változó legjobb becslése az X_{j}, j ≤ 0 valószínűségi változók

segítségével a ∑_{k=n}^{∞} c_{k}V_{n−k} valószínűségi változó, de eddigi ismereteink nem elegendőek

ahhoz, hogy explicit módon megadjuk a c_{k} együtthatókat és kiszámoljuk azt, hogy a V_{n} valószínűségi változók hogy fejezhetők ki az X_{j} valószínűségi változók lineáris kombinációjaként. További probléma, hogy az eddigi eredmények nem mondják meg, hogy egy ismert kovarianciájú Gauss folyamat mikor reguláris, és ha nem reguláris, akkor hogyan lehet megtalálni a sorozat (2) formulában megadott felbontását.

Annak érdekében, hogy ezekre a kérdésekre legalább részleges válaszokat adhassunk, szükségünk van az analízis néhány klasszikus eredményére. Először ismertetem a Bochner tételt pozitív definit függvények jellemzéséről, amely lehetővé teszi annak megmutatását, hogy egy stacionárius sorozat kovariancia függvénye előállítható, mint egy úgynevezett spektrál mérték Fourier transzformáltja. Definiáljuk először a pozitív definit függvényeket.

Pozitív definit függvények és sorozatok definiciója. Azt mondjuk, hogy egy f(t) függvény a számegyenesen pozitív definit, ha minden t_{1}, …, t_{N} valós és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-esre teljesül a

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}f(t_{k} − t_{l}) ≥ 0

egyenlőtlenség, ahol z̄ a z komplex szám konjugáltját jelöli.

Hasonlóan ha a(n), n = …, −1, 0, 1, …, az egész számokkal indexezett számsorozat, akkor ezt a sorozatot akkor és csak akkor nevezzük pozitív definitnek, ha minden a_{1}, …, a_{N} egész és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-esre teljesül a

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}a(n_{k} − n_{l}) ≥ 0

egyenlőtlenség.

Feladat: Mutassuk meg, hogy az f_{t}(x) = e^{itx}, t valós szám, függvény pozitív definit függvény minden (valós) x paraméterre, a_{k}(n) = e^{ikn}, n = …, −1, 0, 1, …, pozitív definit sorozat minden egész k számra.

A Bochner tétel a pozitív definit sorozatok és függvények jellemzését adja. Számunkra a következő egyszerű lemma miatt érdekes ez az eredmény.

Lemma. Ha X(t), −∞ < t < ∞, stacionárius sztochasztikus folyamat, akkor az R(t) = EX(s)X(t + s) kovariancia függvény pozitív definit függvény. Ha X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat, akkor R(n) = EX_{m}X_{n+m} pozitív definit sorozat.

Megfordítva, ha R(n) pozitív definit sorozat, akkor létezik valószínűségi változók olyan X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sztochasztikus sorozata, amelynek ez az R(n) sorozat az R(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénye. Sőt, létezik az adott kovarianciafüggvénnyel rendelkező Gauss sorozat nulla várható értékű valószínűségi változókkal. Ez utóbbi esetben a sorozat véges dimenziós eloszlásait egyértelműen meghatározza a kovarianciafüggvény.

Bizonyítás. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hoggy EX(t) = 0, Rögzítsünk valamely t_{1}, …, t_{N} valós és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló szám n-es párt és

tekintsük a ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(t_{k} − t_{l}) kifejezést. Vegyük észre, hogy ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(t_{k} − t_{l}) =

∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}EX(t_{k})X(t_{l}) = E ( ∑_{k=1}^{N} z_{k}X(t_{k})) (\overline{∑_{k=1}^{N} z_{k}X(t_{k})}) ≥ 0.

Hasonlóan, rögzítve valamely n_{1}, …, n_{N} egész és z_{1}, …, z_{N} komplex számokból álló

szám n-es párt. Ekkor felírhatjuk, hogy ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}R(n_{k} −n_{l}) = ∑_{k=1}^{N} ∑_{l=1}^{N} z_{k}z̄_{l}EX_{n_{k}}X_{n_{l}} =

E ( ∑_{k=1}^{N} z_{k}X_{n_{k}}) (\overline{∑_{k=1}^{N} z_{k}X_{n_{k}}}) ≥ 0.

A lemma utolsó állításának bizonyításához azt kell meggondolnunk, hogy ahhoz, hogy az adott R(n) kovarianciafüggvényhez létezzen olyan normális sorozat, amelynek (X_{k_{1}}, …, X_{k_{p}}) véges dimenziós eloszlásainak a kovarianciamátrixát az R(n) kovarianciafüggvény határozza meg az kell, hogy ez a kovarianciamátrix pozitív definit legyen. Viszont ezt a feltételt az biztosítja, hogy az R(n) sorozat pozitív definit. Ezenkívül emlékezzünk arra, hogy egy normális eloszlású véletlen vektor eloszlását annak várható értéke és kovariancia mátrixa meghatározza.

Bochner tétel. Legyen f(t), −∞ < t < ∞, folytonos pozitív definit függvény. Ekkor létezik olyan véges μ(·) mérték a számegyenesen, amelyre

f(t) = ∫ e^{itx}μ( dx), −∞ < t < ∞.  (4)

A (4) képletben szereplő μ mértéket az f(t) függvény egyértelműen meghatározza.

Legyen a(n), n = …, −1, 0, 1, …, pozitív definit sorozat az egész számokon. Ekkor létezik olyan véges mérték a [−π, π) szakaszon, amelyre

a(n) = ∫_{−π}^{π} e^{ixn}μ( dx), n = …, −1, 0, 1, …

A μ mértéket az a(n) sorozat egyértelműen meghatározza.

Következmény. Legyen X_{n}, EX_{n} = 0, n = …, −1, 0, 1, …, stacionárius sorozat R(n) = EX_{k}X_{k+n} kovarianciafüggvénnyel. Akkor létezik olyan egyértelműen meghatározott G( dx) mérték a −π ≤ x ≤ π intervallumon, amelyre

R(n) = ∫_{−π}^{π} e^{inx}G( dx), n = …, −1, 0, 1, …  (5)

Speciálisan

EX_{n}^{2} = R(0) = ∫_{−π}^{π} G( dx) = G([−π, π]).

A G mérték teljesíti a G(A) = G(−A) tulajdonságot is minden mérhető A halmazra.

Bizonyítás. Mivel az R(n) sorozat pozitív definit a Bochner tételből következik az (5) formula. Továbbá, mivel R(n) = R(−n), és az R(n) sorozat egyértelműen meghatározza a G( dx) mértéket, innen következik, hogy G(A) = G(−A).

1. megjegyzés. Az (5) formulában szereplő G mértéket az R(n) kovarianciafüggvény spektrálmértékének nevezik az irodalomban. Ha a G mérték abszolut folytonos a (Lebesgue mértékre nézve), akkor ennek g(x) = \frac{dG}{dx}(x) deriváltját a kovarianciafüggvény spektrálsűrűségének nevezik. Ha létezik az R(n) függvénynek g(x) spektrálsűrűsége, akkor az (5) formula felírható a következő ekvivalens módon is:

R(n) = ∫_{−π}^{π} e^{inx}g(x) dx, n = …, −1, 0, 1, …  (5′)

2. megjegyzés. Egy a [−π, π] intervallumon definiált G mértéket, amelyre G([−π, π]) < ∞, G(A) = G(−A) minden mérhető függvényre spektrál mértéknek is neveznek. Az elnevezés oka az, hogy létezik olyan X_{n}, n = − …, −1, 0, 1, …, Gauss eloszlású stacionárius sorozat, amelynek ez a G mérték a spektrál mértéke. Azt is feltehetjük, hogy e sorozat elemei teljesítik az EX_{n} = 0 feltételt. Valóban, ha az EX_{k}X_{k+n} = R(n) függvény segítségével meg tudjuk adni a keresett Gauss sorozat véges dimenziós eloszlásainak kovariancia mátrixát, így magukat a véges dimenziós eloszlásokat is.

A spektrál mérték bevezetése azért hasznos, mert ilyen módon a Fourier analízis módszereit tudjuk alkalmazni. Egy stacionárius sorozat kovarianciafüggvénye előáll, mint a spektrál mérték Fourier transzformáltja. A kovarianciafüggvény vagy a spektrál mérték megadása ekvivalens. Alkalmazások szempontjából sokszor hasznosabb a spektrál mértékkel dolgozni.

Legyen adva egy stacionárius Gauss folyamat valamely G spektrál mértékkel. Lehetséges és érdemes konstruálni olyan úgynevezett véletlen (normális) spektrál mértéket definiálni, amelynek segítségével magát a sztochasztikus folyamatot is elő tudjuk állítani ezen véletlen spektrál mértéknek a Fourier transzformáltjaként. Ezt az eredményt, illetve a bizonyításban szükséges gondolatmenetet röviden ismertetem. Először bevezetem a következő definiciót.

Véletlen (normális) spektrálmérték definiciója. Legyen adva egy G spektrálmérték a [−π, π] intervallumon. Azt mondjuk, hogy egy véletlen Z_{G} mérték véletlen a G mértéknek megfelelő normális spektrál mérték, ha teljesíti a következő tulajdonságokat.

(i.) Minden mérhető A ⊂ [−π, π] halmazra létezik egy komplex értékű

Z_{G}(A) = Re Z_{G}(A) + iIm Z_{G}(A)

valószínűségi változó, amelyet az A halmaz véletlen mértékének nevezünk. (ii.) A Re Z_{G}(A), Im Z_{G}(A), A ⊂ [−π, π] mérhető halmaz, valószínűségi változók együt-

tesen Gauss eloszlásúak, azaz bármely véges sok valószínűségi változónak ezek közül az együttes eloszlása többdimenziós normális eloszlás.

(iii.) EZ_{G}(A) = 0 minden A ⊂ [−π, π] mérhető halmazra. (iv.) EZ_{G}(A)\overline{Z_{G}(B)} = G(A ∩ B), ahol z̄ a z szám konjugáltját jelöli.

(v.) ∑_{j=1}^{n} Z_{G}(A) = Z_{G} ( ⋃_{j=1}^{n} A_{j}), ha A_{1}, …, A_{n} diszjunkt halmazok.

(vi.) Z_{G}(−A) = \overline{Z_{G}(A)}.

Észrevétel. A Re Z_{G}(A) és Im Z_{G}(B) valószínűségi változók függetlenek. Valóban, ehhez elég megmutatni a normális eloszlás miatt, hogy korrelálatlanok. Viszont

ERe Z_{G}(A)Im Z_{G}(B) = \frac{1}{4}E [(Z_{G}(A) + \overline{Z_{G}(A)})(Z_{G}(B) − \overline{Z_{G}(B)})]

= \frac{1}{4}E [(Z_{G}(A) + Z_{G}(−A))(\overline{Z_{G}(−B)} − \overline{Z_{G}(B)})]

= \frac{1}{4} (G(A ∩ (−B)) − G(A ∩ B) + G((−A) ∩ (−B)) − G((−A) ∩ B)) = 0

Feladat: Ha (A_{1}) ∪ (−A_{1}), …, A_{n} ∪ (−A_{n}) diszjunktak, akkor Z_{G}(A_{1}), … Z_{G}(A_{n}) függetlenek. Ha A∩(−A) = ∅, akkor Re Z_{G}(A) = Re Z_{G}(−A), Im Z_{G}(A) = Im Z_{G}(−A), Var (Re Z_{G}(A)) = Var (Im Z_{G}(A)) = \frac{G(A)}{2}. Segítség: Az első állítás bizonyításához azt kell megmutatni, hogy

ERe Z_{G}(A_{j})Re Z_{G}(A_{k}) = 0, és EIm Z_{G}(A_{j})Im Z_{G}(A_{k})) = 0,

ha (A_{j} ∪ (−A_{j})) ∩ (A_{k} ∪ (−A_{k})) = ∅. Viszont

ERe Z_{G}(A_{j})Re Z_{G}(A_{k}) = \frac{1}{4}E(Z_{G}(A_{j}) + \overline{Z_{G}(−A_{j})})(Z_{G}(A_{k}) + \overline{Z_{G}(−A_{k})}) = 0

az adott feltételek mellett, és az EIm Z_{G}(A_{j})Im Z_{G}(A_{k})) = 0 reláció hasonlóan bizonyítható.

Ha A ∩ (−A) = ∅, akkor E(Re (Z_{G}(A))^{2} = \frac{1}{4}E(Z_{G}(A) + \overline{Z_{G}(−A)})^{2} = \frac{G(A)}{2}. Hasonlóan E(Re (Z_{G}(−A))^{2} = \frac{G(A)}{2}. Mivel Z_{G}(−A) = \overline{Z_{G}(A)} az (vi) reláció szerint, innen következik a Feladat még nem tárgyalt állítása.

A fent megadott definició bár technikainak látszik természetes. Ha egy Z_{G} véletlen mérték teljesíti a fenti tulajdonságokat, akkor definiálhatjuk az ∫ f(x)Z_{G}( dx) mértéket a következő módon. Először definiáljuk ezt az integrált természetes módon f(x) =

∑_{j=1}^{n} c_{j}I_{A_{j}}(x) alakú elemi függvényekre, ahol A_{1}, …, A_{n} mérhető diszjunkt részhalmazai

a [−π, π] intervallumnak, és I_{A}(·) az A halmaz indikátorfüggvénye. A definiciót az

∫ (∑_{j=1}^{n} c_{j}I_{A_{j}}(x)) Z_{G}( dx) = ∑_{j=1}^{n} c_{j}Z_{G}(A_{j})

képlettel adjuk meg. Be lehet látni, hogy teljesül az

E (∫ f(x)Z_{G}( dx)\overline{∫ h(x)Z_{G}( dx)}) = ∫ f(x)\overline{h(x)}G(dx)  (6)

elemi függvények minden (f(x), h(x)) párjára. (A fenti tulajdonságokat azért vezetük be, hogy a (6) tuljdonság érvényes legyen. Ez lehetővé teszi, hogy L_{2} izomorfia segítségével kiterjesszük az ∫ f(x)Z_{G}( dx) integrált minden olyan függvényre, amelyre ∫ |f(x)|^{2}G( dx) < ∞, úgy, hogy a (6) reláció továbbra is érvényben maradjon. Továbbá igaz lesz az is, hogy amennyiben f(−x) = \overline{f}(x), (ez jellemzi a valós értékű függvények, illetve valós értékű előjeles mértékek Fourier transzformáltját), akkor ∫ f(x)Z_{G}( dx) valós értékű valószínűségi változó. Ezután definiáljuk a

X_{n} = ∫ e^{inx}Z_{G}( dx), n = …, −1, 0, 1, …  (7)

integrálokat. Az X_{n} valószínűségi változók valós értékűek, és a (6) reláció alapján EX_{k}X_{k+n} = EX_{n+k}\overline{X_{k}} = ∫ e^{inx}G( dx). Ez azt jelenti, hogy az e^{inx} függvényeknek n = …, −1, 0, 1, …, a Z_{G} véletlen spektrál mérték szerinti integráljának a segítségével elő tudtunk állítani egy olyan stacionárius Gauss sorozatot, amelynek spektrálmértéke a G mérték. Némi, itt nem részletezett plusz munkával be lehet látni, hogy egy adott G spektrálmértékű stacionárius Gauss sorozathoz lehet konstruálni olyan véletlen spektrál mértéket, amely magát az eredeti sorozatot állítja elő. Ezt fogalmazom meg az alábbi eredményben.

Tétel. Legyen X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, normális eloszlású stacionárius Gauss sorozat nulla várható értékű valószínűségi változókkal valamely G spektrál mértékkel. Ekkor lehet konstruálni a G spektrál mértéknek megfelelő normális véletlen Z_{G} spektrál mértéket úgy, hogy az e véletlen mérték szerinti integrál teljesíti a (7) képletet, azaz a kezdetben megadott X_{n}, n = …, −1, 0, 1, …, sorozatot definiálja.

Bizonyítás. Tekintsük a H teret, azaz az X_{n}, n = 0, ±1, ±2, …, valószínűségi változók négyzetesen integrálható lineáris kombinációiból álló Hilbert teret, és definiáljuk a H tér I leképezését az L_{2}([−π, π), B, G( dx)) térre, (ahol B jelöli a Borel σ-algebrát a

[−π, π) intervallum részhalmazain) a következő módon: Legyen I ( ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e^{ijx}) =

∑_{j=−N}^{N} c_{j}X_{j} minden véges lineáris kombinációra. Nem nehéz belátni, hogy I normatartó

leképezés. Ezért a fenti I leképezést ki tudjuk terjeszteni a véges lineáris kombinációkról azok lezártjára is. Ez az I leképezés az L_{2}([−π, π)B, G( dx)) és a H tér között L_{2}

izomorfiát létesít. (Azt kell tudnunk, hogy a véges ∑_{j=−N}^{N} c_{j}e^{ijx} lineáris kombinációk az

L_{2}([−π, π)B, G( dx)) tér mindenütt sűrű részhalmazát alkotják.)

Definiáljuk a Z_{G}(A) valószínűségi változót a Z_{G}(A) = I(A) képlet segítségével. A Z_{G}(·) valószínűségi változók teljesítik az (i.)–(vi.) tulajdonságokat. Az (i), (ii), (iii) és (v) tulajdonságok teljesülése nyílvánvaló, a (iv) reláció következik az L_{2} izomorfiából, a (vi) tulajdonság pedig az I(−f) = \overline{I(f)} relációból. Továbbá az I transzformáció L_{2} izomorfiája és a (6) reláció alapján I(f) = ∫ f(x)Z_{G}(dx) minden f ∈ L_{2}([−π, π), B, G) függvényre. Tehát speciálisan X_{n} = I(e^{inx}) = ∫ e^{inx}Z_{G}( dx).

A stacionárius sorozatok spekrtrálreprezentációja lehetővé teszi, hogy a komplex függvénytan mély eredményeinek a segítségével megoldjuk a predikciós problémát. Jelen leírásban csak rövid ismertetést tudok adni.

Be lehet bizonyítani, hogy egy reguláris stacionárius sorozat esetében a kovarianciafüggvénynek nemcsak spektrálmértéke van, hanem létezik g(x) spektrálsűrűségfüggvénye is, amely a Lebesgue mérték szerint majdnem mindenütt pozitív. Érdemes ezt g(x) sűrűségfüggvényt az egységkörvonalra “feltekerni”, azaz tekinteni a z = e^{iλ}, −π ≤ λ < π, egységkörvonalat a komplex számsíkon, és az egységkörvonalon a h(z) = h(e^{iλ}) = g(λ) a z = e^{iλ} pontban tekinteni. A predikciós feladat megoldásához elegendő megtalálni a Wold féle reprezentáció explicit alakját, azaz meghatározni a benne szereplő c_{n} konstansokat, és kifejezni a ζ_{n} valószínűségi változókat a véletlen spektrálmérték segítségével.

A feladat fő nehézsége a következő analitikus problémára vezetődik vissza. Ke-

ressünk olyan F (z) = ∑_{j=0}^{∞} c_{j}z^{j}, |z| < 1, analitikus függvényeket a komplex egységkör

belsejében amelyekre az |F^{2}(z)| függvény határértéke a körvonal peremén megegyezik a h(z) függvénnyel. Keressük ezen analitikus függvények között azt, amelyiknek a konstans a_{0} együtthatója lehető legnagyobb.

Be lehet látni, hogy a keresett függvényosztály nem üres, és a keresett szélsőértéktulajdonsággal rendelkező függvénynek megvan az a tulajdonsága, hogy a körvonal belsejében sehol sem tűnik el. Ez a tény azért érdekes, mert ebből következik, hogy a keresett határértékproblémában (olyan analitikus függvényt keresünk, amelyiknek a határon előírt az abszolut értéke) vehetünk logaritmust. Olyan esetben, amikor egy analitikus függvény eltűnhet az értelmezési tartományban nem tudjuk a logaritmust egyértelmű függvényként definiálni. Emlékeztetek arra, hogy egy z = |z|e^{iλ} komplex szám logaritmusa log z = log |z| + iλ alakban írható, ahol a λ szám csak modulo 2π van meghatározva. Logaritmust véve, a minket érdeklő feladat úgy változik meg, hogy egy analitikus függvénynek (az eredeti analitikus függvény logaritmusának) ismerjük a reális részét a határon. Mivel egy analitikus függvény reális része harmónikus függvény, ezért az analízis néhány klasszikus eredményének a segítségével meg lehet oldani ezt a feladatot. Az így kapott megoldás lesz a keresett optimum tulajdonsággal rendelkező megoldás.

Az elvégzett analízis további értékes információkat is ad. Lehet például jellemezni a reguláris stacionárius folyamatokat. Egy stacionárius Gauss sorozat akkor és csak akkor reguláris, ha létezik g(x) spektrálsűrűsége, amely teljesíti az ∫_{−π}^{π} log g(x) dx > −∞ relációt.

Nem volt időnk a téma alaposabb áttekintésére. Ugyancsak elhagytam néhány fontos speciális eset tárgyalását. Az idősorok elméletében fontos szerepet játszó moving average és ARMA (autoregressziv moving average) folyamatok tanulmányozása is a fenti elveken alapul. A fő különbség az, hogy ezekben az esetekben a spektrál sűrűségfüggvény speciális alakú racionális törtfüggvény. A feladat itt is arra vezetődik vissza, hogy ezekből úgy vonjunk négyzetgyököt, hogy az így kapott függvény gyökei az egységkörön kívül essenek.