\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 28.-i gyakorlat t\'em\'aja}
 
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezem a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asnak az el\H{o}d\'ason
ismertett modellj\'et, mert ennek meg\'ert\'ese hasznos lehet a
tov\'abbiakban. Azt kell j\'ol meg\'erteni, hogy milyen m\'odon
azonos\'{\i}tunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
esem\'enyeket halmazokkal.
 
Vezess\"uk be az \'ugynevezett elemi esem\'enyeket, amelyeket
\'altal\'aban $\oo$-val jel\"ol\"unk. Az elemi esem\'enyeket \'ugy
k\'epzelhetj\"uk el, mint a le\-het\-s\'e\-ges kimeneteket vagy az
\"osszes le\-het\-s\'e\-ges k\"or\"ulm\'enyek megad\'as\'at, amelyek
meghat\'arozz\'ak az esem\'enyek kimenetel\'et. Egy ese\-m\'eny
bek\"ovetkez\'ese azt jelenti, hogy azon elemi esem\'enyek
valamelyike meg\-t\"or\-t\'e\-nik, amelyek benne vannak ebben az
esem\'enyben. Ilyen m\'odon minden esem\'enyt azonos\'{\i}thatunk
bizonyos elemi esem\'enyekb\H{o}l \'all\'o halmazzal. Ez azt jelenti,
hogy adva van bizonyos elemi ese\-m\'e\-nyek $\oo$ rendszere, egy
esem\'eny bizonyos $\oo$-kb\'ol \'all\'o halmaz, a biztos esem\'eny
az \"osszes $\oo$-t tartalmaz\'o halmaz. Ezt szok\'as $\Omega$-val
jel\"olni. Az esem\'enyek az $\Omega$ biztos esem\'eny
r\'eszhalmazai. Nagyon fontos, hogy defini\'aljuk az $A$ esem\'enyek
$P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Vegy\"uk \'eszre, hogy ha
tekintj\"uk bizonyos esem\'enyeknek megfelel\H{o} halmazokat, akkor
annak az esem\'enynek, hogy ezen esem\'enyek valamelyike
bek\"ovetkezik megfelel a neki megfelel\H{o} halmazok uni\'oja,
annak az esem\'enynek pedig, hogy ezen esem\'enyek mindegyike
bek\"ovetkezik az esem\'enyeknek megfelel\H{o} halmazok metszete
felel meg.
 
Megt\'argyaltuk a k\"ovetkez\H{o} feladatot:
\medskip
\item{0.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 20 alkalommal.
Adjuk meg ennek egyik lehets\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellj\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az elemi esem\'enyek
a lehets\'eges $\oo=(F,I,\dots)$ 20 hossz\'us\'ag\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatok. Legyen $\Omega$ az \"osszes 20
hossz\'us\'ag\'u sorozatok halmaza, \'es $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz
\"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaza. Defini\'aljuk az $\{\oo\}$
elemi ese\-m\'e\-nye\-ket tartalmaz\'o halmazok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et a $P(\{\oo\})=2^{-20}$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel az \"osszes
lehets\'eges elemi esem\'enyre. (Ez jelenti azt, hogy szab\'alyos
\'erm\'et dobtunk fel egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul.)
\'Altal\'aban pedig legyen $P(A)=\summ_{\oo\in A} P(\{\oo\})$.
\medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} m\'odon konstru\'alhatunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modelleket abban az esetben, ha v\'eges (vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen) lehets\'eges kimenete van egy kis\'erletnek. De ha a
lehets\'eges kimenetek sz\'ama megsz\'aml\'alhat\'on\'al is t\"obb,
akkor komoly elvi neh\'ezs\'egek l\'epnek fel. Ez a probl\'ema
term\'eszetes feladatokban is felmer\"ul, p\'eld\'aul akkor, ha
egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen sok egym\'ast\'ol f\"uggetlen
feldob\'as\'at tekintj\"uk. Ebben az esetben is term\'eszetes m\'odon
(a v\'eges sok kimenethez) hasonl\'oan defini\'alhatjuk az ele\-mi
esem\'enyeket, de az esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek
definici\'oj\'aban komoly probl\'em\'ak mer\"ulnek fel.
Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek a v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as
sorozatok, \'es legyen az ele\-mi esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Az esem\'enyek bizonyos ele\-mi
ese\-m\'e\-nye\-ket tartalmaz\'o halmazok. Ezek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et viszont nem tudjuk olyan
egy\-sze\-r\H{u}\-en de\-fi\-ni\-\'al\-ni, mint a v\'eges esetben.
Egy tipikus esem\'eny (halmaz) ugyanis kontinuum sok elemi
esem\'enyt tartalmaz, \'es nem mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o} az,
hogy hogyan defini\'aljuk az ilyen esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
\medskip
\item{1.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt
egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen do\-b\'as\-so\-ro\-za\-t\'a\-ra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatok halmazai,\'es legyen az $\Omega$
biztos esem\'eny az \"osszes lehets\'eges fej-\'{\i}r\'as sorozatot
tartalmaz\'o halmaz. Defini\'alni kell az esem\'enyeket \'es azok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Az esem\'enyek az $\Omega$ halmaz
r\'eszhalmazai. Bizonyos halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
term\'eszetes m\'odon defini\'alhatjuk. Tekints\"uk el\H{o}sz\"or
az olyan halmazokat, amelyek az \"osszes olyan fej-\'{\i}r\'as
sorozatot tartalmazz\'ak, mely sorozatok els\H{o} $n$ eleme
valamilyen m\'odon el\H{o} van \'{\i}rva, tov\'abbi elemei pedig
tetsz\H{o}legesek.  Az ilyen halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$2^{-n}$. Ez annak felel meg, hogy az els\H{o} $n$ dob\'as
eredm\'eny\'et el\H{o}\'{\i}rjuk. Tov\'abb\'a elv\'arjuk, hogy
ha bizonyos diszjunkt esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et m\'ar defini\'altuk, akkor ezen
esem\'enyek uni\'oj\'anak is defini\'aljuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, m\'egpedig \'ugy, mint az egyes
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'et. Ilyen
m\'odon nem defini\'aljuk minden esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, de az \"osszes sz\'amunkra \'erdekes
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'altuk.
Tov\'abb\'a ez a definici\'o \'ertelmes, azaz egy esem\'eny
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'e\-nek a definici\'oja, amelyet
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon \'all\'{\i}thatjuk el\H{o}, nem f\"ugg
az el\H{o}\'all\'{\i}t\'ast\'ol. Tov\'abb\'a ilyen m\'odon egy
\'ugynevezett $\sigma$-algebr\'an defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, ami $\sigma$-addit\'{\i}v. E fogalmak
definici\'oja szerepelt az el\H{o}ad\'ason, ez\'ert ennek
t\'argyal\'as\'at nem r\'eszletezem. Viszont megjegyzem, hogy itt
olyan elm\'eleti eredm\'enyeket hasz\-n\'al\-unk fel, amelyek
vizsg\'alata alapos ismereteket \'es neh\'ez bizony\'{\i}t\'asokat
ig\'enyel. De ennek t\'argyal\'asa nem t\'em\'aja a mi
gyakorlatunknak. El\'eg elfogadni azt a t\'enyt, hogy minden
\'ertelmes konstrukci\'oban teljes\"ulnek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapvet\H{o}
tulajdons\'agait el\H{o}\'{\i}r\'o felt\'etelek.
 
\medskip
T\'argyalunk egy fontos fogalmat, a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalm\'at, \'es annak
al\-kal\-ma\-z\'a\-s\'at. Szeml\'eletesen a k\"ovetkez\H{o}r\H{o}l
van sz\'o. Egy $A$ esem\'eny $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azt
fejezi ki, hogy mennyire val\'osz\'{\i}n\H{u} ennek az esem\'enynek
a bek\"ovetkez\'ese. Viszont ennek a bizonyoss\'agnak a m\'ert\'eke
megv\'altozik, ha tudjuk, hogy egy $B$ esem\'eny bek\"ovetkezett.
Ez\'ert defini\'aljuk az $A$ esem\'eny felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, felt\'eve, hogy a $B$ esem\'eny
bek\"ovetkezett. Ennek definici\'oja
$P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$. B\'ar az al\'abbi azonoss\'ag
trivi\'alis, fontoss\'aga miatt \'erdemes k\"ul\"on megfogalmazni.
$$
P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(B), \quad \text{ha } P(A)>0 \text{ \'es }
P(B)>0.
$$
Tov\'abbi egyszer\H{u}, de hasznos \'eszrev\'etelek:
 
Ha $B_1,\dots,B_n$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy partici\'oja, azaz a
$B_1,\dots, B_n$ esem\'enyek diszjunktak, \'es $\bigcupp_{k=1}^n
B_k=\Omega$, akkor
$$
\align
P(A)&=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots P(A\cap B_n)\\
&=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)
\endalign
$$
minden $A$ halmazra. Ez\'ert
$$
P(B_1|A)=\frac{P(B_1\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}
{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)}.
$$
Term\'eszetesen hasonl\'o \"osszef\"ugg\'es \'{\i}rhat\'o fel a
$P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $j$ indexre. A fenti egyszer\H{u}
\"osszef\"ugg\'es  fontoss\'ag\'at az adja, hogy lehet\H{o}v\'e
teszi a $P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at a `ford\'{\i}tott' $P(A|B_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ismeret\'eben, felt\'eve, hogy
ismerj\"uk a $P(B_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
 
\medskip
\item{2.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\frac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy
tudja  a helyes v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy helyes
v\'alaszt ad. A $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak.
Ekkor $P(A\cap B)=P(A)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)=P(A)+(1-P(A))P(B|\bar A)=\frac13
=p+\frac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\frac p{p+\frac13(1-p)}$.
\item{3.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as ered\-m\'e\-nye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, \'es hogy a negyedik h\'uz\'as
eredm\'enye $S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt.
Ez a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg, illetve ezek a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\frac{z}{z+s}$, $\frac z{z+s+2}$,
$\frac z{z+s+4}$, $\frac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\frac{z}{z+s}\cdot\frac z{z+s+2}\cdot\frac z{z+s+4}\cdot
\frac{s+6}{z+s+6}$.
\item{4.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\frac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)P(B|A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket
\'erdekl\H{o} felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\frac{0.2}{0.31}=\frac{20}{31}$.
\item{5.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r. Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\"unk,
hogy ha a legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak
(felt\'eteles) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\frac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\frac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\frac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"olj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csoportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, meg\-egye\-zik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\frac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\frac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\frac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
\item{6.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\frac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\frac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladattal, \'es megbesz\'elj\"uk, hogy m\'ast jelent az a felt\'etel,
hogy k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik el\H{o}\'{\i}rt
(p\'eld\'aul az els\H{o}) dob\'as hatos, \'es
az hogy ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani, melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{7.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\frac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\frac16$.
 
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
 
 
 
 
 \bye
 
 
