\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.5pt
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\centerline{\bf A szeptember 14.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} gyakorlat egyik feladat\'anak megold\'as\'aban (8.
feladat) fontos szerepet j\'atszott az az \'eszrev\'etel, hogy ha
k\'et (v\'eges) halmaz elemei k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen
egy\-\'er\-tel\-m\H{u} megfeleltet\'es l\'etes\'{\i}thet\H{o}, akkor
ez a k\'et halmaz azonos sz\'amoss\'ag\'u. Felmer\"ul a k\'erd\'es,
hogy igaz-e ez az \'all\'{\i}t\'as v\'egtelen halmazok eset\'eben is.
Megjegyeztem, hogy val\'oj\'aban ennek a tulajdons\'agnak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'aljuk k\'et (\'altal\'anos, teh\'at
ak\'ar v\'eges ak\'ar v\'egtelen) halmaz sz\'amoss\'ag\'anak az
egyenl\H{o}s\'eg\'et. \'Erdemes felid\'ezni az alapvet\H{o}
eredm\'enyeket v\'egtelen halmazok sz\'amoss\'ag\'ar\'ol. Sok a
v\'egtelen halmazok sz\'amoss\'ag\'ar\'ol sz\'ol\'o eredm\'eny
hasonl\'o a v\'eges halmazok sz\'amoss\'ag\'anak
viselked\'es\'er\H{o}l sz\'ol\'o eredm\'enyekhez, de vannak
l\'enyeges \'es meglep\H{o} k\"ul\"onbs\'egek is. \'Erdemes ezeket
az eredm\'enyeket megismerni, mert seg\'{\i}tenek n\'eh\'any
e probl\'emak\"orrel l\'atsz\'olag semmilyen kapcsolatban nem
lev\H{o} fogalom \'es eredm\'eny jobb meg\'ert\'es\'eben.
El\H{o}sz\"or felid\'ezem annak a definici\'oj\'at, hogy mikor
nevez\"unk k\'et halmazt egyenl\H{o} sz\'amoss\'ag\'unak, illetve
mikor mondjuk, hogy az egyik halmaz sz\'amoss\'aga nagyobb, mint a
m\'asik\'e.
\medskip\noindent
{\bf  K\'et halmaz sz\'amoss\'ag\'anak az \"osszehasonl\'{\i}t\'asa.}
{\it Legyen adva k\'et \'altal\'anos (v\'eges vagy v\'egtelen) $A$
\'es $B$ halmaz. Azt mondjuk, hogy az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga
nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga
(jel\"ol\'esben  $|A| \succeq|B|$), ha l\'etezik a $B$ halmaznak
egy olyan lek\'epez\'ese az $A$ halmazra, amelyben a $B$ halmaz
k\"ul\"onb\"oz\H{o} elemeinek a k\'epe k\"ul\"onb\"oz\H{o}. Azt
mondjuk, hogy az $A$ halmaz \'es a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga
megegyezik, (jel\"ol\'esben $|A|=|B|$), ha az $A$ halmaz \'es $B$
halmaz elemei k\"oz\"ott l\'etezik k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'es. Azt mondjuk, hogy az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga
(szigor\'uan) na\-gyobb, mint a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga,
(jel\"ol\'esben $A\succ B$), ha az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga nagyobb
vagy egyenl\H{o}, mint a $B$ halmaz sz\'amoss\'aga, de a k\'et halmaz
sz\'amoss\'aga nem egyenl\H{o}}.
\medskip
Ha halmazok sz\'amoss\'agait \"osszehasonl\'{\i}tjuk, akkor az
\'{\i}gy bevezetett nagyobb \'es egyenl\H{o} fogalmak is
teljes\'{\i}tik azokat az alapvet\H{o} tulajdons\'agokat,
amelyeket elv\'arunk. Ezt a t\'enyt fogalmazza meg az al\'abbi
eredm\'eny. Megjegyzem, hogy a T\'etel bizony\'{\i}t\'asa, amelyet nem
t\'argyalunk, neh\'ez.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Tetsz\H{o}leges k\'et $A$ \'es $B$ halmaz
sz\'amoss\'aga \"osszehasonl\'{\i}that\'o, azaz teljes\"ul vagy az
$|A|\succeq |B|$ vagy a $|B|\succeq |A|$ rel\'aci\'o. Ha
egyidej\H{u}leg teljes\"ulnek az $|A|\succeq |B|$ \'es $|B|\succeq |A|$
rel\'aci\'ok, akkor $|A|=|B|$. Ha $|A|\succeq |B|$ \'es $|B|\succeq
|C|$ valamely $A$, $B$ \'es $C$ halmazokra, akkor $|A|\succeq |C|$.
Igaz tov\'abb\'a, hogy $|A|=|A|$, $|A|\succeq |B|$, ha $B\subset A$,
\'es ha $|A|=|B|$ \'es $|B|=|C|$, akkor $|A|=|C|$.}
\medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} T\'etel eredm\'enye halmazok nagys\'ag\'anak
\"osszehasonl\'{\i}t\'as\'ar\'ol nem meglep\H{o}. Viszont v\'egtelen
halmazok sz\'amoss\'ag\'anak van n\'eh\'any meglep\H{o}, v\'aratlan
tulajdons\'aga is. Erre mutat p\'eld\'at a k\"ovetkez\H{o} feladat,
amelynek itt csak az eredm\'eny\'et \'{\i}rom le, de a gyakorlaton
v\'azolom az eredm\'eny bizony\'{\i}t\'as\'at is. Tov\'abb\'a e
feladat ismertet\'ese ut\'an megfogalmazok n\'eh\'any tov\'abbi
v\'aratlan eredm\'enyt v\'egtelen halmazok viselked\'es\'er\H{o}l.
\medskip\noindent
{\it Feladat:}\/ Hasonl\'{\i}tsuk \"ossze a term\'eszetes sz\'amok,
az eg\'esz sz\'amok, a racion\'alis sz\'amok, a val\'os sz\'amok \'es
a s\'{\i}k pontjainak a sz\'amoss\'ag\'at.
\medskip\noindent
{\it Megold\'as:}\/ Vil\'agos, hogy az eg\'esz sz\'amok \'es a
racion\'alis sz\'amok sz\'amoss\'aga nagyobb vagy egyenl\H{o}, mint a
term\'eszetes sz\'amok sz\'amoss\'aga. Kev\'esb\'e
ny\'{\i}lv\'anval\'o, s\H{o}t meglep\H{o}, hogy val\'oj\'aban az
eg\'esz \'es racion\'alis sz\'amok sz\'amoss\'aga megegyezik a
term\'eszetes sz\'amok sz\'amoss\'ag\'aval. Ezt meg
lehet mutatni az eg\'esz, illetve a racion\'alis sz\'amok alkalmas
felsorol\'as\'anak a seg\'{\i}ts\'eg\'evel. A val\'os sz\'amok
sz\'amoss\'aga viszont szigor\'uan na\-gyobb, mint a term\'eszetes
sz\'amok sz\'amoss\'aga. Ezt egy ravasz, \'atl\'os elj\'ar\'asnak
 nevezett m\'odszer seg\'{\i}ts\'eg\'evel lehet bebizony\'{\i}tani.
Ha a val\'os sz\'amokat fel\'{\i}rjuk tizedest\"ort alakban, akkor
l\'athatjuk, hogy a val\'os sz\'amok \'es egy egyenes pontjainak a
sz\'amoss\'aga megegyezik. Innen l\'athat\'o, hogy a val\'os sz\'amok
sz\'amoss\'aga kisebb vagy egyenl\H{o}, mint a s\'{\i}k pontjainak a
sz\'amoss\'aga. Be lehet l\'atni, hogy val\'oj\'aban a s\'{\i}k
pontjainak a sz\'amoss\'aga megegyezik az egyenes pontjainak a
sz\'amoss\'ag\'aval. Ugyan\'{\i}gy, a t\'er pont\-jai\-nak a
sz\'amoss\'aga is megegyezik a val\'os sz\'amok sz\'amoss\'ag\'aval.
Viszont van olyan halmaz, amelynek a sz\'amoss\'aga m\'eg a val\'os
sz\'amok sz\'amoss\'ag\'an\'al is nagyobb. Ilyen halmaz p\'eld\'aul
az \"osszes (val\'os sz\'amokon defini\'alt, val\'os sz\'am
\'ert\'ek\H{u}) f\"uggv\'enyb\H{o}l \'all\'o halmaz.
 
Az el\H{o}z\H{o} feladat kapcs\'an felid\'ezek egy a matematik\'aban
gyakran haszn\'alt fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf A megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag fogalma.} {\it Azt mondjuk,
hogy egy v\'egtelen halmaz megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u, ha
sz\'amoss\'aga megegyezik a ter\-m\'e\-sze\-tes sz\'amok
sz\'a\-mos\-s\'a\-g\'a\-val, azaz l\'etezik k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es e halmaz elemei \'es a
ter\-m\'e\-sze\-tes sz\'a\-mok k\"oz\"ott.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti elnevez\'es term\'eszetes, hiszen az,
hogy egy halmaz megsz\'aml\'alhat\'o sz\'amoss\'ag\'u azt jelenti,
hogy a halmaz elemeit fel lehet sorolni, meg lehet sz\'amolni.
Val\'oj\'aban, a felsorol\'ast kezdve az 1 sz\'amnak megfelel\H{o}
elemmel egy az ebben a halmazban \'es a term\'eszetes sz\'amok
halmaz\'aban el\H{o}fordul\'o elemek
k\"oz\"otti k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'esben,
folytatva a 2, 3 sz\'amnak megfelel\H{o} elemmel, \'es \'{\i}gy
tov\'abb, el\H{o}bb-ut\'obb minden elemet felsorolunk. Azokat a
halmazokat, amelyeknek a sz\'amoss\'aga megegyezik a val\'os sz\'amok
sz\'amoss\'ag\'aval kontinuum sz\'amoss\'ag\'uaknak nevezz\"uk.
\medskip
 
N\'eh\'any tov\'abbi meglep\H{o} eredm\'eny:
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $A$ v\'egtelen halmaz, $A_1$ \'es $A_2$
k\'et e halmazzal azonos sz\'amoss\'ag\'u halmaz. Akkor $A_1\cup A_2$
sz\'amoss\'aga megegyezik az $A$ halmaz sz\'amoss\'ag\'aval. S\H{o}t,
ha $A_1,A_2,\dots$ megsz\'aml\'alhat\'o sok az $A$ halmazzal azonos
sz\'amoss\'ag\'u halmaz, akkor az $\bigcupp_{k=1}^\infty A_k$ halmaz
sz\'amoss\'aga is megegyezik az $A$ halmaz sz\'amoss\'ag\'aval. Ha $A$
v\'egtelen halmaz, akkor l\'etezik az $A$ halmaznak olyan\/ {\rm
val\'odi} r\'eszhalmaza, amelynek sz\'amoss\'aga megegyezik az $A$
halmaz sz\'amoss\'ag\'aval.}
\medskip\noindent
{\it T\"ort\'enelmi megjegyz\'es:}\/ Halmazok sz\'amoss\'ag\'anak
fogalm\'at Georg Cantor n\'emet ma\-te\-ma\-ti\-kus vezette be a XIX.
sz\'azad m\'asodik fel\'eben. \'Erdemes megeml\'{\i}teni, hogy ezt a
fogalmat, illetve a hozz\'akapcsol\'od\'o elm\'eletet m\'eg a
matematikai k\"ozv\'elem\'eny is csak nehezen tudta elfogadni abban a
korban, amikor Cantor \'elt.
 
\vfill \eject
 
\item{1.} Egy t\'oban 10000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asznak
bel\H{o}le 1000 darabot, ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket a t\'oba. Ezut\'an ism\'et kifognak
v\'eletlen\"ul 1000 halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\frac{\binom{1000}{100}\binom{9000}{900}} {\binom{10000}{1000}}$.
Ugyanis a m\'asodik fog\'asban \"osszesen $\binom{10000}{1000}$
f\'ele fo\-g\'as\-ered\-m\'eny lehets\'eges, \'es minden
fog\'aseredm\'eny egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}. (A halakat
meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-j\"uk.) Az olyan fog\'aseredm\'enyek
sz\'ama, amelyekben az 1000 pirossal megjel\"olt halb\'ol 100-t a
9000 meg nem jel\"olt halb\'ol pedig 900-t fogtak ki
$\binom{1000}{100}\binom{9000}{900}$.
 \item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A gyakorlatban el\H{o}fordul\'o
k\'erd\'es ennek ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
\"osszesz\'aml\'aljuk a megfestett halakat, \'es ebb\H{o}l
pr\'ob\'alunk k\"ovetkeztetni a t\'oban lev\H{o} halak sz\'am\'ara.
Hogyan \'erdemes ezt csin\'alni? Ez  k\'es\H{o}bbi vizs\-g\'a\-la\-tok
t\'em\'aja lesz. \medskip
\item{2.} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
megy el. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy lesznek
vend\'egek a h\'azibulin?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mint sok egy\'eb esetben, most is
\'erdemes az esem\'eny be nem k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'e\-nek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kisz\'amolni. Ez $\(\frac12\)^{50}$.
\'Igy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valaki elj\"on
$1-\(\frac12\)^{50}$.
\item{3.} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel megy el.
\itemitem {a)} Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan 3 ember
j\"on el?
\itemitem {b)} Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
Annak, hogy legal\'abb h\'arom ember j\"on el?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ a) $\binom{50}3\(\frac12\)^{50}$, b)
$1-\(1+\binom{50}1+\binom{50}2\)\(\frac12\)^{50}$.
\item{4.} Valaki j\'at\'ekra h\'{\i}v fel. Egy \'all\'{\i}t\'olag
szab\'alyos p\'enzdarabot dob fel egym\'as ut\'an 10~000-szer.
Fejdob\'as eset\'en \H{o} nyer egy forintot \'{\i}r\'as dob\'as est\'en
mi. A dob\'asok eredm\'enyek\'ent 5500 fejdob\'as  t\"ort\'ent.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy szab\'alyos p\'enz
feldob\'asa eset\'en a fejdob\'asok sz\'ama legal\'abb 5500?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\summ_{k=5500}^{10000}\binom{10000}k2^{-10000}$.
\item{} Val\'oj\'aban, ezzel a feladat megold\'as\'aval nem vagyunk
k\'esz. Arra is kiv\'ancsiak vagyunk, hogy ez a sz\'am k\"or\"ulbel\"ul
mekkora. Ki tudjuk-e ezt sz\'amolni kev\'es sz\'amol\'assal viszonylag
r\"ovid id\H{o} alatt? Az igazi, minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es az,
hogy pech\"unk volt-e, vagy a j\'at\'ekot javasl\'o szem\'ely csalt, a
p\'enzdarab nem volt sza\-b\'a\-lyos. Ehhez a k\'erd\'eshez
k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'er\"unk.
\item{} Megbesz\'elt\"uk, hogy az a k\'erd\'es, hogy az adott
dob\'assorozat eset\'en elhissz\"uk-e azt, hogy a p\'enzdarab
szab\'alyos-e a matematikai statisztika egy fontos k\'erd\'es\'enek a
hipot\'ez\'esvizsg\'alatnak speci\'alis esete. Az \'altal\'anos
k\'erd\'es az, hogy egy elv\'egzett, a v\'eletlent\H{o}l is
f\"ugg\H{o} kis\'erletsorozat alapj\'an elfogadjuk-e, hogy egy adott
felt\'etelez\'es (hipot\'ezis) helyes. Ha a hipot\'ezis \'erv\'enyes
\'es mi m\'egis elvetj\"uk azt nevezz\"uk els\H{o} faj\'u hib\'anak.
Ha a hipot\'ezis nem teljes\"ul \'es mi m\'egis
igaznak fogadjuk el, azt m\'asodfaj\'u hib\'anak nevezz\"uk. Azt a
feladatot szokt\'ak vizsg\'alni, hogy megengedve el\H{o}irt
els\H{o}faj\'u hib\'at (ezt \'altal\'aban 0.05 vagy 0.01-nek szok\'as
v\'alasztani) hogyan tudjuk a m\'asodfaj\'u hib\'at minimaliz\'alni.
Megjegyezt\"uk azt is, hogy a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik
alapvet\H{o} eredm\'enye a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg lehet ha\-t\'a\-roz\-ni egyszer\H{u}en az
ebben a feladatban tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \'ert\'ek\'et. Ennek alapj\'an a
fenti, a negyedik feladatban  szerepl\H{o} esem\'eny bek\"ovetkez\'ese
szab\'alyos p\'enzdarab eset\'eben rendkiv\"ul val\'osz\'{\i}n\H{u}tlen.
\item{5.} Egy gyakorlatra v\'eletlenszer\H{u}en 24 hallgat\'o
j\"on el. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\"oz\"ott\"uk
k\'et ember, akiknek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy nincs k\'et ilyen ember.
K\'ep\-zel\-j\"uk el, hogy egym\'asut\'an megjelennek a hallgat\'ok,
valaki fel\'{\i}rja a sz\"u\-le\-t\'es\-nap\-ju\-kat, \'es minden
egyes l\'ep\'esben m\'as d\'atumot \'{\i}r fel. Az els\H{o}
hallgat\'o megjelen\'esekor biztos, hogy \'uj sz\'amot \'{\i}r fel, a
m\'asodik hallgat\'o megjelen\'esekor $\(1-\frac1{365}\)$, a harmadik
hallgat\'o megjelen\'esekor, (felt\'eve, hogy az els\H{o} k\'et
hallgat\'o eset\'eben k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokat \'{\i}rt fel
$\(1-\frac2{365}\)$, a negyedik hallgat\'o eset\'eben
$\(1-\frac3{365}\)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel \'{\i}rt
fel k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokat, \'es \'{\i}gy tov\'abb. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a 24 esetben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amokat \'{\i}rt fel $\prodd_{k=1}^{23}\(1-\frac k{365}\)$, a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig
$1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\frac k{365}\)$.
\item{} Kiv\'ancsiak lehet\"unk, hogy ez a sz\'am mekkora. Nagyon
kicsi vagy nagyon nagy, azaz majdnem~1. Meg tudjuk-e ezt hat\'arozni
viszonylag kev\'es sz\'amol\'assal? A k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'as
tanuls\'agos lehet. A vizsg\'aland\'o szorzatot fel\'{\i}rhatjuk mint
$$
1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\frac k{365}\)=1-\exp\left\{\
\sum_{k=1}^{23}\log\(1-\frac k{365}\)\right\}.
$$
Haszn\'aljuk fel a $\log(1+x)\sim x$ kis $x$ sz\'amokra val\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est. Ez azt sugallja, hogy $\log\(1-\frac
k{365}\)\sim-\frac k{365}$, \'es a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$$
1-\exp\left\{-\sum_{k=1}^{23}\frac k{365}\right\}
=1-\exp\left\{-\frac{12\cdot23}{365}\right\}=1-e^{-276/365}.
$$
\item{6.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a 17.
dob\'asban jelenik meg a 3. hatos?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 16
dob\'asban pontosan k\'et hatos jelenik meg, a 17. dob\'as eredm\'enye
pedig szint\'en hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\binom{16}2\(\frac56\)^{14}\(\frac16\)^3$.
 
\medskip{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
t\"obbsz\"or. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
20. dob\'asban jelenik meg az \"ot\"odik h\'arommal oszthat\'o sz\'am?
\medskip
 
\bye
