\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf Az okt\'ober 5.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip\noindent
Ezen a gyakorlaton el\H{o}sz\"or tov\'abbi feladatokat tekint\"unk,
amelyekben felt\'eteles va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge\-ket
sz\'amolunk, majd bevezetj\"uk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, illetve val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a fogalm\'at (diszkr\'et \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben), \'es
p\'eld\'at mutatunk arra, hogyan kell a v\'arhat\'o \'ert\'eket
kisz\'amolni n\'eh\'any fontos esetben.
 
\medskip
\item{1.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a
m\'asodik 0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
 gy\'art hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik,
\'es \"osszekeverik \H{o}ket. Egy gy\'artott csavar 0.5
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az els\H{o} 0.3
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\H{o}, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
\item{2.} Egy teszt-vizsg\'an, ahol h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul
kell kiv\'alasztani a helyes v\'alaszt ketten vesznek r\'eszt. Az
els\H{o} r\'esztvev\H{o} $p_1$, a m\'asodik r\'esztvev\H{o} pedig
$p_2$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel tudja a helyes v\'alaszt,
tov\'abb\'a a vizsga k\'et r\'esztvev\H{o}je egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul tudja vagy nem tudja, hogy mi a helyes v\'alasz.
Mindk\'et r\'esztvev\H{o} a j\'o v\'alaszt jel\"oli meg, ha tudja
azt, ellenkez\H{o} esetben pedig mindent\H{o}l f\"uggetlen\"ul
egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'eletlen\"ul bejel\"oli a
h\'arom lehets\'eges v\'alasz valamelyik\'et. Mi a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind a k\'et r\'esztvev\H{o}
a helyes v\'alaszt jel\"olte be, felt\'eve, hogy ugyanazt a v\'alaszt
adta?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} di\'ak j\'ol v\'alaszol, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a
m\'asodik di\'ak j\'ol v\'alaszol, $D_1$ azt az esem\'enyt, hogy
mind a k\'et jel\"olt az
els\H{o}k\'ent felsororolt felt\"untetett rossz v\'alaszt $D_2$ pedig
azt az esem\'enyt, hogy mind a k\'et
jel\"olt a m\'asodiknak felsorolt rossz v\'alaszt adja.
Ekkor $C=(A\cap B)\cup D_1\cup D_2$ jel\"oli azt
az esem\'enyt, hogy a k\'et di\'ak egyform\'an v\'alaszol.
Benn\"unket a $P(A\cap B|C)=\dfrac{P(A\cap B\cap C)}{P(C)}
=\dfrac{P(A\cap B)}{P((A\cap B)\cup D_1\cup D_2)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont $P(A)=p_1+\dfrac13(1-p_1)=\dfrac{1+2p_1}3$,
$P(B)=\dfrac{1+2p_2}3$, \'es az $A$ \'es $B$ esem\'enyek
f\"uggetlenek. Innen $P(A\cap B)=\dfrac{1+2p_1}3\cdot\dfrac{1+2p_2}3$,
$P(C)=R(A\cap B)+P(D_1)+P(D_2)=\dfrac{1+2p_1}3\cdot\dfrac{1+2p_2}3+2
\dfrac{1-p_1}3\cdot\dfrac{1-p_2}3$. Ugyanis
$P(D_1)=P(D_2)=\dfrac{(1-p_1)}3\cdot\dfrac{(1-p_2)}3$, mivel az
els\H{o} jel\"olt
akkor v\'alaszol rosszul, ha nem tudja a helyes v\'alaszt, \'es a
h\'arom lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul az els\H{o} rossz v\'alaszt jel\"oli
ki, aminek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $(1-p_1)\dfrac13$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik jel\"olt ugyanezt
a v\'alaszt adja $(1-p_1)\dfrac13$, a k\'et jel\"olt egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul v\'alaszol, ahonnan $P(D_1)=\dfrac{(1-p_1)}3\cdot
\dfrac{(1-p_2)}3$. Hasonl\'oan, a $P(D_2)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
ugyanazt az \'ert\'eket kapjuk. Innen
$$
P(A\cap B|C)=\dfrac{(1+2p_1)(1+2p_2)}{(1+2p_1)(1+2p_2)+2(1-p_1)(1-p_2)}.
$$
\item{3.)} Adott k\'et v\'aros, az igazmond\'ok \'es hazugok v\'arosa.
Az igazmond\'ok v\'aros\'aban egy k\'erd\'esre 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel helyes a hazugok v\'aros\'aban pedig 0.8
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel hamis v\'alaszt adnak. Meg\'erkez\"unk
v\'eletlen\"ul az egyik v\'arosba, egyforma, azaz $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az igazmond\'ok vagy a hazugok
v\'aros\'aba. Megk\'erdezz\"uk az els\H{o} embert, akivel
tal\'alkozunk, hogy az igazmond\'ok v\'aros\'aba \'ert\"unk-e. Azt a
v\'alaszt kapjuk, hogy nem. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az igazmond\'ok v\'a\-ro\-s\'a\-ba \'er\-kez\-t\"unk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy az
igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk, \'es $B$ azt az esem\'enyt,
hogy a v\'eletlen\"ul megk\'erdezett ember azt v\'alaszolja
k\'erd\'es\"unkre, hogy nem az igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk.
Ekkor minket a $P(A|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'ert\'eke \'erdekel. Tudjuk tov\'abb\'a, hogy $P(A)=\frac12$,
$P(B|A)=0.1$, $P(B|\bar A)=0.2$. (Az els\H{o} esetben az igazmond\'ok
v\'aros\'aban megk\'erdezett ember hazudik, a m\'asodikban a hazugok
v\'aros\'aban megk\'erdezett ember igazat mond.) Ez\'ert
$$
P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=\dfrac{P(B|A)P(A)}
{P(B|A)P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)}
=\dfrac{0.1\cdot 0.5} {0.1\cdot0.5+0.2\cdot 0.5}=\dfrac13.
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{}  Egy h\'aromnapos nyaral\'ason vesz\"unk r\'eszt a
Balatonn\'al. Minden nap a t\"obbi napt\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac23$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel kis\"ut a nap, $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nem s\"ut ki. Azokon a napokon, amikor
kis\"ut a nap, $\frac23$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megf\"urd\"unk
a Balatonban \'es fagylaltot is esz\"unk, $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel megf\"urd\"unk a Balatonban, de nem
esz\"unk fagylaltot, $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel  nem
f\"urd\"unk meg a Balatonban, de esz\"unk fagylaltot, \'es nulla
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem f\"urd\"unk \'es
fagylaltot sem esz\"unk. Ha nem s\"ut a nap, akkor $\frac14$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy esz\"unk fagylaltot, \'es
f\"urd\"unk, $\frac14$ annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
esz\"unk fagylaltot, de nem f\"urd\"unk, $\frac14$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem esz\"unk fagylaltot, de
f\"urd\"unk, \'es ugyancsak $\frac14$ annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy sem fagylaltot nem esz\"unk, sem
a Balatonban nem f\"urd\"unk meg. Mi annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy megf\"ur\"odt\"unk a
Balatonban, felt\'eve hogy nem ett\"unk fagylaltot?
 
\medskip
Egy fontos fogalomr\'ol \'es m\'odszerr\H{o}l lesz sz\'o,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok  v\'arhat\'o
\'er\-t\'e\-k\'e\-r\H{o}l. Ennek a k\'erd\'esnek a t\'argyal\'as\'ahoz
sz\"uks\'eges  el\H{o}sz\"or a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
fogalm\'anak meg\'ert\'ese. Tov\'abb\'a k\"ul\"on t\'argyaljuk
az \'ugynevezett diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok fogalm\'at, \'es egyel\H{o}re csak ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'er\H{o}l fogunk besz\'elni. Ennek technikai okai vannak.
Mint k\'es\H{o}bb l\'atni fogjuk, \'altal\'anos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'en hasonl\'o
eredm\'enyek \'erv\'enyesek, csak abban az esetben a dolgok
meg\'ert\'ese t\"obb figyelmet k\"ovetel. Egy l\'enyeges
k\"ul\"onbs\'eg a speci\'alis diszkr\'et eloszl\'as\'u \'es
\'altal\'anos eset k\"oz\"ott az, hogy diszkr\'et esetben a
v\'arhat\'o \'ert\'ek ki\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'a\-s\'a\-hoz el\'eg
\"osszegeket vizsg\'alni, m\'{\i}g az \'altal\'anos eset
kezel\'es\'ehez sz\"uks\'eg lesz az
integr\'alsz\'am\'{\i}t\'asi ismeretek haszn\'alat\'ara is.
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma:} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi$ az $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.
}
\medskip\noindent
 
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es azok eloszl\'asa.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n diszkr\'etnek vagy diszkr\'et eloszl\'as\'unak h\'{\i}vunk,
ha megadhat\'o egy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
sz\'amoss\'ag\'u $x_1,x_2,\cdots$, halmaz \'ugy, hogy az
$\{\oo,\xi(\oo)=x_n\}$, $n=1,2,\dots$, halmazok teljes
esem\'enyrendszert alkotnak. Egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak
azok az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekek amelyeket az felvesz \'es a
$p_n=P(\xi=x_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek. (Jegyezz\"uk meg, hogy
$\summ_n P(\xi=x_n)=1$.)}
 
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
amely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel $p_k=P(\xi=x_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, $k=1,2,\dots$,
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)
$$
\"osszeg, felt\'eve hogy ez az \"osszeg abszolut konvergens. Ha ez az
\"osszeg nem abszolut konvergens, akkor nem defini\'aljuk az $E\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.}
\medskip
Ahhoz, hogy a v\'arhat\'o \'ert\'ek definici\'oj\'at meg\'erts\"uk
fel kell id\'ezn\"unk, hogy mit jelent az, hogy egy \"osszeg abszolut
konverges, illetve meg kell \'erten\"unk, hogy mi\'ert
k\"ovetelt\"uk meg, hogy a definic\'oban szerepl\H{o}
\"osszeg teljes\'{\i}tse ezt a felt\'etelt.
\medskip\noindent
{\bf \"Osszeg abszolut konvergess\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy a $\summ_{n=1}^\infty a_n$ sorozat abszolut konvergens,
ha nemcsak a $\summ_{n=1}^\infty a_n$ \"osszeg konvergens, hanem a
$\summ_{n=1}^\infty |a_n|$ \"osszeg is. Ez ut\'obbi tulajdons\'ag
azzal ekvivalens, hogy $\summ_{n=1}^\infty |a_n|<\infty$.}
\medskip\noindent
{\it 1. Megjegyz\'es:}\/ P\'elda konvergens, de nem abszolut
konvergens \"osszegre a k\"ovetkez\H{o} v\'altakoz\'o el\H{o}jel\H{u}
\"osszeg. $1-\frac12+\frac13-\frac14+\frac15-\frac16+\cdots$.
Form\'alisan $\summ_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\frac1n$.
\medskip
 
Azt mondtuk, hogy (egyel\H{o}re) olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l be\-sz\'e\-l\"unk, amelyek
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o sok \'ert\'eket vesznek fel, azaz m\'as
szavakkal a felvett \'ert\'ekek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ sorozat
form\'aj\'aban felsorolhat\'ok. Besz\'elt\"unk arr\'ol, hogy a
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o halmazok lehetnek nagyon bonyolultak is,
p\'eld\'aul a racion\'alis sz\'amok so\-ro\-za\-ta is
meg\-sz\'am\-l\'al\-ha\-t\'o. Ez azt jelenti, hogy az
\'altal\'anos esetben nincs egy term\'eszetes sorrendje a felvett
$x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekeknek. A v\'arhat\'o \'ert\'ek
kisz\'am\'{\i}t\'asakor az $x_kP(\xi=x_k)$ \'ert\'ekeket kell
\"osszegezni, mely sz\'amok k\"oz\"ott lehet lehetnek pozit\'{\i}v
\'es negat\'{\i}v sz\'amok egyar\'ant. Felmer\"ul a k\'erd\'es,
\'ertelmes-e a definici\'oban szerepl\H{o} \"osszegr\H{o}l besz\'elni,
vagy esetleg eg\'eszen k\"ul\"onb\"oz\H{o} \'ert\'ekeket kapunk
att\'ol f\"ugg\H{o}en, hogy milyen sorrendben soroltuk fel az $x_k$
sz\'amokat. A v\'alasz az, hogy amennyiben a v\'arhat\'o \'ert\'ek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} \"osszeg nemcsak konvergens, hanem
abszolut konvergens is, akkor ennek az \"osszegnek az \'ert\'eke
f\"uggetlen az \"osszeg tagjainak sorrendj\'et\H{o}l,
ez\'ert tudunk r\'ola besz\'elni. Az \"osszeg abszolut konvergenci\'aja
viszont nem elhagyhat\'o felt\'etel. Ezt mondja ki az al\'abbi t\'etel.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen adva val\'os sz\'amok egy tetsz\H{o}leges
$a_n$, $n=1,2,\dots$, v\'egtelen sorozata. Ha a
$\summ_{n=1}^\infty|a_n|$ \"osszeg is konvergens, akkor az $a_n$,
$n=1,2,\dots$, sorozat tetsz\H{o}leges $a_{n_k}$, $k=1,2,\dots$,
\'atrendez\'es\'ere igaz, hogy $\summ_{k=1}^\infty
a_{n_k}=\summ_{n=1}^\infty a_n$, \'es ez az \"osszeg v\'eges.
Megford\'{\i}tva, ha a fenti tulajdons\'ag az $a_n$ sorozat
tetsz\H{o}leges \'atrendez\'es\'ere teljes\"ul, akkor a
$\summ_{n=1}^\infty a_n$ \"osszeg abszolut konvergens.}
\medskip
Az al\'abbi eredm\'eny k\'es\H{o}bb alapvet\H{o} fontoss\'ag\'u lesz.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it  Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$ (diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ame\-lyek\-nek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor a $\xi_1+\xi_2$
\"osszegnek is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek adva $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
ame\-lyek\-nek l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk, \'es legyenek
$c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amok. Ekkor a
$c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k\)
=c_1E\xi_1+c_2E\xi_2+\cdots+c_kE\xi_k.
$$
}\medskip\noindent
 
 
\item{4.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\"oli a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Ezt az \"osszeget
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban, mivel
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$, ez\'ert
$$
E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50.
$$
\medskip Megt\'argyaljuk, hogy a fenti feladatnak l\'etezik
egyszer\H{u}bb megold\'asa is. Heu\-risz\-ti\-ku\-san \'ugy is
\'ervelhet\"unk, hogy minden dob\'asban a fej-dob\'asunk sz\'ama
v\'arhat\'oan $\frac12$-del n\H{o}, ez\'ert a 100 dob\'as sor\'an
bek\"ovetkez\H{o} fejdob\'asok sz\'ama 50. \'Erts\"uk meg, hogyan
lehet ezt a heurisztikus \'ervel\'est prec\'{\i}zen elmondani. Ennek
\'erdek\'eben el\H{o}sz\"or azt gondoljuk meg, hogyan lehet a fenti
k\'erd\'est egy alkalmas val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ekek\'ent defini\'alni, \'es azt mint egyszer\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'et fel\'{\i}rni.
\medskip
\item{5.)} Tekints\"uk az el\H{o}z\H{o} feladatban vizsg\'alt
szab\'alyos p\'enzdarab 100 egym\'asut\'ani feldob\'as\'at. Adjuk meg
ennek egy modellj\'et, amelynek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az el\H{o}z\H{o}
feladat egy\-sze\-r\H{u}b\-ben a heurisztikus \'ervel\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel is megoldhat\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekinthetj\"uk p\'eld\'aul a
k\"ovetkez\H{o} modellt. Legyen a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o},
amelyen dolgozunk a k\"ovetkez\H{o}: Legyenek az $\oo$ elemi
esem\'enyek a 100 hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatok,
$P(\{\oo\})=2^{-100}$ minden $\oo=\{\dots, F,\dots, I,\dots\}$ 100
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozatra, \'es $P(A)=\summ_{\oo\in
A}P(\{\oo\})$. Defini\'aljunk $\xi_j(\oo)$, $1\le j\le100$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat a k\"ovetkez\H{o}
m\'odon. Legyen $\xi_j(\oo)=1$, ha az $\oo$ elemi esem\'eny olyan 100
hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as sorozat, amelynek a $j$-ik
koordin\'at\'aja F, legyen $\xi_j(\oo)=0$, ha az $\oo$ sorozat
$j$-ik koordin\'at\'aja $I$. Ekkor
$\xi(\oo)=\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)$ a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a fejdob\'asok
sz\'ama 100 dob\'as sor\'an, \'es a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
eloszl\'asait a k\"ovetkez\H{o} k\'eplet adja meg:
$P(\xi_j(\oo)=1)=P(\xi_j(\oo)=0)=\frac12$ minden $1\le j\le100$
sz\'amra.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Defini\'altam egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, amelyen a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-kat is meg
tudtuk adni. Val\'oj\'aban nem sz\"uks\'eges r\"ogz\'{\i}teni
pontosan a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, amelyen dolgozunk.
Olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t kell tekinten\"unk,
amelyeken minden $\oo$ elemi esem\'eny bek\"ovetkez\'ese eset\'en
megtudjuk mondani, hogy mennyi a $j$-ik dob\'as eredm\'enye. Ez azt
jelenti, hogy a $\xi_j(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
\'ert\'ek\'et, amelyik 0, ha a $j$-ik dob\'as \'{\i}r\'as \'es 1,
ha a $j$-ik dob\'as fej, defini\'alni tudjuk. Tov\'abb\'a,
defini\'alhat\'o a $\xi(\oo)=\summ_{j=1}^{100}\xi_j(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \'ert\'eke is, \'es minket
az $E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'ek \'erdekel. Tov\'abb\'a,
felt\'etelez\'es\"unk szerint  (a p\'enzdarab szab\'alyos)
$P(\xi_j(\oo)=1)=P(\xi_j(\oo)=0)=\frac12$. Ez is egy olyan p\'elda,
amely azt mutatja, hogy a feladat megold\'as\'ahoz elegend\H{o}
tudni a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
eloszl\'as\'at, az eredm\'eny nem f\"ugg att\'ol, hogy
milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellben dolgozunk.
\item{6.)} Oldjuk meg a 4. feladatot egyszer\H{u}bben az 5. feladatban
t\'argyalt konstrukci\'o seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o
\'ert\'eket egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac12$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
\item{7.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Defini\'aljuk az $\eta_1,\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\eta_j$ a
 $j$-ik dob\'as \'ert\'ek\'evel egyenl\H{o}. Ekkor
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$, \'es minket a
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez k\"onnyen kisz\'amolhat\'o, mert
$E\xi=E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$. Innen $E\xi=350$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a  p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
\"osszeg\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\medskip
\item{8.)} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy minket az
$S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{99}E\xi_j=\dfrac{99}4$,
mivel $E\xi_j=\dfrac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs sz\"uks\'eg a
v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
 
 
\bye
 
 
 
 
\item{2.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'ab\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'{\i}zunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'{\i}zunk. Ekkor a
$P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2+\(\dfrac1{10}\)^2\)=\dfrac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2\dfrac9{10}+\(\dfrac1{10}\)^2\dfrac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{51}{58}$.
 
 
\bye
