\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
%\nopagenumbers
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\bigskip
\item{1.} Egy \'even kereszt\"ul lott\'ozunk. Mind az 52 h\'eten
kit\"olt\"unk egy szelv\'enyt (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni
\"ot\"ot). Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb
k\'et alkalommal lesz (pontosan) h\'armas tal\'alatunk?
\item{2.} Feldobunk k\'et szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul. Mi a fel\-t\'e\-te\-les
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge annak,
hogy mind a k\'et dob\'as eredm\'enye p\'aros felt\'eve, hogy a k\'et
dob\'as ered\-m\'e\-ny\'e\-nek az \"osszege 8?
\item{3.} Egy \'ettermet l\'atogatunk meg id\H{o}nk\'ent, ahol egy
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott id\H{o}pontban 0,9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'etterem szak\'acsa, 0,1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel pedig vend\'egszak\'acs f\H{o}z. Az
\'etterem szak\'acsa 0,8 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel,
a vend\'egszak\'acs pedig 0,1 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
k\'esz\'{\i}t paprik\'as csirk\'et. Megl\'atogatjuk az \'ettermet,
\'es azt l\'atjuk, hogy az \'etlapon nincs paprik\'as csirke. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez alkalommal
ven\-d\'eg\-sza\-k\'acs f\H{o}z?
 
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
az \"osszeg\'et, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.} Egy urn\'aban negyven feh\'er \'es t\'{\i}z piros goly\'o
van. Kih\'uzunk \"ot goly\'ot egym\'as ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk
ki a kih\'uzott piros sz\'{\i}n\H{u} goly\'ok sz\'am\'anak
\itemitem{a)} v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et, ha a goly\'okat visszatev\'es
n\'elk\"ul h\'uzzuk ki.
\itemitem{b)} v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et,
ha a goly\'okat visszatev\'essel h\'uzzuk ki.
 
\bigskip
 
\centerline {\bf Megold\'asok}
\medskip
 
\item{1.)} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy adott
h\'eten pontosan 3 tal\'alatunk van $p=\frac{\binom 53\binom
{85}2}{\binom{90}5}$. Ugyanis, $\binom{90}5$ lehets\'eges
h\'uz\'aseredm\'eny van, minden h\'uz\'aseredm\'eny
egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}, \'es $\binom 53\binom{85}2$ olyan
kit\"olt\'es van, amely pontosan 3 tal\'alatot eredm\'enyez. (Az 5
kih\'uzott sz\'amb\'ol kell kiv\'alasztani h\'armat \'es a 85 ki nem
h\'uzott sz\'amb\'ol kett\H{o}t.) Annak az esem\'enynek, hogy
legal\'abb 2 alkalommal volt 3 tal\'alatunk az a komplementere, hogy
nulla vagy pontosan egy alkalommal volt h\'arom tal\'alatunk. Ezen
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $(1-p)^{52}$ illetve
$52p(1-p)^{51}$. Ugyanis az egyes heteken egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\"ovetkezett be a
h\'arom tal\'alat. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez
egyik h\'eten sem k\"ovetkezett be $(1-p)^{52}$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy el\H{o}\'{\i}rt h\'eten van
h\'arom tal\'alatunk \'es az \"osszes t\"obbi h\'eten nincsen
h\'arom tal\'alatunk $p(1-p)^{51}$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lehets\'eges 52 h\'et
valamelyik\'en van 3 tal\'alatunk \'es az \"osszes t\"obbi h\'eten
nincsen $52p(1-p)^{51}$. \'Igy a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-(1-p)^{52}-52p(1-p)^{51}$, azaz
$$
1-\(1-\frac{\binom 53\binom {85}2}{\binom{90}5}\)^{52}-52
\frac{\binom 53\binom {85}2}{\binom{90}5}
\(1-\frac{\binom 53\binom {85}2}{\binom{90}5}\)^{51}.
$$
\item{2.)} Legyen $A$ az az esem\'eny, hogy a dob\'as\"osszeg 8,
\'es $B$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et dob\'as p\'aros. Ekkor
minket a $P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
\'erdekel. Az $A$ esem\'eny azt jelenti, hogy az $(2,6)$, $(3,5)$,
$(4,4)$, $(5,3)$, $(2,6)$ dob\'asok valamelyike k\"ovetkezett be, az
$A\cap B$ esem\'eny pedig azt, hogy a $(2,6)$, $(4,4)$, $(6,2)$
dob\'asok valamelyike k\"ovetkezett be. (E fel\'{\i}r\'asban az
els\H{o} koordin\'ata jel\"oli az els\H{o} kocka a m\'asodik
koordin\'ata a m\'asodik kocka dob\'aseredm\'eny\'et.) Minden
lehets\'eges dob\'asp\'ar  egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}. Ez\'ert
$P(A)=\frac5{36}$, $P(A\cap B)=\frac3{36}$, $P(B|A)=\frac35$.
\item{3.)} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy a vend\'egszak\'acs
f\H{o}z, $B$ pedig azt az esem\'enyt, hogy az \'etlapon nincs
paprik\'as csirke. Ekkor minket a $P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk tov\'abb\'a,
hogy
$$
P(A)=0,1,\quad P(B|A)=0,9\quad \text{\'es}\quad P(B|\bar A)=0,2.
$$
Ez\'ert $P(A\cap B)=P(A)P(B|A)=0,1\cdot 0,9$, $P(B)=P(A\cap B)
+P(\bar A\cap B)=P(A)P(B|A)+P(\bar A)P(B|\bar A)=0,1\cdot 0,9
+0,9\cdot0,2$. Innen
$$
P(A|B)=\frac{0,1\cdot 0,9}{0,1\cdot 0,9+0,9\cdot0,2}=\frac13.
$$
\item{4.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le100$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 4,
$\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, \'es $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a
$S=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et akarjuk
kisz\'amolni. $E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$E\xi_j^2=\frac16(2^2+4^2+6^2)=\frac{28}3$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac{16}3$, ahonnan a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'ege miatt
$ES=100E\xi_1=200$, $\Var S= 100\Var\xi_1=\frac{1600}3$.
\item{5.)} Legyen $\xi_j$ az a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely 1, ha a $j$-ik h\'uz\'as piros, 0, ha a $j$-ik
h\'uz\'as feh\'er, $1\le j\le5$. Ekkor $P(\xi_j=1)=\frac15$,
$P(\xi_j=0)=\frac45$, $1\le j\le5$, Ez igaz ak\'ar visszatev\'eses
ak\'ar visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as eset\'en. Innen
$E\xi_j=\frac15$. Minket az $S=\summ_{j=1}^5\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'erdeke, illetve a b) esetben az $S$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et is ki akarjuk sz\'am\'{\i}tani.
Innen $E\xi_j=\frac15$, $ES=1$ mind az a) mind a b) esetben. A
b) esetben, azaz akkor, ha a goly\'okat visszatev\'essel h\'uzzuk
ki, akkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, ez\'ert $\Var S=\summ_{j=1}^5\Var \xi_j$, \'es
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2$, $E\xi_j^2=\frac15$,
$\Var\xi_j=\frac15-\(\frac15\)^2=\frac4{25}$ minden
$1\le j\le 5$ indexre. Innen $\Var S=\frac45$.
 
 
 
\bye
 
 
\item{2.} Valakinek ki kell t\"olteni egy 2 k\'erd\'est tartalmaz\'o
tesztlapot.  Mindk\'et k\'erd\'esre h\'arom lehets\'eges v\'alaszt
lehet adni. A vizsg\'az\'o minden k\'erd\'esre (a t\"obbi
k\'erd\'est\H{o}l f\"uggetlen\"ul) $p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
tudja a v\'alaszt. Ha egy k\'erd\'esre tudja a v\'alaszt, akkor a
helyes v\'alaszt jel\"oli be, ha nem, akkor a t\"obbi
k\'erd\'est\H{o}l f\"uggetlen\"ul $\frac13$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel bejel\"oli a lehets\'eges v\'alaszok
valamelyik\'et. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy legal\'abb
az egyik egyik k\'erd\'esre tudja a helyes v\'alaszt, ha mind a k\'et
k\'erd\'esre j\'o v\'alaszt adott?
 
\item{5.} Legyen adva h\'arom $A$, $B$ \'es $C$ halmaz egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy ez a h\'arom esem\'eny f\"uggetlen?
 
