\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 9.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip\noindent
 
\item{1.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. A p\'aros sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok sor\'an feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nyer\"unk 3
forintot, piros goly\'o h\'uz\'as sor\'an pedig nem nyer\"unk
\'es nem vesz\'{\i}t\"unk semmit. A p\'aratlan sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok sor\'an piros h\'uz\'as eset\'en 2 forintot nyer\"unk,
feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nem nyer\"unk \'es nem
vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amoljuk ki a nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\'o $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: P\'aros $j$
sz\'amokra $\xi_j=3$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
goly\'o. P\'aratlan $j$ sz\'amokra $\xi_j=2$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er goly\'o. Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros
$\frac13$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er $\frac23$. Ez\'ert $E\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
$E\xi_j=\frac23$, ha $j$ p\'aratlan, \'es
$ES=5\(2+\frac23\)=13\frac13$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j^2=6$, $\Var\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
\'es $E\xi_j^2=\frac43$, $\Var\xi_j=\frac{8}9$. Tov\'abb\'a annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et $j$ \'es $k$ indexre $j\neq k$,
a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as mindegyike feh\'er $\frac{2\cdot
19}{3\cdot 29}=\frac{38}{87}$, annak, hogy mindk\'et h\'uz\'as piros
$\frac{9}{3\cdot 29}=\frac3{29}$, annak, hogy az egyik h\'uz\'as
feh\'er a m\'asik piros $\frac{2\cdot10}{3\cdot 29}=\frac{20}{57}$.
Ez\'ert $E\xi_j\xi_k=9\cdot\frac{2\cdot 19}{3\cdot 29}=\frac{114}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{114}{29}-4=-\frac2{29}$, ha $j$ \'es $k$
p\'aros, $E\xi_j\xi_k=4\cdot\frac{3}{29}=\frac{12}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{12}{29}-\frac{4}9=-\frac{8}{263}$, ha $j$
\'es $k$ p\'aratlan, $E\xi_j\xi_k=6\cdot\frac{20}{57}=\frac{40}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{40}{29}-\frac{4}3=\frac{4}{87}$, ha $j$ \'es
$k$ k\"oz\"ul az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan. Olyan $(j,k)$
p\'ar, $1\le j,k\le 10$, $j\neq k$, amelyre $j$ \'es $k$ mindegyike
p\'aros vagy mindegyike p\'aratlan, \"osszesen 20 van, \'es olyan
$(j,k)$ p\'ar, amelyekre az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan $2\cdot
5\cdot 5=50$  van, ez\'ert
$$
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=20\(-\frac2{29}
-\frac{8}{263}\)+50\cdot\frac{4}{87}=\frac{80}{263}.
$$
Innen
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=5\(2+\frac89\)+
\frac{80}{263}=\frac{130}9+\frac{80}{263}=\frac{3850}{263}.
\endalign
$$
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Adott k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 10 piros \'es 30
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk 10 alkalommal mind a k\'et urn\'ab\'ol
egy goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki azon
h\'uz\'asp\'arok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amikor ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot
h\'uztunk.
 
\medskip
Meg fogunk t\'argyalni n\'eh\'any fontos fogalmat \'es alapvet\H{o}
eredm\'enyt \'altal\'anos, nem felt\'etlen\"ul diszkr\'et
\'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okr\'ol.
Megbesz\'elj\"uk \'altal\'anos (nem felt\'etlen\"ul diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'anak
fogalm\'at, azt hogy mit \'ert\"unk ezek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'en,
sz\'or\'asn\'egyzet\'en, \'es hogyan sz\'amoljuk azt ki.
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
$\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.} \medskip
 
\item{2.)}Tekints\"uk egy szab\'alyos dob\'okocka
feldob\'as\'at, illetve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot,
amely megmondja mi a dob\'as eredm\'enye. Hat\'arozzuk meg ennek a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Hat\'arozzuk meg a dob\'as\'ert\'ekek
n\'egy\-ze\-t\'e\-nek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}
Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5
\'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi fel, mindegyiket $\frac16$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $P(\xi<x)$ null\'aval egyenl\H{o},
ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a $P(\xi<1)=0$
azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et n\'ezz\"uk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szigor\'uan kisebb
mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$,
akkor az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is.
Ez\'ert $F(x)=\frac16$, ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\frac26$, ha $2<x\le3$. Ezt a
gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$,
$F(x)=\frac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$, \'es $F(x)=1$, ha
$6<x<\infty$. Ha a dob\'asok n\'egyzet\'enek az
elosz\'asf\"uggv\'eny\'ere vagyunk kiv\'ancsiak, akkor hasonl\'oan
vizsg\'alhatjuk a helyzetet. Ekkor a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enye
a k\"ovetkez\H{o} lesz: $G(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$, mert ebben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a dob\'as \'ert\'ek\'enek n\'egyzete
kisebb, mint $x$ egy $x\le 1$ sz\'am eset\'en 0.
$G(x)=\frac16$, ha $1<x\le 4$, mert az az esem\'eny, hogy a dob\'as
\'ert\'ek\'enek n\'egyzete kisebb mint $x$ egy $1<x<4$ sz\'am eset\'en
akkor k\"ovetkezik be, ha a dob\'as \'ert\'eke 1. $G(x)=\frac26$, ha
$x<4\le 9$, mert a dob\'as \'ert\'ek\'enek a n\'egyzete akkor kisebb,
mint $x$ egy $4\le x<9$ sz\'am eset\'eben, ha a dob\'as eredm\'enye 1
vagy 2. Hasonl\'oan, $G(x)=\frac36$, ha $9\le x<16$, $G(x)=\frac46$,
ha $16\le x<25$, $G(x)=\frac56$, ha $25<x\le36$, \'es $G(x)=1$, ha
$36<x$.
\item{3.)} Ledobunk egy pontot egyenletesen a $[0,2]$ intervallumra,
azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont egy
$[a,b]\subset[0,2]$ intervallumba esik $\frac{b-a}2$. Mi a ledobott
pont hely\'enek az eloszl\'asf\"uggv\'enye?
\item{} \'Irjuk fel a ledobott pont hely\'enek az \'ert\'ek\'et akkor,
ha az a $[0,1]$ intervallumba esik, de az 1 sz\'amot \'{\i}rjuk fel,
ha a dob\'as \'ert\'eke az $[1,2]$ interllumba esik. Mi a fel\'{\i}rt
sz\'am eloszl\'asf\"uggv\'enye? Mi lesz a fel\'{\i}rt sz\'am
eloszl\'asf\"uggv\'enye akkor, ha abban az esetben, amikor a ledobott
pont az $[1,2]$ intervallumba esik null\'at \'{\i}runk, abban az
eseben, ha a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor mag\'at a sz\'amot
\'{\i}rjuk fel?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont $\xi$ \'ert\'eke kisebb, mint $x$ $P(\xi<x)=0$, ha
$x\le0$, $P(\xi<x)=\frac x2$, ha $0\le x\le 2$, \'es $P(\xi<x)=1$, ha
$x>1$. Ez\'ert a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $F(x)$
eloszl\'asf\"ugggv\'enye  $F(x)=0$, ha $x\le0$, $F(x)=\frac x2$, ha
$0\le x\le2$, \'es $F(x)=1$, ha $x>1$, azaz egy $\frac12$
meredeks\'eg\H{u} egyenes a $[0,2]$ intervallumon, \'es
$F(x)$ a  v\'{\i}zszintes $x=1$ egyenes az $x>2$, \'es az $x=0$
v\'{\i}zszintes egyenes az $x<0$ f\'elegyenesen.
\item{} A fel\'{\i}rt (v\'eletlen) $\eta$ sz\'am $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye az els\H{o} esetben $P(\eta<x)=0$, ha
$-\infty<x\le 0$, ha $x\le0$, $P(\eta<x)=\frac x2$, ha $0<x\le 1$,
\'es $P(\eta<x)=1$, ha $x>1$. Ez azt jelenti, hogy $G(x)=0$, ha
$x\le0$, $G(x)=\frac x2$, ha $x\le1$, (ebben hasonl\'o a viselked\'ese
az el\H{o}bb tekintett $F(x)$ f\"uggv\'enyhez), de
az $x=1$ pontban ugrik, \'es $G(x)=1$, ha $x>1$.
\item{} A m\'asodik esetben tekintett v\'eletlen sz\'am $H(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye hasonl\'oan ha\-t\'a\-roz\-ha\-t\'o meg. A
k\"ul\"onbs\'eg az, hogy ekkor a $[0,1]$ intervallumban $H(x)=\frac
x2+\frac12$, $0\le x\le1$. Ekkor ugyanis a fel\'{\i}rt sz\'am akkor
lesz kisebb, mint $x$, $0\le x\le 1$, ha a ledobott pont vagy a
$[0,1]$ vagy az $1,2]$ intervallumba esik, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac x2+\frac12$. Tov\'abb\'a $H(x)=0$,
ha $x\le0$, \'es $H(x)=1$, ha $x>1$.
 
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} Ledobunk egy pontot v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'assal a
$[0,1]$ intervallumba, azaz annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
pont egy $[a,b]\subset[0,1]$ intervallumba esik $b-a$. Hat\'arozzuk
meg a ledobott pont n\'egyzet\'enek az eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
Az el\H{o}z\H{o} p\'eld\'akban l\'attunk n\'eh\'any p\'eld\'at arra,
hogy hogyan n\'ezhet ki egy el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny. Most
kimondok egy t\'etelt, amely megadja, hogy milyen alak\'u lehet egy
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'eny az \'altal\'anos esetben.
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.
\medskip
Ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}bb megfogalmazott a)---d) tulajdons\'agokat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}
\medskip
Megt\'argyaljuk r\"oviden egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek a definici\'oj\'at, de sz\'amunkra
els\H{o}sorban nem ez lesz az \'erdekes, hanem az, hogy hogyan lehet
kisz\'am\'{\i}tani egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et annak eloszl\'asf\"uggv\'enye illetve a
k\'es\H{o}bb ismertetend\H{o} s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. (Egy\'ebk\'ent nem minden
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-nak van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.)
 
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}
\medskip\noindent
A k\"ovetkez\H{o} {\it Fontos T\'etel}-nek nevezett eredm\'eny
lehet\H{o}v\'e teszi egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'enek kisz\'am\'{\i}t\'as\'at csak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek
az ismeret\'eben. \medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb megfogalmazott eredm\'enyekben
szerepelt az $\int_{-\infty}^\infty|x| F(\,dx)<\infty$, illetve
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$ felt\'etel. E
felt\'etelek term\'eszetes megfelel\H{o}i annak a diszkr\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok eset\'eben szerep;\H{o}
felt\'etelnek,  hogy egy diszkr\'et va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et defini\'al\'o \"osszeg legyen
abszolut konvergens. \medskip
 
Legyen $\xi$ diszkr\'et \'ert\'ek\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, amely valamely $x_1,x_2,\dots$, val\'os \'ert\'ekeket
vesznek fel. Ekkor
$$
\align
E\xi&=\sum_i x_i P(\xi=x_i)\\
Eg(\xi)&=\sum_i g(x_i) P(\xi=x_i),
\endalign
$$
felt\'eve, hogy a jobboldalon szerepl\H{o} \"osszegek abszolut
konvergensek.
 
Gyakorlati szempontb\'ol, annak \'erdek\'eben, hogy a leggyakrabban
el\H{o}fordul\'o esetekben jobban tudjunk sz\'amolni, \'erdemes
bevezetni egy eloszl\'asf\"uggv\'eny
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'e\-nek a definici\'oj\'at.
Ez lehet\H{o}v\'e teszi, hogy a probl\'em\'akban felmer\"ul\H{o} \'es
sokszor k\'e\-nyel\-met\-le\-n\"ul kezelhet\H{o} Lebesgue
integr\'alokat \'at\'{\i}rjuk mint (k\"oz\"ons\'eges) Riemann
integr\'alokat. \medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az $$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
 
Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk, hogyan tudjuk egy
eloszl\'asf\"uggv\'eny s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et
kisz\'am\'{\i}tani, id\'ezz\"uk fel a klasszikus anal\'{\i}zis egyik
alapvet\H{o} eredm\'eny\'et, a Newton--Leibniz formul\'at.
\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, amely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden pontban, ahol az
$F(\cdot)$ differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$
minden $a\le x\le b$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel
teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.
 
Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\frac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$
v\'alaszt\'assal is.}
\medskip\noindent
 
Az eloszl\'asf\"uggv\'enyekhez hasonl\'oan pontosan jellemezni
lehet a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye\-ket. Ezt a
jellemz\'est adja meg az al\'abbi t\'etel. \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}
\medskip
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du
$$
}\medskip
 
Defini\'aljuk \'altal\'anos (nem felt\'etlen\"ul diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et, vagy
azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$
\medskip\noindent
{\bf N\'eh\'any fontos folytonos eloszl\'as.} \medskip\noindent
\item{a.)} {\it Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny.}
\medskip
Bevezetj\"uk a standard norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny
definici\'oj\'at. K\'es\H{o}bbi ered\-m\'e\-nyek\-b\H{o}l fog
kider\"ulni, hogy ez az eloszl\'as mi\'ert j\'atszik fontos
szerepet a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as\-ban.
\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$,
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip\noindent
{\bf Norm\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja:} {\it Legyen
$\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o. Ekkor az
$\eta=\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, (illetve egy vele azonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o) norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $m$ \'es $\sigma^2$
pa\-ra\-m\'e\-ter\-rel. (K\'es\H{o}bb meg fogjuk t\'argyalni, hogy
$m$ az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke \'es $\sigma^2$ a sz\'or\'asn\'egyzete.)}
\medskip
\item{4.)} Egy $m$ \'es $\sigma^2$ param\'eter\H{u} $\eta$ norm\'alis
eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{{-(u-m)^2/2\sigma^2}}$,
$-\infty<u<\infty$
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $\eta=\sigma\xi+m$, ahol $\xi$
standard norm\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o. Jel\"olje $\Phi(x)$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $\eta$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye
$G(x)=P(\sigma\xi+m,x)=P\(\xi<\frac{x-m}\sigma\)
=\Phi\(\frac{x-m}\sigma\)$, s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye
pedig $g(x)=\frac d{dx} G(x)=\frac1\sigma
\left.\frac{d\Phi(u)}{du}\right|_{u=\frac{x-m}\sigma}
=\frac1{\sqrt{2\pi}\sigma}e^{{-(u-m)^2/2\sigma^2}}$.
 
\medskip\noindent
{\bf Egyenletes eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egyenletes
eloszl\'as\'u egy $[a,b]$ intervallumban, $-\infty<a<b<\infty$,
ha s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(u)=\frac1{b-a}$, ha $a\le
u\le b$, \'es $f(u)=0$ egy\'ebk\'ent.} \medskip
\item{5.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy az $[a,b]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\int_a^b u\frac1{b-a}\,du=\frac1{b-a}\[\frac{u^2}2\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{2(b-a)} =\frac{b-a}2,
$$
$$
\align
\Var\xi&=E\(\xi-\frac{b-a}2\)^2
=\int_a^b  \(u-\frac{b-a}2\)^2\,du
=\int_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}u^2\,du\\
&=\frac1{b-a}\[\frac{u^3}3\]_{-\frac{b-a}2}^{\frac{b-a}2}=
\frac2{3(b-a)}\(\frac{b-a}2\)^3=\frac{(b-a)^2}{12}.
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\bf Exponenci\'alis eloszl\'asf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it
Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o exponenci\'alis
eloszl\'as\'u $\lambda$ param\'eterrel, $\lambda>0$, ha
eloszl\'asf\"uggv\'enye, $F(x)=P(\xi<x)=1-e^{-\lambda x}$, ha
$x\ge0$, \'es $F(x)=P(\xi<x)=0$, ha $x<0$. Ezzel ekvivalens
jellemz\'es: Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
exponenci\'alis eloszl\'as\'u $\lambda>0$
param\'eterrel, ha l\'etezik $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az $f(u)=\lambda e^{-\lambda u}$,
ha $u\ge 0$, $f(u)=0$, ha $u\le0$ alak\'u.}
\medskip
\item{6.)} Sz\'amoljuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u} $\xi$
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'ar\-ha\-t\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk,
hogy
$$
E\xi=\int_0^\infty u\lambda e^{-\lambda u}\,du=
\frac1\lambda\int_0^\infty u e^{-u}\,du=
\frac1\lambda\(\[-u e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty e^{-u}\,du\)
=\frac1\lambda,
$$
$$
E\xi^2=\int_0^\infty u^2\lambda e^{-\lambda
u}\,du=\frac1{\lambda^2}\(\[u^2
e^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty 2u e^{-u}\,du\)=\frac2{\lambda^2}.
$$
Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac2{\lambda^2}
-\frac1{\lambda^2}=\frac1{\lambda^2}$.
\medskip
\item{7.)} Mutassuk meg, hogy egy exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o teljes\'{\i}ti a
k\"ovetkez\H{o} \'ugynevezett \"or\"okifj\'u tulajdons\'agot:
$$
P(\xi>x+y|\xi>y)=P(\xi>x)
$$
minden $x\ge0$ \'es $y\ge0$ sz\'amra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mivel $P(\xi>u)=e^{-\lambda u}$ minden
$u\ge 0$ sz\'amra, ez\'ert
$P(\xi>x+y|\xi>y)=\frac{e^{-\lambda(x+y)}}{e^{-\lambda y}}
=e^{-\lambda x}=P(\xi>x)$.
\item{8.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\frac{x-b}a\)=1-F\(\frac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac1{|a|}f\(\frac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'onak
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi^3$
\'es $\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
 
\bye
 
\medskip
\item{10.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{|\sigma|}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
\item{8.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. M\'asr\'eszt
parci\'alis integr\'al\'assal $f(x)=x^{2k-1}$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$  kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=
\int_{-\infty}^\infty (2k-1) x^{2k-2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=(2k-1)E\xi^{2k-2}.
\endalign
$$
Innen $k$ szerinti indukci\'oval kapjuk a feladat m\'asodik
\'all\'{\i}t\'as\'at.
 
 
 
 
 
\bye
 
 
\medskip
\item{3.)}  Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $a\xi+b$, $a>0$, \'es $\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=\int_{-\infty}^\infty
f(u)\,du$ $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor $\eta=a\xi+b$ $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$G(x)=P(a\xi+b<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig ennek deriv\'altja, $\frac
d{dx}G(x)=\frac d{dx}F\(\frac{x-b}a\)=\frac1a f\(\frac{x-a}b\)$. A
$\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $H(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enye $H(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt
x)=P(\xi<\sqrt x)-P(\xi\le-\sqrt x)$, ha $x\ge0$, \'es
$H(x)=P(\xi^2<x)=0$, ha $x<0$. A $\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig a $H(x)$
f\"uggv\'eny deriv\'altja, $h(x)=0$, ha $x<0$, $h(x)=\frac1{2\sqrt
x}\(f(\sqrt x)+f(-\sqrt x)\)$.
 
 
 
\item{7.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\frac1{|\sigma|}\varphi\(\frac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
 
