\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 30.-i gyakorlat t\'em\'aja}
 
\medskip\noindent
Az el\H{o}ad\'ason szerepelt annak az \'all\'{\i}t\'asnak a
bizony\'{\i}t\'asa, hogy a standard norm\'alis eloszl\'as
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enynek nevezett
$\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, teh\'at
$$
\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1.
$$
L\'assuk be (e t\'eny felhaszn\'al\'as\'aval),
 \item{1.)} Egy standard norm\'alis eloszl\'as\'u $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, azaz egy
$\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'ennyel
rendelkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'eke nulla \'es sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zete 1.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az  $x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ integrandus p\'aratlan
f\"uggv\'eny. Ez\'ert $\Var\xi=E\xi^2$, \'es
par\-ci\-\'a\-lis integr\'al\'assal $f(x)=x$ \'es $g(x)=
x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}= \frac d{dx}\(-
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'a\-lasz\-t\'as\-sal kapjuk, hogy
$$
\align
E\xi^{2}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2}
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x\frac d{dx}\(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\[-x\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=1.
\endalign
$$
\item{2.)} Legyen $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o negyedik momentum\'at.
Legyen $\bar\xi$ egy v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es kett\H{o}
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o. Sz\'amoljuk ki $\bar\xi$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et \'es negyedik momentum\'at.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
E\xi^{4}&=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x^3\frac d{dx}\(\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\)\,dx\\
&=\[-x^3\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty 3x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\\
&=3\int_{-\infty}^\infty x^2\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=3.
\endalign
$$
\item{} A $\tilde\xi=\frac{\bar\xi-1}{\sqrt2}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
standard norm\'alis eloszl\'as\'u, \'es $\bar\xi=\sqrt2(\tilde\xi+1)$,
ahol $\tilde\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u, ha $\bar\xi$
norm\'alis eloszl\'as\'u 1 v\'arhat\'o \'ert\'ek\H{u} \'es $2$
sz\'or\'asn\'egyzet\H{u} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
Ez\'ert, mint azt az el\H{o}z\H{o} \'or\'an megt\'argyaltuk $\bar\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$\frac1{\sqrt2}\varphi\(\frac{x-1}{\sqrt2}\)=
\frac1{\sqrt2}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-(x-1)^2/4}$. Ez\'ert
$$
E\bar\xi^4=\int_{-\infty}^\infty x^4
\frac1{2\sqrt\pi}e^{-(x-1)^2/4}\,dx,
$$
ahonnan $u=\frac{x-1}{\sqrt 2}$ helyettes\'{\i}t\'essel
$$
\align
E\bar\xi^4&=\int_{-\infty}^\infty (\sqrt 2u+1)^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du=
4\int_{-\infty}^\infty u^4
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +8\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u^3
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+12\int_{-\infty}^\infty u^2
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du \\
&\qquad +4\sqrt2\int_{-\infty}^\infty u
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du
+\int_{-\infty}^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/4}\,du\\
&=12+0+12+0+1=25
\endalign
$$
Val\'oj\'aban az $E\bar\xi^4$ negyedik momentumot egyszer\H{u}bben
is kisz\'amolhattuk volna. $E\bar\xi^4=E(\sqrt2\tilde\xi+1)^4=
4E\tilde\xi^4+8\sqrt2E\tilde\xi^3+12E\tilde\xi^2+4\sqrt2\tilde\xi+1=
4\cdot3+0+12\cdot1+1=25$.
\item{3.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
\'es $\eta_j$ $1\le j\le 3300$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 2,
$\xi_j=4$, ha a $j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a
$j$-ik kockadob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik kockadob\'as
eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Legyen $\eta_j=1$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
eredm\'enye fej, \'es $\eta_j=0$, ha a $j$-ik \'ermedob\'as
\'{\i}r\'as. Legyen $\zeta_j=\xi_j\eta_j$. Ekkor a $j$-ik dob\'asn\'al
a nyerem\'eny\"unk $\zeta_j$ lesz, $1\le j\le 3300$,  \'es a
$P\(3190\le \summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell j\'ol megbecs\"uln\"unk. Ennek
\'erdek\'eben sz\'amoljuk ki a f\"uggetlen $\zeta_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
$E\zeta_j=E\xi_j\eta_j=E\xi_jE\eta_j=\frac16(2+4+6)\frac12=1$,
$E\zeta_j^2=E\xi_j^2E\eta_j^2=\frac16(4+16+36)\cdot\frac12
=\frac{14}3$, $\Var\zeta_j^2=E\zeta_j^2-(E\zeta_j)^2=\frac{11}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P\(3190\le\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j\le3520\)&=
P\(\frac{-110}{\sqrt{3300\frac{11}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{3300}\zeta_j-\summ_{j=1}^{3300}E\zeta_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{3300}\Var\xi_j}}
\le\frac{220}{\sqrt{3300\frac{11}3}}\) \\
&\sim\Phi(2)-\Phi(-1)=0.9772+0.8413-1=0.9285.
\endalign
$$
\item{4.)} Egy p\'enzdarabr\'ol ellen\H{o}rizni akarjuk, hogy igaz-e
az a hipot\'ezis, amely szerint ez az \'erme legal\'abb $\frac34$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej \'es legfeljebb $\frac14$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldal\'ara. Ennek
\'erdek\'eben feldobjuk a p\'enzdarabot 30~000 alkalommal, \'es a
k\"ovetkez\H{o} d\"ont\'esi szab\'alyt hozzuk. V\'alasztunk egy $k$
sz\'amot, \'es akkor fogadjuk el a hipot\'ezist helyesnek, ha
legal\'abb $k$ fejdob\'as t\"ort\'ent. Legal\'abb mekkor\'anak kell
v\'alassztanunk ezt a $k$ sz\'amot, ha azt akarjuk, hogy egy a
hipot\'ezist teljes\'{\i}t\H{o} p\'enzdarab eset\'en legal\'abb 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel d\"onts\"unk \'ugy, hogy a hipot\'ezis
teljes\"ul?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye
\'{\i}r\'as, $1\le j\le30\,000$,
$S=S_{30000}=\summ_{j=1}^{30\,000}\xi_j$. Ha a fejdob\'as
eredm\'eny\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pontosan
$\frac34$, $E\xi_j=\frac34$, $E\xi_j^2=\frac34$,
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-\(E\xi_j\)^2=\frac3{16}$,
$ES=30\,000E\xi_j=22\,500$, $\Var S=30\,000\Var\xi_j=5625=75^2$.
Innen \'es a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelb\H{o}l,
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(S>k)&=P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}>\frac{k-22\,500}{75}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{k-22\,500}{75}\)\\
&\sim 1-\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\).
\endalign
$$
V\'alasszuk a $k$ sz\'amot \'ugy, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"or\"ulbel\"ul 0.9 legyen. Ekkor a
$\Phi\(\frac{k-22\,500}{75}\)=0.1$ vagy ami ezzel ekvivalens,
a $\Phi\(\frac{22\,500-k}{75}\)=0.9$ egyenletet kell
kiel\'eg\'{\i}ten\"unk. A norm\'alis eloszl\'as-t\'abl\'azat alapj\'an
$\frac{22\,500-k}{75}\sim1.28$, ami azt jelenti, hogy
$k=22\,500-75\times 1.28$ \'es $p=\frac34$ eset\'en annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a fejdob\'asok sz\'ama nagyobb mint
$k=22\,500-75\times 1.28=22\,212$ \'es $p=\frac34$ eset\'eben annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb ennyi fejdob\'as
t\"ort\'enik k\"or\"ulbel\"ul 0.9. Ha $p\ge\frac34$, akkor ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nagyobb. Ez\'ert a $k=22\,212$ helyes
v\'alaszt\'as.
\item{5.)} Ledobunk egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 24~000 pontot a
$[0,2]$ intervallumra egyenletes eloszl\'assal, (azaz annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy ledobott pont \'ert\'eke
$x$-n\'el kisebb $\frac x2$-vel egyenl\H{o}, ha $0\le x\le 2$, eggyel
egyenl\H{o}, ha $x\ge2$, \'es nulla, ha $x\le0$.) \H{O}rizz\"uk meg
azokat a ledobott pontokat, melyek \'ert\'eke 1-n\'el kisebb, \'es
hagyjuk el azokat, melyek \'ert\'eke, nagyobb mint egy. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a meg\H{o}rz\"ott pontok
\'ert\'ekeinek az \"osszege 5900 \'es 6075 k\"oz\'e esik? Adjunk
erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o}
becsl\'est a mell\'ekelt norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 24~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=x$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke $x$, \'es $0\le x\le
1$, \'es $\xi_j=0$, ha a $j$-ik ledobott pont \'ert\'eke az $(1,2]$
intervallumba esik. Ekkor a meg\H{o}rz\"ott pontok \"osszege
$S=\summ_{j=1}^{24~000}\xi_j$, tov\'abb\'a a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek \'es egyforma
eloszl\'as\'uak.  Ez\'ert a centr\'alis hat\'arelosz\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel j\'o becsl\'est tudunk adni a minket
\'erdekl\H{o} $P(5900<S<6075)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre. Ennek
\'erdek\'eben ki kell sz\'amolnunk  a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} A $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'enek a kisz\'amol\'asa
\'erdek\'eben vezess\"uk be az $\eta_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyik megegyezik az els\H{o} ledobott pont
\'ert\'ek\'evel, \'es a k\"ovetkez\H{o} $h(x)$ f\"uggv\'enyt a $[0,2]$
intervallumon: Le\-gyen $h(x)=x$, ha $0\le x\le1$, \'es $h(x)=0$, ha
$1\le x\le2$. Ekkor $\xi_1=h(\eta_1)$, \'es $\eta_1$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$0\le x\le2$, $f(x)=0$, ha $x<0$, \'es $x>2$. Innen
$E\xi_1=Eh(\xi_1)=\int h(x)\,dx=\int_0^1x\frac12\,dx=\frac14$,
$E\xi_1^2=Eh(\eta_1)^2=\int_0^1 x^2\frac12\,dx=\frac16$, \'es
$\Var\xi_1=E\xi_1^2-(E\xi_1)^2=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
Ez\'ert $ES=6000$, $\Var S=2500$. Innen
$$
\align
P(5900<S<6075)&=P\(-2< \frac {S-ES}{\sqrt{\Var S}}<1.5\)\\
&\sim\Phi(1.5)-\Phi(-2)=\Phi(1.5)+\Phi(2)-1.
\endalign
$$
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Egy m\'as m\'odon is
kisz\'am\'{\i}thatjuk a $\xi_1$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et. Ennek \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy ugyan a $\xi_1$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak nincs
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es nem disz\-kr\'et eloszl\'as\'u,
viszont annak $F$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye fel\'{\i}rhat\'o
$F(x)=F_1(x)+F_2(x)$ alakban, ahol $F_1(x)$-nek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es ez az $f(x)=\frac12$
f\"uggv\'eny a $[0,1]$ intervallumon, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy
$x>1$, \'es $F_2(x)$ olyan m\'ert\'eket hat\'aroz meg, amely a
null\'aba van koncentr\'alva, \'es a nulla m\'ert\'eke $\frac12$.
Pontosabban, tetsz\H{o}leges $A$ halmaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(A)=\int_A F(\,dx)=\int_A F_1(\,dx)+\int_A F_2(\,dx)=
\int_A \frac12\,dx+\int_A F_2(\,dx)$, ahol
$\int_A F_2(\,dx)=\frac12$, ha $0\in A$, \'es
$\int_A F_2(\,dx)=0$, ha $0\notin A$. Ekkor tetsz\H{o}leges $h(x)$
f\"uggv\'enyre $Eh(\xi)=\int h(x) F(\,dx)=\int h(x) F_1(\,dx)+\int h(x)
F_2(\,dx)=\int _0^1 \frac12 h(x)\,dx+\frac12 h(0)$. Ez\'ert
$$
E\xi_1=\frac12\int_0^1 x\,dx=\frac14, \qquad
E\xi_1^2=\frac12\int_0^1 x^2\,dx=\frac16,
$$
$\Var \xi_1=\frac16-\frac1{16}=\frac5{48}$.
\item{6.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumon,
azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac12$, ha
$-1\le x\le 1$, \'es $f(x)=0$, ha $x>1$ vagy $x<-1$.
Sz\'amoljuk ki a $\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\Var\xi^4=E(\xi^4)^2-(E\xi^4)^2=E\xi^8-(E\xi^4)^2=\int_{-1}^1\frac12
x^8\,dx-\(\int \frac12
x^4\,dx\)^2=\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as.} Sz\'amoljuk ki $\xi^4$ $F(x)$
eloszl\'as \'es $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$$
F(x)=P(\xi^4<x)=P(-x^{1/4}<\xi<x^{1/4})=x^{1/4},\qquad \text{ha }0\le
x\le1
$$
$F(x)=0$, ha $x\le0$ \'es $F(x)=1$, ha $x\ge1$. Innen $f(x)=\frac14
x^{-3/4}$, ha $0\le x\le1$, $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Ez\'ert $E\xi =\int
xf(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{1/4}\,dx=\frac14\cdot\frac 45=\frac15$,
$E\xi^2=\int x^2f(x)\,dx=\int_0^1\frac14x^{5/4}\,dx=\frac14\cdot
\frac49=\frac19$, $\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=
\frac19-\(\frac15\)^2=\frac{16}{225}$.
\item{7.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=e^{-|x|}$, ha $|x|\ge1$, \'es
$f(x)=\frac12-\frac1e$, ha $|x|\le1$. Mutassuk meg, hogy $f(x)$
val\'oban s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny, \'es sz\'amoljuk ki a
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak bel\'at\'as\'ahoz, hogy $f(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
egyr\'eszt $f(x)\ge0$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, m\'asr\'eszt
$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx=1$. Az els\H{o} \'all\'{\i}t\'as
ny\'{\i}lv\'anval\'o. A m\'asodik \'all\'{\i}t\'as is igaz, mivel
$\int_{-\infty}^\infty
f(x)\,dx=\int_{-\infty}^{-1}e^x\,dx+\int_{-1}^1\(\frac12-\frac1e\)\,dx
+\int^{\infty}_{1}e^{-x}\,dx=\frac1e+2\(\frac12-\frac1e\)+\frac1e=1$.
\item{} Mivel $f(x)$ p\'aros f\"uggv\'eny, ez\'ert
$E\xi=\int_{-\infty}^\infty xf(x)\,dx=0$, \'es
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty
x^2 f(x)\,dx $. Ez\'ert
$$
\align
Var\xi=& \int_{-\infty}^{-1}x^2e^x\,dx
+\int_{-1}^1\(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx+\int^{\infty}_{1}x^2e^{-x}\,dx\\
&=2\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx+2\int_0^1 \(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx.
\endalign
$$
Mivel parci\'alis integr\'al\'assal kapjuk, hogy
$$
\align
2\int_1^\infty x^2e^{-x}\,dx&=\[-2x^2e^{-x}\]_1^\infty+\int_1^\infty
4xe^{-x}\,dx\\
&=\frac2e-\[4xe^{-x}\]_1^\infty+4\int_1^\infty e^{-x}\,dx
=\frac2e+\frac4e+\frac1e=\frac7e,
\endalign
$$
\'es
$$
2\int_0^1 \(\frac12-\frac1e\)x^2\,dx
=\frac13\(1-\frac2e\)\[x^3\]_0^1=\(\frac13-\frac2{3e}\),
$$
ez\'ert $\Var\xi=\frac13+\frac{19}{3e}$.
 
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\medskip
 
\item{} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumra 24~000 pontot egyenletes
eloszl\'assal, azaz egy ledobott pont egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $[0,3]$ intervalumba esik, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a ledobott pont egy $[a,b]\subset[0,3]$ intervallumba esik
$\frac{b-a}3$. Ha egy pont a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
fel\'{\i}rjuk a ledobott pont hely\'enek pontos \'ert\'ek\'et egy
jegy\-z\H{o}\-k\"onyv\-be, ha a pont az $(1,2]$ intervalumba esik, akkor
az 1 sz\'amot, ha pedig a $(2,3]$ intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot
\'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt
24~000 sz\'am \"osszege 27~900 \'es 28~150 k\"oz\'e esik.
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 
 
 
 
 
 
 
