\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\smallskip\centerline {(\it A programoz\'o matematikus
gyakorlaton)}
\medskip
\item{1.)} Legyen egy urn\'aban 10 piros \'es 40 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki az urn\'ab\'ol 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi
a kih\'uzottt piros goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{2.)} Legyen $\xi$ exponenci\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$ param\'eterrel,
azaz legyen $\xi$ eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=1-e^{-\lambda x}$,
ha $x\ge0$, $F(x)=0$, ha $x<0$.  Sz\'amoljuk ki
$\xi^3$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{3.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[0,1]$ intervallumban, azaz
legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eye $f(x)=1$, ha $0\le x\le1$,
$f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$.
Sz\'a\-m\'{\i}t\-suk ki  a $\xi^5$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{4.)} Legyen a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\dfrac1{2\pi}\(1+\dfrac12\sin
x\)$, ha $0\le x\le 2\pi$, $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2\pi$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki  a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.)} Ledobunk a $[0,3]$ intervallumra 24~000 pontot egyenletes
eloszl\'assal, azaz egy ledobott pont egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
a $[0,3]$ intervalumba esik, \'es annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a ledobott pont egy $[a,b]\subset[0,3]$ intervallumba esik
$\frac{b-a}3$. Ha egy pont a $[0,1]$ intervallumba esik, akkor
fel\'{\i}rjuk a ledobott pont hely\'enek pontos \'ert\'ek\'et egy
jegy\-z\H{o}\-k\"onyv\-be, ha a pont az $(1,2]$ intervalumba esik, akkor
az 1 sz\'amot, ha pedig a $(2,3]$ intervallumba esik, akkor a 2 sz\'amot
\'{\i}rjuk a jegyz\H{o}k\"onyvbe. Adjunk becsl\'est a mell\'ekelt
norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt
24~000 sz\'am \"osszege 27~900 \'es 28~150 k\"oz\'e esik.
\item{6.)} Legyen adva $n$ darab $\xi_1,\dots,\xi_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor mondjuk, hogy ezek a
$\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"ug\-get\-le\-nek egym\'ast\'ol?
\medskip
\centerline{MEGOLD\'ASOK}
\item{1.)}Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$, $1\le j\le10$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$, ha a $j$-ik
h\'uz\'as piros $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ekkor minket
az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete
\'erdekel. Jegyezz\"uk meg, hogy $E\xi_j=E\xi_1=\frac15$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\frac15-\(\frac15\)^2=\frac4{25}$ minden $1\le
j\le10$ indexre, \'es $\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=
E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\frac15\cdot\frac9{49}-\(\frac15\)^2
=-\frac4{1225}$ minden $1\le j,k\le10$, $j\neq k$ indexre. Innen
$ES=\summ_{j=1}^{10}E\xi_j=2$, \'es $\Var S=
\summ_{j=1}^{10}\Var\xi_j+2\summ_{j=1}^9\summ_{k=j+1}^{10
}\Cov(\xi_j,\xi_k)=10\cdot
\frac4{25}-90\cdot\frac4{1225}=\frac{64}{49}$.
\item{2.)} Jel\"olje $G(x)$ a $\xi^3$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'as \'es $g(x)$ $\xi^3$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ekkor $G(x)=P(\xi^3<x)
=P(\xi<x^{1/3})=F(x^{1/3})$, ahol $F(x)=1-e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$,
$F(x)=0$, ha $x<0$. Ez\'ert $G(x)=0$, ha $x<0$, $G(x)=1-e^{-\lambda
x^{1/3}}$. Mivel $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}$, ez\'ert $g(x)=0$, ha $x<0$,
$g(x)=\frac13\lambda x^{-2/3}e^{-\lambda x^{1/3}}$, ha $x\ge0$.
\item{3.)} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/ $E\xi^5=\int_0^1
x^5\,dx=\[\frac{x^6}6\]_0^1=\frac16$, \'es $\Var
\xi^5=E(\xi^5)^2-(E\xi^5)^2=E\xi^{10}-\(\frac16\)^2$,
$E\xi^{10}=\int_0^1x^{10}\,dx=\[\frac{x^{11}}{11}\]_0^1=\frac1{11}$,
ahonnan $\Var\xi^5=\frac1{11}-\frac1{36}=\frac{25 }{396}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or az
$\eta=\xi^5$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
$G(x)=P(\eta<x)=P(\xi<x^{1/5})$, $G(x)=x^{1/5}$, ha $0\le x\le1$, \'es
$G(x)=0$, ha $x<0$, $G(x)=1$, ha $x>1$. Innen $g(x)=\frac{dG(x)}{dx}$,
$g(x)=\frac15x^{-4/5}$, ha $0\le x\le 1$, $g(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$.
Ez\'ert $E\xi^5=E\eta=\int_0^1 x\cdot
\frac15x^{-4/5}\,dx=\frac15\[\frac56x^{6/5}\]_0^1=\frac16$,
$\Var\xi^5=\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2=\int_0^1
x^2\cdot\frac15x^{-4/5}\,dx-\(\frac16\)^2
=\frac15\[\frac5{11}x^{11/5}\]_0^1=\frac1{11}-\frac1{36}=\frac{25}{396}$.
\item{4.)} Tudjuk, hogy
$$
E\xi=\int_0^{2\pi} x\dfrac1{2\pi}\(1+\dfrac12\sin x\)
=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} x\,dx+\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx,
$$
$\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$, \'es
$$
E\xi^2=\int_0^{2\pi} x^2\dfrac1{2\pi}\(1+\dfrac12\sin x\)
=\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} x^2\,dx+\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x^2\sin
x\,dx.
$$
Tov\'abb\'a $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi} x\,dx=
\frac1{2\pi}\frac{(2\pi)^2}2=\pi$, \'es $\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}
x^2\,dx= \frac1{2\pi}\frac{(2\pi)^3}3=\frac43\pi^2$,\. Parci\'alis
integr\'al\'assal ($x\sin x=-x\frac d{dx}\cos x$ szereposzt\'assal)
kapjuk, hogy
$$
\align
\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x\sin x\,dx&=
\frac1{4\pi}\[-x\cos x\]_0^{2\pi}+
\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} \cos x\,dx\\
&=\frac1{4\pi}\(-2\pi+\[\sin x\]_0^{2\pi}\)=-\frac12.
\endalign
$$
Hasonl\'oan, k\'etszeres parci\'alis integr\'al\'as adja, hogy
$$
\align
&\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} x^2\sin x\,dx=
\frac1{4\pi}\[-x^2\cos x\]_0^{2\pi}+
\frac1{4\pi}\int_0^{2\pi} 2x\cos x\,dx\\
&\qquad=-\pi+\frac1{4\pi}\[2x\sin x\]_0^{2\pi}
-\frac1{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin x\,dx=-\pi+\frac1{4\pi}\[2x\sin
x\]_0^{2\pi}=-\pi.
\endalign
$$
Innen $E\xi=\pi-\frac12$, $E\xi^2=\frac43\pi^2-\pi$, $\Var\xi=
\frac43\pi^2-\pi-(\pi-\frac12)^2=\frac{\pi^2}3-\frac14$.
\item{5.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\eta_j$ \'es $\eta_j$,
$1\le j\le 90~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat. Legyen
$\xi_j$ a $j$-ik ledobott pont hely\'enek az \'ert\'eke. Vezess\"uk be
a k\"ovetkez\H{o} $h(x)$ f\"uggv\'enyt: $h(x)=x$, ha $0\le x\le 1$,
$h(x)=1$, ha $1<x\le 2$, $h(x)=2$, ha $2<x\le3$, \'es legyen
$\xi_j=h(\eta_j)$. Ekkor $\eta_j$ egyenletes eloszl\'as\'u a $[0,3]$
intervallumban, \'es $\xi_j=h(\eta_j)$ a $j$-ik fel\'{\i}rt pont
\'ert\'eke. Ez\'ert minket a $P(104~500\le S\le 105~250)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel, ahol
$S=\summ_{j=1}^{90~000}\xi_j$. Tov\'abb\'a $E\xi_j=\int_0^3
\frac13h(x)\,dx=\int_0^1\frac13x\,dx+\int_1^2\frac13
\,dx+\int_2^3\frac13\cdot2\,dx=\frac13(\frac12+1+2)=\frac76$,
$E\xi_j^2=\int_0^3 \frac13h^2(x)\,dx=\frac13\int_0^1x^2\,dx
+\int_1^2\frac13 \,dx+\int_2^3\frac13\cdot4\,dx=\frac13(\frac13+1+4)
=\frac{16}9$, \'es $\Var\xi_j=Ex_j^2-(E\xi_j)^2
=\frac{16}9-\frac{49}{36}=\frac5{12}$. Ez\'ert
$ES=\frac76\cdot90~000=105~000$, $\Var
S=\frac5{12}90~000=(150)^2\cdot\frac53$
$$
\align
&P(104~500\le S\le 105~250)=P\(-\frac{500}{150}\sqrt{\frac35}
\le\frac{S-ES}{\sqrt{\Var S}}\le \frac{250}{150}\sqrt{\frac35}\) \\
&\qquad \sim\Phi\(\frac{\sqrt{15}}3\)-\Phi\(-\frac{2\sqrt{15}}3\)
=\Phi\(\frac{\sqrt{15}}3\)+\Phi\(\frac{2\sqrt{15}}3\)-1
\endalign
$$
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an.
 
\item{6.)}
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlens\'eg\'enek
a definici\'oja.} {\it Legyenek $\xi_1,\,\dots,\xi_n$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Azt mondjuk, hogy ezek
a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
ha minden $x_1,\dots,x_n$ val\'os sz\'amra
$$
P(\xi_1<x_1,\dots,\xi_n<x_n)=P(\xi_1<x_1)\cdots P(\xi_n<x_n).
$$
}\medskip
\item{}
Elfogadtam a k\"ovetkez\H{o} v\'alaszt is, mert a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as bizonyos ered\-m\'e\-nyei
szerint ez ekvivalens az eredeti definici\'oval.
\medskip
\item{} {\it A $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok akkor f\"uggetlenek, ha a sz\'amegyenes minden
$B_1,\dots,B_n$ Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara teljes\"ul a
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_n\in B_n)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_n\in B_n)
$$
azonoss\'ag.}
 
 
 
\bye
 
 
 
