\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\centerline{\bf A m\'arcius 9.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.)} Bizony\'{\i}tsuk be a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot,
amelyet teleszk\'op szab\'alynak is szoktak nevezni: Ha adva vannak
$A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyekre $P(A_1\cap\cdots\cap A_k)>0$, akkor
$$
P(A_1\cap\cdots\cap A_k)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
&P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})\\
&\qquad=P(A_1)\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
\frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}\cdots \frac{P(A_1\cap
A_2\cdots\cap A_{k-1}\cap A_k)}{P(A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})}\\
&\qquad =P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_k).
\endalign
$$
\item{2.)} K\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} f\'ar\'ol leszednek 100
alm\'at, \'es beteszik k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o}
(meg\-k\"u\-l\"on\-b\"oz\-tet\-he\-tet\-len) l\'ad\'aba. Ez egyik
f\'ar\'ol szedett alm\'ak (egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) $\dfrac14$
a m\'asik f\'ar\'ol szedett alm\'ak pedig (szint\'en egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul) $\dfrac1{10}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
f\'ergesek. Kivesz\"unk az egyik (v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott)
l\'ad\'ab\'ol k\'et alm\'at \'es mind a kett\H{o} f\'erges. Ezek
ut\'an kivesz\"unk a m\'asik l\'ad\'ab\'ol egy alm\'at. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ez az alma m\'ar nem f\'erges?
\item{} {\it Megold\'as:} \'Erts\"uk meg el\H{o}sz\"or pontosabban a
feladatot. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy els\H{o} alkalommal a
rosszabb f\'ar\'ol leszedett alm\'akat tartalmaz\'o l\'ad\'ahoz
ny\'u\-lunk. Ekkor egyr\'eszt $P(B)=\frac12$. M\'asr\'eszt, ha egym\'as
ut\'an, esetleg v\'altogatva a l\'ad\'akat kivesz\"unk egym\'as ut\'an
a l\'ad\'akb\'ol alm\'akat, defini\'aljuk a $j_1,\dots, j_k$
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tot, ahol mindegyik $j_s=\pm1$, $j_1=1$,
$j_s=1$ azt jelenti, hogy a $s$-ik h\'uz\'as sor\'an az els\H{o}nek
kiv\'alasztott l\'ad\'ab\'ol, $j_s=-1$ pedig azt, hogy a m\'asik
l\'ad\'ab\'ol v\'alasztottunk alm\'at, akkor $A(j_1,\dots,j_n)$-nel
jel\"olve azt az esem\'enyt, hogy minden kiv\'alasztott alma f\'erges,
fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\align
P(A(j_1,\dots,j_n)|B)&=\(\frac14\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{10}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},\\
P(A(j_1,\dots,j_n)|\bar B)&=\(\frac1{10}\)^{u(j_1,\dots,j_n)}
\(\frac1{4}\)^{n-u(j_1,\dots,j_n)},
\endalign
$$
ahol $u(j_1,\dots,j_n)$ jel\"oli a $j_1,\dots,j_n$ sorozatban
szerepl\H{o} $+1$ jelek sz\'am\'at. Hasonl\'oan fel tudjuk \'{\i}rni
annak felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat eset\'en, amelyikben megmondjuk,
hogy mikor melyik l\'ad\'ab\'ol h\'uztunk alm\'at a f\'erges \'es j\'o
almah\'uz\'asoknak el\H{o}\'{\i}rt sorozata jelenik meg, felt\'eve
a $B$ esem\'enyt vagy annak komplementer\'et, a $\bar B$ esem\'enyt.
Jel\"olje $C$
azt az esem\'enyt, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'asban f\'erges alm\'at
h\'uzunk, $D$ pedig azt, hogy a harmadik h\'uz\'asban (a l\'ada
megv\'altoztat\'asa ut\'an) j\'o alm\'at h\'uzunk. Ekkor a
$P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget akarjuk kisz\'amolni. Viszont,
$$
P(C)=P(C|B)P(B)+P(C|\bar B)P(\bar B)
=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2+\(\dfrac1{10}\)^2\)=\dfrac{29}{800},
$$
$$
\align
P(C\cap D)&=P(C\cap D|B)P(B)+P(C\cap D|\bar B)P(\bar B)\\
&=\dfrac12\(\(\dfrac14\)^2\dfrac9{10}+\(\dfrac1{10}\)^2\dfrac34\)
=\frac{51}{1600}.
\endalign
$$
Innen $P(D|C)=\dfrac{P(C\cap D)}{P(D)}=\dfrac{51}{58}$.
\item{3.} Legyenek $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. L\'assuk be, hogy
$\bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ jel\"oli azt az
esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$, esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etellel mindegyik bek\"ovetkezik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az, hogy az $A_n$ esem\'enyek majdnem
mindegyike bek\"ovetkezik, azt jelenti, hogy van olyan $n$ sz\'am,
amelyre igaz, hogy minden $k\ge n$ indexre bek\"ovetkezik az $A_k$
esem\'eny, azaz a $B_n=\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny is
bek\"ovetkezik. Az, hogy a $B_n$ esem\'eny bek\"ovetkezik valamely $n$
sz\'amra azt jelenti, hogy bek\"ovetkezik az $\bigcupp_{n=1}^\infty
B_n= \bigcupp_{n=1}^\infty\bigcapp_{k=n}^\infty A_k$ esem\'eny.
\item{4.} Ha egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
feldobunk egym\'as ut\'an, akkor egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel lesz
legal\'abb 50 fejdob\'as.
\item{} {\it Egy lehets\'eges megold\'as:}\/ Az is igaz egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, hogy a
$$
B_k=\{\text{azon $j$ indexekre,
amelyekre $50k\le j<50(k+1)$ minden dob\'as fej}\}
$$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok fog bek\"ovetkezni. Ugyanis
ezek a $B_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek, $P(B_k)=2^{-50}$, teh\'at
$\summ_{k=1}^\infty P(B_k)=\infty$. Ez\'ert a Borel--Cantelli
lem\-m\'a\-b\'ol k\"ovetkezik a k\'{\i}v\'ant \'all\'{\i}t\'as,
s\H{o}t az is, hogy v\'egtelen sok $B_k$ esem\'eny k\"ovetkezik be
egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Val\'oj\'aban a Borel--Cantelli
lemm\'ara nincs is sz\"uks\'eg. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy egyik $B_k$ esem\'eny sem k\"ovetkezik be
$\limm_{N\to\infty}\(1-2^{-50}\)^N=0$, teh\'at egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel valamelyik $B_k$ esem\'eny
bek\"ovetkezik.
\item{5.} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, majdnem 1 vagy nagyon kicsi majdnem nulla?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\item{6.} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{ relat\'{\i}v
prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
 
\medskip
Az el\"oz\H{o} k\'et feladatban l\'attuk hogyan lehet egyszer\H{u}en
kisz\'am\'{\i}tani a $A_1\cup \cdots\cup A_n$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, ha az $A_j$, $1\le j\le n$, esem\'enyek
f\"uggetlenek. Ezek a sz\'amol\'asok term\'eszetesen kihaszn\'alt\'ak
a tekintett esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'et. A k\"ovetkez\H{o}ben azt
t\'argyaljuk meg, hogy amennyiben nincs felt\'etlen\"ul
f\"uggetlens\'eg a tekintett esem\'enyek k\"oz\"ott, de ki tudjuk
sz\'amolni az $A_{j_1}\cap \cdots\cap A_{j_s}$ alak\'u esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, akkor egy \'ugynevezett szita formula
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ki tudjuk sz\'am\'{\i}tani az $A_1\cup \cdots\cup
A_n$ esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et is. Tov\'abb\'a
megmutatjuk, hogy ez lehet\H{o}v\'e teszi \'erdekes feladatok
megold\'as\'at. A k\"ovetkez\H{o} feladatot fogjuk t\'argyalni:
\medskip
\item{7.} Egy est\'elyen megjelenik $n$ h\'azasp\'ar. Egy
t\'ancmester, aki nem tudja, hogy kik h\'azast\'arsak \'es kik nem
v\'eletlen m\'odon p\'arba rendezi a f\'erfiakat \'es n\H{o}ket
a t\'anc el\H{o}tt. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
egyetlen h\'azasp\'ar sem t\'ancol egy\"utt? Mi ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a hat\'ar\'ert\'eke, ha $n\to\infty$?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Defini\'aljuk a k\"ovetkez\H{o} $A_j$
esem\'enyeket:
$$
A_j=\text{a $j$-ik h\'azasp\'ar eg\"utt t\'ancol,}\quad 1\le j\le n.
$$
Ekkor minket a $P(\overline{A_1\cup\dots\cup A_{n}})=
1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n})$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Vegy\"uk \'eszre, hogy a $P(A_{j_1}\cap \cdots
\cap A_{j_k})=\dfrac{(n-k)!}{n!}$ azonoss\'ag igaz. Ugyanis az
\"osszes lehets\'eges p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama $n!$, m\'{\i}g
az olyan p\'arba\'all\'{\i}t\'asok sz\'ama, amelyben a $j_1$-ik,
$j_2$-ik, \dots, $j_k$-ik h\'azasp\'ar egy p\'arba ker\"ul $(n-k)!$.
 Tov\'abb\'a \'erv\'enyes a k\"ovetkez\H{o} az irodalomban
szita-formul\'anak nevezett eredm\'eny, amely szerepelt az
el\H{o}ad\'ason is.
\medskip\noindent
{\bf Szita formula.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n$ tetsz\H{o}leges
esem\'enyek egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ekkor
$$
P(A_1\cup \cdots\cup A_n)=S_1-S_2+S_3-\cdots +(-1)^{n+1}S_n,
$$
ahol
$$
S_k=\sum_{1\le j_1<\cdots<j_k\le n} P(A_{j_1}\cap \cdots\cap  A_{j_k}).
$$
}\medskip
\item{} A szita-formula seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy $n$
h\'azasp\'ar eset\'eben
$$
S_k=\dbinom nk\dfrac{(n-k)!}{n!}=\dfrac1{k!}.
$$
Innen ad\'odik, hogy a minket \'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$n$ h\'azasp\'ar eset\'en
$$
\align
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})&=1-P(A_1\cup\dots\cup A_{n}) \\
&=1-S_1+S_2+\cdots+(-1)^n S_n=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!},
\endalign
$$
\'es ez\'ert
$$
P(\overline{A_1\cup \dots\cup A_{n}})
=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}\to \frac1e\quad \text{ ha } n\to\infty.
$$
 
\vfill\eject
 
\centerline{\bf Kieg\'esz\'{\i}t\'es}
 
\medskip
\item{1.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a fejdob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\H{o}li a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot.
Ezt az \"osszeget
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban, mivel
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$, ez\'ert
$$
E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50.
$$
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket
egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$. Mivel $E\xi_j=\frac12$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
\medskip
\item{2.)} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a dob\'asok eredm\'enyeinek \"osszeg\'et.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Defini\'aljuk az $\eta_1,\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat \'ugy, hogy $\eta_j$ \'es a
 a $j$-ik dob\'as \'ert\'eke megegyezik. Ekkor
$P(\eta_j=k)=\frac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$, \'es minket a
$\xi=\summ_{j=1}^{100}\eta_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez k\"onnyen kisz\'amolhat\'o, mert
$E\xi=E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$E\eta_j=\frac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$. Innen $E\xi=350$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy szab\'alyos dob\'okock\'at 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a  p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'enyeinek
\"osszeg\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek az \"osszegnek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\medskip
\item{3.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabat 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki annak v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy minket az
$S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\summ_{j=1}^{99}E\xi_j=\dfrac{99}4$,
mivel $E\xi_j=\dfrac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs sz\"uks\'eg a
v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
 
 
\bye
