\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\centerline{\bf A m\'arcius 30.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
Fontos megtanulni, hogyan lehet kisz\'am\'{\i}tani \'altal\'anos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ilyen jelleg\H{u} feladatokat
fogunk t\'argyalni. De ennek \'er\-de\-k\'e\-ben el\H{o}sz\"or meg
kell \'erten\"unk n\'eh\'any fontos fogalmat illetve n\'eh\'any
fontos eredm\'eny jelent\'es\'et. Ez\'ert feleleven\'{\i}tek
bizonyos az el\H{o}ad\'ason m\'ar t\'argyalt fontos ismeretet. A
v\'arhat\'o \'ert\'ek t\'argyal\'asa el\H{o}tt meg kell ismern\"unk
az eloszl\'asf\"uggv\'eny fogalm\'at. Meg kell \'erten\"unk azt,
hogy hogyan tudjuk kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket az
eloszl\'asf\"uggv\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel. K\'es\H{o}bb
r\'at\'er\"unk a s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny
fogalm\'anak ismertet\'es\'ere is, \'es arra, hogy hogyan tudjuk
kisz\'amolni a v\'arhat\'o \'ert\'eket a
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'egf\"ugg\-v\'eny ismeret\'eben.
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a definici\'oja.} {\it Legyen adva egy
 $\xi(\oo)$ (val\'os \'ert\'ek\H{u}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n. Ennek $F(x)$ el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'en az
$F(x)=P\(\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\)$, $-\infty<x<\infty$, f\"uggv\'enyt
\'ertj\"uk.}
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n, \'es legyen $F(x)=P(\{\oo\:\xi(\oo)<x\})$,
$-\infty<x<\infty$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Az $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
teljes\'{\i}ti a k\"ovetkez\H{o} tulajdons\'agokat. \medskip
\item{a)} $F(x)$ monoton n\"ovekv\H{o} f\"uggv\'eny.
\item{b)} $F(x)$ balr\'ol folytonos f\"uggv\'eny, azaz
 $\limm_{h\to0,\, h>0} F(x-h)=F(x)$ minden $-\infty<x<\infty$
sz\'amra.
\item{c)} $\limm_{x\to\infty}F(x)=1$.
\item{d)} $\limm_{x\to-\infty}F(x)=0$.
\medskip
Megford\'{\i}tva, ha egy $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az
el\H{o}bb megfogalmazott a)---d) tu\-laj\-don\-s\'a\-go\-kat,
akkor az eloszl\'asf\"uggv\'eny. R\'eszletesebben megfogalmazva ez
azt jelenti, hogy ha az $F(x)$ f\"uggv\'eny teljes\'{\i}ti az a)---d)
felt\'eteleket, akkor l\'etezik egy $(\Omega,\Cal A, P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}, \'es azon olyan $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelynek az
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enye ez az $F(x)$ f\"uggv\'eny.}
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'enek {\it form\'alis}\/ definici\'oja.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'egi v\'altoz\'o egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n.
E val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'ugy defini\'aljuk, mint a $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enynek az
$$
E\xi(\oo)=\int \xi(\oo) dP(\oo)
$$
Lebesgue integr\'alj\'at a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
szerint, felt\'eve, hogy $\int |\xi(\oo)| dP(\oo)<\infty$. Ha ez a
felt\'etel nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.}
\medskip\noindent
A Lebesgue integr\'al fogalm\'anak pontos ismerete nem sz\"uks\'eges a
tov\'abbiak meg\-\'er\-t\'e\-s\'e\-hez \'es a t\'argyalt feladatok
megold\'as\'ahoz. \'Erdemes megjegyezni, hogy ez egy a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n \'ertelmezett f\"uggv\'enynek
azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n defini\'alt
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi m\'ert\'ek szerinti integr\'alja.
Ez az integr\'alfogalom hasonl\'o a tanult Lebesgue integr\'al
fogalm\'ahoz. El\H{o}sz\"or egyszer\H{u} (v\'eges sok \'ert\'eket
felvev\H{o}) f\"uggv\'enyek integr\'al\'at defini\'aljuk
term\'eszetes m\'odon, majd term\'eszetes hat\'ar\'atmenet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel ezt az integr\'alt \'ertelmezz\"uk
\'altal\'anos f\"uggv\'enyek eset\'en is. A defici\'o fogalmilag
nem neh\'ez, de a r\'eszletes elm\'elet kidolgoz\'asa m\'ely
m\'ert\'ekelm\'eleti eredm\'enyek ismeret\'et ig\'enyli. Erre nem lesz
sz\"uks\'eg\"unk, viszont nagyon fontos tudni, hogy
noha a v\'arhat\'o \'ert\'ek fogalm\'at a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o} \'es a rajta defini\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \'es val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'ek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel defini\'altuk, ahhoz, hogy kisz\'amoljuk
elegend\H{o} a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
el\-osz\-l\'a\-s\'a\-nak az ismerete. Ezt az al\'abbi
jelent\H{o}s\'ege miatt {\it fontos t\'etelnek}\/
nevezett eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel tehetj\"uk meg.
 
\medskip\noindent
{\bf Fontos T\'etel.} {\it Legyen $\xi(\oo)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelynek $F(x)$ az $F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$,
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor
$$
E\xi(\oo)=\int_{-\infty}^\infty xF(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty |x| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben az
$E\xi$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip
S\H{o}t, igaz a Fontos T\'etel k\"ovetkez\H{o}
\'altal\'anos\'{\i}t\'asa. \medskip\noindent
{\bf A Fontos T\'etel \'altal\'anos\'{\i}t\'asa.} {\it Legyen
$\xi(\oo)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $(\Omega,\Cal
A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelynek $F(x)$ az
$F(x)=P(\xi<x)$, $-\infty<x<\infty$, el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
Legyen $g(x)$ tetsz\H{o}leges (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny a
sz\'amegyenesen, \'es defini\'aljuk az $\eta(\oo)=g(\xi(\oo))$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Ekkor
$$
E\eta(\oo)=Eg(\xi(\oo))=\int_{-\infty}^\infty  g(x) F(\,dx),
$$
ahol a fenti integr\'al Lebesgue--Stieltjes integr\'alt jel\"ol az
$F$ m\'ert\'ek szerint. Ez a formula akkor \'erv\'enyes, ha
$\int_{-\infty}^\infty|g(x)| F(\,dx)<\infty$. Ellenkez\H{o} esetben
az $E\eta$ v\'arhat\'o \'ert\'eket nem defini\'altuk.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(amelyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$ k\'et
val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ kifejez\'esnek is l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
} \medskip\noindent
\medskip\noindent
{\bf Sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$.
Ekkor e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzete
$$
\Var\xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
(Ha $E\xi^2=\infty$, akkor vagy nem defini\'aljuk a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et, vagy
azt mondjuk, hogy $\Var\xi(\oo)=\infty$.)} \medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2.
$$
\medskip\noindent
{\bf S\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Egy $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'enynek az $f(u)$, $-\infty<u<\infty$, f\"uggv\'eny
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, ha minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra
teljes\"ul az
$$
F(x)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du
$$
azonoss\'ag.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ T\"obbsz\"or fogunk besz\'elni egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l is. Ez azt jelenti, hogy e
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'enek a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et tekintj\"uk. Sok \'erdekes \'es
fontos  eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, de nem mindegyiknek. P\'eld\'aul egy
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
nincs s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-nye.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha egy $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek l\'etezik
$f(u)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, akkor ez teljes\'{\i}ti minden
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyre a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot:
$$
\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=
\int_{-\infty}^\infty g(u)f(u)du.
$$
}\medskip\noindent
{\bf Newton--Leibniz formula.} {\it Legyen $F(x)$ folytonos
f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ v\'eges intervallumon, amely v\'eges sok pont
kiv\'etel\'evel folytonosan deriv\'alhat\'o. Legyen
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ minden pontban, ahol az
$F(\cdot)$ differenci\'alhat\'o. Ekkor $F(x)-F(a)=\int_a^x f(u)\,du$
minden $a\le x\le b$ sz\'amra. Tov\'abb\'a, ha a fenti felt\'etel
teljes\"ul minden v\'eges $[a,b]$ intervallumban, \'es l\'etezik a
$F(-\infty)=\limm_{x\to -\infty} F(x)$ hat\'ar\'ert\'ek, akkor
$F(x)-F(-\infty)=\int_{-\infty}^x f(u)\,du$ minden
$-\infty<x<\infty$ sz\'amra.
 
Megford\'{\i}tva, ha $f(u)$, (pontosabban annak abszolut \'ert\'eke)
integr\'alhat\'o f\"uggv\'eny egy $[a,b]$ intervallumban, \'es
$F(x)=\int_a^x f(u)\,du$, $a\le x\le b$, akkor
$f(u)=\left.\dfrac{dF(x)}{dx}\right|_{x=u}$ (majdnem) minden $a\le
u\le b$ pontban. Ha az $f(u)$ f\"uggv\'eny integr\'alhat\'o az eg\'esz
sz\'amegyenesen, akkor a fenti \'all\'{\i}t\'as igaz $a=-\infty$
v\'alaszt\'assal is.}
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A Newton--Leibniz formula jelent\H{o}s\'ege
sz\'amunkra az, hogy eszerint az eredm\'eny szerint a
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny (felt\'eve, hogy az l\'etezik)
egyenl\H{o} az eloszl\'asf\"uggv\'eny deriv\'altj\'aval.
Megford\'{\i}tva, a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny ismeret\'eben meg
tudjuk hat\'arozni az el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'enyt. Annak \'ert\'eke
az $x$ pontban megegyezik a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny
in\-teg\-r\'al\-j\'a\-val a $[-\infty,x]$ intervallumban.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Egy $f(\cdot)$ (m\'erhet\H{o}) f\"uggv\'eny
akkor \'es csak akkor s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye egy
al\-kal\-mas eloszl\'asf\"uggv\'enynek, ha $f(u)\ge0$ majdnem minden
$-\infty<u<\infty$ sz\'amra, \'es $\int_{-\infty}^\infty f(u)\,du=1$.}
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Jel\"olje $F(\cdot)$ illetve $f(\cdot)$ egy $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as illetve
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Legyen $g(\cdot)$
m\'erhet\H{o} f\"uggv\'eny a sz\'amegyenesen. Ekkor
$$
E\xi=\int_{-\infty}^\infty uF(\,du)=\int_{-\infty}^\infty u f(u)\,du
$$
\'es
$$
Eg(\xi)=\int_{-\infty}^\infty g(u)F(\,du)=\int_{-\infty}^\infty g(u)
f(u)\,du.
$$
}\medskip
\medskip
\item{1.)} Tekints\"uk egy szab\'alyos dob\'okocka feldob\'as\'at,
illetve azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely megmondja
mi a dob\'as eredm\'enye. Adjuk meg ennek a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az $F(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o az 1, 2, 3, 4, 5 \'es 6 \'ert\'ekek valamelyik\'et veszi
fel, mindegyiket $\frac16$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel. Ez\'ert annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $P(\xi<x)$ null\'aval egyenl\H{o},
ha $x<1$. S\H{o}t $x=1$ eset\'eben is teljes\"ul a $P(\xi<1)=0$
azonoss\'ag, mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et n\'ezz\"uk,
hogy a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o szigor\'uan kisebb
mint az $x$ sz\'am. Ez\'ert $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$. Ha $1<x<2$,
akkor az $\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1. Ez az \'all\'{\i}t\'as igaz $x=2$ eset\'eben is.
Ez\'ert $F(x)=\frac16$, ha $1<x\le2$. Ha $2<x\le3$, akkor az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}$ esem\'eny azt jelenti, hogy a dob\'as
eredm\'enye 1 vagy 2. Ez\'ert $F(x)=\frac26$, ha $2<x\le3$. Ezt a
gondolatot v\'egigk\"ovetve kapjuk, hogy $F(x)=0$, ha $-\infty<x\le1$,
$F(x)=\frac j6$, ha $j<x\le j+1$, $1\le j\le 5$, \'es $F(x)=1$, ha
$6<x<\infty$,
 
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Feldobunk egy p\'enzdarabot, amely $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik a fej, $1-p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel az \'{\i}r\'as oldalra k\'etszer
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul. Jel\"olje $\xi$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, amely a fejdob\'asok
sz\'am\'at adja meg. Adjuk meg a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
 
 
 
 
 
 
 
 
 
\item{2.)} Legyen $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $f(u)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel, $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok.
Ha\-t\'a\-roz\-zuk meg az $\eta=a\xi+b$ \'es $\zeta=\xi^2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $F(x)=P(\xi<x)=\int_{-\infty}^x
f(u)\,du$ a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye. Ekkor az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye a
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi<\dfrac{x-b}a\)=F\(\dfrac{x-b}a\)$ f\"uggv\'eny,
ha $a>0$, \'es
$G(x)=P(\eta<x)=P\(\xi>\dfrac{x-b}a\)=1-F\(\dfrac{x-b}a\)$, ha $a<0$.
Innen $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\dfrac{dG(x)}{dx}=\dfrac1{|a|}f\(\dfrac{x-b}a\)$.
\item{} A $\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye
$$
G(x)=P(\xi^2<x)=P\(-\sqrt x<\xi<\sqrt x\)=F\(\sqrt x\)-F\(-\sqrt x\),
$$
ha $x\ge 0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen deriv\'al\'assal $\zeta$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\dfrac1{2\sqrt x}\(f\(\sqrt
x\)+f\(-\sqrt x\)\)$, ha $x>0$, \'es $g(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi  v\'altoz\'onak
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Sz\'am\'{\i}tsuk ki $\xi^3$
\'es $\xi^4$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\medskip
\item{3.)} Azt mondjuk, hogy egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$$
f_\lambda(x)=\left\{
\aligned &\lambda e^{-\lambda x}\quad \text{if } x\ge0\\
&0\qquad\quad \;\, \text{if }x<0
\endaligned\right.
$$
L\'assuk be, hogy $f_\lambda(x)$ val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt kell bel\'atni, hogy $f_\lambda(x)\ge0$
minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra, ami a definici\'o
ny\'{\i}lv\'anval\'o k\"ovetkezm\'enye, \'es $\int_{-\infty}^\infty
f_\lambda(x)\,dx=1$. Viszont
$\int_{-\infty}^\infty f_\lambda(x)\,dx=\int_0^\infty \lambda
e^{-\lambda x}\,dx=\[-e^{-\lambda x}\]_0^\infty=1-0=1$.
\medskip
\item{4.)} Sz\'am\'{\i}tsuk ki egy $\lambda$ param\'eter\H{u}
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
momentumait, azaz sz\'am\'{\i}tsuk ki az $E\xi^k$, $k=1,2,\dots$,
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket  egy olyan $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eset\'eben, amely\-nek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\lambda e^{-\lambda x}$, ha $x\ge0$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $E\xi^k=\int_{-\infty}^\infty x^k
f_\lambda(x)\,dx$, ezt az integr\'alt kell kisz\'am\'{\i}tani  minden
$k=1,2,\dots$, sz\'amra. Alkalmazva az $u=\lambda x$
helyettes\'{\i}t\'est azt kapjuk, hogy
$$
\int_{-\infty}^\infty x^k f_\lambda(x)\,dx=
\int_0^\infty x^k\lambda e^{-\lambda x}\,dx=
\lambda^{-k}\int_0^\infty u^ke^{-u}\,du.
$$
Parci\'alis integr\'al\'assal
$$
\align
\int_0^\infty u^ke^{-u}\,du&=\int_0^\infty u^k\(-e^{-u}\)'\,du
=\[-u^ke^{-u}\]_0^\infty+\int_0^\infty ku^{k-1}e^{-u}\,du\\
&=k\int_0^\infty u^{k-1}e^{-u}\,du,
\endalign
$$
ahonnan teljes indukci\'oval azt kapjuk, hogy
$\int_0^\infty u^ke^{-u}\,du=k!$. Innen $E\xi^k=k!\lambda^{-k}$.
\item{5.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $[a,b]$ intervallumban,
azaz legyen annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o egy $[u,v]\subset[a,b]$
intervallumba esik $\frac{v-u}{b-a}$. Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as \'es
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et, valamint v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=0$, ha $x\le a$,
$F(x)=\frac{x-a}{b-a}$, ha $a\le x\le b$, $F(x)=1$, ha $x>b$. Ugyanis
$F(x)=P(\xi<x)$, \'es ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 0-val egyenl\H{o},
ha $x<a$, 1-gyel egyenl\H{o}, ha $x>b$, \'es $P(\xi<x)=P(a\le
\xi<x)=\frac{x-a}{b-a}$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=\frac{dF(x)}{dx}$, ez\'ert
$f(x)=0$, ha $x<a$ vagy $x>b$, \'es $f(x)=\frac1{b-a}$. Innen
$E\xi=\int xf(x)\,dx=\int_a^b\frac1{b-a}\,dx=\[\frac{x^2}{2(b-a)}\]_a^b
=\frac{b^2-a^2}{b-a}=\frac{a+b}2$, $E\xi^2=\int x^2f(x)\,dx=\int_a^b
\frac{x^2}{b-a}\,dx=\frac{b^3-a^3}{3(b-a)}=\frac{a^2+ab+b^2}3$. Innen
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2=\frac{4(a^2+b^2+ab)-3(a+b)^2}{12}
=\frac{a^2+b^2-2ab}{12}=\frac{(b-a)^2}{12}$.
 
 
 
 
\bye
