\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
%\nopagenumbers
 
\centerline{\bf A m\'arcius 23.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
Tekint\"unk n\'eh\'any feladatot, amelyek f\"uggetlen esem\'enyekkel
foglalkoznak. El\H{o}tte azonban feleleven\'{\i}t\"unk n\'eh\'any
fontos fogalmat \'es eredm\'enyt.
 
\medskip \noindent
{\bf K\'et esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek a definici\'oja.} {\it Azt
mondjuk, hogy egy $A$ \'es $B$ esem\'eny f\"uggetlen, ha $P(A\cap
B)=P(A)P(B)$.}
\medskip\noindent
{\bf T\"obb esem\'eny f\"uggetlens\'eg\'enek definici\'oja:} {\it Az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek akkor (teljesen) f\"uggetlenek, ha az
$\{1,\dots,n\}$ indexhalmaz minden $\{j_1,\dots,j_k\}\subset
\{1,\dots,n\}$ r\'esz\-hal\-ma\-z\'a\-ra
$$
P(A_{j_1}\cap\cdots\cap A_{j_k})=P(A_{j_1})\cdots P(A_{j_k}).
$$
Esem\'enyek v\'egtelen $A_1,A_2,\dots$ sorozata akkor \'es csak akkor
f\"uggetlen, ha tetsz\H{o}leges pozit\'{\i}v $n$ eg\'esz sz\'amra az
$A_1,\dots,A_n$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip
Speci\'alisan $n=3$ esetben ez a definici\'o a k\"ovetkez\H{o}t
jelenti: Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok {\it mindegyike}\/ teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:} Al\'abb bevezetj\"uk esem\'enyek p\'aronk\'enti
f\"uggetlens\'eg\'enek  az irodalomban szint\'en haszn\'alt fogalm\'at.
Fontos, hogy esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek \'es
(teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek a fogalm\'at meg
tudjuk k\"ul\"onb\"oztetni egym\'ast\'ol.
\medskip\noindent
{\bf Esem\'enyek p\'aronk\'enti f\"uggetlens\'eg\'enek a
definici\'oja.} {\it Legyen $A_1,A_2,\dots$, ese\-m\'e\-nyek (v\'eges
vagy v\'egtelen) sorozata egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n.
Azt mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek, ha
tetsz\H{o}leges k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokb\'ol \'all\'o $(j,k)$,
$j\neq k$, indexekre $P(A_j\cap A_k)=P(A_j)P(A_k)$.}
\medskip\noindent
Megmutatand\'o, hogy az esem\'enyek (teljes) f\"uggetlens\'eg\'enek
definici\'oj\'aban szerepl\H{o} felt\'etelek mindegyike fontos
tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} feladatot.
\medskip
\item{1.)}
Adjunk p\'eld\'at egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}re azon h\'arom $A_1$, $A_2$ \'es
$A_3$ ese\-m\'eny\-re, amelyekre $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=
P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, de az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek
nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Egy lehets\'eges konstrukci\'o:}\/ Legyen
$\Omega=\{1,2,3,4,5\}$, $\Cal A$ az $\Omega$ halmaz \"osszes
r\'eszhalmazaib\'ol \'all\'o $\sigma$-algebra, $P(\{1\})=x$,
$P(\{2\})=P(\{3\})=P(\{4\})=y$, $P(\{5\})=1-x-3y$, alkalmas $x$ \'es
$y$ sz\'amokkal, $P(A)=\summ_{u\in A} P(\{u\})$ minden $A\in \Cal A$
halmazra. Defini\'aljuk az $A_1=\{1,2\}$, $A_2=\{1,3\}$ \'es
$A_3=\{1,4\}$ halmazokat. Ekkor $A_1\cap A_2\cap A_3=\{1\}$, ez\'ert
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=x$. M\'asr\'eszt $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=x+y$.
V\'alasszuk meg az $x$ \'es $y$ sz\'amokat \'ugy, hogy $x=(x+y)^3$.
Egy lehet\H{o}s\'eg erre, $x+y=\dfrac13$, \'es ekkor
$x=(x+y)^3=\dfrac1{27}$, $y=\dfrac8{27}$,  tov\'abb\'a
$P(\{5\})=\dfrac2{27}$. Ebben a p\'eld\'aban
$P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$. Viszont $A_1\cap
A_2=\{1\}=A_1\cap A_2\cap A_3$, \'{\i}gy ny\'{\i}lv\'an
$P(A_1\cap A_2)\neq P(A_1)P(A_2)$. Teh\'at a f\"uggetlens\'eg nem
teljes\"ul.
\medskip\noindent
\item{2.)} Defini\'alunk egy $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t, azon h\'arom $A_1$, $A_2$,
$A_3$-mal jel\"olt esem\'enyt, amelyek p\'aronk\'ent f\"uggetlenek,
azaz $P(A_1\cap A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$
\'es $P(A_2\cap A_3)=P(A_2)P(A_3)$, de nem teljes\"ul a $P(A_1\cap
A_2\cap A_3)=P(A_1)P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'ag, teh\'at
ezek az esem\'enyek nem f\"uggetlenek.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ \'Alljon az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}ben $\Omega$ 4 pontb\'ol, a jobb
szem\-l\'el\-he\-t\H{o}\-s\'eg kedv\'e\'ert legyenek ezek az $(1,1)$,
$(1,2)$, $(2,1)$, $(2,2)$ pontok, \'alljon $\Cal A$ az $\Omega$
halmaz \"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, \'es legyen
$P(\{(1,1)\})=P(\{(1,2)\})=P(\{(2,1)\})=P(\{(2,2)\})=\dfrac14$.
Tekints\"uk az $A_1=\{(1,1),(1,2)\}$ $A_2=\{(1,1),(2,1)\}$ \'es
$A_3=\{(1,1),(2,2)\}$ halmazokat. Ekkor teljes\"ulnek a $P(A_1\cap
A_2)=P(A_1)P(A_2)$, $P(A_1\cap A_3)=P(A_1)P(A_3)$ \'es $P(A_2\cap
A_3)=P(A_2)P(A_3)$ azonoss\'agok, mert $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\dfrac12$,
\'es mivel $A_1\cap A_2=A_1\cap A_2=A_2\cap A_3=\{(1,1)\}$,
$P(A_1\cap A_2)=P(A_1\cap A_3)=P(A_2\cap A_3)=\dfrac14$.
M\'asr\'eszt, $P(A_1\cap A_2\cap A_3)\neq P(A_1)P(A_2)P(A_3)$, mert
 $P(A_1\cap A_2\cap A_3)=P(\{(1,1)\})=\dfrac14$, \'es
$P(A_1)P(A_2)P(A_3)=\dfrac18$.
 
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Ha $A_1,\dots, A_n$ f\"uggetlen esem\'enyek, \'es
bevezetj\"uk az $A_j^{1}=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$
jel\"ol\'eseket, akkor tetsz\H{o}leges $\e_j=\pm1$, $1\le j\le n$,
sorozatra az $A_1^{\e_1},\dots,A_n^{\e_n}$ esem\'enyek f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Legyenek $A_1,\dots,A_n, B_1,\dots, B_m$
esem\'enyek f\"uggetlenek egym\'ast\'ol. Tet\-sz\H{o}\-le\-ges olyan
$C$ esem\'enyre, amelyik el\H{o}\'all\'{\i}that\'o az $A_1,\dots,
A_k$ halmazokb\'ol v\'eges sok metszet, uni\'o \'es
komplementerk\'epz\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel igaz, hogy a
$B_1,\dots,B_m$ \'es $C$ halmazok f\"uggetlenek.}
\medskip\noindent
\medskip
\item{3.)} Egy 100 tag\'u t\'arsas\'ag minden egyes tagja egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul $\dfrac1{1000}$ va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
betegszik meg. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
t\'arsas\'agnak lesz beteg tagja? A kapott eredm\'enyr\H{o}l mit
mondhatunk? Az nagyon nagy, (majdnem 1) vagy nagyon kicsi (majdnem
nulla) \'ert\'ek?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, hogy a
t\'arsas\'ag $j$-ik megbetegszik meg. Ekkor a $P(A_j)=\dfrac1{1000}$,
\'es az $A_j$ esem\'enyek f\"uggetlenek. Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or a
minket \'erdekl\H{o} esem\'eny komplementer\'enek, azaz annak az
esem\'enynek a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-g\'et, hogy mindenki
eg\'eszs\'eges. Ez az $\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)$
esem\'eny. Mivel $P(\Omega\setminus A_j)=1-\dfrac1{1000}$, \'es az
$A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'eg\'eb\H{o}l k\"ovetkezik az
$\Omega\setminus A_j$ esem\'enyek f\"uggetlens\'ege is, ez\'ert
$P\(\bigcapp_{j=1}^{1000}(\Omega\setminus A_j)\)
=\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $1-\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}$.
\item{} V\'eg\"ul jegyezz\"uk meg, hogy $\(1-\dfrac1{1000}\)^{100}=
\(\(1-\dfrac1{1000}\)^{1000}\)^{1/10}\sim e^{-1/10}$. Mi\'ert? Ez a
sz\'am nagyon k\"ozel van az egyhez, ez\'ert a minket \'erdekl\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke kicsi.
\medskip
\item{4.)} Tekints\"uk a k\"ovetkez\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}t. $\Omega=\{1,\dots, n\}$, ahol $n$ valamely pozit\'{\i}v
eg\'esz sz\'am, $\Cal A$ az $\Omega$ \"osszes r\'eszhalmazaib\'ol
\'all\'o $\sigma$-algebra,
$$
P(A)=\dfrac{\text{ az $A$ halmaz sz\'amoss\'aga}}n.
$$
Legyen $n=p_1^{r_1}\cdots p_k^{r_k}$ az $n$ sz\'am
pr\'{\i}mt\'enyez\H{o}s felbont\'asa, \'es defini\'aljuk a
k\"ovetkez\H{o} $A_j$ esem\'enyeket: $A_j=\{m\: m\text{ oszthat\'o a
$p_j$ sz\'ammal}\}$, $1\le j\le k$. Legyen $B=\{m\: m\text{
relat\'{\i}v prim az $n$ sz\'amhoz k\'epest}\}$. Mutassuk meg, hogy
\itemitem{a.} Az $A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek f\"uggetlenek.
\itemitem{b.} $P(B)=\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$, azaz \"osszesen
$n\cdot\prodd_{j=1}^k\(1-\dfrac1{p_j}\)$ $n$-n\'el kisebb \'es az
$n$-hez k\'epest relat\'{\i}v prim van.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ $A_j=\left\{p_j,2p_j,\dots,\dfrac
n{p_j}p_j\right\}$ egy $\dfrac n{p_j}$ sz\'amb\'ol \'all\'o halmaz,
ez\'ert $P(A_j)=\dfrac1{p_j}$, $1\le j\le k$. Az $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s}$ halmaz az $n$-n\'el kisebb $p_{j_1}\cdots
p_{j_s}$ sz\'ammal oszthat\'o sz\'amokb\'ol \'all minden $1\le
j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$ sorozatra, ez\'ert sz\'amoss\'aga $\dfrac n
{p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$, \'es $P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A_{j_s})=\dfrac 1 {p_{j_1}\cdots p_{j_s}}$. Ez azt jelenti, hogy
$P(A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap A_{j_s})=P(A_{j_1})
P(A_{j_2})\cdots P(A_{j_s})$ minden $1\le j_1<j_2<\cdots<j_s\le k$
sorozatra, ez\'ert az $A_1$, $A_2$, \dots $A_k$ halmazok f\"uggetlenek.
\item{} V\'eg\"ul $B=\Omega\setminus (A_1\cup\cdots\cup A_k)
=\bigcapp_{j=1}^k(\Omega\setminus A_j)$. Ez\'ert \'es az $A_j$
esem\'enyek f\"uggetlens\'ege miatt $P(B)=\prodd_{j=1}^k
P(\Omega\setminus A_j)=\prodd_{j=1}^k \(1-\dfrac1{p_j}\)$, ahonnan
k\"ovetkezik a $B$ halmaz sz\'amoss\'ag\'ara megadott k\'eplet.
\medskip
\item{5.)} V\'eletlen\"ul megh\'{\i}vunk 30 embert. Tegy\"uk fel, hogy
az egyes embereknek egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul van
sz\"ulet\'esnapjuk, \'es minden ember eset\'eben $\dfrac1{365}$ annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'ev valamely napj\'an
sz\"uletett. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\'et
ember a t\'arsas\'agban, akiknek ugyanaznap van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} \'Altal\'anosabban, van $n$ urna, amelyekbe bedobunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $k$ goly\'ot \'ugy, hogy mindegyik
goly\'o egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel esik az egyes urn\'akba.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van olyan urna amelybe
legal\'abb k\'et goly\'o esik? \'Erdekel minket tov\'abb\'a ennek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek a viselked\'ese, ha mind az $n$ mind a
$k$ sz\'am nagy, \'es a $k=k(n)$ sz\'amnak megfelel\H{o} a
nagys\'agrendje. L\'assuk be, hogy a fenti
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egnek van hat\'ar\'ert\'eke,
ha $n\to \infty$, $\dfrac k{\sqrt n}\to\alpha$ valamilyen
$0\le \alpha<\infty$ sz\'ammal, \'es hat\'arozzuk meg ezt a
hat\'ar\'ert\'eket.
\item{}{\it Megold\'as:} Jel\"olje $\xi_j$ azt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot, hogy a $j$-ik embernek az
\'ev hanyadik napj\'an van a sz\"ulet\'esnapja. Ekkor
a $\xi_j$, $1\le j\le 30$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, $P\(\xi_j=l\)=\dfrac1{365}$, $1\le j\le 30$, $1\le l\le
365$, \'es $P(\xi_j\neq \xi_j'\;\text{ha }j\neq j')$
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mindenkinek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} nap van a sz\"ulet\'esnapja.
Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg viszont
$$
\dfrac{365\cdot 364\cdots(365-30+1)}{365^k}
=\prod_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\),
$$
mert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}l\'ege, hogy az els\H{o} ember
sz\"ulet\'esnapja az $l_1$-ik, a m\'asodik\'e az $l_2$-ik \'es
\'{\i}gy tov\'abb a $k$-ik ember sz\"ulet\'esnapja az $l_k$-ik napon
van $\dfrac1{365^k}$, tetsz\H{o}leges $1\le l_j\le 365$, $1\le j\le 30$
sz\'amok eset\'en, \'es ezeket a sz\'amokat $\prodd_{j=0}^{k-1}(365-j)$
m\'odon v\'alaszthatjuk \'ugy, hogy mindegyik $l_j$ sz\'am
k\"ul\"onb\"oz\H{o} legyen. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy van k\'et ember akinek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapja
$1-\prodd_{j=1}^{29}\(1-\dfrac j{365}\)$.
\item{} Hasonl\'oan, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy ha $k$
goly\'ot dobunk $n$ urn\'aba az adott m\'odon, akkor van olyan urna,
amelyikbe legal\'abb k\'et goly\'o esik $1-\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac
jn\)$. Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\'est a
$\log\prodd_{j=1}^{k-1}\(1-\dfrac jn\)=\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac
jn\)$ kifejez\'esre, ha $n\to\infty$, $\dfrac{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$.
Heurisztikus \'ervel\'es szerint mivel $\log\(1-\dfrac jn\)\sim-\dfrac
jn$ a $\log(1+x)$ f\"uggv\'eny Taylor sorfejt\'ese szerint, ez\'ert
$\summ_{j=1}^{k-1}\log\(1-\dfrac jn\)\sim -\summ_{j=1}^{k-1}\dfrac
jn=-\dfrac{(k-1)k}{2n}$, ahonnan $\log\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac
jn\)\to-\dfrac{\alpha^2}2$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac
{k(n)}{\sqrt n}\to\alpha$. Ez a sz\'amol\'as precizz\'e tehet\H{o}, ha
felhaszn\'aljuk p\'eld\'aul azt az egyenl\H{o}tlens\'eget, amely
szerint
$$
\left|\log\(1-\dfrac jn\)+\dfrac jn\right|\le
\dfrac{2j^2}{n^2}\le\frac{\const}n,\quad\text{ha
} n \text{ el\'eg nagy \'es }\dfrac j{\sqrt n}\le\alpha+1,
$$
ami szint\'en k\"ovetkezik a $\log(1+x)$ Taylor sorfejt\'es\'eb\H{o}l.
Mi\'ert? Innen kapjuk, hogy $1-\prodd_{j=1}^{k(n)-1}\(1-\dfrac jn\)\to
1-e^{-\alpha^2/2}$, ha $n\to\infty$, \'es $\dfrac {k(n)}{\sqrt n}
\to\alpha$.
 
\vfill\eject
 
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk sz\'azszor.
Sz\'amoljuk ki a h\'arom egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-dob\'asb\'ol
\'all\'o r\'eszsorozatok v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Adott k\'et urna, mind a kett\H{o}ben 10 piros \'es 20
feh\'er goly\'o. Kih\'uzunk 10 alkalommal mind a k\'et urn\'ab\'ol
egy-egy goly\'ot, az els\H{o}b\H{o}l visszatev\'essel, a
m\'asodikb\'ol visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'am\'{\i}tsuk ki azon
h\'uz\'asp\'arok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amelyekben
azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot h\'uztunk.
 
\bye
