\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\centerline{\bf A m\'arcius 2.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
Fontos meg\'erteni a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
fogalm\'at, illetve azt, hogyan kell vele sz\'amolni. Ez\'ert t\"obb
ezzel kapcsolatos feladatot foguk t\'argyalni. El\H{o}tte azonban
feleleven\'{\i}tj\"uk a legfontosabb fogalmakat \'ee eredm\'enyeket.
 
\medskip
A felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg szeml\'eletesen a
k\"ovetkez\H{o}t jelenti. Egy $A$ esem\'eny $P(A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azt fejezi ki, hogy mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} annak bek\"ovetkez\'ese. Viszont ennek a
bizonyoss\'agnak a m\'ert\'eke megv\'altozik, ha tudjuk, hogy egy $B$
esem\'eny bek\"ovetkezett. Ez\'ert defini\'ajuk az $A$ esem\'eny
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, felt\'eve, hogy a $B$
esem\'eny bek\"ovetkezett. Ennek definici\'oja $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap
B)}{P(B)}$. B\'ar az al\'abbi azonoss\'ag
trivi\'alis, fontoss\'aga miatt \'erdemes k\"ul\"on megfogalmazni.
$$
P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(B), \quad \text{ha } P(A)>0 \text{ \'es }
P(B)>0.
$$
Tov\'abbi egyszer\H{u}, de hasznos \'eszrev\'etelek:
 
Ha $B_1,\dots,B_n$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy
partici\'oja, azaz a $B_1,\dots, B_n$ esem\'enyek diszjunktak, \'es
$\bigcupp_{k=1}^n B_k=\Omega$, akkor
$$
\align
P(A)&=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots+P(A\cap B_n)\\
&=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)
\endalign
$$
minden $A$ halmazra. Ez\'ert
$$
P(B_1|A)=\frac{P(B_1\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}
{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)}.
$$
Term\'eszetesen hasonl\'o \"osszef\"ugg\'es \'{\i}rhat\'o fel a
$P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $j$ indexre. A fenti egyszer\H{u}
\"osszef\"ugg\'es  fontoss\'ag\'at az adja, hogy lehet\H{o}v\'e
teszi a $P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at a `ford\'{\i}tott' $P(A|B_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ismeret\'eben, felt\'eve, hogy
ismerj\"uk a $P(B_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
 
\medskip
\item{1.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy
a di\'ak tudja a helyes v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy helyes
v\'alaszt ad. Ekkor a $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak.
Tov\'abb\'a $P(A\cap B)=P(A)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)=P(A)+(1-P(A))P(B|\bar A)=
p+\dfrac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}=
\dfrac p{p+\frac13(1-p)}$.
\item{2.)} Bizony\'{\i}tsuk be a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agot,
amelyet teleszk\'op szab\'alynak is szoktak nevezni: Ha adva vannak
$A_1,\dots,A_k$ esem\'enyek egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyekre $P(A_1\cap\cdots\cap A_k)>0$, akkor
$$
P(A_1\cap\cdots\cap A_k)=P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})
$$
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
&P(A_1)P(A_2|A_1)P(A_3|A_1\cap A_2)\cdots
P(A_k|A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})\\
&\qquad=P(A_1)\frac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
\frac{P(A_1\cap A_2\cap A_3)}{P(A_1\cap A_2)}\cdots \frac{P(A_1\cap
A_2\cdots\cap A_{k-1}\cap A_k)}{P(A_1\cap\cdots\cap A_{k-1})}\\
&\qquad =P(A_1\cap A_2\cap\cdots \cap A_k).
\endalign
$$
\item{3.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Kisz\'amoljuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'eg\'et, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as eredm\'enye
$Z$ felt\'eve, hogy el\'otte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a negyedik h\'uz\'as eredm\'enye
$S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt. Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, illetve felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\dfrac{z}{z+s}$, $\dfrac z{z+s+2}$,
$\dfrac z{z+s+4}$, $\dfrac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{z}{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}\cdot\dfrac z{z+s+4}\cdot
\dfrac{s+6}{z+s+6}$.
\item{4.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor
$C$ jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket
a $P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
\item{5.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye
hatos felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a
\hfill\break $P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=
1-P(\bar A_1\cap \bar A_2)=1-P(\bar A)P(\bar B)=1-\dfrac{25}{36}
=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladattal, \'es megbesz\'elj\"uk m\'ast jelent az a felt\'etelt,
hogy k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik hatos, \'es az hogy
ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani, melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{6.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer
egym\'as ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy mind a k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as
hatos? \item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy
a m\'asodik dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel.
Viszont, $P(A_1\cap A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\dfrac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\dfrac16$.
 
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
\medskip
 
\item{7.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32.
oldalon) arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban
$r$  v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell
\'{\i}rni, mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a legrosszabb di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve,
hogy a legjobb di\'ak is dolgozatot \'{\i}r.
\item{} Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\H{u}nk, hogy ha a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak (felt\'eteles)
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak is dolgozatot
\'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\dfrac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\dfrac rn$, ahonnan k\"ovetkezik
az \'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"ulj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik
v\'alaszt\'askor a m\'asodik csoportb\'ol, meg\-egye\-zik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\dfrac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\dfrac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} A zseb\"unkben van 30 kulcs, amelyek k\"oz\"ul az egyik nyit
egy z\'arat. Egym\'as ut\'an kipr\'ob\'aljuk v\'eletlenszer\H{u}en
kipr\'ob\'alva ezeket a kulcsokat. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a 20. kis\'erletre siker\"ul kinyitni a z\'arat? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 20. kis\'erletben siker\"ul
kinyitni a z\'arat felt\'eve, hogy az els\H{o} 19 kis\'erletben ez
nem siker\"ult?
\medskip
\item{8.)} Feldobunk egy dob\'okock\'at, majd ut\'ana annyi
dob\'okock\'at, amennyi az els\H{o} dob\'as eredm\'enye volt. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban
lesz hatos? Mi annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, felt\'eve hogy a m\'asodik
dob\'assorozatban volt hatos?
\medskip
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk azokat az esem\'enyeket,
amelyek le\'{\i}rj\'ak a lehets\'eges do\-b\'as\-so\-ro\-za\-tok
eredm\'eny\'et, \'es adjuk meg ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye
$i$, majd ezt k\"ovet\H{o}en egy $i$ hossz\'us\'ag\'u 1 \'es 6
k\"oz\"otti sz\'amokat tartalmaz\'o dob\'assorozatot kapunk
$\(\dfrac16\)^{i+1}$. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} dob\'as eredm\'enye $i$, \'es az utols\'o $i$ dob\'as egyike
sem hatos, $\dfrac16\cdot\(\dfrac56\)^i$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik dob\'assorozatban van
hatos
$$
\dfrac16\(\(1-\dfrac56\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)\).
$$
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} dob\'as hatos,
ut\'ana pedig van hatos dob\'as $\dfrac16\(1-\(\dfrac56\)^6\)$.
Ez\'ert a keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\dfrac{1-\(\dfrac56\)^6}{\(1-\(\dfrac56\)\)+\cdots+\(1-\(\dfrac56\)^6\)}.
$$
\item{9.)} H\'arom g\'ep gy\'art csavarokat, az egyik 0.01 a m\'asodik
0.02 a harmadik 0.03 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel gy\'art
hib\'as csavarokat. A csavarokat egy rakt\'arba viszik \"osszekeverik.
Egy gy\'artott csavar 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult az
els\H{o} 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a m\'asodik \'es 0.2
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a harmadik g\'epen.
Kivesz\"unk egy csavart, megn\'ezz\"uk, \'es azt tal\'aljuk, hogy az
hib\'as. Milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel k\'esz\"ult a csavar eme
felt\'etelek mellett az els\H{o} g\'epen?
\item{} {\it Megold\'as:} Jel\"olje $A_1$, $A_2$ illetve $A_3$ azt az
esem\'enyt, hogy a csavar az els\'o, m\'asodik vagy harmadik g\'epen
k\'esz\"ult, $B$ azt az esem\'enyt, hogy a csavar hib\'as. Ekkor minket
a $P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Tudjuk,
hogy $P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$, tov\'abb\'a
$P(B|A_1)=0.01$, $P(B|A_2)=0.02$, \'es $PB(B|A_3)=0.03$. Ekkor
$$
\align
P(A_1|B)&=\frac{P(B\cap A_1)}{P(B)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B\cap
A_1)+ P(B\cap A_2)+P(B\cap A_3)}\\
&=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}{P(B|A_1)P(A_1)+
P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{0.01\cdot 0.5}{0.01\cdot 0.5+0.02\cdot0.3+0.03\cdot 0.2}.
\endalign
$$
 
 
 
\bye
