\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
%\nopagenumbers
 
\centerline{\bf A m\'arcius 16.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
El\H{o}sz\"or felid\'ezek n\'eh\'any fontos eredm\'enyt (diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok illetve ilyen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l.
 
\medskip\noindent
{\bf Val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fogalma:} {\it
Legyen adva egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}. Egy ezen a t\'eren \'ertelmezett val\'os \'ert\'ek\H{u}
(m\'erhet\H{o}) $\xi(\oo)$ f\"uggv\'enyt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak fogunk nevezni. Azaz $\xi$ az $\Omega\to R^{1}$
lek\'epez\'es. Az a megk\"ot\'es, hogy a f\"uggv\'eny legyen
m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden $x$ val\'os sz\'amra az
$\{\oo\:\xi(\oo)<x\}\in \Cal A$ felt\'etel teljes\"ul.
 
Id\H{o}nk\'ent hasznos nemcsak val\'os \'ert\'ek\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'or\'ol besz\'elni,
hanem kiss\'e \'altal\'anosabban olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat defini\'alni, amelyek
\'ert\'ekeiket egy \'al\-ta\-l\'a\-nos t\'eren veszik fel.
(P\'eld\'aul bizonyos esetekben \'erdemes olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'o\-kat tekinteni, amelyek
\'ert\'eke komplex sz\'am, vagy nem egyetlen sz\'am, hanem egy
sz\'am-$n$-es. Az ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat
vektor \'ert\'ek\H{u}nek szokt\'ak h\'{\i}vni.) Annak \'erdek\'eben,
hogy ezt megtehess\"uk tekints\"unk valamilyen $X$ halmazt, \'es e
halmaz kit\"untetett r\'esz\-hal\-ma\-zai\-nak $\Cal X$
osz\-t\'a\-ly\'at, amelyek $\sigma$-algebr\'at alkotnak. Egy az
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n defini\'alt
$X$ t\'erbeli \'ert\'ekeket felvev\H{o} (m\'erhet\H{o})
f\"uggv\'enyt $X$-t\'er \'ert\'ek\H{u}
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'al\-to\-z\'o\-nak ne\-ve\-z\"unk.
Az, hogy ez a f\"uggv\'eny m\'erhet\H{o} azt jelenti, hogy minden
$Y\in\Cal X$ halmazra az $\{\oo\:\xi(\oo)\in Y\}\in \Cal A$ felt\'etel
teljes\"ul.}
 
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'a\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\'es azok eloszl\'asa.} {\it Egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot egy $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
mez\H{o}n diszkr\'etnek vagy diszkr\'et eloszl\'as\'unak h\'{\i}vunk,
ha megadhat\'o egy v\'eges vagy megsz\'aml\'alhat\'oan v\'egtelen
sz\'amoss\'ag\'u $x_1,x_2,\cdots$, halmaz \'ugy, hogy az
$\{\oo,\xi(\oo)=x_n\}$, $n=1,2,\dots$, halmazok teljes
esem\'enyrendszert alkotnak. Egy diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak
azok az $x_1,x_2,\dots$, \'ert\'ekek amelyeket az felvesz \'es a
$p_n=P(\xi=x_n)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek. (Jegyezz\"uk meg, hogy
$\summ_n P(\xi=x_n)=1$.)
 
Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi mez\H{o}n, amelyek valamilyen
$x_1,x_2,\dots$ \'er\-t\'e\-ke\-ket vesznek fel. Ezek egy\"uttes
eloszl\'as\'at meghat\'arozz\'ak a $P(\xi_1=x_{j_1},
\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k})$, $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek.}
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlens\'ege.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ disz\-kr\'et
eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok
ugyanazon az $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n,
amelyek valamilyen $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesznek fel. Azt
mondjuk, hogy ezek az $\xi_1$, $\xi_2$,\dots, $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, ha
$$
P\(\xi_1=x_{j_1},\xi_2=x_{j_2},\dots,\xi_k=x_{j_k}\)=
P\(\xi_1=x_{j_1}\)P\(\xi_2=x_{j_2}\)\cdots P\(\xi_k=x_{j_k}\)
$$
minden $j_s=1,2,\dots$, $1\le s\le k$, indexre.}
 
\medskip\noindent
{\bf Diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke.} {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et
el\-osz\-l\'a\-s\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o,
amely $x_1,x_2,\dots$ \'ert\'ekeket vesz fel $p_k=P(\xi=x_k)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel, $k=1,2,\dots$,
$\summ_{k=1}^\infty P(\xi=x_k)=1$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke az
$$
E\xi=\sum_{k=1}^\infty x_k P(\xi=x_k)
$$
\"osszeg, felt\'eve hogy ez az \"osszeg abszolut konvergens. Ha ez az
\"osszeg nem abszolut konvergens, akkor nem defini\'aljuk az $E\xi$
v\'arhat\'o \'ert\'eket.}
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it  Legyenek $\xi_1$, $\xi_2$ (diszkr\'et
eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ame\-lyek\-nek
l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk. Ekkor a $\xi_1+\xi_2$
\"osszegnek is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E(\xi_1+\xi_2)=E\xi_1+E\xi_2.
$$
}\medskip\noindent
{\bf K\"ovetkezm\'eny.} {\it Legyenek adva $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_k$
(diszkr\'et eloszl\'as\'u) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok,
ame\-lyek\-nek l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'ek\"uk, \'es legyenek
$c_1,\dots,c_k$ val\'os sz\'amok. Ekkor a
$c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak is l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2+\cdots+c_k\xi_k\)
=c_1E\xi_1+c_2E\xi_2+\cdots+c_kE\xi_k.
$$
}\medskip\noindent
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}  {\it Legyen $\xi$ diszkr\'et eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amely bizonyos $x_1,x_2,\dots$
\'ert\'eket vesz fel \'es $g(x)$ val\'os f\"uggv\'eny. Ekkor
$$
Eg(\xi)=\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j),
$$
felt\'eve, hogy a $\summ_{j=1}^\infty g(x_j) P(\xi=x_j)$ \"osszeg
abszolut konvergens.}
 
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen,
diszkr\'et eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
amelyek mindegyik\'ere l\'etezik az $E\xi_j$, $1\le j\le n$ v\'arhat\'o
\'ert\'ek. Ekkor az $E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n$ v\'arhat\'o \'ert\'ek
is l\'etezik, \'es
$$
E\xi_1\xi_2\cdots\xi_n=E\xi_1E\xi_2\cdots E\xi_n.
$$}
 
\medskip\noindent
{\bf A sz\'or\'asn\'egyzet definici\'oja:} {\it Legyen $\xi$ olyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. Ekkor
a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o sz\'or\'asn\'egyzet\'et
a
$$
\Var \xi=E\(\xi-E\xi\)^2
$$
k\'eplet defini\'alja. Ha $E\xi^2=\infty$ akkor a $\Var\xi$
sz\'or\'asn\'egyzetet nem defini\'aljuk vagy azt mondjuk, hogy $\Var
\xi=\infty$.}
 
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Var\xi=E\xi^2-(E\xi)^2.
$$
 
\medskip\noindent
{\bf Lemma.} {\it Minden $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amra
$$
\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi.
$$}
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} Ha {\it $\xi_1,\xi_2,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$$
\Var(\xi_1+\xi_2+\cdots+\xi_n)=
\Var\xi_1+\Var\xi_2+\cdots+\Var\xi_n.
$$}
 
\medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
kovariancif\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja. Ha a $E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$
felt\'etelek valamelyike nem teljes\"ul, akkor nem defini\'aljuk a
$\Cov(\xi,\eta)$
kovariancif\"uggv\'enyt.}
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
 
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^nE\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\Cov(\xi_j,\xi_k)$.
\medskip
 
\item{1.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a fej-dob\'asok sz\'a\-m\'a\-nak a  v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt
egyr\'eszt direkt m\'odon fel\'{\i}rva \'es kisz\'amolva a v\'arhat\'o
\'ert\'eket \'es sz\'or\'asn\'egyzetet kifejez\H{o} \"osszeget
m\'asr\'eszt egyszer\H{u}bben a f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok sz\'or\'asn\'egyzet\'et
kifejez\H{o} k\'eplet seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A fejdob\'asok sz\'ama 0 \'es
100 k\"oz\"ott van. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $k$
fejdob\'as k\"ovetkezik be, $0\le k\le 100$, $p_k=\dbinom {100}k
2^{-100}$. Ez\'ert a dob\'asok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}$, ahol $\xi$
jel\"oli a fejdob\'asok sz\'am\'at megad\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ot. Tov\'abb\'a $E\xi^2
=\summ_{k=0}^{100} k^2\dbinom {100}k 2^{-100}$, a sz\'or\'asn\'egyzet
pedig $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2$. Ezeket az \"osszegeket
k\"ozvetlen\"ul kisz\'am\'{\i}thatjuk. Val\'oban,
$k\dbinom{100}k=100\dbinom{99}{k-1}$,
$E\xi=\summ_{k=0}^{100}k\dbinom {100}k 2^{-100}=
50\summ_{k=0}^{99}k\dbinom {99}k
2^{-99}=50\(\dfrac12+\dfrac12\)^{99}=50$. Tov\'abb\'a,
$k^2\dbinom{100}k=[k(k-1)+k]\dbinom{100}k=100\cdot99\cdot
\dbinom{98}{k-2} +100\cdot\dbinom{100}{99}$,
$E\xi^2=2^{-100}\cdot100\cdot99\cdot\summ_{k=0}^{98}\dbinom{98}k+
2^{-100}\cdot100\cdot\summ_{k=0}^{99}\dbinom{99}k=2^{-100}\(100
\cdot99 \cdot(1+1)^{98}+100\cdot(1+1)^{99}\)=25\cdot99+50$,
$\Var\xi=E\xi^2-(E\xi^2)=25$.
\item{} Val\'oj\'aban a vizsg\'alt v\'arhat\'o \'ert\'eket \'es
sz\'or\'asn\'egyzetet egyszer\H{u}bben is ki\-sz\'a\-m\'{\i}t\-hat\-juk.
Vezess\"uk be a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat, $\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as, $1\le j\le100$.
Ekkor a fejdob\'asok sz\'ama $\xi=\summ_{j=1}^{100}\xi_j$,
$E\xi=\summ_{j=1}^{100}E\xi_j$, $\Var\xi=\summ_{j=1}^{100}\Var\xi_j$.
Mivel $E\xi_j=\frac12$, $E\xi_j^2=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$, $1\le
j\le100$, ez\'ert $E\xi=\frac12\cdot100=50$,
$\Var\xi=\frac14\cdot100=25$.
\item{2.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Sz\'amoljuk ki a do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyek \"osszeg\'enek
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Legyenek $\eta_1$,$\dots,\eta_{100}$ {\it f\"uggetlen}\/
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre
$P(\eta_j=k)=\dfrac16$, $1\le j\le 100$, $1\le k\le6$. Ekkor a
kisz\'am\'{\i}tand\'o v\'arhat\'o \'ert\'ek \'es sz\'or\'asn\'egyzet
$E\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}E\eta_j$,
$\Var\summ_{j=1}^{100}\eta_j=\summ_{j=1}^{100}\Var\eta_j$.
(A m\'asodik rel\'aci\'o felhaszn\'alja a tekintett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'al\-to\-z\'ok f\"uggetlens\'eg\'et.)
$E\eta_j=\dfrac16(1+2+3+4+5+6)=3.5$,
$E\eta_j^2=\dfrac16(1+4+9+16+25+36)=\dfrac{91}6$,
$\Var\eta_j=\dfrac{35}{12}$, $E\xi=350$, $\Var\xi=\dfrac{3500}{12}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok
do\-b\'as\-ered\-m\'e\-nyeinek \"osszeg\'et \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki
annak sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-ze\-t\'et.
\medskip
\item{3.} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\"or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er. Ekkor a
$\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell ki\-sz\'a\-mol\-nunk. Tov\'abb\'a
$E\xi_j=E\xi_1=\dfrac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\dfrac25-\dfrac4{25}=\dfrac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\dfrac25\cdot
\dfrac{19}{49}-\dfrac4{25}=-\dfrac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20E\xi_1=20\cdot\dfrac25=8$,
\'es sz\'or\'asn\'egyzete
$20\Var\xi_1+20\cdot19\cdot\Cov(\xi_1,\xi_2)=
20\cdot\dfrac6{25}-380\cdot\dfrac6{1245} =\dfrac{144}{49}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Legyen egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot, \'es minden h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott
goly\'ot visszadobjuk egy m\'asik azonos sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval
egy\"utt. Sz\'amoltuk a kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ Haszn\'aljuk az el\H{o}z\H{o} gyakorlat
eredm\'eny\'et arr\'ol, hogy mi a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge
annak, hogy egy adott h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk vagy k\'et
k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'as mindegyik\'eben piros goly\'ot h\'uzunk.
\item{4.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk t\'{\i}zszer.
Sz\'amoljuk ki a dob\'as\"osszeg harmadik hatv\'any\'anak a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=k$, ha a $j$-ik
dob\'as eredm\'enye $k$, $1\le j\le 10$, $1\le k\le 6$. Ekkor az
$E\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ v\'arhat\'o \'ert\'eket kell
kisz\'am\'{\i}tanunk. Ennek \'erdek\'eben tekints\"uk a
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3$ kifejez\'est \'es \'erts\"uk meg
milyen tagokat kapunk, ha elv\'egezz\"uk a beszorz\'asokat.
Egyr\'eszt megjelenik 10 $\xi_j^3$ alak\'u kifejez\'es, \'es
$E\xi_j^3=E\xi_1^3$ minden ilyen tagra. Ezenk\'{\i}v\"ul megjelenik
$3\cdot 10\cdot 9$ $\xi_j^2\xi_k$, $j\neq k$, alak\'u kifejez\'es,
mert a lehets\'eges $(j,k)$ p\'arokat $10\cdot 9$ m\'odon
v\'alaszthatjuk ki, \'es a $k$ (csak egyszer szerepl\H{o}
t\'enyez\H{o}) h\'arom helyen szerepelhet. Tov\'abb\'a minden ilyen
tagra $E\xi_j^2\xi_k=E\xi_j^2E\xi_k=E\xi_1^2 E\xi_1$. Tov\'abb\'a
$10\cdot9\cdot8$ m\'odon jelenhet meg $\xi_j\xi_k\xi_l$ alak\'u tag,
ahol a $j$, $k$ \'es $l$ indexek mind k\"ul\"onb\"oz\H{o}ek, \'es
ezekre $E\xi_j\xi_k\xi_l=\(E\xi_1\)^3$. M\'asfajta tag nem jelenik
meg a szorzatban. Innen
$\(\summ_{j=1}^{10}\xi_j(\oo)\)^3=10E\xi_1^3+270
E\xi_1(E\xi_1)^2+720\(E\xi_1\)^3=4410+14332.5+3087=218295.5$, mert
$E\xi_1=3.5$, $E\xi_1^2=\dfrac{91}6$ \'es $E\xi_1^3=441$.
\item{5.} Egy urn\'aban 10 piros \'es 20 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk visszatev\'es n\'elk\"ul 10 goly\'ot. A p\'aros sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nyer\"unk 3
forintot, piros goly\'o h\'uz\'as eset\'en pedig nem nyer\"unk
\'es nem vesz\'{\i}t\"unk semmit. A p\'aratlan sorsz\'am\'u
h\'uz\'asok eset\'en piros h\'uz\'as eset\'en 2 forintot nyer\"unk,
feh\'er goly\'o h\'uz\'as eset\'en nem nyer\"unk \'es nem
vesz\'{\i}t\"unk semmit. Sz\'amoljuk ki a nyerem\'eny\"unk
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\'o $\xi_j$,
$1\le j\le10$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: P\'aros $j$
sz\'amokra $\xi_j=3$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros,
$\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er
goly\'o. P\'aratlan $j$ sz\'amokra $\xi_j=2$, ha a $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye piros, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er goly\'o. Ekkor az $S=\summ_{j=1}^{10}\xi_j$ \"osszeg
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell
kisz\'amolnunk. Ennek \'erdek\'eben sz\'amoljuk ki az $E\xi_j$
v\'arhat\'o \'ert\'ekeket, $\Var\xi_j$ sz\'or\'asn\'egyzeteket \'es
$\Cov(\xi_j,\xi_k)$ kovarianci\'akat. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye piros
$\frac13$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy $j$-ik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er $\frac23$. Ez\'ert $E\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
$E\xi_j=\frac23$, ha $j$ p\'aratlan, \'es
$ES=5\(2+\frac23\)=13\frac13$.
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'asa \'erdek\'eben
vegy\"uk \'eszre, hogy $E\xi_j^2=6$, $\Var\xi_j=2$, ha $j$ p\'aros,
\'es $E\xi_j^2=\frac43$, $\Var\xi_j=\frac{8}9$. Tov\'abb\'a annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy k\'et $j$ \'es $k$ indexre $j\neq k$,
a $j$-ik \'es $k$-ik h\'uz\'as mindegyike feh\'er $\frac{2\cdot
19}{3\cdot 29}=\frac{38}{87}$, annak, hogy mindk\'et h\'uz\'as piros
$\frac{9}{3\cdot 29}=\frac3{29}$, annak, hogy az egyik h\'uz\'as
feh\'er a m\'asik piros $\frac{2\cdot10}{3\cdot 29}=\frac{20}{57}$.
Ez\'ert $E\xi_j\xi_k=9\cdot\frac{2\cdot 19}{3\cdot 29}=\frac{114}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{114}{29}-4=-\frac2{29}$, ha $j$ \'es $k$
p\'aros, $E\xi_j\xi_k=4\cdot\frac{3}{29}=\frac{12}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{12}{29}-\frac{4}9=-\frac{8}{263}$, ha $j$
\'es $k$ p\'aratlan, $E\xi_j\xi_k=6\cdot\frac{20}{57}=\frac{40}{29}$,
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac{40}{29}-\frac{4}3=\frac{4}{87}$, ha $j$ \'es
$k$ k\"oz\"ul az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan. Olyan $(j,k)$
p\'ar, $1\le j,k\le 10$, $j\neq k$, melyre $j$ \'es $k$ mindegyike
p\'aros vagy mindegyike p\'aratlan, \"osszesen 20 van, \'es olyan
$(j,k)$ p\'ar, melyekre az egyik p\'aros, a m\'asik p\'aratlan $2\cdot
5\cdot 5=50$  van, ez\'ert
$$
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)=20\(-\frac2{29}
-\frac{8}{263}\)+50\cdot\frac{4}{87}=\frac{80}{263}.
$$
Innen
$$
\align
\Var S&=\sum_{j=1}^{10}\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le 10,\,j\neq k}\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=5\(2+\frac89\)+
\frac{80}{263}=\frac{130}9+\frac{80}{263}=\frac{3850}{263}.
\endalign
$$
\item{6.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabat 100-szor egym\'as
ut\'an. Tekints\"uk az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'assorozatok sz\'am\'at, \'es sz\'am\'{\i}tsuk ki ennek v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 99$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=1$,
ha a $j$-ik \'es $j+1$-ik dob\'asok mindegyik\'enek eredm\'enye fej,
$\xi_j=0$ egy\'ebk\'ent. Vegy\"uk \'eszre, hogy minket az
$S=\summ_{j=1}^{99}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'erdekel. Ez\'ert
$ES=E\(\summ_{j=1}^{99}E\xi_j\)=\dfrac{99}4$,
mivel $E\xi_j=\dfrac14$. (\'Erdemes megjegyezni, hogy az ebben a
feladatban tekintett $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
nem f\"uggetlenek, de a f\"uggetlens\'egre nincs sz\"uks\'eg a
v\'arhat\'o \'ert\'ek additiv\'{\i}t\'as\'ahaz.)
\item{} A sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'am\'{\i}t\'as\'aban viszont
figyelembe kell venn\"unk azt, hogy nem csupa f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o \"osszeg\'et vizsg\'aljuk.
Haszn\'aljuk a sz\'o\-r\'as\-n\'egy\-zet
ki\-sz\'a\-mo\-l\'a\-s\'a\-n\'al a k\"ovetkez\H{o} formul\'at.
$$
\Var S=\Var\(\summ_{j=1}^{99}\xi_j\)=\sum_{j=1}^{99}
\Var\xi_j+2\sum_{1\le j<k\le99}\Cov(\xi_j,\xi_k).
$$
Tov\'abb\'a $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$, ha $k\ge j+2$, mert ebben az esetben
$\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlenek, \'es
$E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18-\frac1{16}=\frac1{16}$ minden $1\le j\le 98$
sz\'amra. Ugyanis $E\xi_j\xi_{j+1}=\frac18$, mivel
$\xi_j\xi_{j+1}=1$, ha a $j$-ik, $j+1$-ik \'es $j+2$-ik dob\'asok
mindegyike fej, aminek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac18$, \'es
$\xi_j\xi_{j+1}=0$ egy\'ebk\'ent. Tov\'abb\'a
$E\xi_jE\xi_{j+1}=\frac1{16}$. Ezenk\'{\i}v\"ul
$\Var\xi_j=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. Innen $\Var
S=99\cdot\frac3{16}+2\cdot\frac{98}{16}=\frac{493}{16}$.
 
 
 
\bye
