A március 16.-i gyakorlat feladatai

Először felidézek néhány fontos eredményt (diszkrét eloszlású) valószínűségi változók illetve ilyen valószínűségi változók összegének a várható értékéről és szórásnégyzetéről.

Valószínűségi változó fogalma: Legyen adva egy (Ω, A, P) valószínűségi mező. Egy ezen a téren értelmezett valós értékű (mérhető) ξ(ω) függvényt valószínűségi változónak fogunk nevezni. Azaz ξ az Ω → R^{1} leképezés. Az a megkötés, hogy a függvény legyen mérhető azt jelenti, hogy minden x valós számra az {ω: ξ(ω) < x} ∈ A feltétel teljesül.

Időnként hasznos nemcsak valós értékű valószínűségi változóról beszélni, hanem kissé általánosabban olyan valószínűségi változókat definiálni, amelyek értékeiket egy általános téren veszik fel. (Például bizonyos esetekben érdemes olyan valószínűségi változókat tekinteni, amelyek értéke komplex szám, vagy nem egyetlen szám, hanem egy szám-n-es. Az ilyen valószínűségi változókat vektor értékűnek szokták hívni.) Annak érdekében, hogy ezt megtehessük tekintsünk valamilyen X halmazt, és e halmaz kitüntetett részhalmazainak X osztályát, amelyek σ-algebrát alkotnak. Egy az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn definiált X térbeli értékeket felvevő (mérhető) függvényt X-tér értékű valószínűségi változónak nevezünk. Az, hogy ez a függvény mérhető azt jelenti, hogy minden Y ∈ X halmazra az {ω: ξ(ω) ∈ Y } ∈ A feltétel teljesül.

Diszkrét eloszláú valószínűségi változók és azok eloszlása. Egy ξ valószínűségi változót egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn diszkrétnek vagy diszkrét eloszlásúnak hívunk, ha megadható egy véges vagy megszámlálhatóan végtelen számosságú x_{1}, x_{2}, ⋯, halmaz úgy, hogy az {ω, ξ(ω) = x_{n}}, n = 1, 2, …, halmazok teljes eseményrendszert alkotnak. Egy diszkrét eloszlású valószínűségi változó eloszlását meghatározzák azok az x_{1}, x_{2}, …, értékek amelyeket az felvesz és a p_{n} = P (ξ = x_{n}) valószínűségek. (Jegyezzük meg, hogy

∑_{n} P (ξ = x_{n}) = 1.)

Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} diszkrét eloszlású valószínűségi változók ugyanazon az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, amelyek valamilyen x_{1}, x_{2}, … értékeket vesznek fel. Ezek együttes eloszlását meghatározzák a P (ξ_{1} = x_{j_{1}}, ξ_{2} = x_{j_{2}}, …, ξ_{k} = x_{j_{k}}), j_{s} = 1, 2, …, 1 ≤ s ≤ k, valószínűségek.

Diszkrét eloszlású valószínűségi változók függetlensége. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} diszkrét eloszlású valószínűségi változók ugyanazon az (Ω, A, P) valószínűségi mezőn, amelyek valamilyen x_{1}, x_{2}, … értékeket vesznek fel. Azt mondjuk, hogy ezek az ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{k} valószínűségi változók függetlenek, ha

P (ξ_{1} = x_{j_{1}}, ξ_{2} = x_{j_{2}}, …, ξ_{k} = x_{j_{k}}) = P (ξ_{1} = x_{j_{1}}) P (ξ_{2} = x_{j_{2}}) ⋯ P (ξ_{k} = x_{j_{k}})

minden j_{s} = 1, 2, …, 1 ≤ s ≤ k, indexre.

Diszkrét eloszlású valószínűségi változó várható értéke. Legyen ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó, amely x_{1}, x_{2}, … értékeket vesz fel p_{k} = P (ξ = x_{k}) való-

színűséggel, k = 1, 2, …, ∑_{k=1}^{∞} P (ξ = x_{k}) = 1. A ξ valószínűségi változó várható értéke az

Eξ = ∑_{k=1}^{∞} x_{k}P (ξ = x_{k})

összeg, feltéve hogy ez az összeg abszolut konvergens. Ha ez az összeg nem abszolut konvergens, akkor nem definiáljuk az Eξ várható értéket.

Tétel. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2} (diszkrét eloszlású) valószínűségi változók, amelyeknek létezik várható értékük. Ekkor a ξ_{1} + ξ_{2} összegnek is létezik várható értéke, és

E(ξ_{1} + ξ_{2}) = Eξ_{1} + Eξ_{2}.

Következmény. Legyenek adva ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{k} (diszkrét eloszlású) valószínűségi változók, amelyeknek létezik várható értékük, és legyenek c_{1}, …, c_{k} valós számok. Ekkor a c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2} + ⋯ + c_{k}ξ_{k} valószínűségi változónak is létezik várható értéke, és

E (c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2} + ⋯ + c_{k}ξ_{k}) = c_{1}Eξ_{1} + c_{2}Eξ_{2} + ⋯ + c_{k}Eξ_{k}.

Tétel. Legyen ξ diszkrét eloszlású valószínűségi változó, amely bizonyos x_{1}, x_{2}, … értéket vesz fel és g(x) valós függvény. Ekkor

Eg(ξ) = ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}),

feltéve, hogy a ∑_{j=1}^{∞} g(x_{j})P (ξ = x_{j}) összeg abszolut konvergens.

Tétel. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független, diszkrét eloszlású valószínűségi változók, amelyek mindegyikére létezik az Eξ_{j}, 1 ≤ j ≤ n várható érték. Ekkor az Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} várható érték is létezik, és

Eξ_{1}ξ_{2} ⋯ ξ_{n} = Eξ_{1}Eξ_{2} ⋯ Eξ_{n}.

A szórásnégyzet definiciója: Legyen ξ olyan valószínűségi változó, amelyre Eξ^{2} < ∞. Ekkor a ξ valószínűségi változó szórásnégyzetét a

Var ξ = E (ξ − Eξ)^{2}

képlet definiálja. Ha Eξ^{2} = ∞ akkor a Var ξ szórásnégyzetet nem definiáljuk vagy azt mondjuk, hogy Var ξ = ∞.

Lemma.

Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}.

Lemma. Minden a és b valós számra

Var (aξ + b) = a^{2}Var ξ.

Tétel. Ha ξ_{1}, ξ_{2}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, akkor

Var (ξ_{1} + ξ_{2} + ⋯ + ξ_{n}) = Var ξ_{1} + Var ξ_{2} + ⋯ + Var ξ_{n}.

A kovarianciafüggvény definiciója. Legyen ξ és η két valószínűségi változó, amelyek mindegyikének létezik szórásnégyzete, azaz Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞. Ekkor a ξ és η kovariancifüggvényét Cov (ξ, η)-t a

Cov (ξ, η) = E [(ξ − Eξ)(η − Eη)]

kifejezés definiálja. Ha a Eξ^{2} < ∞ és Eη^{2} < ∞ feltételek valamelyike nem teljesül, akkor nem definiáljuk a Cov (ξ, η) kovariancifüggvényt.

Lemma.

Cov (ξ, η) = Eξη − EξEη.

Tétel. Ha ξ_{1}, …, ξ_{n} valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn, amelyek mindegyikének létezik szórásnégyzete, akkor

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j} + ∑_{1≤j,k≤n, j≠k}(Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Bizonyítás.

Var (∑_{j=1}^{n} ξ_{j}) = E (∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}− (E ∑_{j=1}^{n} ξ_{j})^{2}= E (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} ξ_{j}ξ_{k}) − (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}Eξ_{k})

= (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}ξ_{k}) − (∑_{j=1}^{m} ∑_{k=1}^{n} Eξ_{j}Eξ_{k})

= ∑_{j=1}^{n} (Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2}) + 2 ∑_{1≤j<k≤n}(Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k}).

és Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = Var ξ_{j}, Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} = Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

1. Egy szabályos pénzdarabot feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a fejdobások számának a várható értékét és szórásnégyzetét. Számítsuk ki ezt egyrészt direkt módon felírva és kiszámolva a várható értéket és szórásnégyzetet kifejező összeget másrészt egyszerűbben a független valószínűségi változók szórásnégyzetét kifejező képlet segítségével. Megoldás: A fejdobások száma 0 és 100 között van. Annak valószínűsége, hogy

k fejdobás következik be, 0 ≤ k ≤ 100, p_{k} = \binom{100}{k}2^{−100}. Ezért a dobások

számának várható értéke Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100}, ahol ξ jelöli a fejdobások számát

megadó valószínűségi változót. Továbbá Eξ^{2} = ∑_{k=0}^{100} k^{2}\binom{100}{k}2^{−100}, a szórásnégyzet

pedig Var ξ = Eξ^{2} − (Eξ)^{2}. Ezeket az összegeket közvetlenül kiszámíthatjuk.

Valóban, k\binom{100}{k} = 100\binom{99}{k − 1}, Eξ = ∑_{k=0}^{100} k\binom{100}{k}2^{−100} = 50 ∑_{k=0}^{99} k\binom{99}{k}2^{−99} =

50 (\frac{1}{2} + \frac{1}{2})^{99} = 50. Továbbá, k^{2}\binom{100}{k} = [k(k − 1) + k]\binom{100}{k} = 100 · 99 ·

\binom{98}{k − 2} + 100 · \binom{100}{99}, Eξ^{2} = 2^{−100} · 100 · 99 · ∑_{k=0}^{98} \binom{98}{k} + 2^{−100} · 100 · ∑_{k=0}^{99} \binom{99}{k} =

2^{−100} (100 · 99 · (1 + 1)^{98} + 100 · (1 + 1)^{99}) = 25·99+50, Var ξ = Eξ^{2}−(Eξ^{2}) = 25. Valójában a vizsgált várható értéket és szórásnégyzetet egyszerűbben is kiszámíthatjuk. Vezessük be a ξ_{j} valószínűségi változókat, ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás, 1 ≤ j ≤ 100. Ekkor a fejdobások száma

ξ = ∑_{j=1}^{100} ξ_{j}, Eξ = ∑_{j=1}^{100} Eξ_{j}, Var ξ = ∑_{j=1}^{100} Var ξ_{j}. Mivel Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Eξ_{j}^{2} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4},

1 ≤ j ≤ 100, ezért Eξ = \frac{1}{2} · 100 = 50, Var ξ = \frac{1}{4} · 100 = 25.

2. Egy szabályos dobókockát feldobunk 100-szor egymás után. Számoljuk ki a dobáseredmények összegének várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Legyenek η_{1},…, η_{100} független valószínűségi változók, amelyekre P (η_{j} =

k) = \frac{1}{6}, 1 ≤ j ≤ 100, 1 ≤ k ≤ 6. Ekkor a kiszámítandó várható érték és

szórásnégyzet E ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Eη_{j}, Var ∑_{j=1}^{100} η_{j} = ∑_{j=1}^{100} Var η_{j}. (A második reláció

felhasználja a tekintett valószínűségi változók függetlenségét.) Eη_{j} = \frac{1}{6}(1 + 2 + 3 +

4 + 5 + 6) = 3.5, Eη_{j}^{2} = \frac{1}{6}(1 + 4 + 9 + 16 + 25 + 36) = \frac{91}{6}, Var η_{j} = \frac{35}{12}, Eξ = 350,

Var ξ = \frac{3500}{12}.

Házi feladat:

Egy szabályos dobókockát feldobunk 100-szor egymás után. Tekintsük a páros értékű dobások dobáseredményeinek összegét és számítsuk ki annak szórásnégyzetét.

3. Legyen egy urnában 20 piros és 30 fehér golyó. Húzzunk ki 20 golyót visszatevés nélkül. Számoljuk ki a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szörásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 20, valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = 1, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j}(ω) = 0, ha a j-ik húzás eredménye

fehér. Ekkor a ξ = ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} összeg várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámol-

nunk. Továbbá Eξ_{j} = Eξ_{1} = \frac{2}{5}, Var ξ_{j} = Var ξ_{1} = \frac{2}{5} − \frac{4}{25} = \frac{6}{25}, Eξ_{j}ξ_{k}−Eξ_{j}Eξ_{k} =

Eξ_{1}ξ_{2} − Eξ_{1}Eξ_{2} = \frac{2}{5} · \frac{19}{49} − \frac{4}{25} = −\frac{6}{1245}, ha j ≠ k. Innen a 20 dobásban kihúzott

piros golyók számának várható értéke 20Eξ_{1} = 20 · \frac{2}{5} = 8, és szórásnégyzete

20Var ξ_{1} + 20 · 19 · Cov (ξ_{1}, ξ_{2}) = 20 · \frac{6}{25} − 380 · \frac{6}{1245} = \frac{144}{49}.

Házi feladat:

Legyen egy urnában 10 piros és 20 fehér golyó. Húzzunk ki 20 golyót, és minden húzás után a kihúzott golyót visszadobjuk egy másik azonos színű golyóval együtt. Számoltuk a kihúzott piros golyók számának várható értékét és szórásnégyzetét. Megjegyzés: Használjuk az előző gyakorlat eredményét arról, hogy mi a valószínűsége annak, hogy egy adott húzásban piros golyót húzunk vagy két különböző húzás mindegyikében piros golyót húzunk.

4. Egy szabályos dobókockát feldobunk tízszer. Számoljuk ki a dobásösszeg harmadik hatványának a várható értékét. Megoldás: Vezessük be a következő valószínűségi változókat: ξ_{j}(ω) = k, ha a j-ik

dobás eredménye k, 1 ≤ j ≤ 10, 1 ≤ k ≤ 6. Ekkor az E ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω))^{3} várható

értéket kell kiszámítanunk. Ennek érdekében tekintsük a ( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω))^{3} kifejezést

és értsük meg milyen tagokat kapunk, ha elvégezzük a beszorzásokat. Egyrészt megjelenik 10 ξ_{j}^{3} alakú kifejezés, és Eξ_{j}^{3} = Eξ_{1}^{3} minden ilyen tagra. Ezenkívül megjelenik 3 · 10 · 9 ξ_{j}^{2}ξ_{k}, j ≠ k, alakú kifejezés, mert a lehetséges (j, k) párokat 10 · 9 módon választhatjuk ki, és a k (csak egyszer szereplő tényező) három helyen szerepelhet. Továbbá minden ilyen tagra Eξ_{j}^{2}ξ_{k} = Eξ_{j}^{2}Eξ_{k} = Eξ_{1}^{2}Eξ_{1}. Továbbá 10· 9·8 módon jelenhet meg ξ_{j}ξ_{k}ξ_{l} alakú tag, ahol a j, k és l indexek mind különbözőek, és ezekre Eξ_{j}ξ_{k}ξ_{l} = (Eξ_{1})^{3}. Másfajta tag nem jelenik meg a szorzatban. Innen

( ∑_{j=1}^{10} ξ_{j}(ω))^{3} = 10Eξ_{1}^{3} + 270Eξ_{1}(Eξ_{1})^{2} + 720 (Eξ_{1})^{3} = 4410 + 14332.5 + 3087 =

218295.5, mert Eξ_{1} = 3.5, Eξ_{1}^{2} = \frac{91}{6} és Eξ_{1}^{3} = 441.

5. Egy urnában 10 piros és 20 fehér golyó van. Kihúzunk visszatevés nélkül 10 golyót. A páros sorszámú húzások esetén fehér golyó húzás esetén nyerünk 3 forintot, piros golyó húzás esetén pedig nem nyerünk és nem veszítünk semmit. A páratlan sorszámú húzások esetén piros húzás esetén 2 forintot nyerünk, fehér golyó húzás esetén nem nyerünk és nem veszítünk semmit. Számoljuk ki a nyereményünk várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következó ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10, valószínűségi változókat: Páros j számokra ξ_{j} = 3, ha a j-ik húzás eredménye piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér golyó. Páratlan j számokra ξ_{j} = 2, ha a j-ik húzás eredménye

piros, ξ_{j} = 0, ha a j-ik húzás eredménye fehér golyó. Ekkor az S = ∑_{j=1}^{10} ξ_{j} összeg

várható értékét és szórásnégyzetét kell kiszámolnunk. Ennek érdekében számoljuk ki az Eξ_{j} várható értékeket, Var ξ_{j} szórásnégyzeteket és Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) kovarianciákat. Annak valószínűsége, hogy a j-ik húzás eredménye piros \frac{1}{3}, annak valószínűsége, hogy j-ik húzás eredménye fehér \frac{2}{3}. Ezért Eξ_{j} = 2, ha j páros, Eξ_{j} = \frac{2}{3}, ha j páratlan, és ES = 5 (2 + \frac{2}{3}) = 13\frac{1}{3}. A szórásnégyzet kiszámítása érdekében vegyük észre, hogy Eξ_{j}^{2} = 6, Var ξ_{j} = 2, ha j páros, és Eξ_{j}^{2} = \frac{4}{3}, Var ξ_{j} = \frac{8}{9}. Továbbá annak valószínűsége, hogy két j és k indexre j ≠ k, a j-ik és k-ik húzás mindegyike fehér \frac{2·19}{3·29} = \frac{38}{87}, annak, hogy mindkét húzás piros \frac{9}{3·29} = \frac{3}{29}, annak, hogy az egyik húzás fehér a másik piros \frac{2·10}{3·29} = \frac{20}{57}. Ezért Eξ_{j}ξ_{k} = 9 · \frac{2·19}{3·29} = \frac{114}{29}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{114}{29} − 4 = −\frac{2}{29}, ha j és k páros, Eξ_{j}ξ_{k} = 4 · \frac{3}{29} = \frac{12}{29}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{12}{29} − \frac{4}{9} = −\frac{8}{263}, ha j és k páratlan, Eξ_{j}ξ_{k} = 6 · \frac{20}{57} = \frac{40}{29}, Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{40}{29} − \frac{4}{3} = \frac{4}{87}, ha j és k közül az egyik páros, a másik páratlan. Olyan (j, k) pár, 1 ≤ j, k ≤ 10, j ≠ k, melyre j és k mindegyike páros vagy mindegyike páratlan, összesen 20 van, és olyan (j, k) pár, melyekre az egyik páros, a másik páratlan 2 · 5 · 5 = 50 van, ezért

∑_{1≤j,k≤10, j≠k} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 20 (−\frac{2}{29} − \frac{8}{263}) + 50 · \frac{4}{87} = \frac{80}{263}.

Innen

Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + ∑_{1≤j,k≤10, j≠k} Cov (ξ_{j}, ξ_{k})

= 5 (2 + \frac{8}{9}) + \frac{80}{263} = \frac{130}{9} + \frac{80}{263} = \frac{3850}{263}.

6. Feldobunk egy szabályos pénzdarabat 100-szor egymás után. Tekintsük az egymást követő fej-fej dobássorozatok számát, és számítsuk ki ennek várható értékét és szórásnégyzetét. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 99, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik és j + 1-ik dobások mindegyikének eredménye fej, ξ_{j} = 0 egyébként.

Vegyük észre, hogy minket az S = ∑_{j=1}^{99} ξ_{j} valószínűségi változó várható értéke

érdekel. Ezért ES = E ( ∑_{j=1}^{99} Eξ_{j}) = \frac{99}{4}, mivel Eξ_{j} = \frac{1}{4}. (Érdemes megjegyezni, hogy az ebben a feladatban tekintett ξ_{j} valószínűségi változók nem függetlenek, de a függetlenségre nincs szükség a várható érték additivításáhaz.) A szórásnégyzet kiszámításában viszont figyelembe kell vennünk azt, hogy nem csupa független valószínűségi változó összegét vizsgáljuk. Használjuk a szórásnégyzet kiszámolásánál a következő formulát.

Var S = Var (∑_{j=1}^{99} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{99} Var ξ_{j} + 2 ∑_{1≤j<k≤99} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}).

Továbbá Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = 0, ha k ≥ j + 2, mert ebben az esetben ξ_{j} és ξ_{k} függetlenek, és Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{8} − \frac{1}{16} = \frac{1}{16} minden 1 ≤ j ≤ 98 számra. Ugyanis Eξ_{j}ξ_{j+1} = \frac{1}{8}, mivel ξ_{j}ξ_{j+1} = 1, ha a j-ik, j + 1-ik és j + 2-ik dobások mindegyike fej, aminek valószínűsége \frac{1}{8}, és ξ_{j}ξ_{j+1} = 0 egyébként. Továbbá Eξ_{j}Eξ_{j+1} = \frac{1}{16}. Ezenkívül Var ξ_{j} = \frac{1}{4} − \frac{1}{16} = \frac{3}{16}. Innen Var S = 99 · \frac{3}{16} + 2 · \frac{98}{16} = \frac{493}{16}.