\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\centerline{\bf A febru\'ar 24.-i gyakorlat feladatai}
\medskip
 
\item{1.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor
egym\'as ut\'an. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan
az \"ot\"odik dob\'asban jelenik meg az els\H{o} fej-dob\'as? Mi annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik fej-dob\'as pontosan
\"ot dob\'assal az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an k\"ovetkezik be?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Akkor lesz az els\H{o} fej-dob\'as az
\"ot\"odik  dob\'as, ha el\H{o}sz\"or n\'egy \'{\i}r\'as-dob\'as
majd egy fej-dob\'as t\"ort\'enik. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\(\frac12\)^4\cdot\frac12=\(\frac12\)^5$. Hasonl\'oan, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o}
fej-dob\'as $2^{-k}$, $k=1,2,\dots$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig, hogy a $k$-ik dob\'as lesz az els\H{o} fej-dob\'as, ut\'ana
pedig 5 dob\'as m\'ulva k\"ovetkezik be a m\'asodik fej-dob\'as
$2^{-k}\cdot2^{-5}=2^{-k-5}$. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
hogy az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott pontosan 5
dob\'as k\"ovetkezik be kisz\'amolhatjuk \'ugy is, hogy kisz\'amoljuk
minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra kisz\'amoljuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a $k$-ik dob\'as volt az els\H{o}
\'es a $k+5$-ik dob\'as a m\'asodik fej-dob\'as, majd
\"osszegez\"unk $k=1,2,\dots$-ra. \'Igy azt kapjuk, hogy a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\summ_{k=1}^\infty
2^{-k-5}=2^{-5}\summ_{k=1}^\infty 2^{-k}=2^{-5}$.
\item{2.} Feldobunk egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'asig
ugyanannyi dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} \'es m\'asodik
fejdob\'as k\"oz\"ott? Annak, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
fejdob\'as\'as k\"oz\"ott t\"obb dob\'as t\"ort\'enik, mint az
els\H{o} fejdob\'asig? P\'eter \'es P\'al egyid\H{o}ben egym\'as
ut\'an feldob egy-egy szab\'alyos p\'enzdarabot. Arra vagyunk
kiv\'ancsiak ki dob el\H{o}sz\"or fejet. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter dob\'asai k\"oz\"ott
el\H{o}bb jelenik meg egy fej-dob\'as mint P\'al dob\'asai k\"oz\"ott?
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egyszerre k\"ovetkezik be
P\'eter \'es P\'al els\H{o} fej-dob\'asa?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
a $k$-ik \'es $2k$-ik dob\'asban t\"ort\'enik az els\H{o} \'es
m\'asodik fej-dob\'as $2^{-2k}$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig ugyanannyi dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} \'es
m\'asodik fej-dob\'as k\"oz\"ott $\summ_{k=1}^\infty
2^{-2k}=\frac14\frac1{1-\frac14}=\frac13$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'as a $k$-ik
dob\'as, a m\'asodik dob\'as pedig a $2k+1.,2k+2.,\dots$ dob\'as
valamelyike, azaz t\"obb dob\'as t\"ort\'enik az els\H{o} \'es
m\'asodik dob\'as k\"oz\"ott $2^{-k}\summ_{j=k+1}^\infty2^{-j}
=2^{-2k}\summ_{j=1}^\infty2^{-j}=2^{-2k}$. \'igy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege hogy az els\H{o} \'es m\'asodik dob\'as
k\"oz\"ott t\"obb dob\'as t\"ort\'enik, mint az els\H{o} dob\'asig
$\summ_{k=1}^\infty 2^{-2k}=\frac13$.
\item{} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy P\'eter \'es P\'al
dob\'asai k\"oz\"ott a $k$-ik dob\'asban jelenik meg el\H{o}sz\"or
fej-dob\'as, \'es P\'eter fejet dob, P\'al pedig nem
$2{-2(k-1)+2}=2^{-2k}$, \'es annak, hogy mind a ketten fejet dobnak
szint\'en $2^{-2k}$. Ez\'ert mind az, hogy P\'eter el\H{o}bb dob
fejet, mint P\'al, illetve annak is, hogy egyszerre dobnak fejet
$\summ_{k=1}^\infty2^{-2k}=\frac13$.
\medskip
Az, hogy az el\H{o}z\H{o} feladatokban bizonyos
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek heurisztikusan
\'erezhet\H{o}. \'Igy ha megv\'arjuk, m\'{\i}g az els\H{o}
fej-dob\'as bek\"ovetkezett \'es ut\'ana v\'arjuk, hogy mennyi ideig
kell v\'arni ezut\'an a m\'asodik fejdob\'asig az ugyanolyan
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi t\"orv\'enyeknek tesz  eleget, mint annak
a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mennyi ideig kell v\'arni az
els\H{o} fej-dob\'asra. Ez\'ert annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy 5 l\'ep\'esig kell v\'arni a fej-dob\'asra \'es annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} fej-dob\'as ut\'an
\"ot l\'ep\'esig kell v\'arni a m\'asodik fej-dob\'asra megegyezik.
Hasonl\'oan, annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
fej-dob\'asig illetve az els\H{o} \'es m\'asodik fej-dob\'as
k\"oz\"ott ugyanannyi l\'ep\'es t\"ort\'ent megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy P\'eter \'es P\'al egyszerre
dob fejet. Felmer\"ulhet az ig\'eny, hogy pr\'ob\'aljunk a
heurisztikus indokl\'asb\'ol prec\'{\i}z b\'{\i}zony\'{\i}t\'ast
tenni. Ennek \'erdek\'eben az els\H{o} l\'ep\'es az, hogy a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as dob\'asok sorozat\'at le\'{\i}r\'o
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt meg\'erts\"uk.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk v\'egtelen sokszor.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} hatos
dob\'asig ugyanannyi dob\'as t\"ort\'ent, mint az els\H{o} \'es
m\'asodik hatos dob\'as k\"oz\"ott?
\medskip
\item{3.} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy lott\'on
pontosan h\'arom tal\'alatot \'er\"unk el? Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul
kit\"olt\"unk 10 lott\'oszelv\'enyt, \'es egyetlen h\'arom
tal\'alatos szelv\'eny\"unk lesz?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Minden az 1 \'es 90 sz\'amok valamelyik\'et
tartalmaz\'o sz\'am\"ot\"os megjelen\'ese egyform\'an
val\'osz\'{\i}n\H{u}. \'Igy minden egyes h\'uz\'as eredm\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac1{\binom{90}5}$. Kit\"olt\"ott\"unk
5 sz\'amot, sz\'amoljuk ki h\'any h\'uz\'aseredm\'eny sor\'an lesz
pontosan h\'arom tal\'alatunk. Ez \'ugy lehets\'eges, ha a kih\'uzott
5 sz\'am k\"oz\"ul 3 az \'altalunk kit\"olt\"ott 5 sz\'am k\"oz\"ul
val\'o, 2 pedig a ki nem t\"olt\"ott 85 sz\'am k\"oz\"ul.
Ez $\binom 53\binom{85}2$ f\'ele m\'odon lehets\'eges. Ez\'ert a
h\'armas tal\'alat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\frac{\binom
53\binom{85}2}{\binom{90}5}$. Annak  val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy nincs 3 tal\'alat $1-\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}$.
Ha egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul kit\"olt\"unk 10 szelv\'enyt, akkor
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy 3 tal\'alatos szelv\'eny
sem jelenik meg $\(1-\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}\)^{10}$.
 Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik szelv\'eny 3
tal\'alatos, a t\"obbi pedig nem $\frac{\binom
53\binom{85}2}{\binom{90}5} \(1-\frac{\binom
53\binom{85}2}{\binom{90}5}\)^{9}$ minden $1\le j\le10$ sz\'amra.
Ez\'ert annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 10 egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul kit\"olt\"ott szelv\'enyek k\"oz\"ul pontosan 1 3
tal\'alatos lesz $10\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}
\(1-\frac{\binom 53\binom{85}2}{\binom{90}5}\)^{9}$.
 
\medskip
\item{4.} K\'et ember 8 \'es 9 \'ora k\"oz\"ott megjelenik egy t\'eren
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul \'es egyenletes eloszl\'asal. Mind a
kett\H{o} f\'el\'or\'at v\'ar a m\'asikra, \'es ha az addig nem j\"on,
akkor hazamegy. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tal\'alkoznak?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk az
egys\'egn\'egyzetet, \'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az
egys\'egn\'egyzeten, melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy az
els\H{o} ember az $y$ koordin\'at\'aja pedig megadja, hogy a m\'asodik
ember ember mikor \'erkezett. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont
egyenletes eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten, azaz annak
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy ez a pont az
egys\'egn\'egyzet egy (sz\'ep) r\'eszhalmaz\'aba esik meg\-egye\-zik
e halmaz ter\"ulet\'evel. Az, hogy a k\'et ember tal\'alkozik azt az
esem\'enyt jelenti, hogy az \'{\i}gy defini\'alt $(x,y)$ pont az
egys\'egn\'egyzet
$$
A=\left\{(x,y)\:-\frac12\le y-x\le \frac12\right\}\cap[0,1]\times
[0,1]
$$
r\'eszhalmaz\'aba esik. Ennek a halmaznak a ter\"ulete
$1-2\cdot\dfrac18=\dfrac34$, \'es ez a keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg.
\item{5.} K\'et egy m\'eter hossz\'u botot v\'eletlenszer\H{u}en,
(egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul) egyenletes eloszl\'assal elt\"or\"unk.
A k\'et r\"ovidebb darabot \"osszeragasztjuk. Mi annak a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az \'{\i}gy kapott \'uj bot
hossza kisebb mint $0.8$ m\'eter?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez a feladat is hasonl\'o
m\'odon t\'argyalhat\'o. Tekints\"uk az egy\-s\'eg\-n\'egy\-ze\-tet,
\'es v\'alasszuk azt a v\'eletlen pontot az egys\'egn\'egyzeten,
melynek $x$ koordin\'at\'aja megadja, hogy  hol t\"ort\"uk el az
els\H{o} botot az $y$ koordin\'at\'aja pedig azt, hogy hol t\"ort\"uk
el a m\'asodik botot. Ekkor  az \'{\i}gy defini\'alt pont egyenletes
eloszl\'as\'u az egys\'egn\'egyzeten. Az az esem\'eny, hogy az
\"osszeragasztott bot hossza kisebb mint $0.8$ megegyezik annak az
esem\'enynek a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az $(x,y)$ pont
a k\"ovetkez\H{o} $A_1$, $A_2$, $A_3$ \'es  $A_4$ halmazok
$A_1\cup A_2\cup A_3\cup A_4$ uni\'oj\'aba esik:
$A_1=\{(x,y)\: x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_2=\{(x,y)\: x+(1-y)<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$,
$A_3=\{(x,y)\: 1-x+y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$ \'es
$A_4=\{(x,y)\: 1-x+1-y<0.8\}\cap [0,1]\times [0,1]$. Rajzoljuk le
ezeket a halmazokat. Az \'abra mutatja, hogy az $A_1\cup A_2\cup
A_3\cup A_4$ halmaz komplementere az a n\'egyzet melynek cs\'ucsai
a $(0.3,\,0.5)$, $(0.5,\,0,3)$, $(0.7,\,0.5)$, \'es $(0.5,\,0.7)$
pontok. Ennek a n\'egyzetnek a ter\"ulete, $0.08$ teh\'at a minket
\'erdekl\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $1-0.08=0.92$.
\medskip
 
\bye
