\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
%\nopagenumbers
 
\centerline{\bf A febru\'ar 17.-i gyakorlat feladatai}
 
\item{1.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot visszatev\'essel. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros. Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a t\'{\i}zenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50
goly\'ob\'ol h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es
minden goly\'ot egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk ki.
Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
piros, a m\'asodik feh\'er, $\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et majd 50 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Hasonl\'oan annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az 5. h\'uz\'asban piros goly\'ot h\'uzunk ki $\frac25$, \'es
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an piros
\'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk
$\frac25\cdot\frac35=\frac6{25}$.
\medskip
\item{} Jegyezz\"uk meg, hogy a k\"ovetkez\H{o} feladat megold\'asa
egy olyan \'ervet tartalmaz, amelyik ebben az esetben is
alkalmazhat\'o, \'es megmutatja, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as piros \'es a 16.
h\'uz\'as feh\'er megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as feh\'er.
\'Erdemes ezeket az \'ervel\'eseket m\'egegyszer v\'egiggondolni
azut\'an, hogy megt\'argyaltuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}
pontos definici\'oj\'at.
\medskip
\item{2.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot {\it visszatev\'es n\'elk\"ul}. Mi a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
eredm\'enye piros? Annak, hogy az els\H{o} h\'uz\'as eredm\'enye piros
\'es a m\'asodik\'e feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as eredm\'enye
piros \'es a t\'{\i}zenhatodik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}=\frac25$, mert 50
goly\'ob\'ol h\'uzzuk ki a 20 piros goly\'o valamelyik\'et, \'es
minden goly\'ot egyforma va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
h\'uzunk ki. Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros, a m\'asodik feh\'er,
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$, mert
el\H{o}sz\"or 50 goly\'o k\"oz\"ul v\'alasztjuk ki a h\'usz piros
goly\'o valamelyik\'et, majd 49 goly\'o valamelyik\'eb\H{o}l  a 30
feh\'er goly\'o valamelyik\'et, \'es minden h\'uz\'as egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}. Bel\'atjuk, hogy annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 16. h\'uz\'asban piros goly\'ot
h\'uzunk ki, megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy
az els\H{o} h\'uz\'as piros, azaz ez $\frac25$. Tov\'abb\'a
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az 5. h\'uz\'as sor\'an
piros \'es a 16. h\'uz\'as sor\'an feh\'er goly\'ot h\'uzunk
megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er, a m\'asodik h\'uz\'as eredm\'enye
piros. Ez\'ert ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg is
$\frac25\cdot\frac{30}{49}=\frac{60}{245}$.
\item{} Tekints\"uk ugyanis az \"osszes 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozatot. Ekkor annak va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge,
hogy az 5. h\'uz\'as eredm\'enye piros a 16. h\'uz\'as eredm\'enye
feh\'er megegyezik az \"osszes olyan 25 hossz\'us\'ag\'u
h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az \"osszeg\'evel,
amelyek 5. hely\'en piros \'es a 16. hely\'en feh\'er jegy \'all.
Hasonl\'oan sz\'am\'{\i}that\'o ki annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as
eredm\'enye feh\'er, azzal a k\"ul\"onbs\'eggel, hogy az 5. hely
helyett az els\H{o} \'es a 16. hely helyett a m\'asodik helyet kell
tekinteni. Be fogjuk l\'atni, hogy ugyanaz a k\'eplet fejezi ki ezt a
k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, er\'ert ezek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek megegyeznek.
\item{} Vegy\"uk \'eszre, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
egy el\H{o}\'{\i}rt konkr\'et 25 hossz\'us\'ag\'u sorozat jelenik meg
csak att\'ol f\"ugg, hogy a sorozat h\'any piros \'es h\'any feh\'er
goly\'ot tartalmaz, de nem f\"ugg a feh\'er \'es piros h\'uz\'asok
sorrendj\'et\H{o}l. Val\'oban, ha egy h\'uz\'assorozat $k$ piros \'es
$25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz, akkor ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $P(k)=\dfrac{25\cdot24\cdots(25-k+1)\cdot
30\cdot29\cdots(30-(25-k)+1)}{50\cdot49\cdots26}$. Ugyanis egy
el\H{o}\'{\i}rt h\'uz\'assorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\prodd_{j=1}^{25}\dfrac{l(j)}{50-j+1}$, ahol $l(j)$ az a $j-1$-ik
h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban maradt piros goly\'ok sz\'ama, ha a
$j$-ik h\'uz\'as piros, \'es a $j-1$-ik h\'uz\'as ut\'an az urn\'aban
maradt feh\'er goly\'ok sz\'ama, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er.
Gondoljuk meg, hogy ez a kifejez\'es megegyezik a megadott
formul\'aval.
\item{} Jel\"olje $A(k;5,16)$ az olyan 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, amelyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er jelet tartalmaznak,
\'es az 5. helyen piros a 16. helyen pedig feh\'er jel \'all.
Jel\"olje tov\'abb\'a $A(k;1,2)$ az olyan 25 hossz\'us\'ag\'u
sorozatok sz\'am\'at, amelyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er jelet
tartalmaznak, az 1. helyen piros a 2. helyen pedig feh\'er jel \'all.
Ekkor a k\'et \"osszehasonl\'{\i}tand\'o val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\summ_k A(k;5,16)P(k)$ illetve $\summ_k A(k;1,2)P(k)$. Ez\'ert annak
\'erdek\'eben, hogy megmutassuk a k\'{\i}v\'ant azonoss\'ag
teljes\"ul\'es\'et elegend\H{o} bel\'atni azt, hogy
$A(k;5,16)=A(k;1,2)$ minden $k$ sz\'amra.
\item{} Viszont nem neh\'ez bel\'atni, hogy
$A(k;5,16)=A(k;1,2)=\binom{23}{k-1}$, mert mind a k\'et esetben 23
el\H{o}\'{\i}rt helyre kell \'{\i}rni $k-1$ piros \'es $25-(k+1)$
feh\'er goly\'ot.
\item{} Az utols\'o azonoss\'ag egy m\'asik lehets\'eges
bizony\'{\i}t\'asa: Mutassuk meg, hogy ha tekintj\"uk az \"osszes 25
hossz\'us\'ag\'u $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaz\'o
sorozatot, akkor az ilyen sorazatok 5. jel\'et kicser\'elve
az els\H{o}vel \'es a 16. jel\'et a m\'asodikkal k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'est kapunk azon halmazok k\"oz\"ott,
amelyek sz\'a\-mos\-s\'a\-ga\-k\'ent defini\'altuk az  $A(k;5,16)$
\'es $A(k;1,2)$ sz\'amokat.
\item{} Hasonl\'oan mutathat\'o meg, hogy annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o}, illetve hogy az
\"ot\"odik h\'uz\'as piros megegyezik.
\item{3.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 25 goly\'ot. Minden h\'uz\'as ut\'an a kih\'uzott goly\'ot
visszadobjuk egy m\'asik ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'oval.
L\'assuk be, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a 3. \'es
7. h\'uz\'askor piros goly\'ot h\'uzunk megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'askor piros goly\'ot h\'uzunk. Sz\'am\'{\i}tsuk ki ezt a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget.
\item{}  {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"unk egy olyan 25
hossz\'us\'ag\'u h\'uz\'assorozatot, amely $k$ piros \'es $25-k$
feh\'er goly\'ot tartalmaz. Vegy\"uk \'eszre, hogy egy ilyen sorozat
$p_k$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak a $k$ sz\'amt\'ol f\"ugg, de
nem f\"ugg att\'ol, hogy mely helyeken vannak a piros h\'uz\'asok.
Val\'oban,
$$
p_k=\frac{20(20+1)\cdots(20+k-1)30(30+1)\cdots(30+(25-k)-1)}
{50(50+1)\cdots(50+25-1)}
$$
Jel\H{o}lje, $A(k)$ azon 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok sz\'am\'at,
amelyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaznak, \'es az 1.
\'es 2. h\'uz\'as piros; $B(k)$ azon 25 hossz\'us\'ag\'u sorozatok
sz\'am\'at, amelyek $k$ piros \'es $25-k$ feh\'er goly\'ot tartalmaznak,
\'es a 3. \'es 7. h\'uz\'as piros. Ekkor a k\'et vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg a $\summ_k A(k)p_k$, illetve $\summ_k
B(k)p_k$ kifejez\'essel egyenl\H{o}. Ez\'ert a feladat
megold\'as\'ahoz el\'eg bel\'atni, hogy $A(k)=B(k)$ minden $k$
sz\'amra is. Ez val\'oban igaz, mert $A(k)=B(k)=\dbinom{23}{k-2}$.
K\"onny\H{u} k\"ozvetlen\"ul kisz\'amolni,  annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy az els\H{o} k\'et h\'uz\'as piros.
$\frac{20}{50}\cdot\frac{21}{51}$, mivel az
els\H{o} h\'uz\'asban $\frac{20}{50}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
h\'uzunk pirosat, \'es ha az els\H{o} h\'uz\'as piros volt, akkor a
m\'asodik h\'uz\'asban $\frac{21}{51}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
h\'uzunk pirosat a 21 piros \'es 30 feh\'er goly\'o k\"oz\"ul.
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy urn\'aban 10 feh\'er \'es 10 piros goly\'o van. Kih\'uzunk
15 goly\'ot \'ugy, hogy amikor kih\'uzunk egy goly\'ot azt
visszadobjuk, \'es vele egy\"utt az urn\'aba dobunk h\'arom ugyanolyan
sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a negyedik, \"ot\"odik \'es t\'{\i}zenkettedik h\'uz\'as
mindegyike piros? \medskip
\item{4.} Egy p\'enzdarabot feldobunk 10-szer egym\'as ut\'an.
Jel\"olje $A_j$ azt az esem\'enyt, (halmazt) hogy a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye fej, $1\le j\le10$. Tekints\"uk e dob\'assorozat egy
term\'eszetes val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellj\'et. Hogyan
\'ertelmezhetj\"uk
az $A_j$ esem\'enyt mint halmazt? Fejezz\"uk ki az $A_j$ esem\'enyek
seg\'{\i}ts\'eg\'evel, uni\'o, metszet \'es halmaz
komplementerk\'epz\'es
m\H{u}velet\'et haszn\'alva azt a $B$ esem\'enyt, hogy legal\'abb
h\'arom fejdob\'as t\"ort\'ent. Fejezz\"uk ki a fenti esem\'enyt
\'ugy is, hogy csak diszjunkt halmazok uni\'oj\'at tekintj\"uk.
\item{} (Besz\'elj\"uk meg r\"oviden az utols\'o formula
kapcsolat\'at a m\'as matematikai tan\-t\'argy\-ban m\'ar tanult
logikai form\'ak konjunktiv norm\'alformj\'aval.)
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A t\'{\i}z egym\'ast k\"ovet\H{o}
p\'enzdob\'as term\'eszetes modellje a k\"ovetkez\H{o}: Legyenek az
elemi esem\'enyek az $\oo=( \dots, F\dots,I\dots)$ 10 hossz\'us\'ag\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatok, defini\'aljuk minden $\{\oo\}$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. (Ha a dob\'asok egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul lesznek fej illetve \'{\i}r\'as \'ert\'ek\H{u}ek
$p$ illetve $1-p$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel, akkor egy $k$ darab
fej \'es $10-k$ darab \'{\i}r\'as eredm\'enyt tartalmaz\'o $\oo$
fej-\'{\i}r\'as sorozat val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $p^k(1-p)^{10-k}$.)
Legyen a biztos esem\'eny $\Omega$ az \"osszes $\oo$ elemi esem\'enyt
tartalmaz\'o halmaz, a $\Cal A$ $\sigma$-algebra \'alljon $\Omega$
\"osszes r\'eszhalmaz\'ab\'ol, $P(A)=\summ_{\oo\in A}P(\{\oo\})$.
Ebben a modellben az $A_j$ halmaz azokat az $\oo$ elemi esem\'enyeket
tartalmazza, amely elemi esem\'enyek (10 hossz\'us\'ag\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatok) $j$-ik koordin\'at\'aja $F$, a t\"obbi
koordin\'at\'aja tetsz\H{o}leges.
\item{} Az az esem\'eny, hogy a $j_1$-ik,
$j_2$-ik \'es $j_3$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $A_{j_1}\cap
A_{j_2}\cap A{j_3}$. Az, hogy legal\'abb h\'arom fejdob\'as
t\"ort\'ent, azt jelenti, hogy l\'eteznek ilyen $1\le
j_1\le j_2\le j_3$ indexek. Ez\'ert a kifejezend\H{o} $B$ esem\'eny
$$
B=\bigcupp\Sb j_1,\,j_2,\,j_3 \\ 1\le j_1<j_2<j_3\le10\endSb
A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap A{j_3}.
$$
Az uni\'oban szerepl\H{o} kifejez\'esek nem diszjunktak. De
\'at\'{\i}rhatjuk a k\'{\i}v\'ant form\'aban, ha \'ugy \'{\i}rjuk fel
a keresett esem\'enyt, hogy bizonyos $1\le j_1<j_2<\cdots <j_s$
in\-dexek\-re, $s\ge 3$, a dob\'as eredm\'enye fej, a t\"obbi dob\'as
eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ez\'ert
$$
B=\bigcupp_{s=3}^{10}\bigcupp\Sb j_1,\,j_2,\dots,j_s \\ 1\le
j_1<j_2<\cdots j_s\le10\endSb\( A_{j_1}\cap A_{j_2}\cap\cdots\cap
A{j_s}\cap\bigcap_{l\in\{1,\cdots,10\}\setminus\{j_1,\dots,j_s\}} \bar
A_l\),
$$
ahol $\bar A$ jel\"oli az $A$ esem\'eny (halmaz) komplementer\'et.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Defini\'aljunk olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
amelyben lehet vizsg\'alni egy szab\'alyos do\-b\'o\-koc\-ka \"ot
egym\'asut\'ani dob\'as\'anak az eredm\'eny\'et. \medskip
\item{5.} Adjunk term\'eszetes m\'odon
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt arra,
hogy egy szab\'alyos p\'enzdarabot v\'egtelen sokszor feldobunk.
M\'as megfogalmaz\'asban feladatunk a k\"ovetkez\H{o}: Konstru\'aljunk
olyan $(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}t,
amelyben \'er\-tel\-mez\-ni tudjuk azt az $A_j$ esem\'enyt, hogy a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $P(A_j)=\frac12$ minden $j=1,2,\dots$,
s\H{o}t teljes\"ul a $P(A_1^{\e_1}\cap\cdots\cap
A_k^{\e_k})=\(\frac12\)^k$ azonoss\'ag is minden $k=1,2,\dots$,
sz\'amra $\e_j=\pm1$, $j=1,2,\dots$ kitev\H{o}re, ahol
$A_j^1=A_j$ \'es $A_j^{-1}=\Omega\setminus A_j$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek  a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozatok, \'es de\-fi\-ni\-\'al\-juk az
$\Omega$ biztos esem\'enyt mint az \"osszes $\oo$-t tartalmaz\'o
halmazt. Defini\'alnunk kell m\'eg az $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at
\'es a $P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket az $(\Omega,\Cal A,P)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} teljes definici\'oja
\'erdek\'eben. Jelen esetben $P\{\oo\}=0$ minden $\oo$ elemi
esem\'enyre, \'es a k\'{\i}v\'ant $\Cal A$ $\sigma$-algebr\'at, illetve
$P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget nem tudjuk olyan egyszer\H{u}en
defini\'alni, mint az el\H{o}z\H{o} feladatban. Val\'oj\'aban csak a
m\'ert\'ekelm\'elet n\'eh\'any fontos, de m\'eg nem tanult
eredm\'eny\'ere hivatkozva tudjuk ezt megtenni. Legyen
$A_j\subset\Omega$ az a halmaz, amelyik megegyezik azzal az
esem\'ennyel, hogy a $j$-ik dob\'as fej, azaz $A_j=\bigcupp_{\oo\;j
\text{-ik koordin\'at\'aja fej}} \{\oo\}$, azaz az \"osszes olyan
$\oo= (\dots,F,\dots, I,\dots)$ v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as sorozat
uni\'oj\'at tekintj\"uk, amelyek $j$-ik koordin\'at\'aja fej.
Defini\'aljuk az \"osszes $A(\e_1,\dots,\e_k)=\bigcapp_{j=1}^k
A_j^{\e_j}$, $k=0,1,2,\dots$, $1\le j\le k$  halmazt. Ez annak felel
meg, hogy azokat a dob\'assorozatokat tekintj\"uk, amelyekben az
els\H{o} $k$ dob\'as eredm\'eny\'et el\H{o}\'{\i}rjuk, a t\"obbi
dob\'as eredm\'enye tetsz\H{o}leges lehet. Term\'eszetes elv\'ar\'as,
hogy ezek az $A(\e_1,\dots,\e_k)$ halmazok benne legyenek az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'aban. Egy viszonylag egyszer\H{u}en
bizony\'{\i}that\'o eredm\'eny azt mondja ki, hogy l\'etezik egy
legsz\H{u}kebb az \"osszes $A(\e_1,\dots,\e_k)$ alak\'u halmazt
tartalmaz\'o $\sigma$-algebra. Ez lesz a $\Cal A$ $\sigma$-algebra.
Defini\'aljuk a $P(A(\e_1,\dots,\e_k))$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket
a $P(A(\e_1,\dots,\e_k)=\(\frac12\)^k$ k\'eplet
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. (Ez a term\'eszetes definici\'o.) A
m\'ert\'ekelm\'elet egy m\'ely eredm\'enye szerint ezen esem\'enyek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy\'ertelm\H{u}en kiterjeszthet\H{o} az
$\Cal A$ $\sigma$-algebr\'ara \'ugy, hogy $\sigma$-add\'{\i}t\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyt, azaz val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi m\'ert\'eket
kapjunk. M\'as\-k\'epp kifejezve, meg lehet adni a $P(A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket minden $A\in \Cal A$ halmazra,
m\'eg\-pe\-dig egy\'ertelm\H{u}en \'ugy, hogy $\sigma$-addit\'{\i}v
halmazf\"uggv\'enyt kapjunk, \'es a $0\le P(A)\le1$, $A\in\Cal A$,
\'es $P(\Omega)=1$ rel\'aci\'ok is teljes\"ulnek. Ez a kiterjeszt\'es
lesz a $P$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\Cal A$-n.
\item{6.} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an
eg\'eszen addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az utols\'oel\H{o}tti dob\'as eredm\'enye fej?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az esem\'eny, amelyiknek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ki akarjuk sz\'amolni, a
k\"o\-vet\-ke\-z\H{o} m\'odon is jellemezhet\H{o}: El\H{o}sz\"or
$k$ darab \'{\i}r\'asdob\'as t\"ort\'enik valamely $k=0,1,2,\dots$,
sz\'ammal, majd ut\'ana k\'et fejdob\'as k\"ovetkezik be. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\sum_{k=0}^\infty \(\dfrac12\)^k\cdot
\frac12\cdot\frac12=\frac14\sum_{k=0}^\infty
\frac1{2^k}=\frac24=\frac12.
$$
 \medskip
 
{\it H\'azi feladat:}\smallskip
\item{} Egy szab\'alyos \'erm\'et feldobunk egym\'as ut\'an eg\'eszen
addig, am\'{\i}g m\'asodszor megjelenik egy fej. Azut\'an a
dob\'assorozatot abbahagyjuk. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy legal\'abb h\'arom dob\'ast v\'egz\"unk, \'es az
utols\'ot kett\H{o}vel megel\H{o}z\H{o} dob\'as ered\-m\'e\-nye fej?
 
 
 
\bye
