\input amstex
\magnification=\magstep1
\hsize=16truecm
\parskip=4pt plus 1.5pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\bigskip
\item{1.)} Minden h\'eten kit\"olt\"unk egy lott\'oszelv\'enyt. (90
sz\'amb\'ol kell eltal\'alni 5-\"ot.) Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a hatodik h\'eten lesz
el\H{o}sz\"or 2 tal\'alatunk?
\item{2.)} Egy urn\'aban 10 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi a kih\'uzott piros
goly\'ok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete?
\item{3.)} Feldobunk h\'arom szab\'alyos dob\'okock\'at egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ul. Mi annak a fel\-t\'e\-te\-les
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legal\'abb az egyik dob\'as nem
hatos felt\'eve, hogy van hatos dob\'as.
\item{4.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o a $[0,2]$
intervallumon, azaz essen az \'ert\'eke egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a $[0,2]$ intervallumba, \'es legyen
annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a $\xi$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
egy $[a,b]$ intervallumba esik, $0\le a<b\le2$, \ $\frac{b-a}2$.
Sz\'am\'{\i}tsuk ki a $\xi^6$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.)} Legyen $A$, $B$ \'es $C$ h\'arom esem\'eny egy
$(\Omega,\Cal A,P)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n. Mikor
mondjuk, hogy ezek az esem\'enyek (teljesen) f\"uggetlenek?
 
\medskip
\centerline{\bf MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.)} Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valamelyik h\'eten
lesz 2 tal\'alatunk $\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}$. Azok
az esem\'enyek, hogy az egyes heteken lesz-e 2 tal\'alatunk
egym\'ast\'ol f\"uggetlenek. \'Igy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az els\H{o} 5 h\'et sor\'an nem lesz 2 tal\'alatunk
$\(1-\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}\)^5$. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig, hogy az els\H{o} 5 h\'eten nem lesz 2
tal\'alatunk, a hatodik h\'eten pedig lesz
$\(1-\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}\)^5
\frac{\binom{85}3\binom 52}{\binom{90}5}$.
\item{2.)} Jel\"olje $\xi_j$ azt a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amely 1, ha a $j$-ik h\'uz\'as piros \'es nulla, ha a
$j$-ik h\'uz\'as feh\'er, $1\le j\le 20$. Ekkor minket az
$S=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzet \'erdekel.
$P(\xi_j=1)=P(\xi_j=0)=\frac{10}{40}$, minden $1\le j\le20$ sz\'amra,
\'es innen $ES=\summ_{j=1}^{20}E\xi_j =20\frac14=5$. A
sz\'or\'asn\'egyzet kisz\'amol\'as\'ara az $\Var S=\sum_{j=1}^{10}
\Var\xi_j+2\sum_{j=1}^{19}\sum_{k=j+1}^{20}
\Cov(\xi_j,\xi_k)$ azonoss\'agot alkalmazhatjuk.
$\Var\xi_j=E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\frac14-\frac1{16}=\frac3{16}$. A
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k$ kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz
vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j\xi_k=P(\xi_j=1,\xi_k=1)=P(\xi_1=1,\xi_2=1)=\frac14\frac9{39}=
\frac3{52}$ minden $1\le j,k\le20$, $j\neq k$ sz\'amp\'arra. Innen
$\Cov(\xi_j,\xi_k)=\frac3{52}-\frac1{16}=-\frac1{208}$, $\Var
S=20\cdot\frac 3{16}-20\cdot19\cdot\frac1{208}=\frac{25}{13}$.
\item{3.)} Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy van hatos dob\'as
\'es $B$ azt az esem\'enyt, hogy nem mindegyik dob\'as hatos. Ekkor a
$P(B|A)=\frac{P(A\cap B)}{P(A)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget k\'{\i}v\'anjuk kisz\'am\'{\i}tani.
$P(A)=1-\(\frac56\)^3=\frac{91}{216}$, mert $A$ annak az esem\'enynek
a komplementere, hogy egyik dob\'as sem hatos. Az $A\cap B$ az
az esem\'eny, hogy vagy pontosan 1 vagy pontosan k\'et hatos
dob\'as t\"ort\'ent. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$3\cdot\frac16\cdot\(\frac56\)^2+
3\cdot\frac16\cdot\(\frac56\)^2=\frac{90}{216}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\frac{90}{91}$.
\item{4.)} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'enye $F(x)=0$, ha $x<0$, $F(x)=\frac x2$, ha $0\le
x\le2$, $F(x)=1$, ha $x\ge2$, \'es $\xi$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=\frac12$, ha $0\le x\le 2$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$.
Innen $E\xi^6=\int_{-\infty}^\infty x^6f(x)\,dx=\int_0^2\frac12x^6
=\frac12\[\frac{x^7}7\]_0^2=\frac{64}7$, $\Var\xi^6=
E(\xi^6)^2-\(E\xi^6\)^2=E\xi^{12}-\(E\xi^6\)^2$ \'es $E\xi^{12}=\int
x^{12}f(x)\,dx=\int_0^2\frac12 x^{12}\,dx=\[\frac{x^{13}}{26}\]_0^2
=\frac{4096}{13}$. Innen $\Var\xi^6=\frac{4096}{13}-\frac{4096}{49}
=\frac{147~456}{637}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki az
$\eta=\xi^6$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(x)$
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. Ennek \'erdek\'eben
sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or annak $G(x)$
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et. $G(x)=P(\xi^6<x)=P(\xi<x^{1/6})$, ha
$x>0$, \'es $G(x)=0$, ha $x<0$. Innen $G(x)=0$, ha
$x<0$, $G(x)=\frac {x^{1/6}}2$, ha $0\le x\le64$, $G(x)=1$, ha $x>64$.
Ez\'ert $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac1{12}x^{-5/6}$, ha $0\le x\le 64$, \'es $g(x)=0$, ha
$x\le0$ vagy $x>64$. Innen $E\eta=\int_0^{64} x\cdot6x^{-5/6}\,dx
=\[\frac{x^{7/6}}{14}\]_0^{64}=\frac{2^7}{14}=\frac{64}7$,
$E\eta^2=\int_0^{64}x^2\cdot\frac1{12}x^{-5/6}\,dx
=\[\frac{x^{13/6}}{26}\]_0^{64} =\frac{2^{12}}{13}=\frac{4096}{13}$
\'es $\Var\eta=\frac{4096}{13}-\frac{4096}{49} =\frac{147~456}{637}$.
\item{5.)} Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek, ha
teljes\'{\i}tik a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agokat: $P(A\cap B)
=P(A)P(B)$, $P(A\cap C)=P(A)P(C)$, $P(B\cap C)=P(B)P(C)$ \'es
$P(A\cap B\cap C)=P(A)P(B)P(C)$.
 
 
 
\bye
