DOLGOZAT FELADATOK

1.) Minden héten kitöltünk egy lottószelvényt. (90 számból kell eltalálni 5-öt.) Mi annak a valószínűsége, hogy a hatodik héten lesz először 2 találatunk?

2.) Egy urnában 10 piros és 30 fehér golyó van. Kihúzunk 20 golyót visszatevés nélkül. Mi a kihúzott piros golyók számának a várható értéke és szórásnégyzete?

3.) Feldobunk három szabályos dobókockát egymástól függetlenül. Mi annak a feltételes valószínűsége, hogy legalább az egyik dobás nem hatos feltéve, hogy van hatos dobás.

4.) Legyen ξ egyenletes eloszlású valószínűségi változó a [0, 2] intervallumon, azaz essen az értéke egy valószínűséggel a [0, 2] intervallumba, és legyen annak a valószínűsége, hogy a ξ valószínűségi változó egy [a, b] intervallumba esik, 0 ≤ a < b ≤ 2, \frac{b−a}{2}. Számítsuk ki a ξ^{6} valószínűségi változó várható értékét és szórásnégyzetét.

5.) Legyen A, B és C három esemény egy (Ω, A, P) valószínűségi mezőn. Mikor mondjuk, hogy ezek az események (teljesen) függetlenek?

MEGOLDÁSOK

1.) Annak valószínűsége, hogy valamelyik héten lesz 2 találatunk \binom{85}{3}\binom{5}{2} \binom{90}{5}. Azok az

események, hogy az egyes heteken lesz-e 2 találatunk egymástól függetlenek. Így an-

nak a valószínűsége, hogy az első 5 hét során nem lesz 2 találatunk (1 − \begin{matrix}\binom{85}{3} & \binom{5}{2} \\ ( & {90 \atop 5} & ) \end{matrix})^{5}.

Annak valószínűsége pedig, hogy az első 5 héten nem lesz 2 találatunk, a hatodik

héten pedig lesz (1 − \begin{matrix}\binom{85}{3} & \binom{5}{2} \\ ( & {90 \atop 5} & ) \end{matrix})^{5} \binom{85}{3}\binom{5}{2} \binom{90}{5}.

2.) Jelölje ξ_{j} azt a valószínűségi változót, amely 1, ha a j-ik húzás piros és nulla,

ha a j-ik húzás fehér, 1 ≤ j ≤ 20. Ekkor minket az S = ∑_{j=1}^{20} ξ_{j} valószínűségi

változó várható értéke és szórásnégyzet érdekel. P (ξ_{j} = 1) = P (ξ_{j} = 0) = \frac{10}{40},

minden 1 ≤ j ≤ 20 számra, és innen ES = ∑_{j=1}^{20} Eξ_{j} = 20\frac{1}{4} = 5. A szórásnégyzet

kiszámolására az Var S = ∑_{j=1}^{10} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{19} ∑_{k=j+1}^{20} Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) azonosságot alkalmazhatjuk. Var ξ_{j} = Eξ_{j}^{2} − (Eξ_{j})^{2} = \frac{1}{4} − \frac{1}{16} = \frac{3}{16}. A Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = Eξ_{j}ξ_{k} − Eξ_{j}Eξ_{k} kiszámításához vegyük észre, hogy Eξ_{j}ξ_{k} = P (ξ_{j} = 1, ξ_{k} = 1) = P (ξ_{1} = 1, ξ_{2} = 1) = \frac{1}{4} \frac{9}{39} = \frac{3}{52} minden 1 ≤ j, k ≤ 20, j ≠ k számpárra. Innen Cov (ξ_{j}, ξ_{k}) = \frac{3}{52} − \frac{1}{16} = −\frac{1}{208}, Var S = 20 · \frac{3}{16} − 20 · 19 · \frac{1}{208} = \frac{25}{13}.

3.) Jelölje A azt az eseményt, hogy van hatos dobás és B azt az eseményt, hogy nem mindegyik dobás hatos. Ekkor a P (B|A) = \frac{P (A∩B)}{P (A)} feltételes valószínűséget

kívánjuk kiszámítani. P (A) = 1 − (\frac{5}{6})^{3} = \frac{91}{216}, mert A annak az eseménynek a komplementere, hogy egyik dobás sem hatos. Az A ∩ B az az esemény, hogy vagy pontosan 1 vagy pontosan két hatos dobás történt. Ennek valószínűsége 3 · \frac{1}{6} · (\frac{5}{6})^{2} + 3 · \frac{1}{6} · (\frac{5}{6})^{2} = \frac{90}{216}. Innen a keresett feltételes valószínűség \frac{90}{91}.

4.) A ξ valószínűségi változó eloszlásfüggvénye F (x) = 0, ha x < 0, F (x) = \frac{x}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, F (x) = 1, ha x ≥ 2, és ξ sűrűségfüggvénye f(x) = \frac{1}{2}, ha 0 ≤ x ≤ 2, és f(x) = 0, ha x < 0 vagy x > 2. Innen Eξ^{6} = ∫_{−∞}^{∞} x^{6}f(x) dx = ∫_{0}^{2} \frac{1}{2}x^{6} =

\frac{1}{2} [\frac{x^{7}}{7} ]_{0}^{2} = \frac{64}{7}, Var ξ^{6} = E(ξ^{6})^{2}−(Eξ^{6})^{2} = Eξ^{12}−(Eξ^{6})^{2} és Eξ^{12} = ∫ x^{12}f(x) dx =

∫_{0}^{2} \frac{1}{2}x^{12} dx = [\frac{x^{13}}{26} ]_{0}^{2} = \frac{4096}{13}. Innen Var ξ^{6} = \frac{4096}{13} − \frac{4096}{49} = \frac{147 456}{637}.

Második megoldás: Számítsuk ki az η = ξ^{6} valószínűségi változó g(x) sűrűségfüggvényét. Ennek érdekében számítsuk ki először annak G(x) eloszlásfüggvényét. G(x) = P (ξ^{6} < x) = P (ξ < x^{1/6}), ha x > 0, és G(x) = 0, ha x < 0. Innen G(x) = 0, ha x < 0, G(x) = \frac{x^{1/6}}{2} , ha 0 ≤ x ≤ 64, G(x) = 1, ha x > 64. Ezért η sűrűségfüggvénye g(x) = \frac{1}{12}x^{−5/6}, ha 0 ≤ x ≤ 64, és g(x) = 0, ha x ≤ 0

vagy x > 64. Innen Eη = ∫_{0}^{64} x · 6x^{−5/6} dx = [\frac{x^{7/6}}{14} ]_{0}^{64} = \frac{2^{7}}{14} = \frac{64}{7}, Eη^{2} =

∫_{0}^{64} x^{2} · \frac{1}{12}x^{−5/6} dx = [\frac{x^{13/6}}{26} ]_{0}^{64} = \frac{2^{12}}{13} = \frac{4096}{13} és Var η = \frac{4096}{13} − \frac{4096}{49} = \frac{147 456}{637}.

5.) Az A, B és C események akkor függetlenek, ha teljesítik a következő azonosságokat: P (A ∩ B) = P (A)P (B), P (A ∩ C) = P (A)P (C), P (B ∩ C) = P (B)P (C) és P (A ∩ B ∩ C) = P (A)P (B)P (C).