\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\centerline{\bf Az \'aprilis 27.-i gyakorlat feladatai}
 
\medskip\noindent
A val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as legfontosabb eredm\'enye
a centr\'alis (k\"ozponti) hat\'areloszl\'ast\'etel. Megbesz\'elj\"uk
ennek tartalm\'at \'es olyan feladatokat fogunk tekinteni, amelyekben
ezt az eredm\'enyt alkalmazzuk.
 
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel t\'etel megfogalmaz\'asa
el\H{o}tt vezess\"unk be egy az irodalomban gyakran haszn\'alt
fogalmat.
\medskip\noindent
{\bf Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altj\'anak
a fogalma.} {\it Legyen $\xi$ olyan va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. A $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altja a
$\bar\xi=\dfrac{\xi-E\xi}{\sqrt{\Var\xi}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
az a line\'aris transzform\'altja, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke
nulla, sz\'or\'asn\'egyzete pedig 1.}
\medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_j^2<\infty$
minden $1\le j\le n$ indexre, akkor az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$
\"osszeg normaliz\'altja az
$$
\bar S=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}
$$
kifejez\'es.
 
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-geit. Ekkor az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}
=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}$ normaliz\'altjai teljes\'{\i}tik
a
$$
\lim_{n\to\infty}
P\(\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<x\)=\Phi(x), \quad\text{minden
}-\infty<x<\infty \text{ sz\'amra}
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, a standard norm\'alis
elosz\'asf\"uggv\'eny.} \medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ Az el\H{o}bb kimondott t\'etel val\'oj\'aban
speci\'alis esete az \'altal\'anos centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etelnek, amely hasonl\'o eredm\'enyt mond
ki f\"uggetlen, de nem felt\'etlen\"ul azonos eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok normaliz\'alt
r\'eszlet\"osszegeire nagyon \'altal\'anos felt\'etelek mellett.
\medskip\noindent
 
\vfill\eject
 
{\it Feladatok:}
\medskip
\item{1.)} Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er! Milyen becsl\'est ad ezekre a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel?
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$\le j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, amelyekre
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le
10~000$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re kell becsl\'est adnunk. A
Csebisev egyenl\H{o}tlens\'eg az els\H{o} val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)
\le \dfrac {10000\cdot\Var\xi_1}{100^2}=\dfrac14,
$$
a m\'asodik val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre pedig a
$$
P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)
\le \frac {10000\cdot\Var\xi_1}{200^2}=\dfrac1{16}
$$
els\H{o} becsl\'est adja.
 
\item{} A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\frac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot
\frac 14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0). (A Csebisev
egyenl\H{o}tlens\'eg 0.25 illetve 0.0625 fels\H{o} becsl\'est adta
ezekre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre.)
\item{2.)} A 2000. \'evben az Egyes\"ult \'Allamok Florida
\'allam\'aban rendk\'{\i}v\"ul szoros eredm\'eny sz\"uletett.
5~000~000 v\'alaszt\'o v\'alaszt\'o v\'alasztott k\'et
p\'art, a republik\'anus \'es de\-mok\-ra\-ta p\'art jel\"oltjei
k\"oz\"ott. A k\'et jel\"olt \'altal szerzett szavazatok sz\'ama
(egy adott id\H{o}\-pont\-beli felm\'er\'es szerint) mind\"ossze 300
volt. Tegy\"uk egym\'ast\'ol f\"uggetlen \"ul $\frac12$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'a\-lasz\-tot\-t\'ak valamelyik p\'art
jel\"oltj\'et. E feltev\'es teljes\"ul\'ese est\'en mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a k\'et jel\"olt \'altal
\"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a
h\'aromsz\'azat.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 5~000~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a demokrata, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik v\'alaszt\'o a republik\'anus jel\"oltre szavaz. Ekkor
$S=\summ_{j=1}^{5~000~000}\xi_j$ a demokrata, \'es $5~000~000-S$ a
republik\'anus jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama, \'es
minket a $P(|2S-5~000~000|\le300)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$E\xi_j=\frac12$, $\Var\xi_j=\frac14$,  ez\'ert $ES_n=2~500~000$,
$\Var S_n=\frac14\cdot5~000~000$, \'es a $P\(\left|\frac
{S_n-2~500~000}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\right|<x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara alkalmazhatjuk
a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ennek alap\-j\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(|2S-5~000~000|\le300)&=P\(\left|\frac{S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\right|\le\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\)\\
&\sim \Phi\(\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)\\
&=2\Phi\(\frac{6\sqrt5}{100}\)-1
\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1.
\endalign
$$
\item{3.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"osszeadjuk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
\'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra,
hogy ez az \"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\frac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\frac16(4+16+36)-4=\frac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\frac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\frac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\item{4.} Legyen birtokunkban 100 l\'ampa, amelyek mindegyike
egym\'ast\'ol f\"uggetlen id\H{o}\-tar\-ta\-mig m\H{u}k\"odik,
\'elettartamuk pedig exponenci\'alis eloszl\'as\'u
$\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel. (A l\'amp\'ak \'elettartam\'anak
exponenci\'alis eloszl\'asa term\'eszetes felt\'etelez\'es.) Egy termet
bevil\'ag\'{\i}tunk ezen l\'amp\'ak valamelyik\'evel, majd amikor az
ki\'egett \'uj l\'amp\'at haszn\'alunk fel. Adjunk j\'o becsl\'est
arra, hogy a l\'amp\'ak \"ossz\'elettartama legal\'abb 1150 \'ora.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $\xi_j$ a $j$-ik l\'ampa
\'el\'ettartam\'at, $1\le j\le100$. Ekkor a
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre kell
j\'o becsl\'est adnunk, ahol az \"osszegben f\"uggetlen
exponenci\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok szerepelnek $\lambda=\frac1{10}$ param\'eterrel.
Vezess\"uk be az $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{100}$ jel\"ol\'est.
\item{} Kisz\'amoltuk, hogy jelen esetben
$E\eta=mE\xi_1=\frac m\lambda=1000$, $\Var \eta=\frac
m{\lambda^2}=10 000$ ($m=100$ \'es $\lambda=\frac1{10}$
v\'alaszt\'assal). Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
sze\-rint $\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{ \Var
\eta}}=\frac{\eta-1000}{100}$ j\'o
k\"ozel\'{\i}t\'essel standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, \'es
$P(\xi_1+\cdots+\xi_{100}>1150) =P\(\frac{\eta-E\eta}{\sqrt{\Var
\eta}}>1.5\)\sim1-\Phi(1.5)$.
\item{5.} P\'eter \'es P\'al a k\"ovetkez\H{o} j\'at\'ekot j\'atssza.
Mind a ketten feldobnak egy szab\'alyos dob\'okock\'at. Ha P\'al
dobott nagyobbat, akkor \H{o} nyer h\'arom forintot P\'etert\H{o}l,
ha P\'eter dob\'asa nagyobb, akkor P\'al fizet P\'eternek h\'arom
forintot. Ha a dob\'asok egyenl\H{o}ek, akkor senki sem fizet a
m\'asiknak. Ezt a j\'at\'ekot j\'atssz\'ak 3000 alkalommal.
Adjunk j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es a mell\'ekelt norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy P\'eter
legal\'abb 90 forintot nyer.
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Legyen $\xi_j$ P\'eter nyerem\'enye a
$j$-ik j\'at\'ekban. Ekkor a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok f\"uggetlenek, P\'eter \"ossznyerem\'enye
$S=\summ_{j=1}^{3000}\xi_j$, \'es $P(\xi_j=3)=\frac5{12}$,
$P(\xi_j=-3)=\frac5{12}$, $P(\xi_j=0)=\frac1{6}$. (Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et \'{\i}rtuk fel, hogy P\'eter vagy
P\'alt dob nagyobbat, illetve hogy a k\'et dob\'as egyenl\H{o}.
Innen $E\xi_j=0$, $\Var \xi_j=E\xi_j^2=\frac{45}{6}$, $ES=0$,
$\Var S=15\cdot 1500=150^2$. Innen annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy P\'eter legal\'abb 90 forintot nyer
$$
P(S\ge 90)=P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}\ge\frac{90}{150}\)
=1-P\(\frac{S-ES}{\sqrt {\Var S}}<0.6\)\sim 1-\Phi(0.6)\sim0.274
$$
\medskip\noindent
{\bf F\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye.}
\medskip\noindent
T\'argyaljuk a k\"ovetkez\H{o} feladatot is. Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o,
amelyeknek l\'etezik $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Be lehet l\'atni, hogy a $\xi+\eta$
\"osszegnek is l\'etezik $h(\cdot)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye,
\'es azt meg lehet adni azt a formul\'at, amelynek
se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel a $\xi+\eta$ \"osszeg
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Ennek \'erdek\'eben
bevezetj\"uk
k\'et (s\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'eny konvoluci\'oj\'anak a
fogalm\'at.
 
\medskip\noindent
{\bf (S\H{u}r\H{u}s\'eg)f\"uggv\'enyek konvoluci\'oj\'anak a
definici\'oja.} {\it Legyen $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$ k\'et
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny a sz\'amegyenesen,
\'altal\'anosabban integr\'alhat\'o f\"uggv\'enyek, azaz tegy\"uk
fel, hogy $\int_{-\infty}^\infty |f(u)|\,du<\infty$ \'es
$\int_{-\infty}^\infty |g(u)|\,du<\infty$. Az $f(\cdot)$ \'es
$g(\cdot)$ f\"uggv\'enyek $f*g(\cdot)$ konvoluci\'oja az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty,
$$
f\"uggv\'eny.}
\medskip \noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.}
 
\medskip
\item{5.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen, a
$\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban egyenletes eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o, azaz legyen $\xi$
\'es $\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$, ha $-\frac12\le
x\le\frac12$, \'es $f(x)=0$ egy\'ebk\'ent. Sz\'amoljuk ki
$\xi+\eta$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ A $\xi+\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a $g(x)=\int f(y)f(x-y)\,dy$
f\"uggv\'eny, ahol $f(x)$ a $\[-\frac12,\frac12\]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Ez\'ert
$f(y)f(x-y)=1$, ha $-\frac12\le y\le\frac12$, \'es $-\frac12\le
x-y\le\frac12$, azaz $-\frac12+x\le y\le\frac12+x$, \'es nulla
egy\'ebk\'ent. Ez azt jelenti, hogy a $\xi+\eta$ \"osszeg $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye az $x$ pontban megegyezik a
$\[-\frac12,\frac12\]\cap \[-\frac12+x,\le\frac12+x\]$
intervallum hossz\'aval. Ha $|x|>1$, akkor a fenti metszet \"ures,
ez\'ert ebben az eset\-ben $g(x)=$. Ha $0\le x\le 1$, akkor ez a
metszet a $\[-\frac12+x,\frac12\]$ intervallum, \'es ennek hossza
$1-x$, azaz ebben az eset\-ben $g(x)=1-x$. Ha $-1\le x\le0$, akkor ez
a metszet a $\[-\frac12,\frac12+x\]$ intervallum amelynek hossza
$1+x=1-|x|$, azaz $g(x)=1+x=1-|x|$ ebben az eset\-ben. Ez azt jelenti,
hogy $g(x)=1-|x|$, ha $|x|\le 1$, \'es $g(x)=0$, ha $x>1$.
\medskip
\item{} Megadunk egy m\'asik geo\-met\-riai \'ervel\'esen alapul\'o
megold\'ast is, amelyik a kor\'abban t\'argyalt geo\-met\-riai
\'ervel\'esen alapul. \medskip
\item{} Sz\'am\'{\i}tsuk ki el\H{o}sz\"or a $\xi+\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$
el\-osz\-l\'as\-f\"ugg\-v\'e\-ny\'et. De\-fi\-ni\'al\-juk a
$K=\[-\frac12,\frac12\]\times\[-\frac12,\frac12\]$ n\'egyzetet,
\'es jel\"olje $\lambda$ a Lebesgue m\'ert\'eket, azaz a ter\"uletet
a s\'{\i}kon. Ekkor a s\'{\i}k tetsz\H{o}leges $A\subset R^2$
m\'erhet\H{o} r\'eszhalmaz\'ara igaz az, hogy $P((\xi,\eta)\in
A)=\lambda(A\cap K)$. Speci\'alisan, $G(x)=P(\xi+\eta<x)=
\lambda(K\cap\{(u,v)\:u+v<x\})$. Ha $x\le-1$, akkor $G(x)=0$, ha
$-1\le x\le0$, akkor $G(x)$ a $\(-\frac12,-\frac12\)$,
$\(-\frac12,\frac12+x\)$ \'es $\(\frac12+x,-\frac12\)$ pontok \'altal
meghat\'arozott h\'aromsz\"og ter\"ulete $\frac12(1+x)^2$.
Hasonl\'oan, ha $x\ge1$, akkor $G(x)=1$. Ha $0\le x\le1$, akkor a
$G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny megegyezik annak a poligonnak
ter\"ulet\'evel, amelyet \'ugy kapunk, hogy a $K$ n\'egyzetb\H{o}l
kihagyjuk a $\(\frac12,\frac12\)$, $\(\frac12,-\frac12+x\)$
\'es $\(-\frac12+x,\frac12\)$ pontok \'altal meghat\'arozott
h\'aromsz\"oget. Ez\'ert $G(x)=1-\frac12(1-x)^2$ ebben az eset\-ben.
A $G(x)$ f\"uggv\'enyt deriv\'alva kapjuk, hogy $g(x)=0$, ha
$|x|\le1$, $g(x)=1+x$, ha $-1\le x\le0$, \'es $g(x)=1-x$, ha $0\le
x\le1$.
 
 
 
\bye
