\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=1pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
 
 
\centerline{\bf Az \'aprilis 13.-i gyakorlat feladatai}
\medskip\noindent
\item{1.)} Legyen adva egy $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $F(x)$ eloszl\'as, $f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel,
$M$ v\'arhat\'o \'ert\'ekkel \'es $D^2$ sz\'or\'asn\'egyzettel.
Legyenek $a$ \'es $b$ val\'os sz\'amok. Sz\'amoljuk ki az
$\eta=a\xi+b$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'as \'es
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, valamint v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'enye
$G(x)=P(\eta<x)=P(a\xi+b<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=F\(\frac{x-b}a\)$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$g(x)=\frac{dG(x)}{dx}=\frac1af\(\frac{x-b}a\)$, v\'arhat\'o
\'ert\'eke $E\eta=E(a\xi+b)=aE\xi+b=aM+b$,
$\Var\eta=\Var(a\xi+b)=a^2\Var\xi$.
\item{2.)} Az el\H{o}z\H{o} gyakorlaton t\'argyaltuk annak a
feladatnak a megold\'as\'at, hogy mennyi egy az $[a,b]$ intervallumban
egyenletes eloszl\'as\'u $\eta$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es sz\'or\'asn\'egyzete. L\'assuk be, hogy
egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o fel\'{\i}rhat\'o
$\eta=(b-a)\xi+\frac{a+b}2$ alakban, ahol $\xi$ egyenletes
eloszl\'as\'u a $[-\frac12,\frac12]$ intervallumban. Adjunk a
feladatra ezen \'eszrev\'etel alapj\'an egyszer\H{u}bb megold\'ast.
\item{} {\it Megold\'as:} Az $\eta$ \'es $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok k\"oz\"ott megfogalmazott
kapcsolat \'at\-fo\-gal\-maz\-ha\-t\'o \'ugy is, hogy ha $\xi$
egyenletes eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o az
$[a,b]$ intervallumon, akkor $\xi=\frac{\eta-\frac{a+b}2}{b-a}$
egyenletes eloszl\'as\'u a $[-\frac12,\frac12]$ intervallumon. Az,
hogy $\eta$ egyenletes eloszl\'as\'u az $[a,b]$ intervallumon \'ugy
is megfogalmazhat\'o, hogy $\eta$ $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $g(x)=\frac1{b-a}$, ha $a\le x\le b$,
\'es $g(x)=0$, ha $x<a$ vagy $x>b$. Innen $\xi$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
$f(x)=g\(\(x+\frac{a+b}{2(b-a)}\)(b-a)\)$, \'es n\'emi sz\'amol\'assal
l\'athat\'o, hogy $f(x)=1$, ha $-\frac12\le x\le\frac12$, \'es
$f(x)=0$, ha $x<-\frac12$ vagy $x>\frac12$. Innen
$E\xi=\int_{-1/2}^{1/2}x\,dx=0$,
$\Var\xi=E\xi^2=\int_{-1/2}^{1/2}x^2\,dx=
\left[\dfrac{x^3}3\right]_{-1/2}^{1/2}=2\cdot\dfrac1{3\cdot8}
=\dfrac1{12}$. Innen $E\eta=(b-a)E\xi+\frac{a+b}2=\frac{b+a}2$, \'es
$\Var\eta=\Var((b-a)\xi+\frac{a+b}2)=(b-a)^2\Var\xi
=\frac{(b-a)^2}{12}$.
\medskip\noindent
Felid\'ezz\"uk  a k\"ovetkez\H{o} fontos fogalmat:
\medskip\noindent
{\bf A standard norm\'alis eloszl\'as definici\'oja.} {\it
A $\Phi(x)$ standard norm\'alis eloszl\'as az az
eloszl\'as, amelynek s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye a
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$,
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
E definici\'o helyess\'eg\'enek igazol\'as\'ahoz meg kell mutatni,
hogy a fent defini\'alt $\varphi(\cdot)$ f\"uggv\'eny val\'oban
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny. Ennek \'erdek\'eben be kell
bizony\'{\i}tani a k\"ovetkez\H{o} eredm\'enyt.\medskip\noindent
{\bf T\'etel.}
$$
\int_{-\infty}^\infty\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}\,du=1.
$$
\medskip
Ennek a kor\'antsem trivi\'alis \"osszef\"ugg\'esnek a
bizony\'{\i}t\'asa az el\H{o}ad\'ason szerepelt. A standard
norm\'alis eloszl\'as elnevez\'esben a standard jelz\H{o} arra utal,
hogy egy $\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$,
$-\infty<u<\infty$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla
\'es sz\'or\'asn\'egyzete 1.
\medskip
\item{3.)} L\'assuk be, hogy egy
$\varphi(u)=\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-u^2/2}}$, $-\infty<u<\infty$,
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\H{u} $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla \'es sz\'or\'asn\'egyzete 1.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
Val\'oban $E\xi=0$, mert $E\xi=\dsize\int_{-\infty}^\infty
u\dfrac1{\sqrt 2\pi}e^{-u^2/2}\,du$, \'es ez az integr\'al nulla,
mert az integrandus p\'aratlan f\"uggv\'eny. Ezut\'an parci\'alis
in\-teg\-r\'a\-l\'as\-sal kapjuk $f(x)=x$ \'es $g(x)=
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}x e^{-x^2/2}=\dfrac d{dx}\(-\dfrac1{\sqrt
{2\pi}}e^{-x^2/2}\)$ v\'alaszt\'assal, hogy
$$
E\xi^2=\int_{-\infty}^\infty\frac1{\sqrt{2\pi}}x^2 e^{{-x^2/2}}\,dx=
\[-\frac x{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\]_{-\infty}^\infty+\int_{-\infty}
^\infty \frac1{\sqrt{2\pi}}e^{{-x^2/2}}\,dx=1.
$$
Innen $\Var\xi=E\xi^2-\(E\xi\)^2=1$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\medskip
A fenti feladat eredm\'enye alapj\'an egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot akkor nevez\"unk nor\-m\'a\-lis eloszl\'as\'unak, ha
van s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}\sigma} e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$ alakban
adhat\'o meg alkalmas $m$ \'es $\sigma>0$ sz\'amokkal.
\medskip
 
\item{4.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor$E\xi^{2k-1}=0$,
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Egyr\'eszt
$$
E\xi^{2k-1}=\int_{-\infty}^\infty x^{2k-1}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=0,
$$
mert az $x^{2k-1}\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$ f\"uggv\'eny p\'aratlan,
\'es p\'aratlan f\"uggv\'eny integr\'alja nulla. M\'as\-r\'eszt
$$
\align
E\xi^{2k}&=\int_{-\infty}^\infty x^{2k}
\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx=\int_{-\infty}^\infty
-x^{2k-1}\dfrac d{dx}\(\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx\)\\
&=\[-x^{2k-1}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\]_{-\infty}^\infty
+\int_{-\infty}^\infty (2k-1)x^{2k-2}\frac1{\sqrt{2\pi}}
e^{-x^2/2}\,dx \\
&=(2k-1)\int_{-\infty}^\infty
x^{2k-2}\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}\,dx =(2k-1)E\xi^{2k-2},
\endalign
$$
ahonnan $k$ szerinti teljes indukci\'oval
$E\xi^{2k}=1\cdot3\cdots (2k-1)$ minden $k=1,2,\dots$ sz\'amra.
 
 
\medskip\noindent
\item{5.)} Legyen $\xi$ egyenletes eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o a $[-1,1]$ intervallumban,
azaz legyen s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye $f(x)=1$,
ha $0\le x\le1$, \'es $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>1$. Sz\'amoljuk ki
az $\eta=\xi^4$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:}\/
$E\eta=E\xi^4=\int_{0}^1x^4\,dx
=\[\frac{x^5}5\]_{0}^1=\frac15$, \'es
$\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2$, $E\eta^2=E\xi^8
=\int_{0}^1x^8\,dx=\[\frac{x^9}9\]_{0}^1
=\frac19$. Innen $\Var\eta=\frac19-\frac1{25}=\frac{16}{225}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Sz\'amoljuk ki az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et, \'es haszn\'aljuk az $E\eta=\int x
g(x)\,dx$ \'es $E\eta^2=\int x^2g(x)\,dx$ \"osszef\"ugg\'est.
Sz\'amoljuk ki el\H{o}sz\"or $\eta$ $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
$G(x)=P(\eta<x)=P(\xi^4<x)=P(\xi<x^{1/4})=x^{1/4}$ ha $0\le x\le1$,
$G(x)=0$, ha $x<0$ \'es $G(x)=1$, ha $x>1$. Innen $g(x)=0$, ha $x<0$
vagy $x>1$, \'es $g(x)=\frac14x^{-3/4}$, ha $0\le x\le1$. Innen
$E\eta=\int_0^1\frac14 x\cdot x^{-3/4}\,dx
=\int_0^1\frac14 x\cdot x^{1/4}\,dx=\frac14\cdot\frac45=\frac15$,
$E\eta^2=\int_0^1\frac14 x^2\cdot x^{-3/4}\,dx
=\int_0^1\frac14 x\cdot x^{5/4}\,dx=\frac14\cdot\frac49=\frac19$,
$\Var\eta=\frac19-\frac1{25}=\frac{16}{225}$.
\item{6.)} Ledobnak egy pontot a $[0,2]$ intervallumra egyenletes
eloszl\'assal. Ha a ledobott pont \'ert\'eke a $[0,1]$ intervallumba
esik, akkor fel\'{\i}rjuk a dob\'as pontos \'ert\'ek\'et egy
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Ha a ledobott pont \'ert\'eke az $[1,2]$
intervallumba esik, akkor az 1 sz\'amot \'{\i}rjuk a
jegyz\H{o}k\"onyvbe. Sz\'amoljuk ki a jegyz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt
(v\'eletlen) sz\'am v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Els\H{o} megold\'as:} Jel\"olje $\xi$ a ledobott pont,
$\eta$ a jegz\H{o}k\"onyvbe \'{\i}rt sz\'am \'ert\'ek\'et. Ekkor
$\eta=u(\xi)$ ahol az $u(x)$ f\"uggv\'enyt \'ugy defini\'aljuk, hogy
$u(x)=x$, ha $0\le x\le 1$, $u(x)=1$, ha $1\le x\le2$, az $u(x)$
f\"uggv\'enyt tetsz\H{o}leges m\'odon defini\'alhatjuk, ha $x<0$ vagy
$x>2$. Ekkor $E\eta=Eu(\xi)=\int u(x) f(x)\,dx=\int_0^2
u(x)\frac12\,dx=\int_0^1\frac12x\,dx+\int_1^2\frac12\,dx
=\[\frac{x^2}4\]_0^1+\frac12=\frac34$, ahol $f(x)=\frac12$, ha $0\le
x\le2$, $f(x)=0$, ha $x<0$ vagy $x>2$ a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye. Hasonl\'oan,
$E\eta^2=Eu^2(\xi)=\int_0^1\frac12x^2\,dx+\int_1^2\frac12\,dx
=\frac16+\frac12=\frac23$, \'es
$\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2=\frac23-\frac9{16}=\frac5{32}$.
\item{} {\it M\'asodik megold\'as:}\/ Jel\"olje $G(x)$ az $\eta$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et.
Ek\-kor $E\eta=\int xG(\,dx)$, $E\eta^2=\int x^2G(\,dx)$, \'es azt kell
meg\'erten\"unk, hogyan tudjuk ezeket az integr\'alokat kisz\'amolni.
Vegy\"uk \'eszre, hogy $G(x)=G_1(x)+G_2(x)$, ahol
$G_1(x)=\int_{-\infty}^x g_1(u)\,du$, $g_1(u)=\frac12$, ha $0\le u\le1$,
$g_1(u)=0$, ha $u<0$ vagy $u>1$, \'es $G_2(x)=0$, ha $x\le 1$,
$G_2(x)=\frac12$, ha $x\ge1$. Ez azt jelenti, hogy $G_1$ hasonl\'oan
viselkedik, mint egy s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel rendelkez\H{o},
$G_2$ pedig, mint egy diszkr\'et (ebben a speci\'alis esetben egyetlen
\'ert\'eket felvev\H{o}) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'ehez. Az egyetlen k\"ul\"onbs\'eg az, hogy
nincsenek 1-re norm\'alva, azaz $G_1(\infty)=\frac12$ \'es
$G_2(\infty)=\frac12$ (\'es nem 1). A tanult k\'epletek ebben az
esetben is \'erv\'enyesek \'es tetsz\H{o}leges $v(x)$ f\"uggv\'eny
integr\'alj\'ara fel\'{\i}rhatjuk, hogy
$$
\int v(x)G(\,dx)=\int
v(x)G_1(\,dx)+\int v(x)G_2(\,dx)=\int_0^1 v(x) \frac12\,dx+\frac12v(1).
$$
Innen $v(x)=x$ illetve $v(x)=x^2$ v\'alaszt\'assal
$E\eta=Eu(\xi)=\int x G(\,dx)=\int_0^1\frac12x\,dx+\frac12
=\[\frac{x^2}4\]_0^1+\frac12=\frac34$,
\'es $E\eta^2=\int x^2G(\,dx)=\int_0^1\frac12x^2\,dx+\frac12
=\frac16+\frac12=\frac23$,
$\Var\eta=E\eta^2-(E\eta)^2=\frac23-\frac9{16}=\frac5{32}$.
\medskip
T\'argyaljuk a Poisson eloszl\'ast, illetve mutassuk meg egy feladatban
annak egy fontos tulajdons\'ag\'at, nevezetesen azt, hogy k\'et
f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o \"osszege is Poisson eloszl\'as\'u.
\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
\item{7.)} L\'assuk be, hogy ez val\'oban
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg eloszl\'as.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Azt kell ellen\H{o}rizni, hogy
$P(\xi=k)\ge0$ minden $k$ \'ert\'ekre, ami ny\'{\i}l\-v\'an\-va\-l\'o,
\'es $\summ_{k=0}^\infty P(\xi=k)=1$. Viszont
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$
\item{8.)} Ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
$\lambda$ illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ egy
$\lambda+\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o.
\item{}{\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
 
 
\bye
