<html><head><meta name="color-scheme" content="light dark"></head><body><pre style="word-wrap: break-word; white-space: pre-wrap;">\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 30.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip
 
El\H{o}sz\"or felid\'ezem azt, amit a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as modellj\'er\H{o}l a m\'ult
\'or\'an elmondtam, mert ennek meg\'ert\'ese hasznos lehet a
tov\'abbiakban. Azt kell j\'ol meg\'erteni, hogy milyen m\'odon
azonos\'{\i}tunk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asban
esem\'enyeket halmazokkal.
 
Vezess\"uk be az \'ugynevezett elemi esem\'enyeket, amelyeket
\'altal\'aban $\oo$-val jel\"ol\"unk, \'es amelyeket \'ugy
k\'epzelhet\"unk el, mint a le\-het\-s\'e\-ges kimeneteket vagy az
\"osszes le\-het\-s\'e\-ges k\"or\"ulm\'enyek megad\'as\'at, amelyek
meghat\'arozz\'ak az esem\'enyek kimenetel\'et. Egy ese\-m\'eny azt
jelenti, hogy az elemi esem\'enyek valamilyike bek\"ovetkezik, azaz
bizonyos elemi esem\'enyek halmaza k\"ovetkezik be. Ez azt jelenti,
hogy adva van bizonyos elemi ese\-m\'e\-nyek $\oo$ rendszere, egy
esem\'eny bizonyos $\oo$-kb\'ol \'all\'o halmaz, a biztos esem\'eny
az \"osszes $\oo$-t tartalmaz\'o halmaz. Ezt szok\'as $\Omega$-val
jel\H{o}lni. Az esem\'enyek az $\Omega$ r\'eszhalmazai. Nagyon
fontos defini\'alni az $A$ esem\'enyek $P(A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'alni. Vegy\"uk \'eszre, hogy ha
tekintj\"uk bizonyos esem\'enyeknek megfelel\H{o} halmazokat, akkor
annak az esem\'enynek, hogy ezek esem\'enyek valamelyike
bek\"ovetkezik megfelel a neki megfelel\H{o} halmazok uni\'oja,
annak az esem\'enynek, hogy ezek mindegyike bek\"ovetkezik az
esem\'enyeknek megfelel\H{o} halmazok uni\'oja felel meg.
 
Megt\'argyaltuk a k\"ovetkez\H{o} feladatot
\medskip
\item{0.)} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk 20 alkalommal.
Adjuk meg ennek egyik lehets\'eges val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modellj\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az elemi esem\'enyek
az \"osszes $\oo=(F,I,\dots)$ lehets\'eges 20 hossz\'us\'ag\'u
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Legyen $\Omega$ az \"osszes 20
hossz\'us\'ag\'u sorozatok halmaz\'at, \'es $\Cal A$ az $\Omega$
\"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaza. Defini\'aljuk az $\{\oo\}$
elemi ese\-m\'e\-nye\-ket tartalmaz\'o halmazok
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et $P(\{\oo\})=2^{-20}$ az \"osszes
lehets\'eges elemi esem\'enyre. (Ez jelenti azt, hogy szab\'alyos
\'erm\'et dobtunk fel egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul.)
\'Altal\'aban pedig legyen $P(A)=\summ_{\oo\in A} P(\{\oo\})$.
\medskip
 
Az el\H{o}z\H{o} m\'odon konstru\'alhatunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
modelleket abban az esetben, ha v\'eges (vagy megsz\'aml\'alhat\'oan
v\'egtelen) lehets\'eges kimenete van egy kis\'erletnek. De ha a
lehets\'eges kimenetek sz\'ama megsz\'aml\'alhat\'on\'al is t\"obb
akkor komoly elvi neh\'ezs\'egek l\'epnek fel. Ez a probl\'ema
term\'eszetes feladatokban is felmer\"ul, p\'eld\'aul akkor, ha
egy szab\'alyos p\'endarab v\'egtelen sok egym\'ast\'ol f\"uggetlen
feldob\'as\'at tekintj\"uk. Ebben az esetben is term\'eszetes m\'odon
(a v\'eges sok kimenethez) hasonl\'oan defini\'alhatjuk az elemi
esem\'enyeket, de az esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek
definici\'oj\'aban komoly probl\'em\'ak mer\"ulnek fel.
Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek a v\'egtelen fej-\'{\i}r\'as
sorozatok halmaza, az elemi esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
nulla. Az esem\'enyek bizonyos elemi esem\'enyeket tartalmaz\'o
halmazok. Ezek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et viszont nem tudjuk olyan
egyszer\H{u}en defini\'alni, mint a v\'eges esetben. Egy tipikus
esem\'eny (halmaz) ugyanis kontinum sok elemi esem\'enyt tartalmaz,
\'es nem mag\'at\'ol \'ertet\H{o}d\H{o} az, hogy hogyan defini\'aljuk
az ilyen esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et.
\medskip
\item{1.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt
egy szab\'alyos p\'enzdarab v\'egtelen do\-b\'as\-so\-ro\-za\-t\'a\-ra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyenek az $\oo$ elemi esem\'enyek a
v\'egtelen fej-\'{\i}r\'aa sorozatok halmazai, az $\Omega$ biztos
esem\'eny az \"osszes lehets\'eges fej-\'{\i}r\'as sorozatot
tartalmaz\'o halmaz. Defini\'ani kell az esem\'enyeket \'es azok
vak\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et. Az esem\'enyek az $\Omega$ halmaz
r\'eszhalmazai. Bizonyos halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et
term\'eszetes m\'odon defini\'alhatjuk. Tekints\"uk azt a halmazt,
amelyik az \"osszes olyan fej-\'{\i}r\'as sorozatot tartalmazza,
amelyiknek az els\H{o} $n$ eleme el\H{o} van \'{\i}rva. Az ilyen
halmazok val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $2^{-n}$. Ez annak felel meg,
hogy az els\H{o} $n$ dob\'as eredm\'eny\'et el\H{o}\'{\i}rjuk.
Tov\'abb\'a elv\'arjuk, hogy amennyiben bizonyos diszjunkt
esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'aljuk akkor ezen
uni\'oj\'anak is defini\'aljuk a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et,
mint az egyes esem\'enyek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek az
\"osszeg\'et. Ilyen m\'odon nem defini\'aljuk minden esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, de az \"osszes sz\'amunkra \'erdekes
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et ilyen m\'odon defini\'altuk.
Tov\'abb\'a ez a definici\'o \'ertelmes, azaz egy esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'enek a definici\'oja, amelyet
k\"ul\"onb\"oz\H{o} m\'odon \'all\'{\i}thatjuk el\H{o}, nem f\"ugg
az el\H{o}\'all\'{\i}t\'ast\'ol. Tov\'abb\'a ilyen m\'odon egy
\'ugynevezett $\sigma$-algebr\'an defini\'altuk a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget, ami $\sigma$-addit\'{\i}v. E fogalmak
definici\'oja szerepelt az el\H{o}ad\'ason, ez\'ert ennek
t\'argyal\'as\'at nemm r\'eszletezem. Viszont megjegyzem, hogy itt
olyan elm\'eleti eredm\'enyeket haszn\'alunk fel, amelyek
vizsg\'alata alapos ismereteket \'es neh\'ez bizony\'{\i}t\'asokat
ig\'enyelnek. De ennek t\'argyal\'asa nem t\'em\'aja a mi
gyakorlatunknak. El\'eg elfogadni azt a t\'enyt, hogy minden
\'ertelmes konstrukci\'oban teljes\"ulnek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as alapvet\H{o}
tulajdons\'agait el\H{o}\'{\i}r\'o felt\'etelek.
 
\medskip
Egy fontos fogalom a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg fogalma.
Szeml\'eletesen a k\"ovetkez\H{o}r\'ol van sz\'o. Egy $A$ esem\'eny
$P(A)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege azt fejezi ki, hogy mennyire
val\'osz\'{\i}n\H{u} a bek\"ovetkez\'ese. Viszont ennek a
bizonyoss\'agnak a m\'ert\'eke megv\'altozik, ha tudjuk, hogy egy $B$
esem\'eny bek\"ovetkezett. Ez\'eert defini\'ajuk az $A$ esem\'eny
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, felt\'eve, hogy a $B$
esem\'eny bek\"ovetkezett. Ennek definici\'oja $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap
B)}{P(B)}$. B\'ar az al\'abbi azonoss\'ag
trivi\'alis, fontoss\'aga miatt \'erdemes k\"ul\"on megfogalmazni.
$$
P(A\cap B)=P(A|B)P(B)=P(B|A)P(B), \quad \text{ha } P(A)&gt;0 \text{ \'es }
P(B)&gt;0.
$$
Tov\'abbi egyszer\H{u}, de hasznos \'eszrev\'etelek:
 
Ha $B_1,\dots,B_n$ a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy partici\'oja, azaz a
$B_1,\dots, B_n$ esem\'enyek diszjunktak, \'es $\bigcupp_{k=1}^n
B_k=\Omega$, akkor
$$
\align
P(A)&amp;=P(A\cap B_1)+P(A\cap B_2)+\cdots P(A\cap B_n)\\
&amp;=P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)
\endalign
$$
minden $A$ halmazra. Ez\'ert
$$
P(B_1|A)=\frac{P(B_1\cap A)}{P(A)}=\frac{P(A|B_1)P(B_1)}
{P(A|B_1)P(B_1)+P(A|B_2)P(B_2)+\cdots+P(A|B_n)P(B_n)}.
$$
Term\'eszetesen hasonl\'o \"osszef\"ugg\'es \'{\i}rhat\'o fel a
$P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre
tet\-sz\H{o}\-le\-ges $j$ indexre. A fenti egyszer\H{u}
\"osszef\"ugg\'es  fontoss\'ag\'at az adja, hogy lehet\H{o}v\'e
teszi a $P(B_j|A)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek
kisz\'am\'{\i}t\'as\'at a `ford\'{\i}tott' $P(A|B_j)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek ismeret\'eben, felt\'eve, hogy
ismerj\"uk a $P(B_j)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egeket.
 
\medskip
\item{2.} Egy di\'ak a feltett k\'erd\'esre (h\'arom
lehet\H{o}s\'eg k\"oz\"ul kell kiv\'alasztani a megfelel\H{o}t) $p$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel tudja a helyes v\'alaszt. Ha nem tudja,
akkor tippel, \'es ez $\dfrac13$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel ad helyes
eredm\'enyt. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy
tudja a v\'alaszt felt\'eve, hogy helyes v\'alaszt adott?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A$ azt az esem\'enyt, hogy
tudja  a helyes v\'alaszt, $B$ azt az esem\'enyt, hogy helyes
v\'alaszt ad. A $P(A|B)=\dfrac{P(A\cap B)}{P(B)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'ek\'ere vagyunk ki\-v\'an\-csi\-ak.
Ekkor $P(A\cap B)=P(A)=p$, $P(B)=P(A\cap B)+P(\bar
A\cap B)=P(A)+P(B|\bar A)P(\bar A)=P(A)+(1-P(A))P(B|\bar A)= \dfrac13
=p+\dfrac13(1-p)$. Innen $P(A|B)=\dfrac p{p+\frac13(1-p)}$.
\item{3.)} Egy urn\'aban $z$ z\"old \'es $s$ s\'arga goly\'o van.
Egym\'as ut\'an kih\'uzunk n\'egy goly\'ot \'ugy, hogy minden
h\'uz\'as ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele
egy\"utt az urn\'aba dobunk 2 ellenkez\H{o} sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot.
Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egy z\"old, z\"old, z\"old, s\'arga
h\'uz\'assorozatnak?
\medskip
\item{}{\it Megold\'as:}\/  Kisz\'amoltuk annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'es\'eg\'et, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as eredm\'enye $Z$=(z\"old), annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a m\'asodik h\'uz\'as $Z$,
felt\'eve, hogy az els\H{o} h\'uz\'as $Z$, annak a felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a  harmadik h\'uz\'as
eredm\'enye $Z$ felt\'eve, hogy el\'otte $Z,Z$ \'es annak felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy a negyedik h\'uz\'as eredm\'enye
$S$ felt\'eve, hogy el\H{o}tte $Z,Z,Z$ h\'uz\'as volt. Ez a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg, illetve felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek $\dfrac{z}{z+s}$, $\dfrac z{z+s+2}$,
$\dfrac z{z+s+4}$, $\dfrac{s+6}{z+s+6}$. A keresett
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\dfrac{z}{z+s}\cdot\dfrac z{z+s+2}\cdot\dfrac z{z+s+4}\cdot
\dfrac{s+6}{z+s+6}$.
\item{4.)} Reggel valaki hazulr\'ol elmenve a lak\'askulcsot elteszi,
m\'egpedig \'ugy, hogy 0.5 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel teszi a
kab\'atzseb\'ebe, 0.3 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a nadr\'agzseb\'ebe
\'es 0.2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel a mell\'enyzseb\'ebe.
A nap folyam\'an mindenfel\'e j\'ar, ez\'ert a lak\'askulcs a
kab\'atzseb\'eb\H{o}l 0.1, a nadr\'agzseb\'eb\H{o}l 0.2, a
mell\'enyzseb\'eb\H{o}l viszont 0 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
esik ki. Este hazat\'erve ember\"unk  el\H{o}sz\"or a kab\'at majd a
nad\-r\'ag\-zse\-b\'e\-ben keresi a kulcsot, de egyik helyen sem
tal\'alja. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a lak\'askulcs
ott van a mell\'enyzseb\'eben?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy
ember\"unk a lak\'askulcsot a kab\'at $A_2$, hogy a nadr\'ag \'es
$A_3$, hogy a mell\'enyzseb\'ebe tette. Jel\"olje tov\'abb\'a $B$ azt
az esem\'enyt, hogy a kulcs nem veszett el. Ekkor felt\'eteleink
szerint az $A_1$, $A_2$ \'es $A_3$ esem\'enyek egym\'ast kiz\'ar\'oak,
$P(A_1)=0.5$, $P(A_2)=0.3$, $P(A_3)=0.2$ tov\'abb\'a $P(B|A_1)=0.9$,
$P(B|A_2)=0.8$ \'es $P(B|A_3)=1$. Vezess\"uk be a
$C=(\bar B\cap A_1)\cup (\bar B\cap A_2)\cup A_3$ esem\'enyt. Ekkor $C$
jelenti azt az esem\'enyt, hogy ember\"unk este nem tal\'alta a
lak\'askulcsot sem a kab\'at sem a nadr\'agzseb\'eben. Ez\'ert minket a
$P(B|C)=\dfrac{P(B\cap C)}{P(C)}$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Viszont $P(C)=P(A_1\cap \bar
B)+P(A_2\cap \bar B)+P(A_3)=P(\bar B|A_1)P(A_1)+P(\bar
B|A_2)P(A_2)+P(A_3)=0.1\cdot 0.5+0.2\cdot 0.3+0.2=0.31$, \'es
$P(B\cap C)=P(B\cap A_3)=P(A_3)=0.2$. Innen a minket \'erdekl\H{o}
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{0.2}{0.31}=\dfrac{20}{31}$.
\item{5.)} A Fazekas k\"onyv egyik feladata (3.4 P\'elda a 32. oldalon)
arr\'ol sz\'ol, hogy ha egy $n$ l\'etsz\'am\'u csoportban $r$
v\'eletlen\"ul kiv\'alasztott di\'aknak dolgozatot kell \'{\i}rni, mi
annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb
di\'aknak is dolgozatot kell \'{\i}rni, felt\'eve, hogy a legjobb
di\'ak is dolgozatot \'{\i}r. Heurisztikusan \'ugy \'ervelhet\H{u}nk,
hogy ha a legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r, akkor annak
(felt\'eteles) val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r, azzal egyenl\H{o}, hogy a marad\'ek $n-1$ di\'ak
k\"oz\"ul \H{o}t is kiv\'alasztj\'ak a marad\'ek $r-1$
dolgozat\'{\i}r\'o k\"oz\'e, teh\'at $\dfrac{r-1}{n-1}$. Kiss\'e
pontosabban, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a ketten
dolgozatot \'{\i}rnak, $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$, annak, hogy a
legjobb di\'ak dolgozatot \'{\i}r $\dfrac rn$, ahonnan k\"ovetkezik az
\'all\'{\i}t\'as. Ha a k\"onyvben szerepl\H{o} eredm\'enyt
egyszer\H{u}bb alakra hozzuk, l\'atjuk hogy az eredm\'eny helyes.
Adjunk k\"ozvetlen, a szeml\'eletet k\"ovet\H{o} prec\'{\i}z
bizony\'{\i}t\'ast arra, hogy a fenti formul\'ak az adott
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egekre helyesek.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az urna visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'as
modellj\'enek \'ervel\'es\'et alkalmazhatjuk ebben az esetben is.
Tegy\"uk fel, hogy egym\'as ut\'an kiv\'alasztjuk a dolgozatot
\'{\i}r\'okat, Minden l\'ep\'esben az eddig ki nem v\'alasztottak
valamelyik\'et v\'alasztjuk ki egforma val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel.
Ha kijel\"ulj\"uk (az urn\'ab\'ol val\'o h\'uz\'asn\'al szerepl\H{o}
\'ervel\'est haszn\'alva) egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a
legjobb, egy k\"ul\"on (egy elem\H{u}) csoportba a legrosszabb
di\'akot, egy k\"ul\"on csportba az \"osszes t\"obbit, akkor
r\"ogz\'{\i}tve egy $1\le j,k\le r$, $j\neq k$ sz\'amp\'art kapjuk,
hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a $j$-ik
v\'alaszt\'asn\'al v\'alasztunk az els\H{o}, a $k$-ik v\'alaszt\'askor
a m\'asodik csoportb\'ol, megegyezik annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} v\'alaszt\'askor
v\'alasztunk az els\H{o}  \'es a m\'asodik v\'alaszt\'askor a m\'asodik
csoportb\'ol. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege viszont
$\dfrac1{n(n-1)}$. Mivel  a fenti esem\'enyek k\"ul\"onb\"oz\H{o}
$(j,k)$ sz\'amp\'arokra kiz\'arj\'ak egym\'ast, ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb \'es alegrosszabb di\'ak
is dolgozatot \'{\i}r $\dfrac{r(r-1)}{n(n-1)}$. Hasonl\'oan,
l\'athat\'o, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a legjobb
di\'ak dolgozatot \'{\i}r az $\dfrac rn$ sz\'ammal egyenl\H{o}.
\item{6.)} Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy
(szab\'alyos) dob\'okocka mindk\'et dob\'as\'anak az eredm\'enye hatos
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt,
hogy az els\H{o} dob\'as eredm\'enye hatos, $A_2$ azt az esem\'enyt,
hogy a m\'asodik dob\'as eredm\'enye hatos. Akkor minket a $P(A_1\cap
A_2|A_1\cup A_2)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel.
Viszont
$$
P(A_1\cap A_2|A_1\cup A_2)=\dfrac{P((A_1\cap A_2)\cap(A_1\cup
A_2))}{P(A_1\cup A_2)}=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1\cup A_2)}.
$$
M\'asr\'eszt $P(A_1\cap A_2)=\dfrac1{36}$, $P(A_1\cup A_2)=1-P(\bar
A_1\cap \bar A_2)=1-\dfrac{25}{36}=\dfrac{11}{36}$. Innen a keresett
felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg $\dfrac1{11}$.
\medskip
A k\"ovetkez\H{o} (egyszer\H{u}) feladat c\'elja az, hogy
\"osszehasonl\'{\i}tsuk annak eredm\'eny\'et az el\H{o}bb t\'argyalt
feladattal, \'es megbesz\'elj\"uk m\'ast jelent az a felt\'etelt, hogy
k\'et kockadob\'as k\"oz\"ul az egyik hatos, \'es az hogy
ad\'odott hatos dob\'as. K\'epesek vagyunk-e szeml\'elet\"unk
alapj\'an sz\'amol\'as n\'elk\"ul megmondani, melyik feltev\'es
mellett nagyobb annak a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
mind a k\'et dob\'as hatos? \medskip
\item{7.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk k\'etszer egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy mind a
k\'et dob\'as hatos, felt\'eve hogy az els\H{o} dob\'as hatos?
\item{}{Megold\'as:}\/ Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az
els\H{o} dob\'as hatos, $A_2$ pedig azt az esem\'enyt, hogy a m\'asodik
dob\'as hatos. Ekkor $A_1\cap A_2$ az az esem\'eny, hogy mind a k\'et
dob\'as hatos, \'es minket a $P(A_1\cap A_2|A_1)$ felt\'eteles
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke \'erdekel. Viszont,
$P(A_1\cap A_2|A_1)=\dfrac{P(A_1\cap A_2)}{P(A_1)}
=\dfrac{P(A_1)P(A_2)}{P(A_1)}=P(A_2)=\dfrac16$.
 
\medskip {\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk h\'aromszor egym\'as
ut\'an. Mi a felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak, hogy mind
a h\'arom dob\'as fej, felt\'eve, hogy legal\'abb k\'et fejdob\'as
t\"ort\'ent?
 
 
 
 
 \bye
 
 
</pre></body></html>