\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A szeptember 23.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip
\item{1.} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk v\'egtelen sokszor.
Mutassuk meg, hogy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem lesz
fejdob\'as nulla. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy legfeljebb
100 fejdob\'as lesz szint\'en nulla. \item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $n$ dob\'asban nem lesz
fejdob\'as, azaz csupa \'{\i}r\'asdob\'as k\"ovetkezik be $2^{-n}$.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy\'altal\'an nem lesz
fejdob\'as megegyezik annak az esem\'enynek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy minden $n$ sz\'amra az els\H{o}
$n$ dob\'asban nem lesz fejdob\'as, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege kisebb, mint $2^{-n}$ minden $n=1,2,\dots$
sz\'amra. Innen k\"ovetkezik, hogy a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nulla. Hasonl\'oan annak az esem\'enynek a
val\'os\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} $100n$ dob\'asban
legfeljebb 100 fejdob\'as k\"ovetkezik be kisebb, mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy vagy az els\H{o} 100 sem a 101.
\'es 200. k\"oz\"otti sem az $100(n-1)+1$. \'es $100n$. k\"oz\"otti
dob\'asban nem t\"ort\'enik tiszta fejdob\'as sorozat, \'es ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(1-2^{-100}\)^n$. Ez\'ert annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy\'altal\'an nem k\"ovetkezik be
fejdob\'as kisebb, mint $\(1-2^{-100}\)^n$ minden $n$ sz\'amra,
teh\'at nulla.
\medskip
\item{2.} Ledobunk az egys\'eg intervallumra egy pontot
v\'eletlen\"ul egyenletes eloszl\'asban, azaz annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont egy $[a,b]$
intervallumba esik, $[a,b]\subset [0,1]$ $b-a$-val egyenl\H{o}.
L\'assuk be, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott
pont pontosan a $\frac \pi6$ pontba esik nulla.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
ledobott pont a $\frac\pi6$ pontba esik kisebb, mint annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a ledobott pont a
$\[\frac\pi6-e,\frac\pi6+\e\]$ intervallumba esik. Ez igaz minden
$\e>0$ sz\'amra. Ez csak \'ugy lehets\'eges, ha a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg nulla.
\medskip\noindent
{\bf Fontos megjegyz\'es:} {\it Az \"ures, be nem k\"ovetkez\H{o}
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege nulla. Az el\H{o}bb t\'argyalt
egyszer\H{u} feladatok azt mutatj\'ak, hogy lehets\'eges az, hogy egy
esem\'eny bek\"ovetkezhet, a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
m\'egis nulla. Nagyon fontos, hogy ezt j\H{o}l meg\'erts\"uk.}
\medskip
 
\item{3.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
3. hatos dob\'as a 20. vagy  az egyik k\'es\H{o}bbi
dob\'asban jelenik meg?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 19
dob\'asban nulla, egy vagy k\'et hatos jelenik meg. Ennek
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege $\(\dfrac56\)^{19}
+\dbinom{19}1\(\dfrac56\)^{18}\cdot\dfrac16
+\dbinom{19}2\(\dfrac56\)^{17}\cdot\(\dfrac16\)^2$.
\item{}{\it m\'asodik megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy a harmadik
hatos dob\'as eredm\'enye a 20, 21, 22 vagy valamelyik k\'es\H{o}bbi
dob\'as eredm\'enye. (Tudni kell, hogy egy
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel el\H{o}bb-ut\'obb megjelenik a harmadik
fej-dob\'as.) Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$$
\(\dfrac16\)^3\summ_{k=20}^{\infty}
\dbinom{k-1}2\(\dfrac5{16}\)^{k-3}.
$$
 
Annak \'erdek\'eben, hogy meg\'erts\"uk az els\H{o} megold\'as
jogoss\'ag\'at l\'assuk be, hogy
\item{3a.} Annak, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka v\'egtelen sok
egym\'as ut\'ani feldob\'asa sor\'an nem jelenik meg h\'arom hatos
nulla a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege. Val\'oj\'aban ennek a feladatnak a
megold\'asa hasonl\'o az els\H{o} feladat megold\'as\'ahoz, de
le\'{\i}rom.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az \'all\'{\i}t\'as ekvivalens azzal, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy bek\"ovetkezik legal\'ab h\'arom
hatos dob\'as~1. Ez ut\'obbi esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont nagyobb mint az, hogy (ak\'arhogyan is r\"ogz\'{\i}t\"unk egy
$n$ eg\'esz sz\'amot) annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} $n$ dob\'as k\"oz\"ul legal\'abb egy hatos, az $n+1$-ik \'es
$2n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok k\"oz\"ul legal\'abb az egyik
hatos \'es a $2n+1$-ik \'ea $3n$-ik dob\'as k\"oz\"otti dob\'asok
k\"oz\"ul legal\'abb az egyik hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
viszont $\(1-\(\dfrac56\)^n\)^3$. Ez\'ert a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg enn\'el a sz\'amn\'al nagyobbnak kell lenni
tetsz\H{o}leges $n$-re, ami csak \'ugy lehets\'eges, hogy
ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg 1.
\medskip
Felmer\"ulhet az a k\'erd\'es, hogy hogyan lehet megmutatni
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi meggondol\'asok n\'elk\"ul
azt, hogy az el\H{o}bb t\'argyalt feladat k\'et megold\'as\'aban
szerepl\H{o} k\'et l\'at\-sz\'o\-lag teljesen k\"ul\"onb\"oz\H{o}
kifejez\'es megegyezik. Megmutatom, hogy hogy a m\'asodik \"osszegben
szerepl\'o v\'egtelen \"osszeg \"osszegezhet\H{o} a
$(1+x)^\alpha=\summ_{k=0}^\infty\dbinom \alpha k x^k$, ha $|x|<1$
aonoss\'ag seg\'{\i}ts\'eg\'evel, ahol $\dbinom \alpha
k=\dfrac{\alpha(\alpha-1)\cdots (\alpha-k+1)}{k!}$. (A fenti
azonoss\'ag minden val\'os $\alpha$ sz\'amra \'erv\'enyes,
tekinthet\H{o} \'ugy mint az \'altal\'anos\'{\i}tott binomi\'alis
t\'etel, \'es az $(1+x)^\alpha$ f\"uggv\'eny Taylor
sorfejt\'es\'eb\H{o}l k\"ovetkezik.) Azt kell \'eszrevenni, hogy
$$
\dbinom{k-1}2=\dfrac
{(2-k)(1-k)}2={(-1)^{k-1}}\dfrac{(-3)(-4)\cdots(1-k)}
{(k-3)!}=(-1)^{k-1}\dbinom{-3}{k-3},
$$
ahonnan $\summ_{k=3}^{\infty}\dbinom{k-1}2\(\dfrac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=3}^{\infty}\dbinom{-3}{k-3}\(-\dfrac5{16}\)^{k-3}=
\summ_{k=0}^{\infty}\dbinom{-3}k\(-\dfrac5{16}\)^k=\(1-\dfrac56\)^{-3}=
\(\dfrac16\)^{-3}$. Teh\'at $\(\dfrac16\)^3\summ_{k=3}^{\infty}
\dbinom{k-1}2\(\dfrac5{16}\)^{k-3}=1$. Ez az azonoss\'ag ekvivalens
azzal az \'all\'{\i}t\'assal, hogy egy szab\'alyos dob\'okocka
v\'egtelen sok egym\'as ut\'ani feldob\'asa eset\'en 1
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel legal\'abb 3 hatos dob\'as t\"ort\'enik.
\medskip \item{4.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot visszatev\'essel. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as piros? Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik h\'uz\'as piros?
Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as piros? Annak, hogy az els\H{o}
\'es m\'asodik h\'uz\'as piros? Annak, hogy a m\'asodik \'es \"ot\"odik
h\'uz\'as piros?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Minden goly\'ot egyforma
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel h\'uzunk ki, h\'usz piros \'es har\-minc
feh\'er goly\'o k\"oz\"ul v\'alaszthatunk. Ez\'ert annak a
val\'os\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as ered\-m\'e\-nye
piros ez\'ert $\frac{20}{30}$. Ugyanez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
annak, hogy a m\'asodik vagy annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as piros szint\'en $\frac{20}{50}$,
ugyanis mindegyik esetben 50 goly\'ob\'ol kell kiv\'alasztanunk 20-t,
mindegyik goly\'o h\'uz\'asa egyforma val\'osz\'{\i}n\H{u}.
Hasonl\'oan l\'athat\'o, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'as piros, $\(\frac25\)^2$, \'es
ugyanez annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik \'es
\"ot\"odik h\'uz\'as piros.
\medskip \item{} Az el\H{o}z\H{o} feladat sz\'amunkra els\H{o}sorban
az\'ert \'erdekes, mert p\'arhuzamba \'all\'{\i}that\'o a
k\"ovetkez\H{o} feladattal.
\medskip
\item{5.} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Mi
annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} h\'uz\'as
piros? Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik
h\'uz\'as piros? Annak, hogy az \"ot\"odik h\'uz\'as piros? Annak,
hogy az els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'as
piros? Annak, hogy a m\'asodik \'es \"ot\"odik h\'uz\'as piros?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az
els\H{o} h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}$, annak a
val\'oaz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\'uz\'as piros $\frac{20}{50}\frac{19}{49}$. Ez hasonl\'oan
l\'athat\'o, mint az el\H{o}z\H{o} feladat megold\'asa. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik h\'uz\'as piros
megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy vagy az
els\H{o} h\'uz\'as piros \'es a m\'asodik h\'uz\'as piros vagy az
els\H{o} h\'uz\'as feh\'er \'es a m\'asodik h\H{u}z\'as piros.
Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\frac{20}{50}{19}{49}+\frac{30}{50}\frac{20}{49}=
\frac{20(19+30)}{50\cdot49}=\frac{20}{50}$. Ez azt jelenti, hogy
annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik h\'uz\'as piros
megegyezik annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o}
h\'uz\'as piros. Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
m\'asodik \'es \"ot\"odik h\'uz\'as megegyezik annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az els\H{o} \'es a m\'asodik
h\'uz\'as piros. Ez bel\'athat\'o hasonl\'oan az el\H{o}z\H{o}
sz\'amol\'ashoz, de ez kiss\'e bonyolult. Megmutatjuk, hogy az
esem\'enyek halmazokkal val\'o rep\-re\-zen\-t\'a\-ci\'o\-j\'a\-val
ez a feladat egyszer\H{u}bben megoldahat\'o.
\item{5a.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} esem\'enyeket az
el\H{o}z\H{o} feladatban: Legyen $A(\e_1,\dots,\e_{10})$,
$\e_j=\pm1$, $1\le j\le 10$ az az esem\'eny, amelyik akkor
k\"ovetkezik be, ha a 10 h\'az\'as sor\'an a $j$-ik
h\'uz\'as piros, ha az $\e_j$ koordin\'aa 1, \'es a $j$-ik h\'uz\'as
feh\'er, ha a $j$-ik h\'uz\'as feh\'er. Ezt az el\H{o}\'{\i}r\'ast
minden $1\le j\le 10$ indexre megk0vetelj\"uk. L\'assuk be, hogy
ilyen m\'odon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o} egy $2^{10}$
elem\H{u} partici\'oj\'at defini\'altuk, az az esem\'eny, hogy a
m\'asodik \'es \"ot\"odik h\'uz\'as piros megegyezik az
$\bigcupp_{\e_2=1.\e_5=1} \!\!  A(\e_1,\dots,\e_{10})$  esen\'ennyel,
az az esem\'eny pedig, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik h\'{\i}z\'as
piros megegyezik az $\bigcupp_{\e_1=1.\e_2=1}A(\e_1,\dots,\e_{10})$
esen\'ennyel.
Mutassuk meg, hogy az $A(\e_1,\dots,\e_{10})$, $\e_j=\pm1$, esem\'eny
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege csak az esem\'eny definici\'oj\'aban
szerepl\H{o} $\e_j=1$ \'es $\e_j=-1$ koordin\'at\'ak sz\'am\'at\'ol
f\"ugg, de f\"uggetlen azok sorrendj\'et\H{o}l. L\'assuk be ezen
\'eszrev\'etelek seg\'{\i}ts\'eg\'evel az 5. feladat hi\'anyz\H{o}
r\'esz\'et.
\item{} {\it Megold\'as:} \/ Mutassuk meg, hogy az
$A(\e_1,\dots,\e_{10})$, $\e_j=\pm1$, esem\'enyek
nyil\-v\'an\-va\-l\'o\-an diszunktak k\"ul\"unb\"oz\H{o}ek
k\"ul\"onb\"oz\H{o} koordin\'at\'ak eset\'en, uni\'ojuk pedig a biztos
ese\-m\'eny, hiszen tartalmazz\'ak a 10 hossz\'{\i}s\'ag\'u
h\'uz\'assorozat \"osszes
lehets\'eges kimenetel\'et. Ez jelenti azt, hogy a felsorolt halmazok
partici\'ot alkotnak. Az, hogy az adott kifejez\'esek a
m\'asodik \'es \"ot\"odik h\'uz\'asban t\"ort\'ent piros h\'uz\'as
illetve az els\H{o} \'es m\'asodik h\'uz\'asban t\"ort\'ent piros
h\'uz\'ast jelent hasonl\'oan l\'athat\'o. Annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy olyan $A(\e_1,\dots,\e_{10})$,
$\e_j=\pm1$ esem\'eny k\"ovetkezik be, amelynek koordin\'at\'ai $l$
piros \'es $10-l$ feh\'er h\'uz\'ast tartalmaznak egyenl\'o a
$$
P(l)=\frac{20\cdot19\cdots (20-l+1)\cdot30\cdot29\cdots(30-(10-l)+1)}
{50\cdot49\cdots 41}
$$
kifejez\'essel, hiszen amikor kisz\'amoljuk ezt a
val\H{o}sz\'{\i}n\H{u}s\'eget ez a kifejez\'es jelenik meg, az $\e_j$-k
sorrendje csak a sz\'aml\'al\'oban szerepl\H{o} t\'enyez\H{o}k
sorrendj\'enek megjelen\'es\'et befoly\'asolja. Vegy\"uk \'eszre,
hogy amennyiben a m\'asodik \'es \"ot\"odik h\'uz\'as piros akkor az,
hogy \"osszesen $l$ piros h\'uz\'as k\"ovetkezik be $\binom 8{l-2}$
$A(\e_1,\dots,\e_{10})$, $\e_j=\pm1$ esem\'eny bek\"ovetkez\'esekor
t\"ort\'enik meg, amelyek mindegyik\'enek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$P(l)$. Ez\'ert annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a m\'asodik
\'es \"ot\"odik h\'uz\'as piros \'es \"osszesen $l$ piros h\'uz\'as
k\"ovetkezik be $\binom8{l-2}P(l)$, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
pedig, hogy a m\'asodik \'es \"ot\"odik h\'uz\'as piros
$\summ_{l=0}^8\binom8{l-2}P(l)$. Hasonl\'o m\'odon annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az els\H{o} \'es m\'asodik
h\H{u}z\'as piros $\summ_{l=0}^8\binom8{l-2}P(l)$, teh\'at a k\'et
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg megegyezik. A feladat tov\'abbi
\'all\'{\i}t\'asai hasonl\'oan l\'athat\'oak.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o van.
Kih\'uzunk egym\'as ut\'an 10 goly\'ot \'ugy hogy minden h\'uz\'as
ut\'an a goly\'ot visszadobjuk az urn\'aba, \'es vele egy\"utt
visszadobunk k\'et ugyanolyan sz\'{\i}n\H{u} goly\'ot. Mutassuk meg,
hogy annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy az els\H{o}
\'es m\'asodik kih\'uzott goly\'o piros megegyezik annak a
val\'os\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy a m\'asodik \'es \"ot\"odik
kih\'uzott goly\'o piros.
\medskip
\item{6.} Legyen adva v\'egtelen sok $A_1,A_2,\dots$ esem\'eny.
Fejezz\"uk ki ezen esem\'enyek se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel az
\'uni\'o, metszet \'es komplementer lek\'epez\'esek
felhaszn\'al\'as\'aval azt az esem\'enyt, hogy az $A_1,A_2,\dots$
esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen sok k\"o\-vet\-ke\-zik be.
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Az az
esem\'eny, hogy az $A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul v\'egtelen
sok k\"o\-vet\-ke\-zik be \'ugy is megfogalmazhat\'o, hogy
b\'armely $n$ indexre l\'etezik olyan $N\ge n$ index melyre az $A_N$
esem\'eny bek\"ovetkezik. R\"ogz\'{\i}tett $n$ sz\'amra az az
esem\'eny, hogy bek\"ovetkezett az $A_N$ esem\'eny valamely $N\ge n$
indexre fel\'{\i}rhat\'o mint a $B_n=\bigcupp_{n=N}^\infty A_N$
esem\'eny. Az, hogy a $B_n$ esem\'enyek mindegyike bek\"ovetkezik az
$C=\bigcapp_{n=1}^\infty B_n$ esem\'eny. Ez\'ert
a vizsg\'alt esem\'eny fel\'{\i}4hat\'o $C=\bigcapp_{n=1}^\infty B_n
 =\bigcapp_{n=1}^\infty \(\bigcupp_{n=N}^\infty A_N\)$ alakban
\'{\i}rhat\'o.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\medskip
\item{} Fejezz\"uk ki uni\'o, metszet \'es komplementerk\'epz\'es
seg\'{\i}ts\'eg\'evel azt az esem\'enyt, hogy v\'egtelen sok
$A_1,A_2,\dots$ esem\'enyek k\"oz\"ul v\'eges sok
kiv\'etel\'evel mindegyik bek\"ovetkezik.
\medskip
\item{7.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi modellt a negyedik \'es
\"ot\"odik feladatban szerepl\H{o} feladatra.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Tekints\"uk azt az $\Omega$ halmazt,
amelynek $\oo$ elemi esem\'enyei a lehets\'eges h\'uz\'assorozatok
halmaza, azaz $\oo$ egy t\'{\i}z hossz\'us\'ag\'u fej-\'{\i}r\'as
sorozat. $\Omega$, a biztos esem\'eny, az \"osszes lehets\'eges
h\'uz\'assorozatot tartalmaz\'o halmaz, $\Cal A$ pedig az
$\Omega$ \"osszes lehets\'eges r\'eszhalmaz\'ab\'ol \'all\'o
$\sigma$-algebra. Adva egy $A\in\Cal A$ halmaz, ennek $P(A)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege egyenl\H{o} a $P(A)=\summ_{\oo\in
A}P(\{\oo\})$ \"osszeg \'ert\'ek\'evel. Eddig a pontig a
visszatev\'eses \'es visszatev\'es n\'elk\"uli h\'uz\'assorozatot
le\'{\i}r\H{o} modell definici\'oja megegyezik. A k\"ul\"onbs\'eg
akkor jelenik meg, amikor az elemi esem\'enyek $P(\{\oo\})$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et defini\'aljuk. Ez abban az esetben,
ha az $\oo$ h\'uz\'assorozat $l$ piros \'es $10-l$ feh\'er h\'uz\'ast
tartalmaz, akkor a visszatev\'eses esetben  $P(\{\oo\})=\bar
P(l)=\(\frac25\)^l\(\frac35\)^{10-l}$, m\'{\i}g a
visszatev\'es n\'elk\"uli esetben
$$
P(\{\oo\})=P(l)=\frac{20\cdot19\cdots (20-l+1)\cdot30\cdot29
\cdots(30-(10-l)+1)} {50\cdot49\cdots 41}.
$$
\medskip
\item{} Ha marad m\'eg id\H{o}, megt\'argyaljuk a k\"ovetkez\H{o}
feladatot is.
\medskip
\item{8.} Adjunk val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'asi modellt
egy szab\'alyos kocka v\'egtelen do\-b\'as\-so\-ro\-za\-t\'a\-ra.
 
 
 
 
 \bye
 
 
