\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\parskip=3pt plus 1.5pt
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
\centerline{\bf A szeptember 16.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip
 
El\H{o}sz\"or \"osszefoglalom azokat az eredm\'enyeket, amelyeket az
el\H{o}z\H{o} el\H{o}adason fel\-id\'ez\-tem a v\'egtelen halmazokr\'ol.
Arr\'ol volt sz\'o, hogy k\'et halmaz azonos elemsz\'am\'u, ha
l\'etezik elemeik k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u}
megfeleltet\'es. Ezt az \'eszrev\'etelt Georg Cantor
tov\'abbfejlesztette, \'es kidolgozott egy a v\'egtelen
halmazok nagys\'ag\'anak \"ossze\-ha\-son\-l\'{\i}\-t\'a\-s\'at
lehet\H{o}v\'e tev\H{o} elm\'eletet.
 
K\'et (v\'eges vagy v\'egtelen) halmazt azonos sz\'anoss\'ag\'unak
nevez\"unk, ha l\'etezik ele\-meik k\"oz\"ott k\"olcs\"on\"osen
egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es. Speci\'alisan egy v\'egtelen
halmazt megsz\'aml\'alhat\'onak nevezz\"unk, ha l\'etezik
k\"olcs\"on\"osen egy\'ertelm\H{u} megfeleltet\'es e halmaz \'es a
term\'eszetes sz\'amok halmaz\'anak elemei k\"oz\"ott. Ez \'ugy is
megfogalmazhat\'o, hogy a halmaz elemei egym\'as ut\'an
felsorolhat\'oak \'ugy, hogy el\H{o}bb vagy ut\'obb min\-degyik elem
sorra ker\"ul. Megjegyzem, hogy Cantor defini\'alta azt is, hogy
mikor nevez\"unk egy halmazt na\-gyobb sz\'amoss\'ag\'unak, mint egy
m\'asikat. Azt mondjuk, hogy egy $A$ halmaz sz\'amoss\'aga nagyobb
mint egy $B$ halmaz
sz\'amoss\'aga, vagy egyenl\H{o} vele, ha l\'etezik a $B$ halmaznak
egy olyan lek\'epez\'ese az $A$ halmazra, amelyikben a $B$ halmaz
minden elem\'enek az $A$ halmaz k\"ul\"onb\"oz\H{o} elem\'et
feleltetj\"uk meg, de nem k\"ovetelj\"uk meg, hogy az $A$ halmaz
mindegyik eleme megjelenjen k\'epk\'ent. Be lehet l\'atni,
hogy az \'{\i}gy defini\'alt `nagyobb vagy egyenl\H{o}' fogalom
rendelkezik azokkal a tulajdons\'agokkal, amelyeket elv\'arunk, de
ennek bizony\'{\i}t\'asa nem egyszer\H{u}.
 
Felid\'eztem, hogy v\'egtelen halmazok nagys\'ag\'anak
\"osszehasol\'{\i}t\'asakor olyan ered\-m\'e\-nyek jelennek meg,
amelyek els\H{o} hall\'asra kiss\'e meglep\H{o}ek. \'Igy
megt\'argyaltuk, hogy a ra\-ci\-on\'a\-lis sz\'amok halmaza
megsz\'aml\'alhat\'o, azaz e halmaz sz\'amoss\'aga megegyezik a
term\'eszetes sz\'amok halmaz\'aval, noha a term\'eszetes sz\'amok
halmaza csak egy kis  r\'esz\'et k\'epezi ennek a halmaznak. Viszont a
val\'os sz\'amok halmaz\'anak sz\'amoss\'aga nagyobb, mint a
term\'eszetes sz\'amok sz\'amoss\'aga, teh\'at vannak
k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amoss\'ag\'u v\'egtelen halmazok. A val\'os
sz\'amok sz\'amoss\'ag\'at kontinumnak nevezik az irodalomban.
V\'eg\"ul megjegyeztem, hogy a s\'{\i}k halmazainak vagy a folytonos
f\"uggv\'enyek sz\'amoss\'aga szint\'en kontinum, viszont a $[0,1]$
intervallumon defini\'alt f\"uggv\'enyek sz\'amoss\'aga m\'eg a
kontinumn\'al is nagyobb.
\medskip
 
A k\"oovetkez\H{o} kombinatorikai eredm\'enyeket is megt\'argyaltuk.
\medskip
 
 
\item{} Egy urn\'aban goly\'ok vannak, amelyek tartalmazz\'ak az
$1,\dots,n$ sz\'amokat. Kih\'uzunk egym\'as ut\'an $k$ goly\'ot.
H\'any k\"ul\"onb\"oz\H{o} h\'uz\'aseredm\'eny lehets\'eges?
\item{} Ha visszatev\'es n\'elk\"ul h\'uzzuk ki a goly\'okat, \'es
k\"ul\"onbs\'eget tesz\"unk k\'et h\'uz\'assorozat k\"oz\"ott,
amelyekben ugyanazokat a sz\'amokat h\'uztuk ki, de m\'as sorrendben,
akkor $n(n-1)\cdots(n-k+1)$ lehet\H{o}s\'eg van, ha nem tesz\"unk
k\"ul\"onbs\'eget k\"oz\"ott\"uk, akkor $\dbinom nk$.
\item{} Ha visszatev\'essel h\'uzzuk a goly\'okat \'es
k\"ul\"onbs\'eget tesz\"unk k\"ul\"onb\"oz\H{o} sorrendben kih\'uzott
ugyanazokat a sz\'amokat (ugyanolyan multiplicit\'assal) tartalmaz\'o
h\'u\-z\'as\-so\-ro\-za\-tok k\"oz\"ott, akkor a lehets\'eges
h\'uz\'asok sz\'ama $n^k$.
\item{} Ha visszatev\'essel h\'uzzuk a goly\'okat, \'es azokat
h\'uz\'as ut\'an nagys\'ag szerint sorba rakjuk, akkor
ilyen m\'odon $\dbinom {n+k-1}k$ k\"ul\"onb\"oz\H{o}
h\'uz\'assorozat ke\-let\-kez\-het.
\medskip
\item{1.} Egy t\'oban 10000 hal van. V\'eletlen\"ul kihal\'asznak
bel\H{o}le 1000 darabot, ezekre piros p\"otty\"ot festenek \'es
visszaengedik \H{o}ket a t\'oba. Ezut\'an ism\'et kifognak
v\'eletlen\"ul 1000 halat. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy a kifogott halak k\"oz\"ott 100 megfestett van?
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$\dfrac{\dbinom{1000}{100}\dbinom{9000}{900}} {\dbinom{10000}{1000}}$.
Ugyanis a m\'asodik fog\'asban \"osszesen $\dbinom{10000}{1000}$
f\'ele fog\'aseredm\'eny lehets\'eges, \'es minden fog\'aseredm\'eny
egyform\'an val\'osz\'{\i}n\H{u}. (A halakat
megk\"ul\"onb\"oztetj\"uk.) Az olyan fog\'aseredm\'enyek
sz\'ama, amelyekben az 1000 pirossal megjel\"olt halb\'ol 100-t a
9000 meg nem jel\"olt halb\'ol pedig 900-t fogtak ki
$\dbinom{1000}{100}\dbinom{9000}{900}$.
 \item{} {\it Megjegyz\'es:}\/ A gyakorlatban el\H{o}fordul\'o
k\'erd\'es ennek ford\'{\i}tottja. Elv\'egezz\"uk a fenti kis\'erletet,
\"osszesz\'aml\'aljuk a megfestett halakat, \'es ebb\H{o}l
pr\'ob\'alunk k\"ovetkeztetni a t\'oban lev\H{o} halak sz\'am\'ara.
Hogyan \'erdemes ezt csin\'alni? Ez a k\'es\H{o}bbiek t\'em\'aja lesz.
\medskip
\item{2.} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel
megy el. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy lesznek
vend\'egek a h\'azibulin?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Mint sok egy\'eb esetben, most is
\'erdemes az esem\'eny be nem k\"o\-vet\-ke\-z\'e\-s\'e\-nek a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et kisz\'amolni. Ez $\(\dfrac12\)^{50}$.
\'Igy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valaki elj\"on
$1-\(\dfrac12\)^{50}$.
\item{3.} Egy h\'azibulira 50 embert h\'{\i}vnak meg. Mindenki
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul 0.5
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel megy el.
\itemitem {a)} Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy pontosan 3 ember
j\"on el?
\itemitem {b)} Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
Annak, hogy legal\'abb h\'arom ember j\"on el?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ a) $\dbinom{50}3\(\dfrac12\)^{50}$, b)
$1-\(1+\dbinom{50}1+\dbinom{50}2\)\(\dfrac12\)^{50}$.
\item{4.} Valaki j\'at\'ekra h\'{\i}v fel. Egy \'all\'{\i}t\'olag
szab\'alyos p\'enzdarabot dob fel egym\'as ut\'an 10~000-szer.
Fejdob\'as eset\'en \H{o} nyer egy forintot \'{\i}r\'as dob\'as est\'en
mi. A dob\'asok eredm\'enyek\'ent 5500 fejdob\'as  t\"ort\'ent.
Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy egy szab\'alyos p\'enz
feldob\'asa eset\'en a fejdob\'asok sz\'ama legal\'abb 5500?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Ez a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$\summ_{k=5500}^{10000}\dbinom{10000}k2^{-10000}$.
\item{} Val\'oj\'aban, ezzel a feladat megold\'as\'aval nem vagyunk
k\'esz. Arra is kiv\'ancsiak vagyunk, hogy ez a sz\'am k\"or\"ulbel\"ul
mekkora. Ki tudjuk-e ezt sz\'amolni kev\'es sz\'amol\'assal viszonylag
r\"ovid id\H{o} alatt? Az igazi, minket \'erdekl\H{o} k\'erd\'es az,
hogy pech\"unk volt-e, vagy a j\'at\'ekot javasl\'o szem\'ely csalt, a
p\'enzdarab nem volt sza\-b\'a\-lyos. Ehhez a k\'erd\'eshez
k\'es\H{o}bb m\'eg visszat\'er\"unk.
\item{} Megbesz\'elt\"uk, hogy az a k\'erd\'es, hogy az adott
dob\'assorozat eset\'en elhissz\"uk-e azt, hogy a p\'enzdarab
szab\'alyos-e a matematikai statisztika egy fontos k\'erd\'es\'enek a
hipot\'ez\'esvizsg\'alatnak speci\'alis esete. Az \'altlal\'anos
k\'erd\'es az, hogy egy elv\'egzett a v\'eletlent\H{o}l is
f\"ugg\H{o} kis\'erletsorozat alapj\'an elfogadjuk-e, hogy egy adott
felt\'etelez\'es (hipot\'ezis) helyes-e. Ha a hipot\'ezis \'erv\'enyes
\'es mi m\'egis elvetj\"uk azt nevezz\"uk els\H{o} faj\'u hib\'anak.
Ha a hipot\'ezis nem teljes\"ul \'es mi m\'egis
igaznak fogadjuk el, azt m\'asodfaj\'u hib\'anak nevezz\"uk. Azt a
feladatot szokt\'ak vizsg\'alni, hogy megengedve el\H{o}irt
els\H{o}faj\'u hib\'at (ezt \'altal\'aban 0.05 vagy 0.01-nek szok\'as
v\'alasztani) hogyan tudjuk a m\'asodfaj\'u hib\'at minimaliz\'alni.
Megjegyezt\"uk azt is, hogy a
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-sz\'a\-m\'{\i}\-t\'as egyik
alapvet\H{o} eredm\'enye a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel meg lehet ha\-t\'a\-roz\-ni egyszer\H{u}en az
ebben a feladatban tekintett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} \'ert\'ek\'et. Ennek alapj\'an a
fenti esem\'eny bek\"ovetkez\'ese rendkiv\"ul val\'osz\'{\i}n\H{u}tlen.
\item{5.} Egy gyakorlatra v\'eletlenszer\H{u}en 24 hallgat\'o
j\"on el. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy van k\"oz\"ott\"uk
k\'et ember, akiknek ugyanazon a napon van a sz\"ulet\'esnapjuk?
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Sz\'am\'{\i}tsuk ki annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'et, hogy nincs ilyen ember. K\'epzelj\"uk
el, hogy egym\'asut\'an megjelennek a hallgat\'ok, valaki fel\'{\i}rja
a sz\"ulet\'esnapjukat, \'es minden egyes l\'ep\'esben m\'as d\'atumot
\'{\i}r fel. Az els\H{o} hallgat\'o megjelen\'esekor biztos, hogy \'uj
sz\'amot \'{\i}r fel, a m\'asodik hallgat\'o megjelen\'esekor
$\(1-\dfrac1{365}\)$, a harmadik hallgat\'o megjelen\'esekor,
(felt\'eve,
hogy az els\H{o} k\'et hallgat\'o eset\'eben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amokat \'{\i}rt fel $\(1-\dfrac2{365}\)$, a negyedik hallgat\'o
eset\'eben $\(1-\frac3{365}\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel \'{\i}rt fel
k\"ul\"onb\"oz\H{o} sz\'amokat, \'es \'{\i}gy tov\'abb. Annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy mind a 24 esetben k\"ul\"onb\"oz\H{o}
sz\'amokat \'{\i}rt fel $\prodd_{k=1}^{23}\(1-\dfrac k{365}\)$, a
keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg pedig
$1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\dfrac k{365}\)$.
\item{} Kiv\'ancsiak lehet\"unk, hogy ez a sz\'am mekkora. Nagyon
kicsi vagy nagyon nagy, azaz majdnem~1. Meg tudjuk-e ezt hat\'arozni
viszonylag kev\'es sz\'amol\'assal? A k\"ovetkez\H{o} sz\'amol\'as
tanuls\'agos lehet. A vizsg\'aland\'o szorzatot fel\'{\i}rhatjuk mint
$$
1-\prodd_{k=1}^{23}\(1-\dfrac k{365}\)=1-\exp\left\{\
\sum_{k=1}^{23}\log\(1-\dfrac k{365}\)\right\}.
$$
Haszn\'aljuk fel a $\log(1+x)\sim x$ kis $x$ sz\'amokra val\'o
k\"ozel\'{\i}t\'est. Ez azt sugallja, hogy $\log\(1-\dfrac
k{365}\)\sim-\dfrac k{365}$, \'es a vizsg\'alt
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg
$$
1-\exp\left\{-\sum_{k=1}^{23}\dfrac k{365}\right\}
=1-\exp\left\{-\dfrac{12\cdot23}{365}\right\}=1-e^{-276/365}.
$$
\item{6.} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at sokszor feldobunk egym\'as
ut\'an. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a 17.
dob\'asban jelenik meg a 3. hatos?
\item{}{\it Megold\'as:}\/ Ez azt jelenti, hogy az els\H{o} 16
dob\'asban pontosan k\'et hatos jelenik meg, a 17. dob\'as eredm\'enye
pedig szint\'en hatos. Ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege
$\dbinom{16}2\(\dfrac56\)^{14}\(\dfrac16\)^3$.
 
\medskip{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk egym\'as ut\'an
t\"obbsz\"or. Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a
20. dob\'asban jelenik meg az \"ot\"odik h\'arommal oszthat\'o sz\'am?
\medskip
 
\bye
