\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 4.-i gyakorlat t\'em\'aja}
\medskip\noindent
T\'argyaljuk meg n\'eh\'any p\'eld\'an kereszt\"ul azt, hogy hogyan
lehet kisz\'am\'{\i}tani olyan val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
sz\'or\'asn\'egyzet\'et, amelyek el\H{o}\'all\'{\i}that\'oak mint
egyszer\H{u}, de nem felt\'etlen\"ul f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszegei. Ebb\'ol a
c\'elb\'ol be kell vezetn\"unk k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o kovarianciaf\"uggv\'eny\'enek a fogalm\'at. Ez azt m\'eri,
hogy milyen m\'ert\'ekben f\"ugg a k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o egym\'ast\'ol. \medskip\noindent
{\bf A kovarianciaf\"uggv\'eny definici\'oja.} {\it Legyen $\xi$ \'es
$\eta$ k\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, azaz
$E\xi^2<\infty$ \'es $E\eta^2<\infty$. Ekkor a $\xi$ \'es $\eta$
kovariancif\"uggv\'eny\'et $\Cov(\xi,\eta)$-t a
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
$$
kifejez\'es defini\'alja.}
\medskip\noindent
{\bf Lemma.}
$$
\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta.
$$
\medskip\noindent
Val\'oban,
$$
\align
\Cov(\xi,\eta)&=E\[(\xi-E\xi)(\eta-E\eta)\]
=E\[(\xi\eta-\eta E\xi-\xi E\eta+E\xi E\eta)\]\\
&=E\xi\eta- E\eta E\xi-E\xi E\eta+E\xi E\eta
=E\xi\eta-E\xi E\eta.
\endalign
$$
\item{1.)}
$\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\Cov(\xi,\eta)=0$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ L\'attuk, hogy
$\Cov(\xi,\eta)=E\xi\eta-E\xi E\eta$. Viszont, ha $\xi$ \'es $\eta$
f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, akkor
$E\xi\eta=E\xi E\eta$.
\medskip
Az al\'abbi eredm\'eny megadja, hogy hogyan tudjuk kifejezni
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
sz\'or\'asn\'egyzet\'et viszonylag egyszer\H{u} m\'odon.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyek
mindegyik\'enek l\'etezik sz\'or\'asn\'egyzete, akkor
$$
\align
\Var\(\summ_{j=1}^n\xi_j\)
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\Var\xi_j+
2\summ_{1\le j<k\le n}(\Cov(\xi_j,\xi_k)\\
&=\summ_{j=1}^n\Var\xi_j+
\summ_{1\le j,k\le n,\; j\neq k}(\Cov(\xi_j,\xi_k).
\endalign
$$
}\medskip \noindent
{\it Bizony\'{\i}t\'as.}\/
$$
\align
\Var \! \(\summ_{j=1}^n\xi_j\)&=E\(\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
-\(E\sum_{j=1}^n\xi_j\)^2 \!\!
=E\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^nE\xi_j\xi_k\)
-\(\sum_{j=1}^m\sum_{k=1}^n E\xi_jE\xi_k\)\\
&=\summ_{j=1}^{n}\(E\xi_j^2-(E\xi_j)^2\)+
2\summ_{1\le j<k\le n}(E\xi_j\xi_k-E\xi_j E\xi_k).
\endalign
$$
\'es $E\xi_j^2-(E\xi_j)^2=\Var\xi_j$, $E\xi_j\xi_k-E\xi_j
E\xi_k=\Cov(\xi_j,\xi_k)$.
\medskip\noindent
{\it Megjegyz\'es:}\/ A fenti t\'etelben k\'et k\"ul\"onb\"oz\H{o},
de ekvivalens m\'odon fejezt\"uk ki
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a
kovarianciaf\"uggv\'eny\'et. Az egyik m\'odon az \"osszegz\'es a
m\'asodik tagban az $1\le j<k\le n$ alak\'u tagokra t\"ort\'ent,
\'es az \"osszeget beszoroztuk kett\H{o}vel. A m\'asik
kifejez\'esben az \"osszegez\'es az $1\le j,k\le n$, $j\neq k$,
alak\'u sz\'amp\'arokra t\"ort\'ent, \'es a 2 szorz\'o nem
szerepelt. Ez anal\'og a k\"ovetkez\H{o} egyszer\H{u} algebrai
azonoss\'agokkal: $\(\summ_{j=1}^n x_j\)^2=\summ_{j=1}^n
x_j^2+2\summ_{1\le j<k\le n}x_jx_k$, \'es $\(\summ_{j=1}^n
x_j\)^2=\summ_{j=1}^n x_j^2+\summ_{1\le j,k\le n, j\neq k}x_jx_k$.
\medskip
A fenti eredm\'eny seg\'{\i}ts\'eg\'evel vi\-szony\-lag
egy\-sze\-r\H{u}\-en meg tudjuk oldani a k\"ovetkez\H{o} k\'et
feladatot.  Ezek k\"oz\"ul az els\H{o} a dolgozatban szerepelt 5.
feladat kieg\'esz\'{\i}t\'ese.
\medskip
\item{2.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 101 alkalommal.
Arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy h\'any olyan dob\'asid\H{o}pont
volt, (a 2., 3., \'es \'{\i}gy tov\'abb a 101. dob\'asid\H{o}pontok
k\"oz\"ott), amikor a dob\'as \'ert\'eke (szigor\'uan) nagyobb volt,
mint a megel\H{o}z\H{o} dob\'as \'ert\'eke. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
az ilyen dob\'asid\H{o}pontok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et
\'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le k\le 100$: $\xi_k=1$,
ha a $k+1$-ik kockadob\'as \'ert\'eke nagyobb, mint a $k$-ik
kockadob\'as \'ert\'eke, $\xi_k=0$, ha a $k+1$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke kisebb vagy egyenl\H{o}, mint a $k$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke. Ekkor minket a $\xi=\summ_{k=1}^{100}\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'es sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Viszont
$E\xi=\summ_{k=1}^{100}E\xi_k$, $E\xi_k=P(\xi_k=1$,
\'es $P(\xi_k=\frac1{36}(5+4+3+2+1)=\frac5{12}$, (Ha a $k$-ik dob\'as
\'ert\'eke 1, akkor a $k+1$-ik dob\'as 5 \'ert\'eket vehet fel, ha
2 akkor 4-et, ha 3 akkor 3-at sit.) Ez\'ert a keresett v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\frac{500}{12}=\frac{125}3$.
\item{} A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
sz\'or\'asn\'egyzet\'et kisz\'amolhatjuk a fenti t\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. E t\'etel alkalmaz\'asa sor\'an ki kell
sz\'amolnunk az $\Var \xi_k$ sz\'or\'asn\'egyzeteket, to\-v\'ab\-b\'a
a $\Cov(\xi_j,\xi_k)$, $j\neq k$, kovarianci\'akat.
$\Var\xi_k=E\xi_k^2-(E\xi_k)^2=P(\xi_k=1)-P(\xi_k=1)^2=
\frac5{12}-\frac{25}{144}=\frac{35}{144}$. Vegy\"uk \'eszre, hogy
amennyiben $|k-j|\ge2$, akkor $\xi_j$ \'es $\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, ez\'ert $\Cov(\xi_j,\xi_k)=0$
ebben az esetben. A
$\Cov(\xi_k,\xi_{k+1})=E\xi_k\xi_{k+1}-E\xi_kE\xi_{k+1}
=P(\xi_k=\xi_{k+1}=1)-\frac{25}{144}$ azonoss\'ag teljes\"ul. A
$P(\xi_k=\xi_{k+1}=1)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'amol\'as\'ahoz
azt kell  \"osszesz\'amolni, hogy h\'any h\'arom hossz\'us\'ag\'u
szigor\'uan monoton n\"ovekv\H{o} sorozat van, amelynek tagjai
\'ert\'ek\"uket 1 \'es 6 k\"oz\"ott veszik fel. Ezt k\'ezzel is
\"ossze lehetne sz\'amolni, de az els\H{o} k\'et gyakorlaton
megbesz\'elt\"uk, hogy $\binom 63=20$ ez a sz\'am. (A hat
sz\'amb\'ol kiv\'alasztunk h\'arom k\"ul\"onb\"oz\H{o}t, \'es azokat
nagys\'ag szerint sorba rakjuk.) Ez\'ert
$E\xi_k\xi_{k+1}=\frac{20}{216}=\frac5{54}$, $\Cov(\xi_k,\xi_{k+1})=
\frac{20}{216}-\frac{25}{144}=\frac{10}{432}$. Innen
$\Var\xi=\summ_{k=1}^{100}\Var\xi_k
+2\summ_{k=1}^{99}\Cov(\xi_k,\xi_{k+1})
=\frac{350}{144}+\frac{1980}{432}=\frac{2330}{432}$.
 
\item{3.)} Legyen egy urn\'aban 20 piros \'es 30 feh\'er goly\'o.
H\'uzzunk ki 20 goly\'ot visszatev\'es n\'elk\"ul. Sz\'amoljuk ki a
kih\'uzott piros goly\'ok sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o}
$\xi_j$, $1\le j\le 20$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'okat: $\xi_j(\oo)=1$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye
piros, $\xi_j(\oo)=0$, ha a $j$-ik h\'uz\'as eredm\'enye feh\'er.
Ekkor a $\xi=\summ_{j=1}^{20}\xi_j$  \"osszeg v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et kell ki\-sz\'a\-mol\-nunk.
Tov\'abb\'a $E\xi_j=E\xi_1=\dfrac25$,
$\Var\xi_j=\Var\xi_1=\dfrac25-\dfrac4{25}=\dfrac6{25}$,
$E\xi_j\xi_k-E\xi_jE\xi_k=E\xi_1\xi_2-E\xi_1E\xi_2=\dfrac25\cdot
\dfrac{19}{49}-\dfrac4{25}=-\dfrac6{1245}$, ha $j\neq k$.
Innen a 20 dob\'asban kih\'uzott piros goly\'ok
sz\'am\'anak v\'arhat\'o \'ert\'eke $20\cdot\dfrac25=8$ \'es
sz\'or\'asn\'egyzete $20\cdot\dfrac6{25}-380\cdot\dfrac6{1245}
=\dfrac{144}{49}$.
\medskip
{\it H\'azi feladat:}
\item{} Egy szab\'alyos p\'enzdarabot feldobunk egym\'as ut\'an
101-szer. Sz\'am\'{\i}tsuk ki az egym\'ast k\"ovet\H{o} fej-fej
dob\'asok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o
\'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\medskip
 
 
V\'ag\"ul tekints\"uk azt, hogy hogyan lehet kisz\'amolni f\"uggetlen,
diszkr\'et eloszl\'as\'u va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek az eloszl\'as\'at. Megmutatjuk, hogy
k\'et f\"uggetlen Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak az \"osszege is Poisson eloszl\'as\'u, \'es az \"osszeg
param\'etere megegyezik az \"osszeadand\'ok param\'eter\'enek az
\"osszeg\'evel. El\H{o}sz\"or de\-fi\-ni\-\'al\-juk mag\'at a Poisson
eloszl\'ast, \'es l\'assuk be, hogy az val\'oban eloszl\'as.
\medskip\noindent
{\bf Poisson eloszl\'as definici\'oja.}  {\it Egy
$\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $\lambda$
pa\-ra\-m\'e\-te\-r\H{u} Poisson eloszl\'as\'u, ha $\xi$
nem negat\'{\i}v eg\'esz \'ert\'ekeket vesz fel, \'es
$$
P(\xi=k)=\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}, \quad k=0,1,2,\dots
$$
}\medskip
\item{4.)} A fent defini\'alt Poisson eloszl\'as, val\'oban elosz\'as,
azaz $P(\xi=k)\ge0$ minden eg\'esz sz\'amra, \'es
$\summ_{k=1}P(\xi=k)=1$.
\item{} {Megold\'as:}\/ A $P(\xi=k)\ge0$ rel\'aci\'o nyilv\'anval\'o.
M\'asr\'eszt,
$$
\sum_{k=0}^\infty P(\xi=k)=\sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda}=e^{-\lambda} \sum_{k=0}^\infty
\frac{\lambda^k}{k!}=e^{-\lambda} e^\lambda=1.
$$
\item{5.)} Mutassuk meg, hogy ha $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen,
$\lambda$ illetve $\mu$ param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, akkor $\xi+\eta$ $\lambda+\mu$
param\'eter\H{u} Poisson eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\sum_{j=0}^kP(\xi=j,\eta=k-j)=
\sum_{j=0}^kP(\xi=j)P(\eta=k-j) \\
&=\sum_{j=0}^k \frac{\lambda^j}{j!}e^{-\lambda}
\frac{\mu^{k-j}}{(k-j)!}e^{-\mu}=
\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}
\sum_{j=0}^k \frac{k!}{j!(k-j)!} \lambda^j \mu^{(k-j)} \\
&=\frac{e^{-(\lambda+\mu)}}{k!}(\lambda+\mu)^k.
\endalign
$$
\item{6.)} Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen binomi\'alis
elsoszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $(n,p)$ illetve
$(m,p)$ param\'eterekkel, azaz legyen $P(\xi=k)=\binom nk
p^k(1-p)^{n-k}$, $0\le k\le n$, \'es $P(\xi=k)=0$ egy\'ebk\'ent,
$P(\eta=k)=\binom mk p^k(1-p)^{m-k}$, $0\le k\le m$, \'es
$P(\xi=k)=0$ egy\'ebk\'ent. L\'assuk be, hogy $\xi+\eta$ binomi\'alis
eloszl\'as\'u $(n+m,p)$ param\'eterrel, azaz legyen
$P(\xi+\eta=k)=\binom {n+m}k p^k(1-p)^{n+m-k}$, $0\le k\le n+m$,
\'es $P(\xi=k)=0$ egy\'ebk\'ent.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Legyen $0\le k\le n+m$. Ekkor
$$
\align
P(\xi+\eta=k)&=\summ_{j=0}^n P(\xi=j,\eta=k-j)=
\summ_{j=0}^n P(\xi=j)P(\eta=k-j)\\
&=\summ_{j=0}^n \binom nj p^j(1-p)^{k-j}\binom
m{k-j}p^{k-j}(1-p)^{m-(k-j)}\\
&=p^k(1-p)^{n+m-k}\sum_{j=0}^n\binom nj\binom m{k-j}
=p^k(1-p)^{n+m-k}\binom {n+m}k,
\endalign
$$
mert, mint azt az els\H{o} gyakorlaton megbesz\'elt\"uk \'erv\'enyes a
$\summ_{j=0}^n\binom nj\binom m{k-j} \binom {n+m}k$. Az, hogy
$P(\xi+\eta=k)=0$ rel\'aci\'o teljes\"ul minden egy\'eb $k$ sz\'amra.
\medskip
{\it H\'azi feladat}\/ (nem k\"otelez\H{o})
\medskip
\item{} Bizony\'{\i}tsuk be a fenti azonoss\'agot a binomi\'alis
eloszl\'as szeml\'eletes tartalm\'at felhaszn\'alva, azaz
konstru\'aljunk k\'et f\"uggetlen $(n,p)$ \'es $(m,p)$
param\'eter\H{u} binomi\'alis eloszl\'as\'u val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ot, amelyek  \"osszeg\'er\H{o}l l\'atszik, hogy
binomi\'alis el\-osz\-l\'a\-s\'u $(n+m,p)$ param\'eterrel.
 
\vfill\eject
 
\centerline{\bf DOLGOZAT FELADATOK}
\smallskip\centerline {(\it A programoz\'o matematikus
gyakorlaton)}
\medskip
\item{1.)} Minden h\'eten 1~000~000 ember lott\'ozik, akik a
lott\'oszelv\'enyeiket egym\'ast\'ol f\"ug\-get\-le\-n\"ul t\"oltik
ki. (90 sz\'amb\'ol kell eltal\'alni az \"ot kih\'uzott az\'amot.)
Mi annak a va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-ge, hogy a 20. h\'eten
lesz el\H{o}sz\"or 5 tal\'alat?
\item{2.)} H\'arom v\'aros valamelyik\'ebe \'erkezt\"unk, mindegyikbe
egyforma, azaz 1/3 va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel. Az egyik
az igazmond\'ok v\'arosa, ahol minden k\'erd\'esre 0.9
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel v\'alaszolnak igazat, a m\'asodik a
hazugok v\'arosa, ahol minden k\'erd\'esre 0.8
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel hamis v\'alaszt adnak, a
harmadik a figyelmetlenek v\'arosa, ahol minden k\'erd\'esre a
k\'erd\'est\H{o}l f\"uggetlen\"ul 1/2 val\'osz\'{\i}m\H{u}s\'eggel
igent \'es 1/2 val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel nemet v\'alaszolnak.
Megk\'erdez\"unk egy embert, akivel tal\'alkoztunk, hogy az
igazmond\'ok v\'aros\'aba \'erkezt\"unk-e. Azt a v\'alaszt kapjuk,
hogy nem. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy az igazmond\'ok
v\'aros\'aba \'erkezt\"unk?
\item{3.)} K\'et szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk. Mi annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,  hogy mind a k\'et dob\'as p\'aros
felt\'eve, hogy legal\'abb az egyik dob\'as hatos?
\item{4.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk sz\'azszor.
Sz\'amoljuk a p\'aros \'ert\'ek\H{u} dob\'asok \"oszeg\'enek a
v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es sz\'or\'asn\'egyzet\'et.
\item{5.)} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 101 alkalommal.
Arra vagyunk kiv\'ancsiak, hogy h\'any olyan dob\'asid\H{o}pont
volt, (a 2., 3., \'es \'{\i}gy tov\'abb a 101. dob\'asid\H{o}pontok
k\"oz\"ott), amikor a dob\'as \'ert\'eke (szigor\'uan) nagyobb volt,
mint a megel\H{o}z\H{o} dob\'as \'ert\'eke. Sz\'am\'{\i}tsuk ki
az ilyen dob\'asid\H{o}pontok sz\'am\'anak a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et.
\item{6.)} Mikor mondjuk, hogy h\'arom $A$, $B$ \'es $C$ esem\'eny
f\"uggetlen egym\'ast\'ol?
\bigskip
\centerline{MEGOLD\'ASOK}
\medskip
\item{1.)} Annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy valaki egy h\'eten
\"ot\"os tal\'alatot \'er el, $\dfrac1{\binom{90}5}$, annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem \'er el \"ot\"os tal\'alatot
$1-\dfrac1{\binom{90}5}$, \'es mivel a lott\'ozok egym\'ast\'ol
f\"uggetlen\"ulj\'atszanak, annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy
az 1~000~000 lottoz\'o egyike sem \'er el \"ot\"os tal\'alatot egy
adott h\'eten $P=\(1-\dfrac1{\binom{90}5}\)^{1~000~000}$.
Tov\'abb\'a annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy 19 h\'eten
kereszt\"ul nincs \"ot\"os tal\'alat, a 20. h\'eten viszont van
$P^{19}(1-P)$. Ez\'ert a keresett val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
$$
\(1-\dfrac1{\binom{90}5}\)^{19~000~000}
\(1-\(1-\dfrac1{\binom{90}5}\)^{1~000~000}\).
$$
\item{2.)} Jel\"olje $A_1$ azt az esem\'enyt, hogy az igazmond\'ok
v\'aros\'aba \'erkezt\"unk, $A_2$ hogy a hazugok, $A_3$, pedig, hogy a
figyelmetlenek v\'aros\'aba. Jel\"olje $B$ azt az esem\'enyt, hogy
k\'erd\'es\"unkre nemleges v\'alaszt kaptunk. Ekkor feltev\'eseink
szerint $P(A_1)=P(A_2)=P(A_3)=\frac13$, $P(B|A_1)=0.1$ (az
igazmond\'ok v\'aros\'aban hazudtak), $P(B|A_2)=0.2$ (a
hazugok v\'aros\'aban igazat mondtak), $P(A_3|B)=0.5$. Minket a
$P(A_1|B)$ felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Ez
$$
\align
P(B|A_1)&=\frac{P(A_1\cap B)}{P(A_1)}=\frac{P(B|A_1)P(A_1)}
{P(B|A_1)P(A_1)+P(B|A_2)P(A_2)+P(B|A_3)P(A_3)}\\
&=\frac{\frac13\cdot 0.1}{\frac13\cdot 0.1+\frac13\cdot 0.2
+\frac13\cdot 0.5}=\frac18.
\endalign
$$
\item{3.)} A keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
megegyezik annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy az egyik
dob\'as hatos a m\'asik dob\'as pedig p\'aros osztva annak a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'evel, hogy volt egy hatos dob\'as. Az,
hogy az egyik dob\'as hatos a m\'asik pedig p\'aros azt jelenti,
hogy a (2,6), (4,6), (6,6), (6,2), (6,4) dob\'asok valamelyike
k\"ovetkezik be, ennek val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac5{36}$.
Annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy lesz hatos dob\'as a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac{11}{36}$. Ez p\'eld\'aul \'ugy
l\'athat\'o, hogy annak val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy nem lesz
hatos dob\'as $\frac56\cdot\frac56=\frac{25}{36}$, a komplementer
esem\'eny val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege pedig $\frac{11}{36}$. \'Igy a
keresett felt\'eteles val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'ert\'eke
$\dfrac{\frac5{36}}{\frac{11}{36}}=\dfrac5{11}$.
\item{4.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le k\le 100$: $\xi_k=2$,
ha a $k$-ik kockadob\'as \'ert\'eke 2, $\xi_k=4$, ha a $k$-ik
kockadob\'as \'ert\'eke 4, $\xi_k=6$, ha a $k$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke 6, $\xi_k=0$, ha a $k$-ik kockadob\'as \'ert\'eke 1, 3
vagy 5. Ekkor minket a $\xi=\summ_{k=1}^{100}\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke \'es
sz\'or\'asn\'egyzete \'erdekel. Viszont $E\xi=\summ_{k=1}^{100}E\xi_k$
$\Var\xi=\summ_{k=1}^{100}\Var\xi_k$, $E\xi_k=\frac16(2+4+6)=2$, $\Var
\xi_k=E\xi_k^2-(E\xi_k)^2$, $E\xi_k^2=\frac16(4+16+36)=\frac{28}3$,
$\Var \xi_k={16}3$ minden $1\le k\le 100$ sz\'amra. Innen k\"ovetkezik,
hogy $E\xi=100\cdot2=200$, $\Var\xi=100\cdot\frac{16}3=\frac{1600}3$.
\item{5.)} Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat, $1\le k\le 100$: $\xi_k=1$,
ha a $k+1$-ik kockadob\'as \'ert\'eke nagyobb, mint a $k$-ik
kockadob\'as \'ert\'eke, $\xi_k=0$, ha a $k+1$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke kisebb vagy egyenl\H{o}, mint a $k$-ik kockadob\'as
\'ert\'eke. Ekkor minket a $\xi=\summ_{k=1}^{100}\xi_k$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke
\'erdekel. Viszont $E\xi=\summ_{k=1}^{100}E\xi_k$, $E\xi_k=P(\xi_k=1$,
\'es $P(\xi_k=\frac1{36}(5+4+3+2+1)=\frac5{12}$, (Ha a $k$-ik dob\'as
\'ert\'eke 1, akkor a $k+1$-ik dob\'as 5 \'ert\'eket vehet fel, ha
2 akkor 4-et, ha 3 akkor 3-at sit.) Ez\'ert a keresett v\'arhat\'o
\'ert\'ek $\frac{500}{12}=\frac{125}3$.
\item{6.)} Az $A$, $B$ \'es $C$ esem\'enyek akkor f\"uggetlenek,
ha a k\"ovetkez\H{o} azonoss\'agok mindegyike teljes\"ul:
$$
\align
P(A\cap B)&=P(A)P(B) \\
P(A\cap C)&=P(A)P(C) \\
P(B\cap C)&=P(B)P(C) \\
P(A\cap B\cap C)&=P(A)P(B)P(C).
\endalign
$$
 
 
 
 
 
 
 
\bye
 
 
 
 
