\magnification=\magstep1
\input amstex
\hsize=16truecm
\TagsOnRight
 
\parskip=3pt plus 1pt
\define\A{{\bold A}}
\define\BB{{\bold B}}
\define\DD{{\bold D}}
\define\T{{\bold T}}
\define\U{{\bold U}}
\define\({\left(}
\define\){\right)}
\define\[{\left[}
\define\]{\right]}
\define\e{\varepsilon}
\define\oo{\omega}
\define\const{\text{\rm const.}\,}
\define\supp {\sup\limits}
\define\inff{\inf\limits}
\define\summ{\sum\limits}
\define\prodd{\prod\limits}
\define\limm{\lim\limits}
\define\limsupp{\limsup\limits}
\define\liminff{\liminf\limits}
\define\bigcapp{\bigcap\limits}
\define\bigcupp{\bigcup\limits}
\define\Cov{\text{\rm Cov}\,}
\define\Var{\text{\rm Var}\,}
 
%\nopagenumbers
 
\noindent{\bf A november 25.-i gyakorlat t\'em\'aja}
 
\medskip\noindent
Foglalkozzunk azzal, hogyan tudjuk kisz\'am\'{\i}tani f\"uggetlen
(\'es nemcsak f\"uggetlen) va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'ok \"osszeg\'enek a v\'arhat\'o \'ert\'ek\'et \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'et. Ezenk\'{\i}v\"ul ismerj\"uk meg a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egsz\'am\'{\i}t\'as egyik legfontosabb
eredm\'eny\'et, a centr\'alis ha\-t\'ar\-el\-osz\-l\'as\-t\'e\-telt,
\'es l\'assunk p\'eld\'akat arra, hogy a megtanult m\'odszerek
hogyan teszik lehet\H{o}v\'e a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alkalmaz\'as\'at fontos feladatok megold\'as\'aban.
 
Megfogalmazunk n\'eh\'any eredm\'enyt, amelyek azt mondj\'ak ki,
hogy a diszkr\'et val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek v\'arhat\'o \'ert\'ek\'er\H{o}l \'es
sz\'or\'asn\'egyzet\'er\H{o}l sz\'ol\'o ered\-m\'e\-nyek
\'erv\'enyesek az \'altal\'anos esetben is.
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Ha k\'et $\xi_1$, $\xi_2$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak
(amelyek ugyanazon a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n vannak
defini\'alva) l\'etezik v\'arhat\'o \'ert\'eke, $c_1$ \'es $c_2$ k\'et
val\'os sz\'am, akkor a $c_1\xi_1+c_2\xi_2$ kifejez\'esnek is l\'etezik
v\'arhat\'o \'ert\'eke, \'es
$$
E\(c_1\xi_1+c_2\xi_2\)= c_1E\xi_1+c_2E \xi_2.
$$
} \medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_1,\dots,\xi_k$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, $B_1,\dots,B_k$ a
sz\'amegyenes Borel m\'erhet\H{o} r\'eszhalmazai. Ekkor
$$
P(\xi_1\in B_1,\dots,\xi_k\in B_k)=
P(\xi_1\in B_1)\cdots P(\xi_k\in B_k).
$$
}\medskip\noindent
\medskip\noindent
{\bf T\'etel.} {\it Legyenek $\xi_j$, $1\le j\le k$,
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok ugyanazon a
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi mez\H{o}n, amelyekre teljes\"ul
$E\xi_j^2<\infty$ felt\'etel. Ekkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+\summ\Sb
1\le j,l \le k\\ j\neq l\endSb \Cov(\xi_j,\xi_l)
=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j+2\summ_{j=1}^{k-1}\summ_{l=j+1}^k
\Cov(\xi_j,\xi_l).
$$
Speci\'alisan, ha a $\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
f\"uggetlenek, akkor
$$
\Var\(\sum_{j=1}^k \xi_j\)=\sum_{j=1}^k \Var\xi_j.
$$
}\medskip\noindent
{\bf T\'etel f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
\"osszeg\'enek a s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'er\H{o}l.} {\it
Legyen $\xi$ \'es $\eta$ k\'et f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o $f(\cdot)$ \'es $g(\cdot)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'ennyel. Ekkor a $\xi+\eta$ \"osszegnek is
l\'etezik s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, \'es az az
$$
f*g(x)=\int_{-\infty}^\infty f(u)g(x-u)\,du,\quad -\infty<x<\infty
$$
f\"uggv\'eny.}
\medskip\noindent
{\bf Egy val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o normaliz\'altj\'anak
a fogalma.} {\it Legyen $\xi$ olyan va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi
v\'altoz\'o, amelyre $E\xi^2<\infty$. A $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o normaliz\'altja a
$\bar\xi=\dfrac{\xi-E\xi}{\sqrt{\Var\xi}}$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o, azaz a $\xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak az
a line\'aris transzform\'altja, amelynek v\'arhat\'o \'ert\'eke nulla,
sz\'or\'asn\'egyzete pedig 1.} \medskip
Jegyezz\"uk meg, hogy ha $\xi_1,\dots,\xi_n$ f\"uggetlen
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok, amelyekre $E\xi_j^2<\infty$
minden $1\le j\le n$ indexre, akkor az $S=\summ_{j=1}^n\xi_j$
\"osszeg normaliz\'altja az
$$
\bar S=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}
$$
kifejez\'es.
\item{1.} Jel\"olje a $xi$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o
eloszl\'asf\"uggv\'eny\'et $F(x)$, \'es tegy\"uk fel, hogy a $\xi$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'onak l\'etezik
$f(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye is. Legyen $a>0$ \'es $b$
k\'et val\'os sz\'am. Sz\'amoljuk ki az $\eta=a\xi+b$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $G(x)$ eloszl\'as \'es
$g(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et. Sz\'amoljuk ki a
$\zeta=\xi^2$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o $H(x)$
eloszl\'as \'es $h(x)$ s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny\'et.
\item{} {\it  Megold\'as:}\/
$G(x)=P(\eta<x)=P(a\xi+b<x)=P\(\xi<\frac{x-b}a\)=
F\(\frac{x-b}a\)$ minden $-\infty<x<\infty$ sz\'amra. A $g(x)$
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'eny a $G(x)$ eloszl\'asf\"uggv\'eny
deriv\'altja, azaz $g(x)=\dfrac{dG(x)}{dx}
=\dfrac{dF\(\frac{x-b}a\)}{dx} =\dfrac1a f\(\dfrac{x-b}a\)$.
\item{} $H(x)=P(\xi^2<x)=P(-\sqrt x<\xi<\sqrt x)=P(\xi<\sqrt
x)-P(\xi\le\sqrt x)=F(\sqrt x)-F(-sqrt x+0)$, ha $x\ge0$, ahol
$F(u+0)=\limm_{h\to0}F(u+h)$. (Az $F(u+0)$ \'ert\'ek bevezet\'es\'ere
nincs sz\"uks\'eg, ha az $F$ eloszl\'asf\"uggv\'enynek van
s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye, vagy \'altal\'anosabban $F(x)$
folytonos f\"uggv\'eny.) Tov\'abb\'a, $H(x)=0$, ha $x<0$,
mert $P(\xi^2<x)=0$ $x<0$ eset\'en. V\'eg\"ul a $H(x)$ f\"uggv\'eny
deriv\'al\'as\'anak seg\'{\i}ts\'eg\'evel kapjuk, hogy
$h(x)=\frac1{2\sqrt x}\(f(\sqrt
 x)+f(-\sqrt x)\)$, ha $x\ge0$, $h(x)=0$, ha $x<0$.
\medskip\noindent
{\bf Centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel.} {\it Legyenek
$\xi_1,\xi_2,\dots$, f\"uggetlen, egyforma eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'ok, jel\"olje
$S_n=\summ_{j=1}^n\xi_j$, $n=1,2,\dots$, e val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'ok r\'esz\-let\-\"ossze\-geit. Ekkor az $S_n$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok
$\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}
=\dfrac{\summ_{j=1}^n\xi_j-\summ_{j=1}^nE\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^n\Var\xi_j}}$ normaliz\'altjai teljes\'{\i}tik
a
$$
\lim_{n\to\infty}
P\(\dfrac{S_n-ES_n}{\sqrt{\Var S_n}}<x\)=\Phi(x), \quad\text{minden
}-\infty<x<\infty \text{ sz\'amra}
$$
rel\'aci\'ot, ahol $\Phi(x)=\dsize\int_{-\infty}^x
\frac1{\sqrt{2\pi}}e^{-u^2/2}\,du$, a standard norm\'alis
elosz\'asf\"uggv\'eny.} \medskip\noindent
 
\medskip
\item{2.)} A 2000. \'evben az Egyes\"ult \'Allamok Florida
\'allam\'aban az eln\"okv\'alaszt\'ason rend\-k\'{\i}\-v\"ul szoros
eredm\'eny sz\"uletett. 5~000~000 v\'alaszt\'o
v\'alasztott k\'et p\'art, a republik\'anus \'es demokrata
p\'art jel\"oltjei k\"oz\"ott. A k\'et jel\"olt \'altal szerzett
szavazatok sz\'ama (egy adott id\H{o}pontbeli felm\'er\'es szerint)
mind\"ossze 300 volt. Tegy\"uk fel, hogy a v\'alaszt\'ok
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul $\frac12$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
v\'a\-lasz\-tot\-t\'ak valamelyik p\'art jel\"oltj\'et. E feltev\'es
teljes\"ul\'ese est\'en mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege, hogy a
k\'et jel\"olt \'altal \"ossze\-gy\"uj\-t\"ott szavazatok
k\"ul\"onbs\'ege nem haladja meg a h\'aromsz\'azat.
\medskip\noindent
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 5~000~000$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik v\'alaszt\'o a demokrata, $\xi_j=0$, ha a $j$-ik
v\'alaszt\'o a republik\'anus jel\"oltre szavaz. Ekkor
$S=\summ_{j=1}^{5~000~000}\xi_j$ a demokrata, \'es $5~000~000-S$ a
republik\'anus jel\"oltre leadott szavazatok sz\'ama, \'es
minket a $P(|2S-5~000~000|\le300)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
nagys\'aga \'erdekel. Vegy\"uk \'eszre, hogy a $\xi_j$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
$E\xi_j=\dfrac12$, $\Var\xi_j=\dfrac14$,  ez\'ert $ES_n=2~500~000$,
$\Var S_n=\dfrac14\cdot5~000~000$, \'es a $P\(\left|\dfrac
{S_n-2~500~000}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\right|<x\)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egek kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara alkalmazhatjuk a
centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etelt. Ennek alap\-j\'an
$$ \allowdisplaybreaks
\align
P(|2S-5~000~000|\le300)&=P\(\left|\frac{S-ES}{\sqrt{\Var
S}}\right|\le\frac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5~000~000}}\)\\
&\sim \Phi\(\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)-
\Phi\(-\dfrac{150}{\sqrt{\frac14\cdot5000000}}\)\\
&=2\Phi\(\dfrac{6\sqrt5}{100}\)-1
\sim2\Phi(0.124)-1\sim0.1.
\endalign
$$
\item{3.} Tekints\"unk egy szab\'alyos p\'enzdarab 10~000
egym\'as ut\'ani (f\"uggetlen) feldob\'as\'ab\'ol sz\'ar\-ma\-z\'o
fej-\'{\i}r\'as sorozatot. Adjunk becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel se\-g\'{\i}t\-s\'e\-g\'e\-vel annak
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg\'ere, hogy a fej-dob\'asok sz\'am\'anak
elt\'er\'ese a v\'art 5000 sz\'amt\'ol legal\'abb 100-zal, illetve
legal\'abb 200-zal elt\'er.
\item{} {\it Megold\'as:}\/  Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$\le j\le 10~000$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat:
$\xi_j=1$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye fej, $\xi_j=0$, ha a
$j$-ik dob\'as eredm\'enye \'{\i}r\'as. Ekkor $\xi_j$, $1\le j\le
10~000$ f\"uggetlen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok,
$E\xi_j=\frac12$, $\text{Var}\, \xi_j=\frac14$, \'es a
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>100\)$ \'es
$P\(\left|\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)\right|>200\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gek\-re kell becsl\'est adnunk.
A centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel szerint
$P\(\dfrac{\summ_{j=1}^{10000}(\xi_j-E\xi_j)}{\sqrt{10000\cdot\frac
14}}>u\) \sim 1-\Phi(u)$. Innen kapjuk, hogy az els\H{o}
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ahoz az
$u=\pm\frac{100}{\frac12\cdot100}=\pm 2$ \'ert\'ekeket
kell tekinteni, \'es a vizsg\'alt val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg
k\"ozel\'{\i}t\H{o}leg $(1-\Phi(2))+\Phi(-2)
=2(1-\Phi(2))\sim2(1-0.97720)=0.0456$. A m\'asodik
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg hasonl\'oan k\"or\"ulbel\"ul
$2(1-\Phi(4))\sim0$, (az els\H{o} 4 tizedesjegy 0).
\item{4.)}
Egy szab\'alyos dob\'okock\'at feldobunk 1200 alkalommal
egym\'ast\'ol f\"uggetlen\"ul, \'es \"ossze\-ad\-juk a p\'aros
\'ert\'ek\H{u} dob\'asok eredm\'eny\'et. Adjunk j\'o
k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel \'es egy norm\'alis
eloszl\'ast\'abl\'azat seg\'{\i}ts\'eg\'evel arra, hogy ez az
\"osszeg 2280 \'es 2500 k\"oz\'e esik.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Vezess\"uk be a k\"ovetkez\H{o} $\xi_j$,
$1\le j\le 1200$, val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'okat: $\xi_j=2$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 2, $\xi_j=4$, ha a $j$-ik dob\'as
eredm\'enye 4, $\xi_j=6$, ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 6, $\xi_j=0$,
ha a $j$-ik dob\'as eredm\'enye 1, 3 vagy 5. Ekkor a $P\(2280\le
\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eget kell
j\'ol megbecs\"uln\"unk. Vegy\"uk \'eszre, hogy
$E\xi_j=\dfrac16(2+4+6)=2$,
$\Var\xi_j=\dfrac16(4+16+36)-4=\dfrac{16}3$.
Innen a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel alapj\'an
$$
\align
P\(2280\le\summ_{j=1}^{1200}\xi_j\le2500\)&=
P\(\dfrac{-120}{\sqrt{1200\frac{16}3}}
\le\dfrac{\summ_{j=1}^{1200}\xi_j-\summ_{j=1}^{1200}E\xi_j}
{\sqrt{\summ_{j=1}^{1200}\Var\xi_j}}
\le\frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}3}}\) \\
&\sim\Phi(1.25)-\Phi(-1.5)=0.8944+0.9322-1=0.8266.
\endalign
$$
\item{5.)}
Vegy\"unk egy olyan p\'enzdarabot, amely $\dfrac23$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel esik a fej \'es $\dfrac13$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg\-gel az \'{\i}r\'as oldalra. Ezt a
p\'enzdarabot annyiszor dobjuk fel, ah\'any dob\'as ut\'an
megjelenik 1200 fej dob\'as. Mi annak a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege,
hogy az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama 1680 1830 k\"uz\'e esik? Adjunk
erre a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est.
\item{} {\it Megold\'as:}\/ Az elv\'egzett dob\'asok sz\'ama egy
$\eta$ negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'u
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-gi v\'altoz\'o
$n=1200$ \'es $p=\dfrac23$ param\'eterekkel, azaz
$P(\eta=k+n)=\dbinom{n+k-1}{n-1}(1-p)^kp^n$, $p=\dfrac23$, \'es
$n=1200$ param\'eterrel. Egy ilyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'onak ki lehet sz\'amolni a pontos eloszl\'as\'at, azaz
azt, hogy milyen \'ert\'eket milyen val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eggel
vesz fel. Elvileg, ez lehet\H{o}s\'eget ad a k\'{\i}v\'ant
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg kisz\'am\'{\i}t\'as\'ara
egy bonyolult \"osszeg kisz\'am\'{\i}t\'as\'anak a
seg\'{\i}ts\'eg\'evel. Enn\'el hasz\-no\-sabb becsl\'est tudunk
kapni a k\"ovetkez\H{o} \'ervel\'es seg\'{\i}ts\'eg\'evel, amely a
k\'{\i}v\'ant va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'e\-get j\'o pontoss\'aggal
kisz\'am\'{\i}tja a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
\medskip\item{}
Jel\"olje $\xi_j$, $2\le j\le 1200$, a $j-1$-ik \'es $j$-ik
fejdob\'as k\"oz\"otti dob\'asok sz\'am\'at (a $j$-ik fejdob\'ast
belesz\'am\'{\i}tjuk a $j-1$-iket viszont nem  sz\'am\'{\i}tjuk bele e
dob\'asok k\"oz\'e), \'es legyen $\xi_1$ az els\H{o} fejdob\'asig (ezt
is belesz\'am\'{\i}tva) elv\'egzett dob\'asok sz\'ama. Ekkor a
$\xi_j$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'ok f\"uggetlenek,
negat\'{\i}v binomi\'alis eloszl\'as\'uak $n=1$, $p=\dfrac23$
param\'eterekkel, \'es minket a $P(1680<\xi_1+\cdots+\xi_{1200}<1830)$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'eg \'erdekel. Megmutattuk kor\'abban, hogy
$E\xi_j=\dfrac1{p}=\dfrac32$, $\Var \xi_j=\dfrac
{1-p}{p^2}=\dfrac34$. Ez\'ert a centr\'alis hat\'areloszl\'ast\'etel
alapj\'an $\eta=\xi_1+\cdots+\xi_{1200}$ jel\"ol\'essel minket a
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt{1200\Var\xi_1}}<1\)$
va\-l\'o\-sz\'{\i}\-n\H{u}\-s\'eg \'erdekel. A cent\-r\'a\-lis
ha\-t\'ar\-elosz\-l\'as\-t\'e\-tel alapj\'an
$P\(-4<\dfrac{\eta-1200E\xi_1}{\sqrt {1200\Var\xi_1}}<1\)
\sim \Phi\(1\)+\Phi(4)-1\sim\Phi(1)$. \medskip
\medskip
{\it H\'azi feladat}
\medskip
\item{} Egy szab\'alyos dob\'okock\'at \'es egy szab\'alyos
\'erm\'et feldobunk 3300 alkalommal egy\-m\'as\-t\'ol f\"uggetlen\"ul.
(Az \'erme \'es kockadob\'asok eredm\'enyei is f\"uggetlenek
egy\-m\'as\-t\'ol.) Ha a kockadob\'as eredm\'enye p\'aros \'es az
\'erme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyer\"unk, amennyi a
kockadob\'as eredm\'enye. Ha az \'erme az \'{\i}r\'as oldalra esett
vagy a kockadob\'as eredm\'enye p\'aratlan sz\'am, akkor nem nyer\"unk,
\'es nem is veszt\"unk semmit. Mi a val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'ege annak,
hogy az \"ossznyerem\'eny\"unk 3190 \'es 3520 forint k\"oz\'e esik?
Adjunk erre j\'o k\"ozel\'{\i}t\H{o} becsl\'est a centr\'alis
hat\'areloszl\'ast\'etel \'es egy norm\'alis eloszl\'ast\'abl\'azat
seg\'{\i}ts\'eg\'evel.
 
 
 
 
 
\bye
 
 
\item{7.)} Ha $\xi$ standard norm\'alis eloszl\'as\'u
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o, $m$, $\sigma$ val\'os
sz\'amok, akkor az $\sigma\xi+m$ val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi
v\'altoz\'o v\'arhat\'o \'ert\'eke $m$ sz\'or\'asn\'egyzete
$\sigma^2$, s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye pedig
$g(u)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}|\sigma|}e^{-(u-m)^2/2\sigma^2}$.
\item{} {\it Megold\'as:}\/
$E(\sigma\xi+m)=\sigma E\xi+m=m$, \'es
$\Var(\sigma\xi+m)=\sigma^2 \Var\xi=\sigma^2$. Tov\'abb\'a, az
el\H{o}z\H{o} feladat eredm\'enye alapj\'an a $\sigma\xi+m$
val\'osz\'{\i}n\H{u}s\'egi v\'altoz\'o s\H{u}r\H{u}s\'egf\"uggv\'enye
az $f(x)=\dfrac1{|\sigma|}\varphi\(\dfrac{x-m}\sigma\)$, ahol
$\varphi(x)=\dfrac1{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$, a standard norm\'alis
s\H{u}\-r\H{u}\-s\'eg\-f\"ugg\-v\'eny. Innen k\"ovetkezik a feladat
\'all\'{\i}t\'asa.
 
