A november 25.-i gyakorlat témája

Foglalkozzunk azzal, hogyan tudjuk kiszámítani független (és nemcsak független) valószínűségi változók összegének a várható értékét és szórásnégyzetét. Ezenkívül ismerjük meg a valószínűségszámítás egyik legfontosabb eredményét, a centrális határeloszlástételt, és lássunk példákat arra, hogy a megtanult módszerek hogyan teszik lehetővé a centrális határeloszlástétel alkalmazását fontos feladatok megoldásában.

Megfogalmazunk néhány eredményt, amelyek azt mondják ki, hogy a diszkrét valószínűségi változók összegének várható értékéről és szórásnégyzetéről szóló eredmények érvényesek az általános esetben is.

Tétel. Ha két ξ_{1}, ξ_{2} valószínűségi változónak (amelyek ugyanazon a valószínűségi mezőn vannak definiálva) létezik várható értéke, c_{1} és c_{2} két valós szám, akkor a c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2} kifejezésnek is létezik várható értéke, és

E (c_{1}ξ_{1} + c_{2}ξ_{2}) = c_{1}Eξ_{1} + c_{2}Eξ_{2}.

Tétel. Legyenek ξ_{1}, …, ξ_{k} független valószínűségi változók, B_{1}, …, B_{k} a számegyenes Borel mérhető részhalmazai. Ekkor

P (ξ_{1} ∈ B_{1}, …, ξ_{k} ∈ B_{k}) = P (ξ_{1} ∈ B_{1}) ⋯ P (ξ_{k} ∈ B_{k}).

Tétel. Legyenek ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ k, valószínűségi változók ugyanazon a valószínűségi mezőn, amelyekre teljesül Eξ_{j}^{2} < ∞ feltétel. Ekkor

Var (∑_{j=1}^{k} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j} + ∑_{\begin{matrix}1≤j,l≤k \\ j≠l \end{matrix}} Cov (ξ_{j}, ξ_{l}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j} + 2 ∑_{j=1}^{k−1} ∑_{l=j+1}^{k} Cov (ξ_{j}, ξ_{l}).

Speciálisan, ha a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, akkor

Var (∑_{j=1}^{k} ξ_{j}) = ∑_{j=1}^{k} Var ξ_{j}.

Tétel független valószínűségi változók összegének a sűrűségfüggvényéről. Legyen ξ és η két független valószínűségi változó f(·) és g(·) sűrűségfüggvénnyel. Ekkor a ξ + η összegnek is létezik sűrűségfüggvénye, és az az

f ∗ g(x) = ∫_{−∞}^{∞} f(u)g(x − u) du, −∞ < x < ∞

függvény.

Egy valószínűségi változó normalizáltjának a fogalma. Legyen ξ olyan valószínű-

ségi változó, amelyre Eξ^{2} < ∞. A ξ valószínűségi változó normalizáltja a ξ̄ = \frac{ξ − Eξ}{\sqrt{Var ξ}}

valószínűségi változó, azaz a ξ valószínűségi változónak az a lineáris transzformáltja, amelynek várható értéke nulla, szórásnégyzete pedig 1.

Jegyezzük meg, hogy ha ξ_{1}, …, ξ_{n} független valószínűségi változók, amelyekre

Eξ_{j}^{2} < ∞ minden 1 ≤ j ≤ n indexre, akkor az S = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j} összeg normalizáltja az

S̄ = \frac{∑_{j=1}^{n} ξ_{j} − ∑_{j=1}^{n} Eξ_{j}}{\sqrt{∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j}}}

kifejezés.

1. Jelölje a xi valószínűségi változó eloszlásfüggvényét F (x), és tegyük fel, hogy a ξ valószínűségi változónak létezik f(x) sűrűségfüggvénye is. Legyen a > 0 és b két valós szám. Számoljuk ki az η = aξ + b valószínűségi változó G(x) eloszlás és g(x) sűrűségfüggvényét. Számoljuk ki a ζ = ξ^{2} valószínűségi változó H(x) eloszlás és h(x) sűrűségfüggvényét. Megoldás: G(x) = P (η < x) = P (aξ + b < x) = P (ξ < \frac{x−b}{a}) = F (\frac{x−b}{a}) minden −∞ < x < ∞ számra. A g(x) sűrűségfüggvény a G(x) eloszlásfüggvény deriváltja,

azaz g(x) = \frac{dG(x)}{dx} = \frac{dF (\frac{x−b}{a})}{dx} = \frac{1}{a}f (\frac{x − b}{a}).

H(x) = P (ξ^{2} < x) = P (−\sqrt{x} < ξ < \sqrt{x}) = P (ξ < \sqrt{x}) − P (ξ ≤ \sqrt{x}) = F (\sqrt{x}) − F (−sqrtx + 0), ha x ≥ 0, ahol F (u + 0) = lim_{h→0} F (u + h). (Az F (u + 0) érték bevezetésére nincs szükség, ha az F eloszlásfüggvénynek van sűrűségfüggvénye, vagy általánosabban F (x) folytonos függvény.) Továbbá, H(x) = 0, ha x < 0, mert P (ξ^{2} < x) = 0 x < 0 esetén. Végül a H(x) függvény deriválásának segítségével kapjuk, hogy h(x) = \frac{1}{2\sqrt{x}} (f(\sqrt{x}) + f(−\sqrt{x})), ha x ≥ 0, h(x) = 0, ha x < 0.

Centrális határeloszlástétel. Legyenek ξ_{1}, ξ_{2}, …, független, egyforma eloszlású való-

színűségi változók, jelölje S_{n} = ∑_{j=1}^{n} ξ_{j}, n = 1, 2, …, e valószínűségi változók részletössze-

geit. Ekkor az S_{n} valószínűségi változók \frac{S_{n} − ES_{n}}{\sqrt{Var S_{n}}} = \frac{∑_{j=1}^{n} ξ_{j} − ∑_{j=1}^{n} Eξ_{j}}{\sqrt{∑_{j=1}^{n} Var ξ_{j}}} normalizáltjai

teljesítik a

lim_{n→∞} P (\frac{S_{n} − ES_{n}}{\sqrt{Var S_{n}}} < x) = Φ(x), minden − ∞ < x < ∞ számra

relációt, ahol Φ(x) = ∫_{−∞}^{x} \frac{1}{\sqrt{2π}} e^{−u^{2}/2} du, a standard normális eloszásfüggvény.

2.) A 2000. évben az Egyesült Államok Florida államában az elnökválasztáson rendkívül szoros eredmény született. 5 000 000 választó választott két párt, a republikánus és demokrata párt jelöltjei között. A két jelölt által szerzett szavazatok száma (egy adott időpontbeli felmérés szerint) mindössze 300 volt. Tegyük fel, hogy a választók egymástól függetlenül \frac{1}{2} valószínűséggel választották valamelyik párt jelöltjét. E feltevés teljesülése estén mi annak a valószínűsége, hogy a két jelölt által összegyüjtött szavazatok különbsége nem haladja meg a háromszázat.

Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 5 000 000, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik választó a demokrata, ξ_{j} = 0, ha a j-ik választó a republikánus

jelöltre szavaz. Ekkor S = ∑_{j=1}^{5 000 000} ξ_{j} a demokrata, és 5 000 000 − S a repub-

likánus jelöltre leadott szavazatok száma, és minket a P (|2S − 5 000 000| ≤ 300) valószínűség nagysága érdekel. Vegyük észre, hogy a ξ_{j} valószínűségi változók

függetlenek, Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4}, ezért ES_{n} = 2 500 000, Var S_{n} = \frac{1}{4} · 5 000 000,

és a P (|\frac{S_{n} − 2 500 000}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5 000 000}}| < x) valószínűségek kiszámítására alkalmazhatjuk a

centrális határeloszlástételt. Ennek alapján

P (|2S − 5 000 000| ≤ 300) = P (|\frac{S − ES}{\sqrt{Var S}} | ≤ \frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5 000 000}})

∼ Φ (\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}}) − Φ (−\frac{150}{\sqrt{\frac{1}{4} · 5000000}})

= 2Φ (\frac{6\sqrt{5}}{100}) − 1 ∼ 2Φ(0.124) − 1 ∼ 0.1.

3. Tekintsünk egy szabályos pénzdarab 10 000 egymás utáni (független) feldobásából származó fej-írás sorozatot. Adjunk becslést a centrális határeloszlástétel segítségével annak valószínűségére, hogy a fej-dobások számának eltérése a várt 5000 számtól legalább 100-zal, illetve legalább 200-zal eltér. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, ≤ j ≤ 10 000 valószínűségi változókat: ξ_{j} = 1, ha a j-ik dobás eredménye fej, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye írás. Ekkor ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 10 000 független valószínűségi változók, Eξ_{j} = \frac{1}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1}{4}, és a

P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 100) és P (| ∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})| > 200) valószínűségekre kell

becslést adnunk. A centrális határeloszlástétel szerint P (\frac{∑_{j=1}^{10000}(ξ_{j} − Eξ_{j})}{\sqrt{10000 · \frac{1}{4}}} > u) ∼

1 − Φ(u). Innen kapjuk, hogy az első valószínűség kiszámításához az u = ± \frac{100}{\frac{1}{2} ·100} = ±2 értékeket kell tekinteni, és a vizsgált valószínűség közelítőleg (1 − Φ(2)) + Φ(−2) = 2(1 − Φ(2)) ∼ 2(1 − 0.97720) = 0.0456. A második valószínűség hasonlóan körülbelül 2(1 − Φ(4)) ∼ 0, (az első 4 tizedesjegy 0).

4.) Egy szabályos dobókockát feldobunk 1200 alkalommal egymástól függetlenül, és összeadjuk a páros értékű dobások eredményét. Adjunk jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével arra, hogy ez az összeg 2280 és 2500 közé esik. Megoldás: Vezessük be a következő ξ_{j}, 1 ≤ j ≤ 1200, valószínűségi változókat: ξ_{j} = 2, ha a j-ik dobás eredménye 2, ξ_{j} = 4, ha a j-ik dobás eredménye 4, ξ_{j} = 6, ha a j-ik dobás eredménye 6, ξ_{j} = 0, ha a j-ik dobás eredménye 1, 3 vagy 5. Ekkor

a P (2280 ≤ ∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} ≤ 2500) valószínűséget kell jól megbecsülnünk. Vegyük észre,

hogy Eξ_{j} = \frac{1}{6}(2 + 4 + 6) = 2, Var ξ_{j} = \frac{1}{6}(4 + 16 + 36) − 4 = \frac{16}{3}. Innen a centrális határeloszlástétel alapján

P (2280 ≤ ∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} ≤ 2500) = P (\frac{−120}{\sqrt{1200\frac{16}{3}}} ≤ \frac{∑_{j=1}^{1200} ξ_{j} − ∑_{j=1}^{1200} Eξ_{j}}{\sqrt{∑_{j=1}^{1200} Var ξ_{j}}} ≤ \frac{100}{\sqrt{1200\frac{16}{3}}} )

∼ Φ(1.25) − Φ(−1.5) = 0.8944 + 0.9322 − 1 = 0.8266.

5.) Vegyünk egy olyan pénzdarabot, amely \frac{2}{3} valószínűséggel esik a fej és \frac{1}{3} valószínűséggel az írás oldalra. Ezt a pénzdarabot annyiszor dobjuk fel, ahány dobás után megjelenik 1200 fej dobás. Mi annak a valószínűsége, hogy az elvégzett dobások száma 1680 1830 küzé esik? Adjunk erre a valószínűségre jó közelítő becslést. Megoldás: Az elvégzett dobások száma egy η negatív binomiális eloszlású való-

színűségi változó n = 1200 és p = \frac{2}{3} paraméterekkel, azaz P (η = k + n) =

\binom{n + k − 1}{n − 1}(1 − p)^{k}p^{n}, p = \frac{2}{3}, és n = 1200 paraméterrel. Egy ilyen valószínűségi

változónak ki lehet számolni a pontos eloszlását, azaz azt, hogy milyen értéket milyen valószínűséggel vesz fel. Elvileg, ez lehetőséget ad a kívánt valószínűség kiszámítására egy bonyolult összeg kiszámításának a segítségével. Ennél hasznosabb becslést tudunk kapni a következő érvelés segítségével, amely a kívánt valószínűséget jó pontossággal kiszámítja a centrális határeloszlástétel segítségével.

Jelölje ξ_{j}, 2 ≤ j ≤ 1200, a j − 1-ik és j-ik fejdobás közötti dobások számát (a j-ik fejdobást beleszámítjuk a j − 1-iket viszont nem számítjuk bele e dobások közé), és legyen ξ_{1} az első fejdobásig (ezt is beleszámítva) elvégzett dobások száma. Ekkor a ξ_{j} valószínűségi változók függetlenek, negatív binomiális eloszlásúak n = 1,

p = \frac{2}{3} paraméterekkel, és minket a P (1680 < ξ_{1} + ⋯ + ξ_{1200} < 1830) valószínűség

érdekel. Megmutattuk korábban, hogy Eξ_{j} = \frac{1}{p} = \frac{3}{2}, Var ξ_{j} = \frac{1 − p}{p^{2}} = \frac{3}{4}.

Ezért a centrális határeloszlástétel alapján η = ξ_{1} + ⋯ + ξ_{1200} jelöléssel minket

a P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) valószínűség érdekel. A centrális határeloszlástétel

alapján P (−4 < \frac{η − 1200Eξ_{1}}{\sqrt{1200Var ξ_{1}}} < 1) ∼ Φ (1) + Φ(4) − 1 ∼ Φ(1).

Házi feladat

Egy szabályos dobókockát és egy szabályos érmét feldobunk 3300 alkalommal egymástól függetlenül. (Az érme és kockadobások eredményei is függetlenek egymástól.) Ha a kockadobás eredménye páros és az érme a fej oldalra esett, akkor annyi forintot nyerünk, amennyi a kockadobás eredménye. Ha az érme az írás oldalra esett vagy a kockadobás eredménye páratlan szám, akkor nem nyerünk, és nem is vesztünk semmit. Mi a valószínűsége annak, hogy az össznyereményünk 3190 és 3520 forint közé esik? Adjunk erre jó közelítő becslést a centrális határeloszlástétel és egy normális eloszlástáblázat segítségével.